Amplitude - Matemática - 7

MATEMÁTICA

José Roberto Bonjorno

Regina Azenha Bonjorno

Ayrton Olivares

Marcinho Mercês Brito

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

José Roberto Bonjorno

• Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Regina Azenha Bonjorno

• Bacharel e licenciada em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Professora do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Ayrton Olivares

• Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Marcinho Mercês Brito

• Doutor em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (UFLA-MG)

• Mestre em Ciências Agrárias pela Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB-BA)

• Pós-graduado em Formação para o Magistério – Área de Concentração: Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Matemática e Física pelas Faculdades Integradas de Amparo (FIA-SP)

• Engenheiro Agrônomo pela Universidade Federal da Bahia (UFBA)

• Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Educacionais (FACE-BA)

• Professor do Ensino Médio e do Ensino Superior

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

COMPONENTE

CURRICULAR

MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

1a edição São Paulo, 2022

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Amplitude : matemática, 7 : ensino fundamental : anos finais / José Roberto Bonjorno...[et al.]. -- 1. ed. -- São Paulo : Editora do Brasil, 2022. -- (Amplitude matemática)

Outros autores: Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares, Marcinho Mercês Brito

ISBN 978-85-10-08459-8 (aluno)

ISBN 978-85-10-08460-4 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Bonjorno, José Roberto. II. Bonjorno, Regina Azenha. III. Olivares, Ayrton. IV. Brito, Marcinho Mercês. V. Série.

22-110630

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

© Editora do Brasil S.A., 2022

Todos os direitos reservados

Direção-geral: Vicente Tortamano Avanso

Direção editorial: Felipe Ramos Poletti

Gerência editorial de conteúdo didático: Erika Caldin

Gerência editorial de produção e design: Ulisses Pires

Supervisão de artes: Andrea Melo

Supervisão de editoração: Abdonildo José de Lima Santos

Supervisão de revisão: Elaine Cristina da Silva

Supervisão de iconografia: Léo Burgos

Supervisão de digital: Priscila Hernandez

Supervisão de controle de processos editoriais: Roseli Said

Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão editorial: Everton José Luciano

Edição: Katia Queiroz, Daniel Leme, Lourdes Ferreira e Marcos Silva

Assistência editorial: Douglas F. Giaquinto, Juliana Bomjardim e Wagner Razvickas

Revisão: Amanda Cabral, Andréia Andrade, Fernanda Sanchez, Gabriel Ornelas, Giovana Sanches, Jonathan Busato, Júlia Castello, Luiza Luchini, Maisa Akazawa, Mariana Paixão, Martin Gonçalves, Rita Costa, Rosani Andreani, Sandra Fernandes e Veridiana Cunha

Pesquisa iconográfica: Ana Brait

Design gráfico: APIS design

Capa: Estúdio Siamo

Imagem de capa: Brankospejs/iStockphoto.com e Say-Cheese/ iStockphoto.com

Edição de arte: Daniel Souza, Marcela Tenguan e Mario Junior

Ilustrações: Adriano Gimenez, Alessandro Passos da Costa, Alex Cói, André Martins, DAE, Danillo Souza, Edson Farias, Ilustra Cartoon, Luca Navarro, Luiz Lentini, Marcel Borges, Marcos Guilherme, Murilo Moretti, Reinaldo Vignati, Sonia Vaz, Tarcísio Garbellini, Thiago Lucas, Vanessa Volk e Wanderson Souza

Produção cartográfica: Sônia Vaz

Editoração eletrônica: Fórmula Produções Editoriais

Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Jennifer Xavier, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini

Controle de processos editoriais: Bruna Alves, Julia Nascimento, Rita Poliane, Terezinha de Fátima Oliveira e Valeria Alves

1a edição, 2022

Rua Conselheiro Nébias, 887

São Paulo/SP – CEP 01203-001

Fone: +55 11 3226-0211

www.editoradobrasil.com.br

Olá, professora. Olá, professor.

Entre os desafios que enfrentamos cotidianamente na formação dos estudantes, está aquele que mais tem nos motivado a concentrar esforços para construir uma aprendizagem significativa: o conhecimento aplicado às experiências de vida.

Como fazer as ações pedagógicas ganharem sentido na apropriação do conhecimento pelos estudantes? Como perceber o ensino da Matemática por meio da reavaliação de velhos estigmas, aprendizagem de fórmulas e de conceitos distanciados das experiências dos aprendizes?

Pensando nessas questões, elaboramos este material para que os conhecimentos da Matemática possam dialogar com o saber individual dos estudantes, ressignificando a aprendizagem deles, colocando-os como agentes do processo de construção do conhecimento e buscando mobilizar olhares para o reconhecimento da Matemática no dia a dia.

Pretendemos, com esta coleção, contribuir para o exercício da prática docente, ao apresentarmos novas ferramentas e possibilidades de ações que propiciem ampliar o trabalho pedagógico, oferecendo subsídios que colaborem para a execução das propostas curriculares dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Os autores

Pressupostos teórico-metodológicos

Vivemos em um mundo que se transforma a todo instante, e as profundas mudanças ocorridas nos últimos anos impuseram à escola um olhar mais atento para a singularidade e a diversidade do ser humano. Pensar na singularidade humana é pensar nas diferenças que constituem cada pessoa, sejam elas relacionadas a aspectos físicos, subjetivos, cognitivos, relacionais, religiosos. A singularidade que nos constitui é o que torna o mundo em que vivemos tão diverso. Respeitar e valorizar as diferenças é, portanto, fundamental para a vida em sociedade.

Entre os inúmeros objetivos almejados para esta coleção, buscamos criar oportunidades para que os estudantes pensem na coletividade, desenvolvam atitudes empáticas e cooperativas, reflitam sobre temas contemporâneos – às vezes, polêmicos – que envolvem a discussão de valores, para que, assim, possam reconhecer e respeitar a diversidade e promover a inclusão

Garantir esses valores é afirmar compromisso com a formação integral e cidadã dos estudantes e com a permanente busca por uma educação equitativa e de qualidade

Além disso, é fundamental promover situações que favoreçam o trabalho com a resolução de problemas vinculados ao mundo real, a fim de oportunizar aos estudantes que se posicionem de forma crítica, responsável e construtiva e utilizem o diálogo para mediar conflitos.

Acreditamos que, na escola, os estudantes desenvolvem habilidades e competências – incluindo as socioemocionais – por meio das próprias experiências vividas, do conhecimento e das interações com seus pares. Nessa direção, inúmeras propostas apresentadas nesta coleção foram pensadas para propiciar e favorecer essas interações. Não basta mais apenas apresentar definições, axiomas e teoremas aos estudantes. É preciso oferecer-lhes oportunidades de ação e de reflexão sobre suas ações, de modo que consigam antecipar resultados e fazer previsões.

Neste momento, vale lembrar o que afirma Paulo Freire: Saber que ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua própria produção ou a sua construção. Quando entro em uma sala de aula devo estar sendo um ser aberto a indagações, à curiosidade, às perguntas dos alunos, a suas inibições; um ser crítico e inquiridor, inquieto em face da tarefa que tenho – a de ensinar e não a de transferir conhecimento (FREIRE, 1996, p. 47, grifo nosso).

E como os livros didáticos podem auxiliar no tão almejado desenvolvimento integral dos estudantes?

Acreditamos que as proposições apresentadas nesta coleção, tanto nas propostas do Livro do Estudante quanto nas sugestões apresentadas do Manual do Professor, poderão potencializar ainda mais o trabalho já desenvolvido na escola.

Assim, apresentamos, neste manual, os pressupostos que embasaram a construção de cada proposição e sugestão de aplicação nele presentes.

Esperamos que as informações aqui apresentadas favoreçam a reflexão de professores sobre a prática pedagógica, seja no trabalho diário com os estudantes em sala de aula, seja nos momentos de planejamento das aulas e da avaliação da aprendizagem.

Letramento matemático

O letramento matemático, segundo a BNCC – baseando-se na Matriz do Pisa de 2012 –, engloba as habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente.

Tais habilidades são constantemente mencionadas no ensino de Matemática, mas pouco se explora o significado de cada uma delas. A compreensão mais ampla desses verbos pode auxiliar o professor tanto nas escolhas para as práticas e intervenções em sala de aula como na organização das atividades propostas nesta coleção.

Raciocinar está relacionado a um conjunto de processos mentais que se ampara em conhecimentos internalizados para a produção de novos conhecimentos em um movimento complexo.

Na Matemática, muito se fala em raciocínio lógico, dedutivo e indutivo. Mas também podemos considerar outros, como o raciocínio abdutivo e o relacional.

Independentemente dos tipos, o raciocínio se desenvolve quando é posto em prática e usado na análise de processos de raciocínio externalizados por outros (no caso da escola, pelos colegas).

Representar é um verbo de grande desafio na área da Matemática. Considerando que muitos conceitos só existem nas teorizações, é por meio da representação que podemos torná-los visíveis. É a representação que dá acesso ao raciocínio.

As representações perpassam todas as unidades temáticas que compõem o ensino da Matemática. Na Geometria, por exemplo, vemos mapas, croquis e representações gráficas de figuras. Na Álgebra, há uma variedade de símbolos que descrevem regularidades e generalizações. Com relação aos números, o próprio símbolo numérico é uma representação de quantidade, ordem, código ou medida.

Devido à necessidade de representar conceitos, a fim de que se operem com eles, pesquisadores apontam a importância de trabalhar a maior variedade de representações para que a aprendizagem ocorra.

Comunicar e argumentar são duas ações que dependem diretamente da linguagem matemática. Os momentos de discussão são fundamentais para que os estudantes possam se comunicar matematicamente para além de registros gráficos convencionais.

As aulas de Matemática devem também valorizar as formas de comunicação oral em que os estudantes precisem escutar argumentos de colegas e organizar os próprios argumentos para fortalecer ou reconstruir aprendizagens. As atividades desta coleção possibilitam aos estudantes que tais habilidades sejam desenvolvidas, por exemplo, nos momentos em que são convidados a explicitar os caminhos percorridos e o raciocínio empregado na resolução de uma situação.

Resolução de problemas

O ensino de Matemática deve explorar a capacidade do estudante de compreender o mundo a seu redor, contextualizado socialmente, bem como promover o entendimento de como o conhecimento da Matemática pode auxiliá-lo nessa atividade.

O ensino de Matemática se apresenta hoje fortemente ligado a essa metodologia, pois ela exige que o estudante desenvolva a capacidade de descobrir e usar informações e estratégias próprias para resolver problemas.

Um dos grandes autores na área de resolução de problemas, Polya (20--) afirma que problema é uma situação que exige uma solução elaborada, que não é imediata. Ele destaca quatro pontos que devem ser considerados na resolução de um problema.

1. Compreensão do problema.

2. Elaboração de um plano de resolução.

3. Execução do plano.

4. Verificação da solução.

O foco na resolução de problemas enfatiza que os estudantes podem trabalhar individualmente ou em grupo, enquanto o professor atua como facilitador e guia. Dessa forma, o estudante é a figura central do processo. Ele analisa dados, estabelece relações e chega a conclusões tentando fundamentá-las, explicando-as, dando assim significado à aprendizagem.

Cálculo mental e calculadora

Quanto à resolução de problemas, é importante que os estudantes desenvolvam diferentes estratégias. O cálculo mental e o uso de calculadora levam os estudantes a raciocinar sobre suas ações. Calcular é uma operação com a qual os estudantes convivem desde pequenos, pois os números, a contagem e as operações costumam fazer parte do brincar, do jogar e do comércio. Para lidar com números pequenos, não são necessários cálculos

ou algoritmos elaborados, é possível usar cálculo mental. Você pode propor situações, problemas e desafios com cálculos simples de adição, subtração, multiplicação e divisão a serem feitos mentalmente com discussões sobre as maneiras de raciocinar. Em todas as situações possíveis, é necessário incentivar o cálculo mental.

Os estudantes terão intimidade cada vez maior com os números ao começarem a verbalizar os resultados e as estratégias utilizadas para a realização dos cálculos. As propriedades e as regularidades matemáticas surgirão naturalmente quando forem discutidas as formas e os caminhos percorridos para chegar ao resultado. Desse modo, os estudantes adquirem mais confiança em si mesmos ao perceber que são capazes de resolver problemas; também passam a respeitar mais os colegas, pois começam a vê-los como pessoas que pensam com autonomia e contribuem com outras soluções.

Além de incentivar o cálculo mental, é importante que o uso da calculadora esteja previsto na sala de aula. A BNCC orienta que cabe ao educador a tarefa de iniciar os estudantes na utilização de novas tecnologias, entre elas a calculadora. As razões que reforçam o uso da calculadora na escola são sociais e pedagógicas. As primeiras dizem respeito ao fato de que a escola não pode se distanciar da realidade, uma vez que o uso desse instrumento está totalmente popularizado. As razões pedagógicas dizem respeito ao uso da calculadora para explorar regularidades e relações matemáticas, além da possibilidade de ampliar os números. O uso desse recurso deve favorecer a aprendizagem de diferentes estratégias de cálculo e explorar os limites desse instrumento. Cabe ao professor decidir quando seu uso é adequado e quando o cálculo mental é mais eficiente. Outra possibilidade de uso da calculadora é tê-la como uma ferramenta de controle e verificação de resultados de operações feitas com papel e lápis, pois permite que os estudantes tenham autonomia na execução e na correção.

A prática docente

O perfil do professor

Na apresentação dos pressupostos teórico-metodológicos desta coleção, iniciamos dizendo que vivemos em um mundo em constante transformação. Diante disso, é primordial que o professor, dia a dia, repense seu papel no processo ensino-aprendizagem, especificamente na interação com os estudantes e com seus pares.

Para tanto, ele necessita planejar as aulas de maneira diferente, extrapolando os tradicionais métodos de ensino, que acabam por privilegiar a “transmissão” de conteúdo, afinal, se o mundo está em constante transformação, e a escola faz parte do mundo, ela também precisa mudar.

Ao repensar seu papel, o professor gera possibilidades de os estudantes repensarem o deles e de se tornarem protagonistas em sua aprendizagem, desenvolvendo competências e habilidades que serão essenciais à vida, nos mais variados contextos: pessoal, familiar, acadêmico, profissional, político, intelectual e outros.

Dessa forma, talvez seja necessário pensar na descentralização do papel do professor no processo ensino-aprendizagem, que, na atualidade, não deve mais estar pautado somente na transmissão de informações, mas na mediação do conhecimento, aqui entendida não apenas “com a função de ligar dois elementos mas sim de ser o centro organizador dessa relação” (AGUIAR et al., 2009, p. 58).

O professor, que antes era considerado apenas o detentor e transmissor do conhecimento, passa a ser também, considerado um mediador, um orientador da aprendizagem – organizando o ensino de acordo com a real capacidade dos estudantes – e do desenvolvimento de hábitos de estudo e de reflexão deles. Estes, que antes eram considerados “baldes vazios”, receptores dos conhecimentos neles “despejados” pelo professor, passam a ser seres ativos na construção do conhecimento, usando, para isso, capacidades, habilidades, inteligência, criticidade e criatividade, tendo o professor como orientador e incentivador da aprendizagem.

O professor passa, então, a fazer intervenções oportunas, necessárias e eficazes no processo ensino-aprendizagem e a propor aos estudantes problemas com base na observação atenta de conhecimentos e estratégias de resolução por eles manifestados.

Ações como experimentação, comparação, estabelecimento de relações, análises, justaposições, levantamento de hipóteses e argumentações são essenciais para que a aprendizagem aconteça de forma significativa.

Neste momento, uma pergunta se faz necessária: como articular a Matemática apresentada nos currículos com as reais necessidades dos estudantes, considerando os contextos nos quais eles estão inseridos? Para respondê-la, é preciso que a ideia de contexto/contextualização seja bem compreendida.

A contextualização, normalmente, é atrelada ao cotidiano dos estudantes, o que é muito importante para que eles possam estabelecer relações e realizar ampliações construindo repertórios potentes para resolver problemas. No entanto, o ensino de Matemática pode ir além, propondo contextos inexistentes no cotidiano de determinado estudante – mas frequentes na vida de outros – ou focando no contexto intramatemático, em que importantes discussões podem acontecer dentro das regularidades, ampliando a compreensão do funcionamento da linguagem matemática.

Considerando que a Matemática é uma construção humana, sempre haverá um contexto, ou seja, os conceitos construídos surgem de problemas que podem estar presentes em situações do dia a dia, em necessidades de ciências específicas – como para o desenvolvimento de um software ou para o cálculo de substâncias na composição de medicamentos – ou em teorizações matemáticas.

Quando pensamos no cotidiano atual dos estudantes, é necessário ter em mente a velocidade com que as informações se espalham por meio de diferentes mídias. Também é preciso considerar que o cotidiano não inclui apenas questões sociais, como a falta de moradia ou de alimentação – sem deslegitimar a importância de tais fatores – mas também aos jogos com os quais os estudantes estão em contato, às leituras que fazem de outras culturas e de outros espaços, entre outros temas que lhes são interessantes, mesmo que pareçam distantes de suas “realidades”.

É certo que os livros didáticos não darão conta da enorme diversidade cotidiana de cada comunidade escolar, daí a importância do papel do professor para aproximar os estudantes desses contextos “distantes”, fazendo inter-relações entre o novo e aquilo que já conhecem, ampliando, assim, o conhecimento de mundo deles.

Ao pensar nos contextos extramatemáticos, é válido observar a variedade de temas que podem ser abordados, considerando o rico cotidiano dos estudantes de hoje e a possibilidade de apresentar-lhes situações novas que exemplifiquem outras formas de estar no mundo.

Desse modo, os conteúdos desta coleção são apresentados com base em diferentes contextos, assim como as atividades, que englobam tanto situações que se referenciam em possíveis cotidianos dos estudantes como as que focam no desenvolvimento intramatemático.

Como vemos, a prática do professor abrange uma diversidade de aspectos relacionados ao ensino, que precisam ser considerados para potencializar os momentos de aprendizagem: o planejamento das aulas; os conhecimentos didáticos; os conhecimentos dos conteúdos; a qualidade da relação com os estudantes, com os pais e com os demais atores que compõem a comunidade escolar; a disponibilidade de recursos que apoiem sua prática, entre outros.

Com relação ao planejamento, o professor precisa articular seus objetivos, os objetos de conhecimento definidos nos documentos curriculares, as possibilidades metodológicas para explorá-los e os conhecimentos dos estudantes sobre o assunto, tudo isso organizado em um tempo didático.

O livro didático poderá ser uma ferramenta indispensável para essa articulação; no entanto, caberá ao professor adaptá-la às necessidades dos estudantes e organizá-la no tempo organizá-la no tempo, espaço e recursos didáticos disponíveis em cada instituição escolar.

Esse processo de adaptação de atividades do livro didático, ou de qualquer outro recurso externo, depende de escuta ativa do professor sobre as ações dos estudantes. Muitas vezes, não basta perguntar ou aplicar um instrumento avaliativo ou diagnóstico para identificar os conhecimentos dos estudantes; é preciso estar atento ao cotidiano escolar: O que explicitam as situações de aprendizagens? Como realizam as atividades rotineiras, sem a pressão avaliativa, em situações de brincadeira, nas relações com seus pares? Conhecer os estudantes é, portanto, incluir na prática docente um olhar e uma escuta sensíveis para o que acontece na sala de aula e em outros espaços da escola.

Mesmo trazendo essas questões para o planejamento, sempre haverá o imprevisível, as situações com as quais o professor, por mais experiente que seja, poderá não saber lidar. Nesse sentido, os estudos de Alarcão (2011) sobre a noção de professor reflexivo apontam algumas questões sobre a prática docente que podem ajudar o professor a lidar com tal imprevisibilidade e que devem ser consideradas no planejamento e na gestão da sala de aula.

Para a autora:

A noção de professor reflexivo baseia-se na consciência da capacidade de pensamento e reflexão que caracteriza o ser humano como criativo e não como mero reprodutor de ideias e práticas que lhe são exteriores. É central, nesta conceptualização, a noção do profissional como uma pessoa que, nas situações profissionais, tantas vezes incertas e imprevistas, atua de forma inteligente e flexível, situada e reativa (ALARCÃO, 2011, p. 44, grifo nosso).

Fundamentada na concepção de professor reflexivo apresentada por Donald Schön, Alarcão (2011) destaca a importância de uma prática reflexiva embasada no conhecimento, na ação e em três tipos de reflexão: a reflexão na ação, a reflexão sobre a ação e a reflexão sobre a reflexão na ação.

A autora explica que a reflexão na ação acontece no decurso da própria ação, sem interrupções, embora com breves instantes de distanciamento: reformulamos o que estamos fazendo enquanto estamos fazendo.

Já a reflexão sobre a ação consiste em pensarmos retrospectivamente sobre a ação: reconstruímos a ação mentalmente e tentamos analisá-la.

Por fim, a reflexão sobre a reflexão na ação constitui-se em um processo de metarreflexão: pensamos sobre a reflexão que fizemos sobre a ação e encontramos novas formas de agir em situações futuras.

Alarcão (2011, p. 55) cita algumas estratégias de desenvolvimento da capacidade de reflexão, como:

a) a análise de casos;

b) as narrativas;

c) a elaboração de portfólios reveladores do processo de desenvolvimento seguido;

d) o questionamento dos outros atores educativos;

e) o confronto de opiniões e abordagens;

f) os grupos de discussão ou círculos de estudo;

g) a auto-observação;

h) a supervisão colaborativa;

i) as perguntas pedagógicas.

É importante destacar que o professor pode refletir sobre diversos aspectos, entre eles a gestão da sala de aula e os conhecimentos que possui em sua área de conhecimento. É justamente nesse processo reflexivo que pode romper com suas crenças sobre o ensino e os significados do componente curricular que ministra.

Com esse rompimento, a ampliação dos conhecimentos e a interação com os pares, o professor ganha mais segurança para planejar e pôr em prática situações vigorosas de ensino.

Os diferentes perfis dos estudantes

Considerar os diferentes perfis dos estudantes é de grande importância como forma de criar uma visão geral de cada estudante, assim como valorizar a multiplicidade e a diversidade individual e cultural. Essa visão influencia no processo ensino-aprendizagem. Dessa forma, criar um universo que facilite o aprendizado e a harmonia entre esses diversos perfis é de suma importância.

Gardner, em sua Teoria das Inteligências Múltiplas, considera que “a mente é um instrumento multifacetado de muitos componentes que não podem, de maneira legítima, ser capturados num simples instrumento, estilo lápis e papel”.

Estimular o pensamento crítico e a criatividade é relevante, dando oportunidade para que cada estudante possa analisar, filtrar, selecionar e usar informações novas, estabelecendo conexões entre os saberes que já possui e criando possibilidades para uso dos dados e dos pontos de vista, por meio de análises críticas, criativas e propositivas.

O desenvolvimento da capacidade argumentativa também deve ser estimulado, para que os estudantes tenham a oportunidade de opinar e apresentar seus próprios pontos de vista, tornando-se capazes não só de constatar fatos e emitir hipóteses mas também de justificar e defender suas ideias, quando confrontadas com os demais estudantes.

O estímulo à leitura de textos de diferentes gêneros é de grande importância e a inferência é um fator essencial que está relacionada à compreensão da leitura, no que se refere aos elementos explícitos e implícitos. Chegar a conclusões a partir de informações do texto é inferir, ou seja, concluir pelo raciocínio buscando sempre a essência do texto.

O trabalho em sala de aula

A gestão da sala de aula também inclui o tipo de relação que se constrói com os estudantes. É possível conceber relações verticais, em que o professor se posiciona como detentor do saber, ou relações horizontais, nas quais constrói uma gestão democrática, sem desconsiderar, porém, a assimetria naturalmente existente na relação professor-estudante.

A gestão democrática da sala de aula pode potencializar os trabalhos coletivos dos estudantes e abrir mais possibilidades de comunicação na relação professor-estudante, concebendo um espaço propício à aprendizagem voltada para as questões da cidadania, do respeito e da cooperação.

Há várias proposições que podem colaborar para que o professor alcance seus objetivos.

As propostas individuais permitem a mobilização de conhecimentos já elaborados, as atividades em duplas permitem uma interação mais focada e a discussão de ideias, e as organizações em grupos possibilitam trocas e debates.

O trabalho em pequenos grupos, por exemplo, potencializa a qualidade das aprendizagens e favorece a aquisição de conhecimentos pelos estudantes, a partir da interação entre eles (BONALS, 2003). Conhecer os estudantes, no entanto, é fundamental para agrupá-los de modo produtivo, a fim de que consigam expor suas ideias e fazer trocas sólidas e válidas.

Os agrupamentos podem considerar, dentre outros aspectos, o nível de conhecimento dos estudantes e a afinidade entre eles. Quando o nível de conhecimento dos estudantes é mais próximo, o diálogo pode ser mais equilibrado do que quando os conhecimentos de um estudante são muito diferentes dos de outro. Em tais situações, o diálogo pode nem acontecer, dada a dificuldade de compreensão das ideias entre eles.

Nos momentos em que os agrupamentos são organizados, o professor poderá circular pela sala de aula para observar como as interações acontecem para além das discussões sobre o conteúdo, identificando como está o nível de argumentação, de escuta e de articulação de ideias de cada um.

Em Matemática, um exemplo de agrupamento para desenvolver estratégias de cálculo mental pode ser a organização dos estudantes de modo ascendente, começando com o trabalho individual e evoluindo para duplas (em que cada estudante apresenta sua estratégia) e quartetos (em que os estudantes discutem e concluem qual é a estratégia mais econômica). O papel do professor, nesse tipo de atividade, é observar as estratégias individuais apresentadas pelos estudantes, pedindo que as expliquem, e fazer os agrupamentos em duplas e em quartetos a partir de suas observações (BIBIANO; SANTOMAURO; MARTINS, 2009).

Cabe destacar que o tipo de relação construída entre o professor e os estudantes inclui a forma como os erros e as ideias daqueles são recebidos por este. É possível que alguns estudantes deixem de fazer perguntas e de expor ideias quando sentirem que não são escutados ou que seus erros são repreendidos. A compreensão do erro como parte do processo de aprendizagem deve ser explorada com os estudantes. Esse tema tem sido estudado por muitos pesquisadores no campo da Educação Matemática. Alguns o fazem com o objetivo de entender os motivos que levam ao erro, investigando obstáculos que são colocados nos processos didáticos ou obstáculos que são construídos historicamente na produção dos conhecimentos. Outros analisam também o que os erros podem revelar sobre os estudantes. Há, ainda, aqueles que buscam diagnósticos de erros frequentes, caracterizando-os como problemas ou dificuldades de aprendizagem que necessitam de outros tipos de intervenção.

Para pensar a gestão da sala de aula, é necessário estabelecer um bom diálogo e uma escuta atenta para as situações de erro em sala de aula, as quais, muitas vezes, proporcionam uma aprendizagem potente e são descartadas somente por não se alinharem aos resultados esperados pelo professor.

Uma forma de o professor ativar a escuta e o olhar sensível para com o estudante e suas ações é perguntar-se frequentemente o que está acontecendo na sala de aula, mesmo que nada pareça acontecer, pois será com base em ações rotineiras e em erros muitas vezes desconsiderados que ele poderá construir uma relação mais aberta e mais sensível com os estudantes.

Como trabalhar com grupos grandes

Trabalhar com turmas que têm grande quantidade de estudantes é, certamente, um dos maiores desafios enfrentados pelo professor no exercício diário da prática docente. Pensar em caminhos que lhe possibilitem superar esse desafio leva-nos novamente a pensar na descentralização de seu papel no processo ensino-aprendizagem, como abordamos no tópico anterior.

É de grande importância refletirmos sobre novas metodologias para favorecer o aprendizado de grandes grupos de estudantes.

Essa descentralização pode ser obtida por meio da adoção de estratégias de ensino que coloquem os estudantes no centro da aprendizagem, como protagonistas do processo de construção do conhecimento (BRASIL, 2018), tendo o professor como mediador desse processo. Para isso, entendemos que se faz necessário aos estudantes desenvolver sua autonomia e interagir com seus pares em diferentes momentos e de diversas maneiras.

Essa interação entre pares também faz com que os próprios estudantes sejam mediadores do conhecimento e, portanto, promotores de aprendizagens para si e para os colegas.

Nessa direção, as metodologias ativas surgem como possível caminho para proporcionar aos estudantes meios para que consigam exercer o protagonismo e a autonomia em sua aprendizagem.

Moran (2017, p. 24) explica que as metodologias ativas “são estratégias de ensino centradas na participação efetiva dos estudantes na construção do processo de aprendizagem, de forma flexível, interligada, híbrida”.

Quando o professor trabalha com metodologias ativas, a construção do conhecimento, pelos estudantes, permite o desenvolvimento de diversas competências, entre elas:

• saber buscar e investigar informações com criticidade (critérios de seleção e priorização), a fim de atingir determinado objetivo, a partir da formulação de perguntas ou desafios dados pelos educadores;

• compreender a informação, analisando-a em diferentes níveis de complexidade, contextualizando-a e associando-a a outros conhecimentos;

• interagir, negociar e comunicar-se com o grupo, em diferentes contextos e momentos;

• conviver e agir com inteligência emocional, identificando e desenvolvendo atitudes positivas para a aprendizagem colaborativa;

• ter autogestão afetiva, reconhecendo atitudes interpessoais facilitadoras e dificultadoras para a qualidade da aprendizagem, lidando com o erro e as frustrações, e sendo flexível;

• tomar decisão individualmente e em grupo, avaliando os pontos positivos e negativos envolvidos;

• desenvolver a capacidade de liderança;

• resolver problemas, executando um projeto ou uma ação e propondo soluções (BRASIL, [2018?b], p. [1]).

Essas informações foram apresentadas por Glasser em forma de gráfico, dando origem à conhecida “pirâmide de aprendizagem” (DINIZ, 2021).

Aprendizagem ativa

Observando a “pirâmide de aprendizagem”, podemos facilmente concluir que, quanto mais interagimos com o outro e ampliamos o uso de nossas habilidades comunicativas, mais podemos aprender, o que nos leva a concluir também que existe uma profunda relação entre as metodologias ativas de ensino e a pirâmide de aprendizagem desenvolvida por Glasser.

Entre as principais metodologias ativas, destacamos as seguintes (SANTOS, 2021, p. [1]):

1. Sala de aula invertida: nessa prática, o professor inicialmente propõe aos alunos realizar uma tarefa específica ou pesquisar sobre determinado conteúdo antes de uma aula. Assim, durante a aula, o docente utiliza o que foi feito pelos alunos e, se necessário, complementa com mais explicações, momentos tira-dúvidas e com atividades e debates sobre o tema. Essa estratégia é um dos modelos de ensino híbrido.

2. Rotação por estações: consiste em organizar a sala de aula em pequenos grupos, nas chamadas estações, e, em cada uma delas, realiza-se uma tarefa diferente, embora todas estejam conectadas a um mesmo tema. A ideia é que os alunos façam um circuito por essas estações, passando por todas as atividades. O uso de um recurso digital em uma das estações pode ser útil para coletar dados sobre a aprendizagem dos alunos. Essa estratégia é outro modelo de ensino híbrido.

3. Laboratório rotacional: segue dinâmica semelhante à da rotação, mas envolve outros espaços da escola. Aqui são formados dois grupos, sendo que um ficará no espaço com o professor (que não precisa ser a sala de aula) e o outro irá utilizar um recurso digital em outro local, como o laboratório de informática, a biblioteca ou outro espaço que cumpra a função. Novamente, as ferramentas digitais podem auxiliar a coleta de dados sobre a aprendizagem, possibilitando a personalização do ensino. Assim como as anteriores, trata-se de um modelo de ensino híbrido.

4. Aprendizagem baseada em projetos: possui várias definições, sendo um conceito bem amplo, que busca ensinar os conceitos curriculares aos alunos integrando várias disciplinas. É ideal que os projetos se baseiem em situações-problema reais do contexto escolar e dos alunos, buscando uma solução em forma de produto, o que vai envolver hipóteses, investigação, construção de um plano para a solução, e muito trabalho coletivo e colaborativo. Ao final, os estudantes podem compartilhar as soluções construídas com a turma toda, sendo mediados pelo professor.

5. Aprendizagem baseada em problemas: como o nome indica, utiliza problemas para a construção dos conceitos desejados pelo professor. É interessante que os problemas sejam baseados na realidade dos alunos, que podem resolvê-los de diversas formas – ou seja, são abertos e as respostas não podem ser obtidas por resoluções simples como a mera aplicação de uma fórmula. O processo de resolução dos problemas, inclusive, pode ser mais importante do que a própria solução, já que o docente pode analisar a compreensão dos alunos pelo modo como o resolveram. O trabalho em grupo ganha força com essa abordagem.

Embora as metodologias ativas sejam comumente associadas ao uso de tecnologias digitais, sabemos que estas, sozinhas, não têm o poder de promover a aprendizagem dos estudantes. O que, de fato, fará diferença no processo de ensino e aprendizagem será o planejamento das aulas pelo professor, tendo como foco a participação ativa dos estudantes nas atividades a serem realizadas.

O trabalho interdisciplinar

Embora os documentos curriculares oficiais e os livros desta e da maioria das coleções estejam organizados disciplinarmente, isto é, por componente curricular, as discussões sobre interdisciplinaridade estão presentes há muito tempo entre os professores e os pesquisadores interessados pelo tema.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) aponta que as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica só se materializarão mediante o conjunto de decisões que irão adequar as proposições da BNCC à realidade local (BRASIL, 2018), entre elas:

[...] decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem (BRASIL, 2018, p. 16, grifo nosso).

Para possibilitar tais formas de organização curricular interdisciplinar, é preciso compreender a concepção de interdisciplinaridade e diferenciá-la de outras concepções que carregam o mesmo radical (“disciplina”), como multidisciplinaridade, pluridisciplinaridade e transdisciplinaridade

Segundo Nogueira (1998), a multidisciplinaridade ocorre em duas situações: quando há integração de diferentes conteúdos de uma mesma disciplina ou quando há justaposição de diferentes conteúdos de disciplinas distintas, sem, porém, nenhuma preocupação de integração.

Já a pluridisciplinaridade diz respeito à prática na qual já existem sinais de cooperação entre os diferentes componentes curriculares, mas ainda sem objetivos comuns. Não existe uma coordenação propriamente dita, sistemática, mas uma coordenação intuitiva.

Na interdisciplinaridade, por sua vez, “a tônica é o trabalho de integração das diferentes áreas do conhecimento. Um real trabalho de cooperação e troca, aberto ao diálogo e ao planejamento” (NOGUEIRA, 1998, p. 26, grifo nosso).

Por fim, como explica o autor, na transdisciplinaridade, as relações não seriam apenas de integração dos diferentes componentes curriculares, mas de um sistema sem fronteiras, em que a integração chegaria a um nível tão alto, que seria impossível distinguir os limites de cada um deles. Sabemos que a organização curricular por componente curricular viabiliza o processo ensino-aprendizagem, mas não devemos perder de vista que o conhecimento não se limita a uma ou a outra área. Na vida, os conteúdos estão integrados. Exemplo disso está na imagem a seguir.

Que componentes curriculares ou áreas do conhecimento estão presentes na cena?

Embora não haja “placas” que nos indiquem isso, sabemos que, de forma integrada, estão presentes conhecimentos sobre:

• cálculos, unidades de medida, números, formas geométricas (Matemática);

• força, gravidade, resistência (Física);

• compostos, materiais (Química);

• segurança no trabalho (Direito);

• comunicação oral e escrita, leitura de projetos (Língua Portuguesa);

• condições de trabalho e de empregabilidade (Sociologia);

• impacto ambiental (Ciências);

• formas de relevo, propriedades do solo (Geografia)... entre tantos outros.

Fazer essa análise ajuda-nos a entender que a realidade não é segmentada, ou seja, na vida, os conhecimentos das mais diferentes áreas interpenetram-se e inter-relacionam-se; existem de forma integrada.

E na escola? Como o professor pode superar a possível visão fragmentada de sua área de conhecimento, com enfoque meramente disciplinar?

Uma das possibilidades é o trabalho com projetos interdisciplinares, sejam aqueles envolvendo professores de dois ou mais componentes curriculares, sejam aqueles desenvolvidos com os estudantes por um único professor, uma vez que este pode ter uma visão interdisciplinar de seu ensino e promovê-la em suas aulas.

Interdisciplinaridade, na verdade, é uma atitude. A integração deve ocorrer entre os saberes e não, necessariamente, entre os professores, embora saibamos que a realização de projetos interdisciplinares por dois ou mais docentes traz uma série de benefícios a todos os envolvidos, como engajamento da comunidade escolar, fortalecimento de vínculos, ampliação da capacidade de trabalhar em equipe, criação de ambientes mais colaborativos, entre outros.

Outra ideia equivocada que comumente encontramos nas escolas é de que projetos interdisciplinares precisam ser longos, por vezes, até exaustivos. Na verdade, a duração de um projeto interdisciplinar deverá ser condizente com a abrangência da temática desenvolvida, que, vale lembrar, precisa estar em consonância com situações-problemas reais vividas pelos estudantes.

Nesta coleção, as atividades são indicadas em consonância com os componentes curriculares definidos pela BNCC, no entanto, algumas propostas possibilitam um trabalho inter, multi ou pluridisciplinar, com base nas ampliações do professor. Em algumas atividades específicas, há indicações da possibilidade de trabalho interdisciplinar, a fim de auxiliar o professor em seu planejamento e na articulação de saberes.

Para trabalhar com essa perspectiva de diálogo entre os componentes curriculares, o professor precisa estar aberto ao diálogo com outros professores e atualizar constantemente seus conhecimentos, potencializando as ações pedagógicas.

Também, é necessário que tome alguns cuidados ao articular os componentes curriculares, pois algumas tentativas de aproximar conhecimentos em relação a um tema podem empobrecer o trabalho matemático, propondo relações artificiais ou reduzindo as atividades ao uso de tabelas e gráficos que, em geral, poderiam ser utilizados em uma grande diversidade de temas. Claro que o uso das tabelas e gráficos é importante, entretanto, as articulações entre os componentes curriculares devem ser mais ricas, proporcionando outros conhecimentos matemáticos igualmente importantes.

As práticas de pesquisa

Sabemos que, até pouco tempo, as “pesquisas” realizadas pelos estudantes, a pedido dos professores, resumiam-se a simples cópias de informações obtidas em livros e enciclopédias, prática que, com o advento da tecnologia, foi substituída pelos comandos “copiar” e “colar”, feitos no computador.

Nesse sentido, cabe uma reflexão: encontrar informações sobre determinado assunto, seja em suportes físicos ou digitais, e reproduzi-las consiste, de fato, no ato de pesquisar?

Lüdke e André (1986) afirmam que esse tipo de atividade não representa, verdadeiramente, o conceito de pesquisa, mas sim uma atividade de consulta que, embora importante para a aprendizagem dos estudantes, não esgota o sentido do termo.

Segundo as autoras, para a realização de uma pesquisa,

[...] é preciso promover o confronto entre os dados, as evidências, as informações coletadas sobre determinado assunto e o conhecimento teórico acumulado a respeito dele. Em geral, isso se faz a partir do estudo de um problema, que ao mesmo tempo desperta o interesse do pesquisador e limita sua atividade de pesquisa a uma determinada porção do saber, a qual ele se compromete a construir naquele momento. [...] Esse conhecimento é, portanto, fruto da curiosidade, da inquietação, da inteligência e da atividade investigativa dos indivíduos, a partir e em continuação do que já foi elaborado e sistematizado pelos que trabalharam o assunto anteriormente (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 1-2).

E assim, ano após ano, os estudantes seguem coletando e reproduzindo informações, sem, efetivamente, realizar pesquisas. Uma das razões para que isso aconteça seja, talvez, o fato de que precisem aprender a pesquisar, o que, muitas vezes, não acontece na escola.

Nessa direção, a pesquisadora brasileira Walkiria Rigolon, em entrevista concedida à Revista Ensino sobre o tema “Aprender a estudar” comenta que:

A escola, em geral, naturaliza alguns saberes, como se determinados conteúdos não precisassem ser ensinados, ou que pudessem ser aprendidos sem um modelo, sem apoio ou referência. Tratamos assim os procedimentos e técnicas de estudos como se fossem um dom natural (RIGOLON, 2017, p. [1]).

O ato de pesquisar, portanto, não é “natural”, e sim algo que precisa ser aprendido, sendo a escola lócus privilegiado para essa aprendizagem. Nessa perspectiva, os professores precisam criar situações de aprendizagem que possibilitem aos estudantes o desenvolvimento de algumas habilidades, entre elas:

• localizar, selecionar e compartilhar informações;

• ler, compreender e interpretar textos com maior grau de complexidade;

• consultar, de forma crítica, fontes de informação diferentes e confiáveis;

• formar e defender opiniões;

• argumentar de forma respeitosa;

• sintetizar;

• expor oralmente o que aprendeu apoiando-se em diferentes recursos;

• generalizar conhecimentos;

• produzir gêneros acadêmicos (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Se o desenvolvimento dessas e de outras habilidades necessárias ao ato de pesquisar constituir-se em ponto de atenção dos professores de diferentes componentes curriculares, certamente o processo ensino-aprendizagem ganhará outras dimensões, pois proporcionará aos estudantes que aprendam e se desenvolvam em diferentes áreas do conhecimento, de forma ativa e autônoma.

Ao propor aos estudantes a realização de uma pesquisa, é fundamental que o professor compartilhe com eles:

[...] por que a pesquisa será feita, que relação ela terá com o que estão aprendendo ou aprenderão e qual será o tempo estipulado para sua realização, entre outras informações que ajudem a contextualizar e problematizar a temática a ser investigada. Esse compartilhamento tem por objetivo criar nos estudantes expectativas que os ajudem a atribuir significado e sentido ao ato de pesquisar (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Outro ponto importante é a elaboração coletiva do roteiro, que deverá explicitar as etapas da pesquisa, [...] desde o levantamento inicial das informações, a seleção de diversas fontes, a leitura de todo o material selecionado, a utilização dos procedimentos de estudo para aprofundamento das leituras e os registros das aprendizagens construídas, até a apresentação dos resultados obtidos, garantindo que existam ao longo desse processo, sobretudo, momentos de compartilhamento do que se aprendeu (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Nessa perspectiva, o professor deverá atentar-se à forma como avaliará o trabalho realizado pelos estudantes, pois considerar apenas o resultado, e não o processo como um todo, seria incorrer em uma visão reducionista do processo ensino-aprendizagem.

Uma boa estratégia complementar à avaliação do professor é a realização da autoavaliação pelos estudantes e pelo próprio grupo. Assim, eles podem autoavaliar-se em cada etapa do processo de pesquisa,

[...] identificando suas dificuldades, os desafios do ato de pesquisar e, principalmente, seus avanços. Com essa estratégia de avaliação, é possível observar, por exemplo, que um estudante se saiu muito bem na seleção de material, porém não teve o mesmo êxito ao apresentar oralmente seus resultados; ou que teve sucesso na apresentação dos resultados, mas selecionou fontes não confiáveis. Nesse contexto, a avaliação final consideraria todas as etapas da produção da pesquisa, sem focar apenas um quesito (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Destacamos que o ensino sistemático da pesquisa desde os primeiros anos de escolaridade contribui para que os estudantes não cheguem aos Anos Finais da Educação Básica sem desenvolver essa capacidade que, certamente, será fundamental para o sucesso de seus estudos na universidade.

Veja como isso se materializa na BNCC (BRASIL, 2018, p. 305, 311, 315 e 319):

• 6? ano: (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

• 7? ano: (EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

• 8? ano: (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

• 9? ano: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e o ensino da Matemática

A BNCC apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica, de modo que tenham assegurados seus direitos de aprendizagem e desenvolvimento, conforme estabelecido no Plano Nacional de Educação (PNE).

Ao longo desse período, as aprendizagens essenciais definidas no documento devem contribuir para assegurar aos estudantes o desenvolvimento de dez competências gerais que consolidam, no âmbito pedagógico, os direitos de aprendizagem e desenvolvimento.

A BNCC define competência como

[...] a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho (BRASIL, 2018, p. 8).

Vale comentar que, entre os marcos legais que embasam a BNCC, estão a Constituição Federal (CF) de 1988, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) no 9.394/1996 e a Lei no 13.005/2014, que promulgou o PNE.

A Constituição Federal, trinta anos antes da publicação integral da BNCC, já anunciava, em seu artigo 210, a concepção de currículo comum:

Serão fixados conteúdos mínimos para o Ensino Fundamental, de maneira a assegurar formação básica comum e respeito aos valores culturais e artísticos, nacionais e regionais (BRASIL, 2016, p. 124, grifo nosso).

Da mesma forma, a LDB, em seus artigos 9o (inciso IV) e 26o, anos antes da publicação da BNCC, já expressava essa concepção:

[Cabe à União] [...] estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum (BRASIL, 2017, p. 12, grifo nosso).

[...]

Os currículos da educação infantil, do ensino fundamental e do ensino médio devem ter uma base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e em cada estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e dos educandos (BRASIL, 2017, p. 19, grifo nosso).

Da mesma forma, na meta 7 do PNE, estratégia 7.1, também já se fazia presente a concepção de currículo comum: (7.1) estabelecer e implantar, mediante pactuação interfederativa, diretrizes pedagógicas para a básica e a base nacional comum dos currículos, com direitos e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento dos(as) alunos(as) para cada ano do ensino fundamental e médio, respeitada a diversidade regional, estadual e local (BRASIL, 2014, p. [1], grifos nossos).

Também é importante mencionar que a BNCC tem como fundamentos pedagógicos o foco no desenvolvimento de competências e o compromisso com a educação integral. Com relação ao primeiro fundamento pedagógico, a BNCC indica que [...] as decisões pedagógicas devem estar orientadas para o desenvolvimento de competências. Por meio da indicação clara do que os alunos devem “saber” [...] e,

sobretudo, do que devem “saber fazer” [...], a explicitação das competências oferece referências para o fortalecimento de ações que assegurem as aprendizagens essenciais definidas na BNCC (BRASIL, 2018, p. 13).

Com relação ao segundo fundamento pedagógico, a BNCC reconhece que [...] a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades (BRASIL, 2018, p. 14).

Para que as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica se materializem, faz-se necessário que as proposições da BNCC sejam adequadas à realidade local. Nesse sentido, algumas ações precisam ser tomadas pela comunidade escolar, entre elas:

• contextualizar os conteúdos dos componentes curriculares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas;

• decidir as formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem;

• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferenciados e a conteúdos complementares, se necessário, para trabalhar as necessidades de diferentes grupos de estudantes, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, seus grupos de socialização etc.;

• conceber e pôr em prática situações e procedimentos para motivar e engajar os estudantes nas aprendizagens;

• construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos estudantes;

• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;

• criar e disponibilizar materiais de orientação para os professores, bem como manter processos permanentes de formação docente que possibilitem contínuo aperfeiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;

• manter processos contínuos de aprendizagem sobre gestão pedagógica e curricular para os demais educadores, no âmbito das escolas e dos sistemas de ensino (BRASIL, 2018, p. 16-17).

Implicações da BNCC no ensino de Matemática no contexto da sala de aula

No componente curricular de Matemática, é necessário destacar quais são as concepções assumidas sobre o ensino da área e como os conhecimentos organizam-se no período escolar.

Segundo a BNCC, equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação são algumas das ideias fundamentais da área que precisam ser consideradas no desenvolvimento do pensamento matemático dos estudantes por meio de objetos de conhecimento. Essas ideias fundamentais perpassam as cinco unidades temáticas que compõem a Matemática escolar proposta pelo documento.

As unidades temáticas são uma forma de organizar os conhecimentos matemáticos, mas é importante salientar que, no trabalho a ser desenvolvido com os estudantes, elas devem estar inter-relacionadas.

Vejamos algumas informações acerca de cada uma dessas unidades temáticas, especificamente na etapa dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Números

Por meio da exploração de campos numéricos, essa unidade temática inclui o desenvolvimento das ideias fundamentais de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem.

Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, os estudantes devem ampliar suas habilidades de operar com números naturais, inteiros e racionais. Os números irracionais também devem ser explorados, de acordo com a percepção dos estudantes e de sua necessidade, em situações nas quais os números racionais não são suficientes, por exemplo, em contextos geométricos. O cálculo e a compreensão de porcentagem bem como a identificação de números na reta numérica, explorando ordem, ampliam ainda mais o trabalho com essa unidade temática.

Os conceitos básicos de economia e finanças, que visam à educação financeira dos estudantes, também compõem o trabalho e facilitam a interlocução com outras áreas do conhecimento.

[...] podem ser discutidos assuntos como taxa de juros, inflação, aplicações financeiras (rentabilidade e liquidez de um investimento) e impostos. Essa unidade temática favorece um estudo interdisciplinar envolvendo as dimensões culturais, sociais, políticas e psicológicas, além da econômica sobre as questões do consumo, trabalho e dinheiro (BRASIL, 2018, p. 269).

Álgebra

Essa unidade temática envolve o desenvolvimento do pensamento algébrico, relacionado à identificação de regularidades e padrões, tanto em sequências numéricas como não numéricas, à construção ou à compreensão de leis matemáticas que representem relações de interdependência entre grandezas diversas e, também, às diversas representações gráficas e simbólicas. Os objetos de conhecimento dessa unidade relacionam-se às ideias de equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade

[...] Em síntese, essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações (BRASIL, 2018, p. 270).

Vale destacar que essa unidade temática deve ser explorada desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental, mas cabe aos Anos Finais dar continuidade a ela, explorando as variáveis numéricas em expressões, estabelecendo generalizações, investigando novas regularidades e padrões, identificando valores desconhecidos, entre outras habilidades.

Além disso, segundo a BNCC, os conhecimentos envolvidos nessa e em outras unidades temáticas podem dar grande sustentação para o pensamento computacional, já que desenvolvem a capacidade de traduzir situações em linguagens específicas.

Geometria

Os objetos de conhecimento e as competências inseridos nessa unidade temática buscam desenvolver o pensamento geométrico, que propicia ao estudante um novo olhar para o mundo físico, por meio da exploração e do estudo de espaços, deslocamentos, formas, incluindo figuras planas e espaciais. Quanto ao aspecto funcional, essa unidade engloba as transformações geométricas.

Para o trabalho com os objetos de conhecimento, é importante considerar o desenvolvimento das ideias de construção, representação e interdependência

A BNCC destaca o trabalho com os conceitos de congruência e semelhança, de modo que os estudantes sejam capazes de realizar demonstrações simples, e enfatiza o quanto as atividades não podem ser reduzidas à aplicação de fórmulas ou aplicações imediatas de teoremas, já que pode haver outras formas e estratégias de resolver as problemáticas propostas.

Grandezas e medidas

O trabalho com medidas e com a relação entre elas pode ser um ponto integrador tanto com outras unidades temáticas (ampliação da noção de número, por exemplo) como com outros componentes curriculares (uso de escalas em mapas no campo da Geografia, por exemplo). É esperado que, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, os estudantes reconheçam as unidades de medidas convencionais, para que o tema possa ser ampliado nos Anos Finais, com a exploração de densidade, velocidade e capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Probabilidade e estatística

Essa unidade temática trata da parte da Matemática que lida com o incerto, com o tratamento de dados e o desenvolvimento das habilidades de coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados. Tais habilidades possibilitam um olhar crítico para as situações do dia a dia, de modo a permitir que os estudantes analisem a ocorrência de eventos ou identifiquem dados de determinadas situações que revelem necessidades de uma comunidade, de uma instituição ou de qualquer outro espaço. Esse tipo de conhecimento também alicerça a tomada de decisões, pois torna possível a antecipação de situações para se evitarem escolhas vazias.

O uso de tecnologias digitais

Como mencionamos, o mundo em que vivemos está em constante transformação, e boa parte das mudanças ocorridas, sem dúvida, tem sido ocasionada pelo significativo avanço tecnológico das últimas décadas. Hoje, as tecnologias digitais estão presentes não apenas nas grandes empresas mas também nas escolas e nas casas das pessoas.

Conforme aponta a BNCC (BRASIL, 2018), essas constantes mudanças advindas do avanço tecnológico repercutem na forma como as pessoas se comunicam, se relacionam, aprendem e trabalham, impactando diretamente no funcionamento da sociedade.

A preocupação com esse impacto está expressa na Base e se explicita na competência geral 5 para a Educação Básica:

Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva (BRASIL, 2018, p. 9).

A BNCC tematiza três dimensões que caracterizam a computação e as tecnologias digitais – o pensamento computacional, o mundo digital e a cultura digital – que, em articulação com as competências gerais, também foram contempladas nas competências específicas e nas habilidades dos diferentes componentes curriculares do Ensino Fundamental, respeitadas as características dessa etapa.

Nesse contexto, é preciso lembrar que incorporar as tecnologias digitais na educação não se trata de utilizá-las somente como meio ou suporte para promover

aprendizagens ou despertar o interesse dos alunos, mas sim de utilizá-las com os alunos para que construam conhecimentos com e sobre o uso dessas TDICs (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Na área de Matemática, a BNCC destaca o uso de tecnologias digitais como calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de Geometria dinâmica para auxiliar na construção de figuras geométricas e suas transformações bem como na organização e na apresentação de dados. O documento salienta a necessidade do uso dessas e de outras tecnologias, digitais ou não, estarem integradas a situações que propiciem a reflexão dos estudantes, contribuindo para a sistematização e a formalização dos conceitos matemáticos (BRASIL, 2018).

Destacamos que, além de usar as tecnologias digitais apontadas pela BNCC, os estudantes sejam estimulados e orientados a produzir materiais multimidiáticos diversos, como histórias em quadrinhos digitais – para contar, por exemplo, a história da Matemática –, fanpages, blogs, podcasts, vídeos, entre outros.

Produzindo materiais desse tipo, eles passam a usar a tecnologia de forma ativa, deixando de ser apenas consumidores de informação para serem produtores de conhecimento.

O pensamento computacional

O pensamento computacional, uma das três dimensões que caracterizam a computação e as tecnologias digitais, conforme apresentado pela BNCC, envolve a compreensão de algoritmos e fluxogramas que permeiam os meios digitais e estão intimamente relacionados às competências matemáticas.

Segundo a Base, no Ensino Fundamental, a área de Matemática “centra-se na compreensão de conceitos e procedimentos em seus diferentes campos e no desenvolvimento do pensamento computacional, visando à resolução e formulação de problemas em contextos diversos” (BRASIL, 2018, p. 471).

Em outras palavras:

O pensamento computacional pode ser definido como uma estratégia usada para desenhar soluções e solucionar problemas de maneira eficaz tendo a tecnologia como base. Ao contrário do que a expressão pode inferir, não necessariamente significa o que está ligado à programação de computadores ou mesmo à navegação na internet, à utilização de redes sociais, entre outros.

[...] Resumidamente, [pensamento computacional] seria a capacidade criativa, crítica e estratégica de utilizar as bases computacionais nas diferentes áreas de conhecimento para a resolução de problemas (A LÓGICA..., [202-], p. [2]).

O pensamento computacional pode ser organizado em quatro etapas – decomposição, reconhecimento de padrões, abstração e algoritmos –, conforme ilustrado no infográfico a seguir.

Os 4 pilares do Pensamento Computacional Decomposição

Dividir um problema complexo em pequenas par tes, a m de solucioná-lo com mais facilidade.

Reconhecimento de padrões

Identi car aspectos comuns nos processos, encontrar o padrão ou os padrões que podem ajudar na solução.

Abstração

Priorizar elementos e processos importantes, diferenciando-os dos detalhes menos relevantes. Dessa forma, a solução pode ser válida para vários problemas diferentes

Algoritmos

Estipular uma ordem ou uma sequência de passos para resolver o problema, a partir das etapas anteriores. É a utilização da lógica e da racionalidade para a busca de uma solução.

Entre as capacidades envolvidas no pensamento computacional, a BNCC destaca “as capacidades de compreender, analisar, definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções, de forma metódica e sistemática, por meio do desenvolvimento de algoritmos” (BRASIL, 2018, p. 474).

Para alguns professores, a falta de computadores nas escolas ou de acesso à internet pode representar um grande desafio na hora de promover atividades relacionadas ao desenvolvimento do pensamento computacional dos estudantes, entretanto, é possível realizar as atividades com os recursos didático-pedagógicos disponíveis, usando a lógica do pensamento computacional. Desenvolver o pensamento computacional “envolve mais a lógica de resolução e análise de problemas do que de fato aplicá-los ao mundo digital” (A LÓGICA..., [202-], p. [2]).

O desenvolvimento de competências e habilidades

A BNCC oferece-nos um bom aporte para o entendimento do que são competências e habilidades, a partir da observação de como o documento está estruturado.

No caso do Ensino Fundamental, essa etapa está organizada em cinco áreas do conhecimento. Cada uma delas estabelece suas competências específicas de área, “cujo desenvolvimento deve ser promovido ao longo dos nove anos. Essas competências explicitam como as dez competências gerais se expressam nessas áreas” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo nosso). Também são definidas as competências específicas do componente curricular, que deverão ser desenvolvidas pelos estudantes ao longo dos nove anos que constituem essa etapa de escolarização. Por fim, para que se garanta o desenvolvimento dessas competências específicas, cada componente curricular apresenta um conjunto de habilidades, que “estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento – aqui entendidos como conteúdos, conceitos e processos –, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo do autor).

Esquematizando, temos o seguinte:

Competências gerais

Competências especí cas da área do conhecimento

Competências especí cas do componente curricular Unidades temáticas

Objetos de conhecimento

Habilidades

Como podemos observar, as competências “contêm” as habilidades, o que pode ficar ainda mais claro quando nos atentamos à definição de competência apresentada pela BNCC. No documento, competência é definida como “a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho” (BRASIL, 2018, p. 8, grifo nosso).

Esquematizando novamente, temos o seguinte:

Atitudes e valores

Conhecimentos

Vale destacar que as competências específicas do componente curricular [...] possibilitam a articulação horizontal entre as áreas, perpassando todos os componentes curriculares, e também a articulação vertical, ou seja, a progressão entre o Ensino Fundamental – Anos Iniciais e o Ensino Fundamental – Anos Finais e a continuidade das experiências dos alunos, considerando suas especificidades” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo do autor).

Tomemos como exemplo disso e da relação existente entre as competências (amplas) e as habilidades (específicas) a competência específica 4 para o Ensino Fundamental:

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Para que os estudantes desenvolvam essa competência específica ao longo de todo o Ensino Fundamental, eles devem desenvolver as habilidades a seguir relacionadas a diferentes objetos de conhecimento.

(EF02MA23) Realizar pesquisa em universo de até 30 elementos, escolhendo até três variáveis categóricas de seu interesse, organizando os dados coletados em listas, tabelas e gráficos de colunas simples.

(EF03MA28) Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas em um universo de até 50 elementos, organizar os dados coletados utilizando listas, tabelas simples ou de dupla entrada e representá-los em gráficos de colunas simples, com e sem uso de tecnologias digitais.

(EF04MA24) Registrar as temperaturas máxima e mínima diárias, em locais do seu cotidiano, e elaborar gráficos de colunas com as variações diárias da temperatura, utilizando, inclusive, planilhas eletrônicas.

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018, p. 267, 285, 289, 293, 305, 311 e 319. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Temas Contemporâneos Transversais (TCTs)

Além do grande avanço tecnológico mencionado anteriormente, que não pode ser ignorado pelos currículos escolares, outros temas contemporâneos precisam ser considerados no ensino dessa nova geração de estudantes. Segundo a BNCC, as escolas devem incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de 15 temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, presentes em seis macroáreas, conforme a seguir.

Temas Contemporâneos Transversais

• Vida Familiar e Social

• Educação para o Trânsito

MEIO AMBIENTE

• Educação Ambiental

• Educação para o Consumo

• Trabalho

ECONOMIA

• Educação Financeira

• Educação Fiscal

SAÚDE

• Saúde

• Educação Alimentar e Nutricional

CIDADANIA E CIVISMO

• Educação em Direitos Humanos

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Processos de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

• Diversidade Cultural

MULTICULTURALISMO

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

CIÊNCIA E TECNOLOGIA • Ciência e Tecnologia

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Caderno economia: Educação Financeira, Educação Fiscal, trabalho. Coordenação-geral de Maria Luciana da Silva Nóbrega. Brasília, DF: MEC, 2022. (Série Temas Contemporâneos Transversais: Base Nacional Comum Curricular). p. 16. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/cadernos_tematicos/caderno_economia_consolidado_v_final_09_03_2022.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

A abordagem desses temas contemporâneos deve se dar, preferencialmente, de forma transversal e integradora, uma vez que não pertence a uma área do conhecimento em particular, mas atravessa todas elas.

Na BNCC, essas temáticas são contempladas em habilidades dos componentes curriculares, cabendo às escolas tratá-las de forma contextualizada, de acordo com a realidade de sua comunidade escolar.

Como podemos ver, esses temas são amplos e permitem a articulação de conhecimentos e habilidades de diversos componentes curriculares, na tentativa de superar a fragmentação do conhecimento, favorecendo sua aplicação no cotidiano.

No caso dos conhecimentos matemáticos, é possível mostrar como o componente curricular se aplica nos diferentes temas, tornando-a um vigoroso instrumento na busca de soluções em diferentes situações.

Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, tais temas podem ser apresentados com mais profundidade, pois se espera que os estudantes já tenham entrado em contato com inúmeras questões de ordem social, cultural e política. Espera-se também que eles possam ampliar os conhecimentos de modo mais articulado.

Nessa etapa, é imprescindível olhar para as vivências e as necessidades dos estudantes em seus mais variados contextos, incluindo conhecimentos do componente curricular e de temas contemporâneos.

Nosso objetivo também é o desenvolvimento dos estudantes, tendo em vista a continuação dos estudos no Ensino Médio, contribuindo, assim, positivamente para a construção da trajetória e do projeto de vida deles.

Veja no quadro a seguir alguns dos Temas Contemporâneos Transversais contemplados em cada volume da coleção.

6o ano Educação para o Consumo Educação Alimentar e Nutricional

7o ano Educação Ambiental

Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

8o ano Educação em Direitos Humanos Direitos da Criança e do Adolescente

9o ano Ciência e Tecnologia Educação Financeira

Cultura juvenil

Conforme mencionamos em tópicos anteriores, a BNCC tem como um de seus fundamentos pedagógicos o compromisso com a educação integral, entendida como a “construção intencional de processos educativos que promovam aprendizagens sintonizadas com as necessidades, as possibilidades e os interesses dos estudantes e, também, com os desafios da sociedade contemporânea”, o que “supõe considerar as diferentes infâncias e juventudes, as diversas culturas juvenis e seu potencial de criar novas formas de existir” (BRASIL, 2018, p. 14, grifo nosso).

Como vemos, cultura juvenil é um tema que está presente no documento, por isso é importante entendermos como se manifesta entre os estudantes do Ensino Fundamental – Anos Finais.

A entrada nessa etapa de escolarização corresponde ao período de transição dos estudantes, da infância para a adolescência, momento marcado por profundas transformações, não apenas orgânicas mas também psicossociais. Como aponta o Parecer CNE/CEB no 11/2010 (BRASIL, 2010a), nesse período, também se modificam as relações sociais e os laços afetivos e se ampliam as possibilidades intelectuais, resultando na capacidade de raciocinar de forma mais abstrata. Os estudantes desenvolvem a capacidade de descentração, isto é, de ver os fatos sob a perspectiva do outro, “importante na construção da autonomia e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010a, p. 9).

As Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica destacam que, entre os estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental, frequentemente, observa-se uma

[...] forte adesão aos padrões de comportamento dos jovens da mesma idade, o que é evidenciado pela forma de se vestir e também pela linguagem utilizada por eles. Isso requer dos educadores maior disposição para entender e dialogar com as formas próprias de expressão das culturas juvenis, cujos traços são mais visíveis, sobretudo, nas áreas urbanas mais densamente povoadas (BRASIL, 2013, p. 110, grifo nosso).

Segundo Prado (2012, p. 68), podemos entender cultura juvenil como a maneira com que “os jovens se manifestam no grupo, por meio da construção de vários estilos e formas de vida”. O autor ressalta que a cultura juvenil muda conforme a época e o local onde a pessoa vive.

Martins e Carrano, citando Cruz (2000, p. 11 apud MARTINS; CARRANO, 2011, p. 48), explicam que as culturas juvenis resultam de um conjunto de “práticas arraigadas no âmbito local que se alimentam incessantemente de elementos da cultura globalizada”. Desse modo, estão “baseadas no consumo de bens materiais e simbólicos que permitem observar as ligações entre o local e o global e as maneiras que as culturas se inter-relacionam e interagem naquele espaço”.

Não há como pensarmos na cultura globalizada, mencionada pelos autores, sem associá-la ao avanço tecnológico e às profundas transformações por ele provocadas na sociedade atual, sendo uma delas a inserção das pessoas na cultura digital, não apenas como consumidoras mas também como produtoras de informações e conhecimentos.

Com nossos estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental não é diferente, afinal, mais do que muitos adultos, até, eles estão absolutamente imersos nessa “nova” cultura. Como aponta a BNCC, os adolescentes

[...] têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e à efemeridade das informações, privilegiando análises superficiais e o uso de imagens e formas de expressão mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e argumentar característicos da vida escolar (BRASIL, 2018, p. 61).

Diante dessa realidade, a escola se depara com alguns desafios na formação dos estudantes, dentre eles:

• estimular a reflexão e a análise aprofundada, contribuindo para o desenvolvimento, nos estudantes, de uma atitude crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de ofertas midiáticas e digitais;

• compreender e incorporar as novas linguagens e seus modos de funcionamento, descobrindo possibilidades de comunicação com eles;

• educá-los para usos mais democráticos das tecnologias e para uma participação mais consciente na cultura digital

Podemos citar, ainda, o desafio enfrentado pela escola de tornar mais harmônica e próxima possível a relação entre professores e estudantes, pois são pessoas de diferentes gerações. Como ressaltam Martins e Carrano (2011, p. 54), é necessário que a escola esteja atenta “para reconhecer que as culturas juvenis não se encontram subordinadas às relações de dominação ou resistência impostas pelas culturas das gerações mais velhas”. Esse reconhecimento, segundo os autores

[...] pode auxiliar a construção de projetos pedagógicos e processos culturais que aproximem professores e alunos. Através da elaboração de linguagens em comum, a escola pode recuperar seu prestígio entre os jovens, bem como o prazer deles estarem em um lugar que podem chamar de seu na medida em que são reconhecidos como sujeitos produtores de cultura (MARTINS; CARRANO, 2011, p. 54).

Vale lembrar que, para haver aprendizagem, é preciso que os estudantes vejam sentido naquilo que aprendem. Daí a importância e a necessidade de se inserirem no currículo escolar temas ligados às culturas juvenis e de os contextos em que vivem os jovens serem reconhecidos e valorizados pela comunidade escolar.

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Conhecer os estudantes, seus hábitos e gostos é de extrema importância para aproximar o aprendizado do cotidiano deles.

Projeto de vida

Quando pensamos em projeto de vida, é muito comum pensarmos nos jovens e nos adultos fazendo planos para seu futuro, especialmente na esfera profissional, mas fazer planos, projetar o futuro não é algo que acontece naturalmente com todas as pessoas. Para muitas, isso demanda aprendizagem; é preciso aprender a se organizar e a selecionar as ações que levarão à concretização de seus planos que, em última instância, são reflexos de seus sonhos, seus desejos, seus interesses. E essa aprendizagem não acontece da noite para o dia, mas de forma gradual e contínua.

Tanto é assim que, entre as dez competências gerais apresentadas pela BNCC, as quais deverão ser desenvolvidas pelos estudantes ao longo da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), está a competência geral 6, que faz referência ao projeto de vida, conforme destacamos a seguir: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade (BRASIL, 2018, p. 9, grifo nosso).

Assim, entre os maiores desafios que se apresentam à escola esteja, talvez, o de conseguir conectar o currículo escolar aos projetos de vida dos estudantes, sejam eles relacionados ao estudo ou ao trabalho.

Nessa direção, no Ensino Fundamental – Anos Finais, a escola pode contribuir para o delineamento do projeto de vida dos estudantes, ao estabelecer uma articulação não somente com os anseios desses jovens em relação ao seu futuro como também com a continuidade dos estudos no Ensino Médio. Esse processo de reflexão sobre o que cada jovem quer ser no futuro, e de planejamento de ações para construir esse futuro, pode representar mais uma possibilidade de desenvolvimento pessoal e social (BRASIL, 2018, p. 62).

Projeto de vida é um tema que deve ser trabalhado em todos os componentes curriculares, sempre que possível de forma interdisciplinar.

Se considerarmos que o projeto de vida pode se relacionar não apenas ao estudo e ao trabalho mas também às escolhas de estilos de vida, no ensino de Matemática, desde a Educação Infantil, os professores poderão trabalhar, por exemplo, a Educação Financeira, um dos temas contemporâneos transversais propostos pela BNCC, para desenvolver nos estudantes a percepção do dinheiro e de seu valor bem como a importância de se usar os recursos financeiros de modo responsável e consciente.

Os objetivos e as metas a serem atingidas são de extrema importância para planejar o futuro.

Cultura de paz

Em Assembleia Geral de 6 de outubro de 1999, as Nações Unidas definiram a cultura de paz como sendo

[...] um conjunto de valores, atitudes, tradições, comportamentos e estilos de vida baseados:

a) No respeito à vida, no fim da violência e na promoção e prática da não violência por meio da educação, do diálogo e da cooperação;

b) No pleno respeito aos princípios de soberania, integridade territorial e independência política dos Estados e de não ingerência nos assuntos que são, essencialmente, de jurisdição interna dos Estados, em conformidade com a Carta das Nações Unidas e o direito internacional;

c) No pleno respeito e na promoção de todos os direitos humanos e liberdades fundamentais;

d) No compromisso com a solução pacífica dos conflitos;

e) Nos esforços para satisfazer as necessidades de desenvolvimento e proteção do meio ambiente para as gerações presente e futura;

f) No respeito e promoção do direito ao desenvolvimento;

g) No respeito e fomento à igualdade de direitos e oportunidades de mulheres e homens;

h) No respeito e fomento ao direito de todas as pessoas à liberdade de expressão, opinião e informação;

i) Na adesão aos princípios de liberdade, justiça, democracia, tolerância, solidariedade, cooperação, pluralismo, diversidade cultural, diálogo e entendimento em todos os níveis da sociedade e entre as nações;

[...] e animados por uma atmosfera nacional e internacional que favoreça a paz (NAÇÕES UNIDAS, 1999, p. [1]).

Respeito à vida, não violência, diálogo e cooperação, entre outros valores e atitudes presentes nessa definição, podem e devem ser trabalhados na escola, com o objetivo de promover uma cultura de paz que possa ser levada para outros contextos de vida dos estudantes, como a família e a sociedade. Incentivar, na escola, um ambiente de respeito às diferenças, por exemplo, é um bom caminho para essa promoção, visto que a escola, assim como a realidade social que a cerca, caracteriza-se pela diversidade humana, seja ela racial, de gênero, regional, política ou religiosa.

Para a escola conseguir estabelecer a cultura de paz dentro e fora de seus muros, é fundamental que os estudantes sejam incentivados a assumir o protagonismo dessa ação e que toda a comunidade escolar seja envolvida nesse trabalho.

Estratégias que oportunizem aos estudantes ler, debater e refletir sobre o tema certamente contribuirão para que eles sejam organizadores e executores do próprio trabalho.

E como a Matemática, enquanto componente curricular escolar, pode ajudar na construção de uma cultura de paz?

Portanova (2006, p. 436, grifo da autora) acredita que [...] o uso da Matemática tenha sido uma das primeiras necessidades do homem, depois da comunicação e da sobrevivência. A contagem, a ordenação, a soma, a divisão etc. são conhecimentos essenciais para a convivência em grupo. Desde a colheita de alimentos até a ordenação dos ritos religiosos, sempre presentes no desenvolvimento da humanidade, a Matemática aparece como uma ferramenta. Ora auxilia na paz , ora no conflito , ora na guerra . Muitos exemplos a história nos mostra.

Ao refletir sobre a relação existente entre Educação Matemática e Educação para a paz, a autora destaca que o conhecimento matemático se amplia

[...] ao ser vinculado aos diversos processos de analisar e responder problemas (interdisciplinares, transdisciplinares) de diversas naturezas. Educar para a paz também é educar para resolver conflitos, a ser criativos, a ser persistentes nos seus objetivos, a respeitar a opinião dos outros e o processo de aprendizagem (matemático) desenvolve cada uma dessas competências (PORTANOVA, 2006, p. 442).

Falando de sua experiência como professora de Matemática na Educação Básica e orientadora de pesquisas no Ensino Superior, Portanova (2006) afirma que esse componente curricular pode contribuir muito para a elevação da autoestima dos estudantes. Segundo a autora:

Experiências de sala de aula nos mostram que uma criança, ou um adolescente, que tem a sua autoestima elevada é menos agressivo, convive melhor com outras crianças, com os colegas e com a família. Vive em paz consigo e com os que o cercam. A paz social começa com a paz que cada um tem dentro de si. Essa paz interior, que começa na infância e se reflete na adolescência, depende muito da valorização da criança pelas pessoas que com ela convivem

[...]

Algumas experiências realizadas com alunos, que apresentavam deficiência de aprendizagem, muito agressivos e de difícil relacionamento com colegas e professores, mostraram modificações em sua conduta quando incentivados e apoiados em sala de aula. Eles conseguiram melhorar seu desempenho em Matemática e passaram a ser aceitos pelo grupo tornando-se menos agressivos (PORTANOVA, 2006, p. 443, grifo nosso).

Assim, ao pensar nas possíveis formas de aliar o ensino de Matemática ao estabelecimento de uma cultura de paz dentro e fora da escola, os professores poderão refletir sobre como os conhecimentos matemáticos podem ser trabalhados em projetos dessa natureza, envolvendo os estudantes para que se sintam valorizados e, cada vez mais, participem ativamente das atividades propostas na escola.

Projetos que tenham como tema o respeito às diferenças poderão impactar diretamente a vida dos estudantes, que poderão trazer à tona discussões e reflexões acerca de bullying e saúde mental, por exemplo, um problema vivido diariamente em nossas escolas.

Avaliação

No sistema educacional brasileiro, no que diz respeito a sua abrangência, a avaliação acontece de modo interno e formativo – aplicado pela própria instituição escolar – e externo e em larga escala, como o Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb), que permite a realização de um diagnóstico da Educação Básica brasileira, e o Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa), que propicia um estudo comparativo internacional sobre o desempenho dos estudantes ao término da escolaridade básica obrigatória.

Ao abordarmos a avaliação da aprendizagem, é fundamental mencionarmos a LDB no 9.394/1996 (BRASIL, 2017), que regulamenta a educação brasileira.

Em seu artigo 24, inciso V, a LDB dispõe que a verificação do rendimento escolar deverá observar os seguintes critérios:

a) avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais;

b) possibilidade de aceleração de estudos para alunos com atraso escolar;

c) possibilidade de avanço nos cursos e nas séries mediante verificação do aprendizado;

d) aproveitamento de estudos concluídos com êxito;

e) obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo, para os casos de baixo rendimento escolar, a serem disciplinados pelas instituições de ensino em seus regimentos (BRASIL, 2017, p. 18).

Nesse artigo, a LDB, um dos marcos legais que embasam a BNCC, deixa implícitos os direitos do estudante quanto à forma de ser avaliado e o dever das instituições escolares quanto à forma de avaliar. Esse pressuposto deve orientar a prática avaliativa e a escolha das bases teóricas que regem a educação brasileira.

A BNCC evidencia a necessidade de: “Construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos” (BRASIL, 2018, p. 17).

A Resolução CNE/CEB no 7/2010 (BRASIL, 2010a, p. 39), outro marco legal que embasa a BNCC, apregoa, em seu artigo 32, que:

A avaliação dos alunos, a ser realizada pelos professores e pela escola como parte integrante da proposta curricular e da implementação do currículo, é redimensionadora da ação pedagógica e deve:

I. assumir um caráter processual, formativo e participativo, ser contínua, cumulativa e diagnóstica [...];

II. utilizar vários instrumentos e procedimentos, tais como a observação, o registro descritivo e reflexivo, os trabalhos individuais e coletivos, os portfólios, exercícios, provas, questionários, dentre outros [...];

III. fazer prevalecer os aspectos qualitativos da aprendizagem do aluno sobre os quantitativos, bem como os resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais [...];

IV. assegurar tempos e espaços diversos para que os alunos com menor rendimento tenham condições de ser devidamente atendidos ao longo do ano letivo; prover, obrigatoriamente, períodos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo [...];

V. assegurar tempos e espaços de reposição dos conteúdos curriculares, ao longo do ano letivo, aos alunos com frequência insuficiente, evitando, sempre que possível, a retenção por faltas;

VI. possibilitar a aceleração de estudos para os alunos com defasagem idade-série.

A avaliação contínua, também chamada formativa (ZABALA, 1998), pode ter diferentes funções, de acordo com o momento de sua realização.

Quando feita no início de uma etapa de trabalho, para levantar os conhecimentos prévios dos estudantes, exerce a função diagnóstica. As informações obtidas permitem ao professor planejar o trabalho e orientar na sua atuação. Também possibilitam ao estudante reconhecer o que já sabe e preparar-se para a construção de novos conhecimentos.

Quando ocorre durante um processo, com a intenção de acompanhar as aprendizagens em relação aos objetos de conhecimento e às habilidades, tem a função reguladora. As informações obtidas contribuem para que o professor faça ajustes no planejamento e para que o estudante acompanhe o processo de aprendizagem. Quando realizada ao final de uma etapa ou de um período de aprendizagem, exerce a função integradora e possibilita localizar o desenvolvimento do estudante em relação aos objetivos estabelecidos inicialmente e validar as estratégias adotadas. O estudante pode avaliar sua aprendizagem e perceber os pontos fortes e frágeis de seu desempenho.

Conhecimentos prévios (o que meu estudante sabe, sabe fazer e como ele é)

Intervenção adequada

Adaptação das atividades e novas intervenções

Aprendizagem adquirida

Conhecimento e avaliação de todo o percurso

É importante lembrar que cabe ao professor instruir e estimular a atitude crítica do estudante em relação à própria aprendizagem. Ao identificar suas dificuldades e reconhecer suas competências e potencialidades, ao fazer a autoavaliação, o estudante sente-se confiante e cada vez mais responsável pelo próprio desempenho.

Vale destacar também a importância de o professor registrar sistematicamente os procedimentos empregados na avaliação. Recursos como relatórios e fichas cumulativas, entre outros, podem ser incorporados à prática diária e são úteis para a composição de notas, conceitos ou pareceres sobre a aprendizagem dos estudantes.

Sugerimos ao professor que, com base no planejamento, destaque os objetos de conhecimento e as habilidades considerados prioritários para a continuidade dos estudos, enfatizando-os em suas práticas avaliativas e nos registros realizados.

Necessidade de uso de recursos sistemáticos no princípio, durante e no nal de qualquer unidade didática

Planejamento

Avaliação diagnóstica

Eventuais ajustes no planejamento

Avaliação de processo

Avaliação nal do ciclo

Instrumentos de avaliação

Recorrer a variados instrumentos avaliativos – como práticas orais e escritas, pesquisas, relatórios, autoavaliação, observação, portfólio, seminários e outros – e empregá-los de diferentes maneiras – por meio de atividades individuais, em duplas, em pequenos grupos e coletivas (toda a turma) –, é fundamental para a avaliação da aprendizagem, pois permite medir diferentes competências e habilidades.

Atividades individuais

• Práticas orais e escritas

• Pesquisa

• Relatórios

• Autoavaliação

• Observação

• Portfólio

• Seminários e outros

Atividades em duplas

Atividades em grupos

Atividades coletivas

Partindo da observação de cada atividade realizada, de cada questionamento ou intervenção, de cada reação de interesse ou desatenção, individual ou em grupo, o professor poderá avaliar quais são as dificuldades dos estudantes, em que área eles se destacam, quais são seus estilos de aprendizagem, entre outros aspectos.

Avaliação por rubrica

Avaliar pode consistir em uma das tarefas mais complexas do processo ensino-aprendizagem, principalmente porque exige do professor a tomada de decisões e o estabelecimento de critérios de correção nem sempre claros para ele. Que objetos de conhecimento e habilidades, de fato, devem ser avaliados? O que é fundamental que os estudantes saibam? Como avaliar de forma isenta, ou seja, o menos subjetiva possível? Como mensurar a aprendizagem dos estudantes? Como fazê-los entender a nota, o conceito ou o parecer que foi atribuído pelo professor? Essas e outras perguntas evidenciam a complexidade da avaliação da aprendizagem.

Algo que pode contribuir significativamente para essa tarefa são as rubricas, pois um dos principais objetivos desse instrumento é tornar os critérios de avaliação mais objetivos e explícitos, tanto para os educadores quanto para os estudantes.

Segundo Biagiotti (2005, p. 2):

Podemos definir rubricas, na educação, de diversas maneiras. Uma das definições que mais me agrada é a que escutei de Maria Alice Soares por ocasião da realização do workshop sobre rubricas. Segundo ela, rubricas são esquemas explícitos para classificar produtos ou comportamentos, em categorias que variam ao longo de um contínuo. Podem ser usadas para classificar qualquer produto ou comportamento, tais como redações, ensaios, trabalhos de pesquisa, apresentações orais e atividades. A avaliação pode ser feita pelos próprios estudantes, ou por outros, como professores, outros alunos, supervisores de trabalho ou revisores externos. Rubricas podem ser usadas para prover feedback formativo dos alunos, para dar notas ou avaliar programas.

De acordo com o autor, para que as rubricas se tornem, realmente, uma boa ferramenta para avaliar o desempenho dos estudantes nas tarefas, elas devem ter algumas características, dentre as quais destacamos:

• Facilidade: tornar fácil avaliar trabalhos complexos;

• Objetividade: avaliar de forma objetiva, acabando com aquela aura de subjetividade que comumente se imprime à avaliação;

• Granularidade: possuir a granularidade adequada, isto é, níveis adequados de minúcia;

• Transparência: tornar o processo de avaliação transparente, a ponto de permitir ao estudante controlar seu aprendizado.

Ao se elaborar uma rubrica, dois itens são primordiais: os critérios de avaliação e as graduações ou níveis de desempenho – por exemplo “Atende totalmente”, “Atende parcialmente” e “Não atende” (aos critérios estabelecidos) ou “Excelente”, “Bom”, “Regular” e “Insuficiente”.

Veja, a seguir, um exemplo de rubrica para avaliar a resolução de problemas matemáticos.

Resolução de problema Atende Atende parcialmente Não atende

Compreensão da situação-problema

Analisou e compreendeu completamente o problema.

Estratégia

Demonstrou claramente a estratégia utilizada e chegou ao resultado esperado.

Compreendeu parcialmente os dados do problema.

Demonstrou parcialmente a estratégia utilizada e não chegou ao resultado esperado.

Não compreendeu o problema.

Não evidenciou a estratégia utilizada e não chegou ao resultado esperado.

É importante destacar que a forma como o professor elabora os instrumentos de avaliação, independentemente de quais sejam eles, pode impactar diretamente o desempenho dos estudantes. Por essa razão, é fundamental atentar-se para alguns cuidados, como:

• escolher um instrumento que seja compatível com o conteúdo que se deseja avaliar;

• delimitar adequadamente o conteúdo a ser avaliado, identificando quais são as aprendizagens essenciais;

• formular, com clareza enunciados, consignas e alternativas empregados nos instrumentos;

• considerar, na elaboração do instrumento, o tempo necessário para o estudante realizar a atividade;

• valorar as questões atentando-se para o grau de elaboração das respostas.

Estratégias para correção de eventuais defasagens

Para corrigir eventuais defasagens, o professor deve observar a participação dos estudantes e refletir sobre possíveis estratégias que possam ser empregadas para favorecer a aprendizagem, como: orientar a organização do horário de estudo do estudante em casa; indicar leituras e vídeos relacionados aos objetos de conhecimento que necessitam ser aprendidos; orientar sobre a postura no momento dos estudos, para que os estudantes dediquem atenção ao que estão realizando.

O professor também pode orientar os estudantes quanto à elaboração de estratégias para verificação dos erros. Para alguns, por exemplo, pode ser eficiente revisitar os enunciados das atividades que não foram concluídas adequadamente ou observar se a dificuldade ocorreu no momento da execução, ou ainda, se o equívoco aconteceu no registro da resposta.

Ao corrigir as atividades, independentemente do resultado final, é de extrema importância que o professor observe o percurso realizado durante a execução da atividade, mesmo que o estudante não chegue ao resultado correto. Dessa forma, poderá considerar as estratégias por ele utilizadas para fazer interferências que o levem a refazer o percurso, buscando chegar ao resultado esperado.

Diferentes estratégias podem ser utilizadas para favorecer a aprendizagem, entre elas: manipulação de materiais concretos; registros no caderno; comparações entre fenômenos; experimentações; uso de simuladores ou de softwares de Geometria dinâmica; elaboração de glossário que possa ser consultado e revisitado sempre que necessário.

Conheça o livro

Organização da obra

Esta coleção é composta de quatro volumes destinados aos Anos Finais do Ensino Fundamental. Cada volume corresponde a um ano de escolaridade (6o, 7o, 8o e 9o anos), organizados em oito unidades. As unidades estão divididas em capítulos que tratam de conteúdos específicos.

Seções e boxes

Abertura de unidade

A abertura de unidade, em página dupla, apresenta imagem e um pequeno texto relacionado ao conteúdo que será trabalhado.

Traz questões que têm por finalidade instigar a curiosidade e propor um momento de troca de ideias. Apresenta, também, os principais objetivos de aprendizagem, o que dá ciência ao estudante do que será desenvolvido, promovendo a autonomia.

Inicia todos os capítulos e convida os estudantes a mobilizar e comunicar seus conhecimentos. Essa seção oportuniza ao professor observar as hipóteses dos estudantes sobre o conteúdo que será trabalhado em cada capítulo.

Propõe situações em que os estudantes devem mobilizar os conhecimentos de forma investigativa, fazendo inferências ou mesmo pequenas pesquisas sobre o conteúdo que está sendo apresentado.

Seção que vem entremeada aos tópicos trabalhados. Apresenta atividades diversificadas e permite o acompanhamento processual da aprendizagem dos estudantes. Traz, também, atividades desafiadoras e propicia o trabalho em duplas ou em pequenos grupos, favorecendo a troca de estratégias, ideias e discussões sobre o processo de resolução.

Apresenta Temas Contemporâneos Transversais, bem como a relação da Matemática com outras áreas do conhecimento. Promove o desenvolvimento de análises críticas, criativas e propositivas bem como o desenvolvimento do trabalho com atitudes e valores. Pode ser ampliada, de acordo com o interesse da turma pelo tema, dando origem a pequenos projetos bem como ao trabalho colaborativo com professores de outras áreas.

Promove o uso de tecnologias digitais.

Apresenta uma variedade de atividades lúdicas. Esse tipo de atividade, além de mobilizar o interesse dos estudantes, estimula-os a utilizar conhecimentos em contextos diferentes e desafiadores. É um ótimo momento para desenvolver o trabalho com atitudes e valores

Além dos conhecimentos matemáticos necessários nos processos de compra e venda, são abordados temas como consumo e consumismo.

Presente no fim de algumas seções Atividades, tem por finalidade trabalhar a habilidade de argumentação com foco no desenvolvimento do pensamento lógico matemático. Raciocínios e estratégias de resolução podem ser compartilhados para que os estudantes comecem a refletir sobre processos lógicos.

Blocos de atividades que retomam os conteúdos trabalhados nas unidades. São apresentadas atividades diversificadas bem como de avaliações oficiais. O professor pode, a seu critério, utilizá-las como ferramenta avaliativa, a fim de dar continuidade aos trabalhos das unidades seguintes.

Relaciona a história da Matemática ao conteúdo que está sendo estudado. É importante que esse trabalho seja ampliado para além do conhecimento de nomes e biografias de grandes matemáticos, a fim de que os estudantes conheçam, explorem e reconheçam que a Matemática é uma ciência em construção.

Apresenta fatos curiosos em que a Matemática está presente.

Indicação de livros, sites, vídeos etc.

Orientações específicas para as Unidades e capítulos

Esse manual oferece sugestões e informações para o professor distribuídas em colunas laterais e na parte inferior das páginas, com uma forma reduzida do Livro do Estudante representada ao centro. Esse manual apresenta as seções a seguir.

• Principais objetivos da unidade: destaca os principais objetivos de aprendizagem que serão trabalhados.

• Justificativa: relaciona os principais objetivos às habilidades que se pretende desenvolver nos estudantes.

• Pré-requisitos pedagógicos: destaca o que os estudantes já devem conhecer para dar continuidade e desenvolver as habilidades indicadas.

compreendam diferentes representações para localização de objetos no plano por meio de pares ordenados. Avaliação diagnóstica importante observar o que os estudantes dominam em relação aos pré-requisitos relacionados. Promova uma roda de conversa em seguida, elabore algumas atividades BNCC na unidade Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade. Competências gerais 2 5 Competências específicas EF06MA25 EF06MA26 EF06MA27 EF06MA28

Para aprofundar O artigo indicado seguir apresenta uma pesquisa partindo da etnomatemática como contextualização, utilizando tecnológica. O texto está disponível em: http://www.ebrapem2016. ufpr.br/wp-content/uploads/2016/04/gd16_gerson_alten burg.pdf (acesso em: 10 jun. 2022).

que lugares são esses ou viram outras imagens deles? Conseguem identificarguma forma ou elemento geométrico? Chame a atenção dos estudantes para os destaques em vermelho nas fotos, que indicam ângulos e retas. Antes de encaminhar as atividades propostas, discuta com os estudantes quais são as figuras geométricas os conceitos encontrados nas imagens que abrem a unidade e peça que falem suas percepções sobre uso da Geometria no cotidiano. Anote as respostas na lousa incentive participação de todos.

• BNCC na Unidade: destaca as principais competências gerais, específicas e habilidades que serão trabalhadas na unidade.

• Avaliação diagnóstica: evidencia a necessidade de verificar as aprendizagens já adquiridas.

• Foco na BNCC: apresenta as principais competências gerais, específicas e habilidades que serão trabalhadas em cada capítulo.

• Foco nos TCTs: indica os principais Temas Contemporâneos Transversais contemplados no capítulo.

• Orientações: busca auxiliar à prática pedagógica e traz comentários e/ou resolução de todas as atividades propostas.

• Para aprofundar: sugere textos para aprofundamento pedagógico, contribuindo para a formação continuada.

• Atividades complementares: sugere atividades que podem ampliar ou aprofundar o conteúdo trabalhado.

Sugestões de cronograma

Apresentamos as possibilidades de planejamento do curso ao longo de um ano, por meio dos cronogramas a seguir.

1o bimestre Unidades 1 e 2

2o bimestre Unidades 3 e 4

Planejamento bimestral

3o bimestre Unidades 5 e 6

4o bimestre Unidades 7 e 8

1o trimestre Unidades 1, 2 e 3

Planejamento trimestral

2o trimestre Unidades 4, 5 e 6

3o trimestre Unidades 7 e 8

1o semestre Unidades 1, 2, 3 e 4

Planejamento semestral

2o semestre Unidades 5, 6, 7 e 8

Competências gerais, específicas e habilidades da BNCC

Competências gerais da Educação Básica

1 Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

2 Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3 Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

4 Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5 Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

6 Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

8 Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Competências gerais da Educação Básica

9 Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

10 Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental

1 Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

2 Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3

Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

4 Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5 Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6 Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

7 Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8 Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades da BNCC para o 6o ano

EF06MA01 Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

EF06MA02

EF06MA03

Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

EF06MA04 Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

EF06MA05

Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

EF06MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

EF06MA07 Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

EF06MA08

Habilidades da BNCC para o 6o ano

Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.

EF06MA09 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

EF06MA10 Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

EF06MA11 Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

EF06MA12 Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

EF06MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

EF06MA14

Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

EF06MA15 Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

EF06MA16 Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1? quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

EF06MA17 Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

EF06MA18 Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

EF06MA19 Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

EF06MA20 Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

EF06MA21 Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

EF06MA22 Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

EF06MA23 Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

EF06MA24

Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

EF06MA25 Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

EF06MA26 Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

EF06MA27 Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

EF06MA28 Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

EF06MA29 Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

EF06MA30

Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Habilidades da BNCC para o 6o ano

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

Habilidades da BNCC para o 7o ano

EF07MA01

Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

EF07MA02 Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

EF07MA03 Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

EF07MA04 Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

EF07MA05 Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

EF07MA06 Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura, podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

EF07MA07 Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

EF07MA08 Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

EF07MA09 Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

EF07MA10 Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

EF07MA11 Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

EF07MA12 Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

EF07MA13 Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

EF07MA14 Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

EF07MA15 Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

EF07MA16 Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

EF07MA17 Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

EF07MA18 Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1? grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

EF07MA19 Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

EF07MA20 Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

EF07MA21

Habilidades da BNCC para o 7o ano

Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

EF07MA22 Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

EF07MA23 Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

EF07MA24 Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

EF07MA25 Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

EF07MA26 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

EF07MA27

Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

EF07MA28 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

EF07MA29 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

EF07MA30 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

EF07MA31 Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

EF07MA32 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

EF07MA33 Estabelecer o número como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

EF07MA34 Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

EF07MA35 Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

EF07MA36 Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

EF07MA37 Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

Habilidades da BNCC para o 8o ano

EF08MA01 Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

EF08MA02 Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

EF08MA03 Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

EF08MA04 Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

EF08MA05 Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

EF08MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

EF08MA07 Associar uma equação linear de 1? grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

EF08MA08

Habilidades da BNCC para o 8o ano

Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1? grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

EF08MA09 Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2? grau do tipo ax2 = b.

EF08MA10 Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

EF08MA11 Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

EF08MA12 Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.

EF08MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

EF08MA14 Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

EF08MA15 Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

EF08MA16 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

EF08MA17 Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas

EF08MA18 Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

EF08MA19

Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

EF08MA20 Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.

EF08MA21 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

EF08MA22 Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

EF08MA23 Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

EF08MA24 Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

EF08MA25

EF08MA26

EF08MA27

Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).

Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

Habilidades da BNCC para o 9o ano

EF09MA01

Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

EF09MA02

Habilidades da BNCC para o 9o ano

Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

EF09MA03 Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

EF09MA04 Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

EF09MA05

EF09MA06

Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

EF09MA07 Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

EF09MA08

EF09MA09

EF09MA10

Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2? grau.

Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

EF09MA11 Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

EF09MA12 Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

EF09MA13 Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

EF09MA14 Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

EF09MA15 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

EF09MA16 Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

EF09MA17 Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

EF09MA18

Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

EF09MA19 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

EF09MA20 Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

EF09MA21 Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

EF09MA22

EF09MA23

Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Quadro de conteúdos e relação com a BNCC

Nos quadros a seguir, estão apresentadas as principais competências, habilidades e os Temas Contemporâneos Transversais trabalhados nos capítulos, ao longo da coleção.

6o ano

Competências gerais

1

1 Sistema de numeração decimal

• Reconhecer as principais características do sistema de numeração decimal.

• Identificar semelhanças e diferenças com outros sistemas de numeração.

Competências específicas

1, 2 e 6

Habilidades

EF06MA02

EF06MA03

EF06MA04

Competências gerais

2 Números naturais

• Caracterizar o conjunto dos números naturais.

• Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais.

• Representar números naturais na reta numérica.

2, 5, 7 e 9

Competências específicas

2 5 e 6

Habilidades

EF06MA01

EF06MA04

EF06MA12

3 Adição e subtração

4 Multiplicação e divisão

• Efetuar adições e subtrações com números naturais por meio e estratégias diversas.

• Explorar a adição e a subtração como operações inversas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam adição e subtração.

• Efetuar multiplicações e divisões com números naturais por meio e estratégias diversas.

• Explorar as ideias da multiplicação e suas propriedades.

• Efetuar divisões e identificar seus termos.

• Resolver problemas que envolvem multiplicação e divisão.

5 Expressões numéricas

• Entender os conceitos envolvendo expressões numéricas.

• Resolver expressões numéricas com números naturais envolvendo as quatro operações.

Competências gerais

2 e 7

Competências específicas

2

Habilidades

EF06MA01

EF06MA03

Competências gerais

1, 2, 3, 6 e 10

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF06MA03

EF06MA06

EF06MA12

EF06MA15

Competências gerais

2, 4, e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF06MA03

EF06MA14

Educação em Direitos Humanos

Educação para o Consumo

• Reconhecer as características dos divisores e múltiplos de um número natural.

• Estabelecer critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

• Reconhecer as características de números primos e compostos no conjunto dos números naturais.

• Decompor números naturais em fatores primos.

• Resolver e elaborar problemas utilizando a partição de um todo em partes proporcionais.

• Efetuar potenciação com números naturais, conhecer seus termos e aplicar propriedades.

• Aproximar números para a potência de 10 mais próxima.

• Identificar e representar ponto, reta, plano e ângulo, usando a notação adequada.

• Reconhecer reta, semirreta e segmento de reta.

• Identificar retas paralelas, perpendiculares e concorrentes no plano.

• Determinar a medida de abertura de ângulo com a utilização de régua e transferidor.

• Classificar ângulos considerando suas medidas em graus.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos.

Competências gerais 1, 2, 5, 8 e 9

Competências específicas

1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF06MA03

EF06MA04

EF06MA05

EF06MA06

EF06MA15

Competências gerais 2 e 3

Competências específicas 2, e 3

Habilidades

EF06MA03

EF06MA11

EF06MA12

Competências gerais

1, 2, 3, 4 e 5

Competências específicas

1, 2, 3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF06MA22

EF06MA23

EF06MA25

EF06MA26

EF06MA27

Competências gerais

1, 2, 4 e 9

• Associar, no plano cartesiano, vértices de polígonos a pares ordenados.

• Interpretar plantas baixas e vistas aéreas.

Competências específicas

1, 3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF06MA16

EF06MA23

EF06MA28

1 Números racionais na forma fracionária

2 Porcentagem

• Ler, escrever e comparar números racionais na forma fracionária.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam frações de quantidade, tendo como resultado um número natural.

• Relacionar números fracionários a pontos na reta numérica.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição e subtração na representação fracionária.

• Resolver problemas envolvendo a multiplicação de um número natural por fração.

• Resolver problemas relacionados ao conceito de porcentagem sem o uso da regra de três.

Competências gerais

1, 2 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades

EF06MA07

EF06MA08

EF06MA09

EF06MA10

EF06MA23

Competências gerais

7, 8, 9 e 10

Competências específicas

2

Habilidades

EF06MA13

Competências gerais

Educação Alimentar e Nutricional

Educação Ambiental

1 Figuras geométricas planas

• Reconhecer, nomear e comparar polígonos no plano e nas faces dos poliedros.

• Identificar e classificar os triângulos em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

• Identificar e classificar os quadriláteros em relação aos lados e ângulos.

2 Figuras geométricas espaciais

• Quantificar e estabelecer relação entre o número de faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides.

• Resolver problemas que envolvam o número de arestas, faces e vértices de um sólido geométrico.

3 Construção de figuras semelhantes

• Identificar relações de proporcionalidade em figuras geométricas planas.

• Resolver problemas que envolvam ampliação e redução de figuras planas.

• Reconhecer, nomear, comparar e escrever números racionais na representação decimal.

• Transformar números racionais da representação fracionária para a representação decimal.

2, 3 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades

EF06MA18

EF06MA19

EF06MA20

EF06MA22

Competências gerais

1 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF06MA17

Competências gerais

2

Competências específicas

3

Habilidades

EF06MA21

Competências gerais

8 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF06MA01

• Relacionar números decimais a pontos da reta numérica.

• Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

Competências gerais

8 e 9

EF06MA08 2

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF06MA04

EF06MA06

EF06MA10

EF06MA11

Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Unidade 6

3

Probabilidade

• Identificar situações em que a probabilidade está presente.

• Calcular a probabilidade de eventos simples e registrá-la na forma fracionária e na forma decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo o cálculo de probabilidade.

Unidade 7 • Grandezas e medidas

1 Unidades de medida de comprimento e de área

2

Unidades de medida de volume, de capacidade e de massa

3 Unidades de medida de tempo e de temperatura

1

Leitura de variáveis, legendas, tabelas e gráficos

• Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de comprimento e de área.

• Identificar e utilizar unidades de medida de comprimento e de área.

• Compor e decompor figuras para determinação de área.

• Identificar unidades de medida de volume, capacidade e massa.

• Resolver problemas que envolvem medidas de volume, massa e capacidade.

• Identificar unidades de medida de tempo e de temperatura.

• Resolver problemas que envolvem medidas de tempo e de temperatura.

• Compreender o que são variáveis numéricas e categóricas.

• Utilizar legendas e símbolos de maneira adequada.

• Ler, analisar e interpretar gráficos e tabelas.

Competências gerais

8 e 9

Competências específicas

3

Habilidades EF06MA08 EF06MA30

Competências gerais

1, 3 e 9

Competências específicas

1 e 6

Habilidades EF06MA24 EF06MA29

Competências gerais

2

Competências específicas

2 Habilidades EF06MA24

Competências gerais

1, 7 e 8

Competências específicas 1, 3 e 7

Habilidades

EF06MA24

Competências gerais 7 e 8

Competências específicas 2, 4 e 6

Habilidades

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

2 Coleta, organização e registro de dados

• Coletar, organizar e registrar dados oriundos de diferentes fontes de informação.

• Utilizar fluxogramas para representar etapas de um processo.

• Construir gráficos e tabelas em planilhas eletrônicas.

Educação Ambiental

3

Probabilidade

• Compreender a probabilidade como a chance de um evento ocorrer.

• Calcular a probabilidade de um evento acontecer.

Competências gerais 2, 4 e 5

Competências específicas 3, 5 e 8

Habilidades

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais

8

Competências específicas

4

Habilidades

EF06MA13

EF06MA30

EF06MA33

Educação Alimentar e Nutricional

1 Múltiplos e divisores de um número natural

• Identificar múltiplos e divisores de números naturais.

• Resolver e elaborar problemas com múltiplos, divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum por meio de estratégias diversas.

• Reconhecer, comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos.

• Identificar o sucessor e o antecessor de um número inteiro.

2 Números inteiros

3 Adição e subtração com números inteiros

• Representar os números inteiros na reta numérica.

• Reconhecer os números simétricos ou opostos.

• Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro.

• Representar pontos no plano utilizando coordenadas cartesianas.

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da adição.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição e subtração em à

• Efetuar multiplicações com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da multiplicação.

4 Multiplicação, divisão e potenciação com números inteiros

• Efetuar divisões com números inteiros.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição, subtração, multiplicação e divisão em Z

• Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

• Calcular potências com base inteira e expoente natural.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da potenciação.

5 Radiciação

• Entender a radiciação como operação inversa da potenciação.

• Efetuar, quando possível, a radiciação com números inteiros.

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 7

Habilidades

EF07MA01

EF07MA06

EF07MA07

Competências gerais

1, 2 e 3

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

Competências gerais

1, 2 e 5

Competências específicas

1, 2 e 5

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA07

Capítulo Objetivos do capítulo BNCC TCT Unidade

Competências gerais

3, 4, e 5

Competências específicas

1, 2, 3 e 5

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA05

EF07MA06

EF07MA07

Competências gerais

7 e 9

Competências específicas

8

Ciência e Tecnologia

Educação Ambiental

Habilidades

EF07MA04

3 Experimentos aleatórios

• Compreender variável representada por letras ou símbolos, por meio da relação de dependência entre diferentes grandezas.

• Utilizar expressões algébricas para generalizar e representar situações matemáticas.

• Reconhecer a equivalência de expressões algébricas.

• Identificar a regularidade em uma sequência.

• Obter uma sequência numérica com base em seu termo geral.

• Identificar uma equação polinomial do 1? grau com uma incógnita.

• Entender a definição de incógnita como o termo desconhecido de uma equação

• Resolver equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita utilizando procedimentos construídos com base nas propriedades da igualdade.

• Reconhecer a raiz ou a solução de uma equação.

• Definir o conjunto universo.

• Reconhecer o conjunto-solução como um subconjunto do conjunto universo.

• Representar e resolver situações-problema por meio de equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita.

• Efetuar adição e subtração com números racionais utilizando o mmc.

• Introduzir o conceito de razão e destacar a escala como uma razão particular, explorando-a em diferentes situações-problema.

• Identificar grandezas obtidas por meio da razão entre duas grandezas.

• Compreender o conceito de proporção e suas propriedades.

• Resolver situações-problema que envolvem a ideia de números e grandezas direta ou inversamente proporcionais.

• Resolver problemas de contagem que envolvam árvores de possibilidades.

• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da probabilidade de determinado evento.

Competências gerais

1 e 8

Competências específicas

1, 2, 3, 4, 6 e 8

Habilidades

EF07MA13

EF07MA14

EF07MA15

EF07MA16

EF07MA17

Competências gerais

1, 4, 7 e 9

Competências específicas

1, 2 e 5

Habilidades

EF07MA18

Educação em Direitos Humanos

Competências gerais

2

Competências específicas

2

Habilidades EF07MA01

EF07MA09

EF07MA12

EF06MA18

Competências gerais

3 e 10

Competências específicas

1, 3 e 6

Habilidades

EF07MA08

EF06MA09

EF06MA17

Competências gerais

3, 6 e 10

Competências específicas

3 Habilidades

EF07MA34

Educação Ambiental

1 A circunferência

• Reconhecer a circunferência como lugar geométrico, em que o ponto fixo é o centro da circunferência, e identificar seus elementos.

• Construir circunferência usando compasso.

• Estabelecer o número p como a razão entre a medida da circunferência e seu diâmetro para resolver problemas.

• Identificar ângulos congruentes e ângulos adjacentes, ângulos opostos pelo vértice, sua congruência e aplicações.

2 Ângulos

• Identificar e construir a bissetriz de um ângulo dado.

• Definir e aplicar as relações existentes entre pares de ângulos complementares e ângulos suplementares.

• Identificar as relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Reconhecer polígonos de acordo com suas características.

3 Ângulos e polígonos

1 Cálculo de áreas de figuras planas

• Calcular a medida de ângulos internos de polígonos.

• Construir triângulo equilátero e quadrado utilizando régua e compasso.

• Descrever por escrito e por meio de fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular.

Competências gerais

6

Competências específicas

1, 3 e 6 Habilidades

EF07MA22

EF07MA33

Diversidade Cultural

2 Volume de blocos retangulares

• Calcular a área de figuras planas pela decomposição e composição de figuras, utilizando a equivalência entre áreas.

• Estabelecer expressões de cálculo da área de triângulos e quadriláteros.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo de área de triângulos e quadriláteros.

Competências gerais

5

Competências específicas

3 e 5

Habilidades

EF07MA23

Competências gerais

3, 5, 6 e 9

Competências específicas

1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF07MA24

EF07MA25

EFMA0726

EF07MA27

EF07MA28

Diversidade Cultural

• Resolver problemas que envolvem cálculo do volume do bloco retangular e do cubo.

Competências gerais

2

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF07MA31

EF07MA32

Competências gerais

2 e 8

Competências específicas

3 e 7

Habilidades

EF07MA29

EF07MA30

Educação Ambiental

1

Identificando o conjunto dos números racionais

• Números racionais

• Identificar e comparar números racionais.

• Representar números racionais na reta numérica.

6

Unidade

7 • Simetria e transformação geométrica de polígonos

Unidade

2

Operações com números racionais

• Efetuar operações com números racionais.

• Compreender e aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão na potenciação envolvendo números racionais.

• Calcular raízes de números racionais nas formas fracionária e decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo números racionais

Competências gerais

7 e 10

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF07MA10

1

Simetrias de translação, rotação e reflexão

• Identificar simetrias de reflexão, de translação e de rotação em figuras geométricas planas.

• Utilizar a malha quadriculada e instrumentos como régua e transferidor para obter transformações isométricas de figuras planas em relação aos eixos e à origem.

Competências gerais

5, 7 e 10

Competências específicas 5 e 8

Habilidades

EF07MA10

EF07MA11

EF07MA12

Educação Financeira

2

• Reconhecer, no plano cartesiano, o simétrico de uma figura em relação à origem e aos eixos.

• Compreender como a multiplicação das coordenadas do vértice de uma figura no plano cartesiano se relaciona com as transformações geométricas.

Competências gerais

3

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF07MA21

Competências gerais

9

Competências específicas

8

Habilidades

EF07MA19

EF07MA20

EF07MA21

1 Gráfico de setores

2 Planejamento e execução de pesquisa

3 Média aritmética

• Interpretar e analisar dados utilizando gráficos de setores.

• Compreender situações que podem ser representadas por meio de gráficos de setores.

• Identificar a relação entre a área de um setor e o valor numérico que ela representa.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar população de amostra.

• Planejar e fazer pesquisas estatísticas.

• Utilizar conhecimentos matemáticos e recursos tecnológicos para organizar e analisar dados obtidos em pesquisas.

Competências gerais 7

Competências específicas 2, 4, 6, 7 e 8

Habilidades

EF07MA02

EF07MA37

Competências gerais 5 e 6

Competências específicas 3, 4, 5, 6 e 7

Habilidades

EF07MA02

EF07MA35

EF07MA36

EF07MA37

Competências gerais

2

• Aplicar a ideia de média aritmética na resolução de problemas.

• Utilizar ferramentas tecnológicas para explorar a média de um conjunto de dados.

Competências específicas 2 e 7

Habilidades

EF07MA12

EF07MA35

EF07MA36

Educação Financeira

Educação para a valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

1 Cálculos com números reais

• Determinar a fração geratriz de dízimas periódicas.

• Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros.

• Compreender e utilizar a notação científica.

• Relacionar potências a raízes e entender a raiz como potência de expoente fracionário.

• Compreender e utilizar a porcentagem em situações de acréscimo ou decréscimo.

2 Porcentagem

• Resolver e elaborar problemas envolvendo cálculos de porcentagens.

• Utilizar calculadora para efetuar cálculos de porcentagem.

3 Contagem e possibilidades

• Compreender o princípio multiplicativo da contagem.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

• Identificar e diferenciar os tipos de gráfico.

• Identificar todos os elementos que um gráfico deve conter.

• Construir gráficos de setores com base no cálculo do ângulo de cada setor.

• Construir um gráfico com base nos dados apresentados em uma tabela.

• Organizar os dados de uma pesquisa em diferentes classes.

• Identificar a frequência de uma classe.

• Associar uma tabela de frequência a um gráfico.

Competências gerais

1 Competências específicas

1 e 2 Habilidades EF08MA01 EF08MA02 EF08MA05 EF08MA06

Competências gerais

1

Competências específicas

1 Habilidades

EF08MA04

Competências gerais

1 e 9 Competências específicas

2, 4 e 6 Habilidades

EF08MA03

EF08MA04

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 4 Habilidades

EF08MA04

EF08MA23

EF08MA27

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 4 Habilidades

EF08MA24

EF08MA27

Saúde

Vida Familiar e Social

Educação em Direitos Humanos

Direitos da Criança e do Adolescente

Saúde

1 Equação linear do 1? grau com duas incógnitas

• Reconhecer equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas inferindo possíveis soluções de pares ordenados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as propriedades das operações.

• Representar algébrica e graficamente equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Determinar graficamente a solução de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

2 Sistemas de equações polinomiais do 1? grau

• Discutir, com base na resolução gráfica de um sistema de equações polinomiais do 1? grau, se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

• Determinar soluções para sistemas de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas pelo método da substituição e da adição.

• Representar e resolver problemas por meio de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar, compreender e aplicar os casos de congruência entre triângulos na resolução de problemas.

• Identificar e explorar propriedades dos triângulos isósceles e equiláteros.

• Identificar e explorar propriedades de paralelogramos e trapézios.

• Compreender o significado de mediatriz de segmento e bissetriz de ângulo.

2 Construções geométricas

• Resolver problemas aplicando os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos.

• Traçar ângulos de 90‘, 60‘, 45‘ e 30‘

• Construir polígonos regulares utilizando instrumentos de desenho e softwares de Geometria dinâmica.

Competências gerais

1, 2, 3, 4 e 8

Competências específicas

1, 2, 3 e 6

Habilidades

EF08MA06

EF08MA07

Competências gerais

3, 4, 5 e 8

Competências específicas

3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF08MA07

EF08MA08

Educação Ambiental

Competências gerais

2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas

2

Habilidades

EF08MA14

EF08MA18

Competências gerais

2 e 5

Competências específicas

3 e 5

Habilidades

EF08MA15

EF08MA16

EF08MA17

1 Sequências

2 Proporcionalidade

• Identificar regularidades de sequências numéricas não recursivas e construir um algoritmo por meio de fluxogramas.

• Identificar a regularidade de sequências numéricas recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas.

• Identificar a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais).

• Expressar uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de uma sentença algébrica.

• Resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

• Compreender a definição de equações polinomiais do 2? grau.

1 Equação polinomial do 2? grau com uma incógnita

• Explorar estratégias de resolução de equações polinomiais do 2? grau.

• Resolver equações do 2? grau do tipo ax2 + c = 0.

• Resolver e elaborar problemas que podem ser representados por equações polinomiais do 2? grau do tipo ax2 + c = = 0.

• Aplicar o princípio multiplicativo da contagem no cálculo de probabilidades.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

2

Possibilidades e probabilidade

• Explorar a ideia de espaço amostral.

• Relacionar a probabilidade à razão entre o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis.

• Reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Competências gerais

3 Competências específicas

1 e 3 Habilidades EF08MA10 EF08MA11

Competências gerais

1, 8 e 10 Competências específicas 2, 3 e 7 Habilidades EF08MA12 EF08MA13

Educação para o Trânsito Saúde

Competências gerais

1 e 4

Competências específicas

1

Habilidade EF08MA09

Competências gerais

1, 3, 7 e 9

Competências específicas

1, 4, 6, 7 e 8

Habilidades

EF08MA03 EF08MA22

1 Simetrias: reflexão, rotação e translação

• Reconhecer transformações geométricas de isometria.

• Construir figuras obtidas por meio de composições que envolvem simetrias de rotação, translação ou reflexão.

• Utilizar instrumentos de desenho geométrico e softwares de Geometria dinâmica para construir figuras por composições de transformações geométricas.

• Determinar e utilizar expressões para o cálculo de área de quadriláteros, triângulo e círculo.

• Resolver e elaborar problemas que envolvem medidas de área de figuras planas.

2 Área, volume e capacidade

• Reconhecer a relação entre volume e capacidade.

• Reconhecer a relação entre litro e decímetro cúbico.

• Determinar o volume de blocos retangulares.

• Elaborar e resolver problemas que envolvem volume e capacidade.

• Compreender e calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam as medidas de tendência central.

• Utilizar tabelas de frequência para organizar um conjunto de dados.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar os tipos de amostragem.

• Entender os procedimentos de execução de uma pesquisa estatística.

• Planejar e fazer uma pesquisa amostral.

• Organizar um conjunto de dados.

Competências gerais

1, 2, 3 e 5

Competências específicas

1 e 3

Habilidades

EF08MA18

Competências gerais

2, 9 e 10

Competências específicas

2, 4 e 7

Habilidades

EF08MA19

EF08MA20

EF08MA21

Educação em Direitos Humanos

Competências gerais

10

Competências específicas 7 e 8

Habilidade

EF08MA25

Competências gerais 4, 5 e 7

Competências específicas 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF08MA26

EF08MA27

Educação Ambiental

Capítulo Objetivos do capítulo BNCC

• Reconhecer números irracionais como números reais.

• Localizar e representar números reais na reta numérica.

• Reconhecer que existem segmentos de reta cujo comprimento é expresso por um número racional.

Competências gerais

1

Competências específicas

2 e 3

Habilidades

EF09MA01

EF09MA02 EF09MA04

Competências gerais

1 e 3

2 Potências e raízes

• Resolver problemas envolvendo potenciação e radiciação.

• Resolver e elaborar problemas com números reais e em notação científica.

Competências específicas

1, 4, 6 e 8

Habilidades

EF09MA03

EF09MA04 EF09MA18

Competências gerais

1, 2 e 5

3 Unidades de medida na informática

• Entender conceitos da linguagem binária de um computador

Competências específicas

2 • Vistas ortogonais e volume de prismas e cilindros

1 Vistas ortogonais de figuras geométricas espaciais

• Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

• Conhecer e utilizar a nomenclatura das diferentes vistas de uma figura geométrica espacial em relação ao observador.

• Utilizar o conhecimento de vistas ortogonais para desenhar objetos em perspectiva.

2 Volume de prismas e cilindros

• Resolver problemas que envolvam o cálculo do volume de prismas e de cilindros retos.

• Compreender a relação entre os volumes de sólidos geométricos equivalentes.

• Representar sólidos geométricos e vistas usando software de Geometria dinâmica.

1 Produtos notáveis

• Diferenciar os produtos notáveis e utilizá-los para simplificar expressões algébricas.

Competências gerais

2 e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades EM09MA17

Competências gerais

1

Competências específicas

1, 3 e 5

2 Habilidades EM09MA04 EM09MA18 Unidade

Habilidades EM09MA17 EF09MA19

Competências gerais

1, 3 e 4

Competências específicas 6 e 8

Habilidades EF09MA09

Competências gerais

2 e 4

2 Fatoração

• Compreender os processos de fatoração e sua relação com produtos notáveis e expressões algébricas.

Competências específicas

2

Habilidades EF09MA09

Competências gerais

3

Equações polinomiais do 2? grau

• Resolver equações polinomiais do 2? grau por diferentes métodos.

• Resolver sistemas de equações polinomiais do 2? grau.

2

Competências específicas

1 e 2

Habilidades EF09MA09

Ciência e Tecnologia

1 Retas e ângulos

Unidade

2 Semelhança de figuras

3 Construção de polígonos regulares

1 Leitura, interpretação e construção de gráficos

2 Planejamento e execução de pesquisa amostral

• Entender a relação entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Resolver problemas estabelecendo relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência.

• Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

• Resolver problemas que envolvam semelhança de polígonos e casos de semelhança de triângulos.

• Construir polígonos regulares usando régua, compasso e esquadro.

• Descrever um algoritmo para a construção de polígonos regulares usando fluxogramas.

• Ler, interpretar e construir gráficos com ou sem uso de planilhas eletrônicas para representar um conjunto de dados.

• Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, elementos que podem induzir em erro de leitura e interpretação.

• Planejar e executar pesquisa amostral e comunicar os resultados por meio de relatório.

Competências gerais

1 e 5

Competências específicas

1, 3 e 5

Habilidades

EF09MA10

EF09MA11

Competências gerais

1, 3, 4 e 5

Competências específicas

2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF09MA12

Competências gerais

5

Competências específicas

5

Habilidades

EF09MA15

Competências gerais

2, 4 e 7

Competências específicas

2, 4, 6 e 8

Habilidades

EF09MA21

EF09MA22

Competências gerais

5

Competências específicas

6, 7 e 8

Habilidades

EF09MA22

EF09MA23

1 Proporcionalidade em Geometria

• Reconhecer e aplicar as relações de proporcionalidade de segmentos de reta em feixes de retas paralelas cortadas por transversais.

• Compreender e aplicar o teorema de Tales.

Diversidade

Cultural

Ciência e Tecnologia

2 Triângulo retângulo

• Demonstrar e aplicar as relações métricas do triângulo retângulo.

Competências gerais

1

Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

3 Distância entre pontos no plano cartesiano

• Calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano.

• Determinar o ponto médio de um segmento de reta.

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF09MA14

Competências gerais

1

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF09MA13

EF09MA14

Competências gerais

5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF09MA16

1

Função afim

• Entender o conceito de função

• Identificar uma função polinomial do 1? grau.

• Identificar e representar graficamente uma função afim.

• Identificar uma função polinomial do 2? grau.

• Interpretar e representar gráficos de funções polinomiais do 2? grau.

2

Função quadrática

• Identificar o domínio, contradomínio e o conjunto imagem de uma função.

• Calcular o(s) zero(s) de uma função.

• Identificar a concavidade de uma parábola.

• Calcular o valor máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2? grau.

• Reconhecer eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

1

Probabilidade

• Calcular a probabilidade da ocorrência de eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

• Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes.

Competências gerais

2 e 8

Competências específicas

3 4 e 6

Habilidades EF09MA06

Competências gerais

4

Competências específicas

1

Habilidades EF09MA06

Competências gerais

2, 4 e 7

Competências específicas

2 e 8

Habilidades EF09MA20

Competências gerais

2

Competências específicas

• Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagem.

• Compreender a aplicação de percentuais sucessivos e determinação de taxas percentuais.

8 e 10

Habilidades EF09MA07

EF09MA08

Competências gerais

2, 3 e 4

Competências específicas

Educação para o Trânsito 3 Porcentagem

2, 3, 6, 8 e 9

Habilidades EF09MA05

Educação Financeira

Referências

AGUIAR, W. M. J. et al. Reflexões sobre sentido e significado. In: BOCK, A. M. B.; GONÇALVES, M. G. M. (org.). A dimensão subjetiva da realidade: uma leitura sócio-histórica. São Paulo: Cortez, 2009.

O livro aborda a “realidade” considerando o sujeito que a constitui e que, ao mesmo tempo, é constituído por ela. No capítulo “Reflexões sobre sentido e significado”, os autores tratam de duas importantes categorias de análise da perspectiva sócio-histórica: “sentido” e “significado”.

ALARCÃO, I. Professores reflexivos em uma escola reflexiva. 8. ed. São Paulo: Cortez, 2011. (Coleção Questões da nossa época, v. 8).

O livro discute importantes temáticas para a escola da atualidade, entre elas: o papel dessa instituição frente à sociedade da informação, do conhecimento e da aprendizagem; a formação do professor crítico-reflexivo; a dimensão coletiva do trabalho docente e a gestão para uma escola reflexiva.

A LÓGICA da tecnologia: o que é pensamento computacional? In: CAPES. eduCapes. Brasília, DF, [202-]. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/ bitstream/capes/597639/2/INFOGR%C3%81FICO%20 -%20O%20QUE%20%C3%89%20PENSAMENTO% 20COMPUTACIONAL.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Infográfico que apresenta a definição de “pensamento computacional” e as quatro etapas para a organização dessa estratégia: decomposição, reconhecimento de padrões, abstração e algoritmos.

BIAGIOTTI, L. C. M. Conhecendo e aplicando rubricas em avaliações. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA, 12., 2005, Florianópolis. Anais [...]. Florianópolis: ABED, 3 abr. 2005. Disponível em: http://www.abed.org.br/congresso2005/por/ pdf/007tcf5.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Artigo que apresenta a rubrica como um potente instrumento de avaliação. Discute as características e as aplicações desse instrumento bem como os procedimentos para sua elaboração e as vantagens e desvantagens de sua utilização.

BIBIANO, B.; SANTOMAURO, B.; MARTINS, A. R. Como agrupo meus alunos? Nova Escola, [São Paulo], 1 mar. 2009. Disponível em: https://novaescola.org.br/ conteudo/1475/como-agrupo-meus-alunos. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute diferentes critérios para agrupamento dos estudantes na sala de aula, tendo como ponto de partida o diagnóstico do que cada um sabe sobre o tema em estudo.

BONALS, J. O trabalho em pequenos grupos em sala de aula. Tradução: Neusa Kern Hickel. Porto Alegre: Artmed, 2003.

O livro aborda o trabalho em pequenos grupos na sala de aula, oferecendo ao professor alguns elementos para realizá-lo de maneira satisfatória.

BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2016]. Disponível em: https://www2.senado.leg.br/bdsf/bitstream/handle/ id/518231/CF88_Livro_EC91_2016.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei máxima do país que trata da elaboração de todas as outras leis e do conteúdo mínimo que devem ter.

BRASIL. Lei no 13.005, de 25 de junho de 2014 Aprova o Plano Nacional de Educação – PNE e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, 2014. Disponível em: http://www.planalto. gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2014/lei/l13005.htm. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei que aprova o Plano Nacional de Educação (PNE), o qual determina diretrizes, metas e estratégias para a política educacional brasileira no período de 2014 a 2024.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Documento de caráter normativo, aplicado exclusivamente à educação escolar, que define o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica, de modo a terem garantidos seus direitos de aprendizagem e seu desenvolvimento, conforme estabelecido no Plano Nacional de Educação (PNE).

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica Brasília, DF: MEC, 2013. Publicação que reúne as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Básica, que buscam prover os sistemas educativos, nas esferas municipal, estadual e federal, de instrumentos para que todos os estudantes possam se desenvolver plenamente, em consonância com a idade e o nível de aprendizagem. São essas diretrizes que estabelecem a Base Nacional Comum Curricular (BNCC).

BRASIL. Ministério da Educação. Metodologia de pesquisa na escola. Brasília, DF: MEC, [2018?a]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/192-metodologia-de-pesquisa-naescola. Acesso em: 24 maio 2022.

Disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), esse artigo discorre sobre alguns dos múltiplos aspectos envolvidos no planejamento de ações pedagógicas que utilizam metodologia de pesquisa na Educação Básica.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências. Brasília, DF: MEC, [2018?b]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas -colaborativas-e-a-formacao-de-competencias-2.

Acesso em: 24 maio 2022.

O artigo, disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), discorre sobre o uso de metodologias ativas colaborativas, como jogos de tabuleiro e/ou games, e sua importância para o desenvolvimento de competências e aprendizagens significativas dos estudantes.

BRASIL. Ministério da Educação. Parecer CNE/CEB no 11, de 7 de julho de 2010 – Diretrizes Curriculares

Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília, DF: MEC, 2010a. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman &view=download&alias=6324-pceb011-10&cate gory_slug=agosto-2010-pdf&Itemid=30192.

Acesso em: 24 maio 2022.

Parecer do sociólogo, educador e pesquisador Cesar Callegari sobre as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos.

BRASIL. Ministério da Educação. Resolução no 7, de 14 de dezembro [de] 2010. Fixa Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília, DF: MEC, 2010b. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/dmdocuments/rceb007_10.pdf.

Acesso em: 24 maio 2022.

Resolução da Câmara de Educação Básica do Conselho Nacional de Educação que fixa as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos.

BRASIL. Ministério da Educação.Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação no contexto escolar: possibilidades. Brasília, DF: MEC, [2018?c].

Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/193-tecnologias-digitais-dainformacao-e-comunicacao-no-contexto-escolarpossibilidades. Acesso em: 24 maio 2022.

Disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), o artigo aborda a incorporação das Tecnologias Digitais da informação e Comunicação (TDICs) às práticas docentes como meio de promover aprendizagens significativas aos estudantes. Também apresenta possibilidades de aplicação das TDICs nas aulas, com exemplos de práticas pedagógicas.

BRASIL. Senado Federal. LDB. Lei de diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Senado Federal: Coordenação de Edições Técnicas, 2017. Disponível em: https://www2.senado.leg.br/bdsf/ bitstream/handle/id/529732/lei_de_diretrizes_e_ bases_1ed.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei que estabelece as diretrizes e as bases da educação nacional, as quais definem e regularizam o sistema educacional brasileiro com base nos princípios presentes na Constituição Federal.

DINIZ, Y. Entenda o que são e como trabalhar as metodologias ativas. In: IMAGINIE. Educação. [S. l.], 19 maio 2021. Disponível em: https://educacao.imaginie. com.br/metodologias-ativas/. Acesso em: 24 maio 2022. Texto que explica o que são “metodologias ativas” e apresenta alguns exemplos de sua aplicação na sala de aula.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 25. ed. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

O livro enfoca a questão da formação docente e a reflexão sobre a prática educativo-progressiva em favor da autonomia dos estudantes. Em três capítulos, apresenta e discute os inúmeros saberes necessários à prática educativa.

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. (Coleção Temas básicos de educação e ensino).

O livro aborda temas relacionados à pesquisa em educação, na perspectiva das abordagens qualitativas. Discorre sobre a evolução da pesquisa educacional e apresenta algumas abordagens qualitativas de pesquisa (pesquisa etnográfica e estudo de caso), bem como alguns métodos de coleta de dados (observação, entrevista e análise documental). Traz, ainda, importantes questões relacionadas à análise de dados.

MARTINS, C. H. dos S.; CARRANO, P. C. R. A escola diante das culturas juvenis: reconhecer para dialogar. Educação, Santa Maria, v. 36, n. 1, p. 43-56, jan./abr. 2011. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/ reveducacao/article/view/2910/1664. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute os processos sociais e culturais que produzem as chamadas “culturas juvenis”, enfatizando a necessidade de a escola reconhecer esses processos.

MORAN, J. Metodologias ativas e modelos híbridos na educação. In: YAEGASHI, S. et al. (org.). Novas tecnologias digitais: reflexões sobre mediação, aprendizagem e desenvolvimento. Curitiba: CRV, 2017.

O livro discute as contribuições das tecnologias digitais para a educação, com ênfase na formação de professores e nos processos de ensino-aprendizagem. No capítulo

“Metodologias ativas e modelos híbridos na educação”, o autor discorre sobre como os modelos híbridos e as metodologias ativas contribuem para envolver os estudantes no processo de ensino-aprendizagem, tornando-o mais interessante e significativo.

NAÇÕES UNIDAS. Declaração e Programa de Ação sobre uma Cultura de Paz. In: COMITÊ PAULISTA

PARA A DÉCADA DA CULTURA DE PAZ. [S. l.], 1999. Disponível em: http://www.comitepaz.org.br/dec_prog

_1.htm. Acesso em: 24 maio 2022.

Publicação que apresenta as resoluções aprovadas pelas Nações Unidas, em assembleia geral realizada no dia 6 de outubro de 1999, para que se promova e se fortaleça uma cultura de paz em todo o mundo.

NOGUEIRA, N. R. Interdisciplinaridade aplicada. São Paulo: Érica, 1998.

O livro aborda detalhadamente a temática da interdisciplinaridade e apresenta várias alternativas para os professores aplicarem-na em seu cotidiano escolar, com exemplos de projetos interdisciplinares voltados para o Ensino Fundamental.

PORTANOVA, R. A educação matemática e a educação para a paz. Educação, Porto Alegre, v. XXIX, n. 2, p. 435-444, maio/ago. 2006. Disponível em: https://www.redalyc.org/pdf/848/84805910.pdf.

Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que aborda as contribuições da Educação Matemática para a construção de um mundo de paz, destacando outros valores além do conteúdo matemático.

PRADO, A. R. do. Cultura juvenil. Encontros Teológicos, Florianópolis, ano 27, n. 3, p. 67-80, 2012. Disponível em: https://facasc.emnuvens.com.br/ret/ article/viewFile/177/168. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute as características mais significativas da cultura juvenil urbana.

RIGOLON, Walkiria. Aprender não é um dom natural. [Entrevista cedida a] Redação. Revista Educação, [São Paulo], 19 maio 2017. Disponível em: https:// revistaeducacao.com.br/2017/05/19/aprender -nao-e-um-dom-natural/. Acesso em: 24 maio 2022. Entrevista com a professora e pesquisadora Walkiria Rigolon sobre a naturalização de alguns saberes e a responsabilidade da escola e da universidade no ensino de procedimentos e técnicas de estudo.

SANTOS, V. O que são metodologias ativas e como elas favorecem o protagonismo dos alunos, Nova Escola, [São Paulo], 8 set. 2021. Disponível em: https://novaescola.org.br/conteudo/20630/especial -metodologias-ativas-o-que-sao-as-metodologias -ativas-e-como-funcionam-na-pratica. Acesso em: 24 maio 2022.

Texto que aborda as metodologias ativas como estratégias que colocam os estudantes no centro do processo de ensino-aprendizagem, oferecendo algumas reflexões para se reavaliar o papel do estudante e do professor nesse processo. Também apresenta alguns exemplos de aplicação de metodologias ativas na sala de aula.

ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar.

Tradução: Ernani F. F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

O livro aborda a prática educativa, sob diversos enfoques, como: as variáveis que configuram a prática educativa; a função social do ensino; a aprendizagem dos conteúdos segundo sua tipologia (conteúdos factuais, conceituais, procedimentais e atitudinais); as sequências didáticas e as sequências de conteúdo; as relações interativas em sala de aula; a organização da classe, com enfoque na forma de agrupamento dos estudantes; a organização dos conteúdos; o processo avaliativo e outros.

José Roberto Bonjorno

• Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Regina Azenha Bonjorno

• Bacharel e licenciada em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Professora do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Ayrton Olivares

• Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Marcinho Mercês Brito

• Doutor em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (UFLA-MG)

• Mestre em Ciências Agrárias pela Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB-BA)

• Pós-graduado em Formação para o Magistério – Área de Concentração: Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Matemática e Física pelas Faculdades Integradas de Amparo (FIA-SP)

• Engenheiro Agrônomo pela Universidade Federal da Bahia (UFBA)

• Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Educacionais (FACE-BA)

• Professor do Ensino Médio e do Ensino Superior

ENSINO

FUNDAMENTAL

ANOS FINAIS

COMPONENTE CURRICULAR

MATEMÁTICA

1a edição São Paulo, 2022

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Amplitude : matemática, 7 : ensino fundamental : anos finais / José Roberto Bonjorno...[et al.]. -- 1. ed. -- São Paulo : Editora do Brasil, 2022. -- (Amplitude matemática)

Outros autores: Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares, Marcinho Mercês Brito

ISBN 978-85-10-08459-8 (aluno)

ISBN 978-85-10-08460-4 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Bonjorno, José Roberto. II. Bonjorno, Regina Azenha. III. Olivares, Ayrton. IV. Brito, Marcinho Mercês. V. Série.

22-110630

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

© Editora do Brasil S.A., 2022

Todos os direitos reservados

Direção-geral: Vicente Tortamano Avanso

Direção editorial: Felipe Ramos Poletti

Gerência editorial de conteúdo didático: Erika Caldin

Gerência editorial de produção e design: Ulisses Pires

Supervisão de artes: Andrea Melo

Supervisão de editoração: Abdonildo José de Lima Santos

Supervisão de revisão: Elaine Cristina da Silva

Supervisão de iconografia: Léo Burgos

Supervisão de digital: Priscila Hernandez

Supervisão de controle de processos editoriais: Roseli Said

Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão editorial: Everton José Luciano

Edição: Katia Queiroz, Daniel Leme, Lourdes Ferreira e Marcos Silva

Assistência editorial: Douglas F. Giaquinto, Juliana Bomjardim e Wagner Razvickas

Revisão: Amanda Cabral, Andréia Andrade, Fernanda Sanchez, Gabriel Ornelas, Giovana Sanches, Jonathan Busato, Júlia Castello, Luiza Luchini, Maisa Akazawa, Mariana Paixão, Martin Gonçalves, Rita Costa, Rosani Andreani, Sandra Fernandes e Veridiana Cunha

Pesquisa iconográfica: Ana Brait

Design gráfico: APIS design

Capa: Estúdio Siamo

Imagem de capa: Brankospejs/iStockphoto.com e Say-Cheese/ iStockphoto.com

Edição de arte: Daniel Souza, Marcela Tenguan e Mario Junior Ilustrações: Adriano Gimenez, Alessandro Passos da Costa, Alex Cói, André Martins, DAE, Danillo Souza, Edson Farias, Ilustra Cartoon, Luca Navarro, Luiz Lentini, Marcel Borges, Marcos Guilherme, Murilo Moretti, Reinaldo Vignati, Sonia Vaz, Tarcísio Garbellini, Thiago Lucas, Vanessa Volk e Wanderson Souza

Produção cartográfica: Sônia Vaz

Editoração eletrônica: Fórmula Produções Editoriais

Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Jennifer Xavier, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini

Controle de processos editoriais: Bruna Alves, Julia Nascimento, Rita Poliane, Terezinha de Fátima Oliveira e Valeria Alves

1a edição, 2022

Rua Conselheiro Nébias, 887

São Paulo/SP – CEP 01203-001

Fone: +55 11 3226-0211

www.editoradobrasil.com.br

Apresentação

Cara estudante, caro estudante,

Vivemos hoje em uma sociedade dinâmica, complexa e tecnológica. Nesse universo, mesmo sem perceber, estamos todos conectados a números, algoritmos, operações, medidas etc. Ao falar sua data de nascimento, você usa os números; para pagar uma compra, você também os utiliza; as páginas da internet e das redes sociais que você acessa funcionam por meio de algoritmos, e assim por diante. Com esta coleção, queremos aproximar ainda mais a Matemática de sua realidade, de modo que você possa raciocinar matematicamente, pensar de maneira lógica, comparar grandezas, analisar evidências e argumentar com base em números. Assim, você poderá programar um futuro melhor, no qual símbolos que representam matematicamente a desigualdade e a diferença poderão ser socialmente substituídos pelos sinais de igualdade e semelhança. Para construir esse futuro, precisamos aprender a pensá-lo matematicamente melhor!

Bons estudos!

Os autores

Cálculo da área do retângulo e do quadrado Observe o retângulo e o quadrado na malha quadriculada.

Vimos que, se cada mede 1 cm podemos determinar a área dessas figuras contando quantos (centímetros quadrados) estão contidos no interior delas. Outra opção multiplicar suas dimensões.

Abertura de unidade

Em cada uma das oito aberturas, você encontrará imagens, textos e questões relacionados ao tema estudado na unidade.

Abertura de capítulo Os conteúdos são apresentados de forma objetiva e organizada.

Identificando o conjunto dos números racionais

Para começar

Torre de Hanói Esse jogo é composto de uma base de madeira onde estão verticalmente fixados três pinos. Há, também, discos circulares de diâmetros diferentes.

Torre de Hanói.

Vocês vão precisar de: papel e lápis para anotações; um jogo para cada dois participantes. Vocês podem construir esse jogo usando materiais recicláveis. Sejam criativos! Como jogar 1. Inicialmente, torre de discos deve estar em um só pino e os discos devem estar dispostos como na imagem. Deve-se transferir toda torre para um dos outros pinos de modo que: em cada movimento só pode ser deslocado um disco; um disco maior nunca pode ser colocado sobre um disco menor.

3. Decidam quem será o primeiro da dupla a fazer o primeiro movimento.

Cada participante fará um movimento por vez. 5. Os participantes devem anotar a quantidade de movimentos.

6. Ganhará jogo a dupla que conseguir transferir a torre para outro pino com a menor quantidade de movimentos.

Dmitry Elagin/Shutterstock.com

Acompanhe a resolução da situação seguir. Uma parede retangular de 3 m de altura 6 m de comprimento, localizada na entrada de um hotel, será revestida de azulejos quadrados de 20 cm de lado. Desprezando a necessidade de deixar espaço entre os azulejos e supondo que não haverá perdas provenientes do corte deles, vamos determinar a quantidade necessária de azulejos para revestir a parede. Sabendo que 20

Muitos pedreiros utilizam o seguinte método para calcular a quantidade de piso necessária para pavimentar uma superfície plana: Calcula-se a área da superfície a ser pavimentada e, a esse valor, acrescenta-se 20%, referente a um possível desperdício de material. Use essa situação para elaborar um problema que possa ser resolvido pelo cálculo de áreas. Depois, peça para um colega resolver enquanto você resolve o que ele elaborou. Ao final, corrijam juntos as respostas e conversem sobre as estratégias utilizadas.

4 Um campo de futebol tem 108 metros de comprimento e a medida de sua largura 65 metros.

a) Quantos metros quadrados de grama são necessários para revestir esse campo?

b) Sabendo que o metro quadrado da grama custa R$ 1,50, qual será o valor gasto para revestir o campo?

ajt/Shutterstock.com

Torre de Hanói.

Apresenta perguntas disparadoras e testagem de conhecimentos prévios sempre no começo de cada capítulo.

Trabalhando juntos Para transferir uma torre formada por 1 disco para outro pino, é necessário apenas 1 movimento. Para transferir uma torre formada por 2 discos para outro pino, são necessários, no mínimo, 3 movimentos. Veja:

movimento movimento

224

É hora do jogo

Em duplas, determinem a quantidade mínima de movimentos se torre tiver:

Prepare-se para encarar jogos matemáticos desafiadores nesta seção.

• 3 discos; 4 discos; 5 discos. Agora, sigam as orientações do professor e, juntos, apresentem as conclusões sobre a atividade para turma.

Atividades

Esta seção irá ajudá-lo a concretizar os conteúdos estudados.

A água no Planeta/O mau uso da água Aproximadamente 70% da superfície terrestre é ocupada por água, que equivale 7 10 do planeta. Em outras palavras, se dividirmos o nosso planeta em 10 partes exatamente iguais, 7 delas seriam cobertas por água, 3 partes, não. Por isso, muita gente acredita que a água é um recurso inesgotável, que podemos utilizar à vontade. Essa falsa impressão se dá pelo fato de vermos água em quase todos os lugares, seja na chuva, nos rios, nos lagos, nas represas, nos mares ou nos oceanos. Afinal, ela cobre maior parte do nosso planeta. De toda água do planeta, apenas 2,5% é o que chamamos de água doce, que pode ser tratada e destinada ao consumo humano, ou seja, 97,5% da água do nosso planeta não pode ser consumida. Além disso, essa pequena proporção não está distribuída de forma homogênea entre a população humana ao redor do mundo. A ONU (Organização das Nações Unidas) estima que um sétimo das pessoas do planeta não têm acesso um abastecimento de água suficiente para suprir suas necessidades diárias. Com o aumento da população mundial dos avanços industriais e tecnológicos, a demanda por água vai aumentar e, caso não haja um consumo consciente, além de se tornar um recurso escasso, acabará gerando conflitos por seu acesso. Fonte: CEDRAL. Prefeitura de Cedral. água [...]. EducaçãoDigital Cedral, 24 mar. 2021. Disponível em: https://cedral.sp.gov.br/educacaodigital/ensino-fundamental-i/5-ano/ciencias-da-natureza/ Segundo texto acima, apenas 2,5% da água do planeta pode ser destinada ao consumo humano. O que isso significa? Troque ideia com os colegas.

Studio/Shutterstock.com No texto acima, possível identificar os números racionais 70%, 97,5%, 2,5%, 7 10 e, também, a expressão “um sétimo”. Como vimos em anos anteriores, os números racionais estão muito presentes no nosso dia a dia.

O que é um número racional Um número é racional quando pode ser escrito na forma merador o denominador são números inteiros e o denominador Exemplos: -10 é um número racional, pois ele pode ser escrito 1,2 é um número racional, pois ele pode ser escrito como 0,333... um número racional, pois ele pode ser escrito (o algarismo 3, após a vírgula, repete-se indefinidamente); • 4,666... é um número racional, pois ele pode ser escrito (o algarismo 6, após a vírgula, repete-se indefinidamente). Os números 1,2 e -45,37 têm um número finito de por essa razão, são chamados números decimais exatos 4,666... têm um número infinito de casas após a vírgula dízimas periódicas

Imagem comemorativa do Dia da Água (22 de março).

Q= 3 4 ;; 0,5;; 0; ;0,25; ;  ;; 2;

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Pense e responda

Traz questões que funcionam como reflexão em meio à teoria.

Apresenta fatos curiosos ligados a algum tema em discussão.

Indicação de livros, sites, vídeos etc.

No final de algumas seções Atividades, momento para trabalhar o raciocínio lógico.

Faça uma viagem no tempo com este boxe para descobrir a origem de determinado tema/conteúdo.

+1 +2 -+

-4 --2 -1 racionais negativos racionais

Observando a reta numérica acima, como os números estão a uma mesma distância da origem, eles são denominados opostos assim como os números -4 4 e -4,5 4,5. Considerando que a distância do ponto correspondente origem 0 é 4,5, dizemos que o módulo ou valor absoluto Escrevemos assim: -4,5| 4,5. Veja outros exemplos: 9 2 9 2 4| Para obter oposto de um número racional diferente sinal desse número. Veja: -++2 2 sto de 2 é -++2 2 sto de é 2

Os números racionais são aqueles que podem ser escritos b são números inteiros b q 0; esse conjunto é indicado Assim como os outros conjuntos, também podemos numérica os elementos de Q Veja seguir. Se pudéssemos dividir a superfície da Terra em 20 partes iguais, quantas partes seriam de água?

um matemático polonês, nascido em 1882, que estudou várias chamado Tapete de Sierpinski. Sua construção parte de um quadrado em nove quadrados menores e iguais, sendo o quadrado do meio quadrados restantes é também subdividido em nove quadrados ainda mequadrados centrais removidos (figura 3). O processo pode se repetir indeficaram. As três primeiras etapas da construção do Tapete de Sierpinski quadriculada. Com relação essas três etapas correto afirmar que:

Figura 2 Figura 3 da figura 1. figura 2. figura 1. área da figura 1 é maior que 1. área da figura 1.

DIGESTÃO ALIMENTAR por um conjunto de órgãos cuja função é transformar os alidiferentes funções do organismo. A sua extensão vai desde aproximadamente, oito metros em um ser humano adulto. A figura abaixo levar para percorrer cada órgão do sistema digestivo, sendo os com realidade. http://www.blogdefarmacia.com/wp-content/uploads/2013/04/digestion.jpg?4bc236 em 16 de agosto de 2018. CMSM-RS Assinale a alternativa que indica, respectivamente, tempo mínimo e máximo para o alimento percorrer o sistema digestivo bem como seu comprimento aproximado: a) 781 minutos e 2 segundos 26 horas 1 minuto 3 segundos – 800 cm. b) 26 horas 1 minuto e 3 segundos 781 minutos 2 segundos 800 cm. c) 46 862 segundos – 26 horas 1 minuto 3 segundos – 8 cm. d) 13 horas 2 minutos e 2 segundos 26 horas 2 minutos 6 segundos 8 m. e) 14 horas 1 minuto e 2 segundos – 14 horas 1 minuto e 3 segundos – 0,008 km.

Educação Financeira

Economia em casa Sua família se preocupa em fazer economia com relação às despesas da casa? Economizar é, por meio de algumas regras, controlar os gastos para sobrar mais recursos, ou seja, gastar menos para sobrar mais dinheiro. É importante todos adotarem atitudes conscientes, que possam proporcionar uma diminuição nos gastos com água, energia elétrica, telefone, entre outros. Evitar desperdício no consumo de água e de energia elétrica são importantes exemplos de cidadania! Afinal, é importante se preocupar com recursos naturais que podem acabar, a água é um deles! Lembre-se: todos devem colaborar!

MatemaTIC

Preocupar-se com natureza preocupar-se com futuro.

Que tipo de contribuição você pode propor para reduzir o consumo de energia elétrica em sua casa?

Discuta com os colegas as ideias propostas. 2 Faça uma pesquisa sobre as lâmpadas LED e mencione um ponto positivo e outro negativo com relação à sua utilização. 3 Uma família organizou suas tarefas e conseguiu economizar 40% na conta de água e 25% na conta de luz. Sabendo que média mensal da conta de água é R$ 100,00 da conta de luz é R$ 400,00, calcule o valor anual economizado por essa família.

Matemática Interligada

Com base nesses mosaicos, elabore perguntas e troque-as com um colega. Depois, destroque-as para Usando uma malha quadriculada ou triangular, crie mosaicos combinando: a) retângulos (quadrados e não quadrados); b) quadrados e octógonos; c) losangos; d) trapézios; e) paralelogramos; f) quadrados e hexágonos; g) triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos; h) triângulos, paralelogramos e trapézios. Depois de finalizar, mostre as produções aos colegas. Lógico, é lógica!

Seção que apresenta temas contemporâneos e relaciona a Matemática a outras áreas do conhecimento.

Nas cadeiras em volta de uma mesa quadrada, estão sentados quatro rapazes que nasceram em estados diferentes. Jairton, o mais velho entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca um baiano. Milton está sentado à direita de Jairton, e Tiago, à direita do paulista. Caio, que não é carioca, encontra-se à frente de Milton. Descubra naturalidade de cada um desses rapazes.

MatemaTIC

Tecnologias: linguagem Logo Uma das metodologias utilizadas para o desenvolvimento geométrico é exploração de tecnologias que proporcionem a interatividade, socialização e reflexão crítica. Vamos explorar o ambiente virtual do Programa Computacional SuperLogo, que proporciona construção do conhecimento. Nele, usuário tem a possibilidade de errar ou acertar, e o programa dá resposta de imediato. Com base no erro, possível investigar o que aconteceu com a figura; assim, tem-se a oportunidade de fazer e refazer, o que auxilia no desenvolvimento do raciocínio e da lógica. Esse programa trabalha com linguagem de programação chamada Logo desenvolvida para substituir o Basic - linguagem de programação com fins didáticos.

A linguagem Logo possibilita criação de procedimentos, conjunto de instruções, o que propicia ao usuário ser protagonista do seu aprendizado. Mesmo aqueles que têm alguma dificuldade com as ferramentas tecnológicas não devem se preocupar, pois o SuperLogo fácil de usar. Assim que o programa é aberto, aparecem duas janelas: a gráfica a de comandos.

Função Comando pf

Para trás pt

Para a direita pd

Nesta seção, você precisará do apoio de tecnologias digitais para executar variadas atividades sobre diversos assuntos.

Para a esquerda pe Além desses comandos existem outros, como apagar, desabilitar a tartaruga, efetuar operações, voltar a tartaruga para o centro da tela etc. Vamos ver um exemplo de procedimentos para a criação de um quadrado com 2 cm de lado. No SuperLogo, 50 passos da tartaruga equivalem 1 cm. janela gráfica janela de comandos

Na barra de comandos, pf 100 pd 90 pf 100 pd 90 pf 100 pd 90 pf 100. Ao teclar “Enter”, o programa retornará um quadrado com as características

SuperLogo Você saberia explicar qual é lógica do código? Seguindo o mesmo raciocínio, crie um código para desenhar um triângulo equilátero com 3 cm de lado.

180 181

A geometria e as tradições culturais O texto seguir explora uma manifestação cultural típica de algumas tribos presentes no Brasil e no mundo, despertando algumas reflexões sobre relações de gênero, transversais a esses elementos culturais.

um botoque. Vale do Omo, Etiópia, 2010.

Ângulos

Renato Soares/Pulsar Imagens Se observarmos o símbolo da Receita Federal utilizando uma lupa, as medidas dos ângulos internos dos quadriláteros desse símbolo aumentam?

Para encerrar

Atividades complementares apresentadas ao final de cada unidade, cujo objetivo é revisar o conteúdo estudado.

Cacique Raoni, líder da etnia caiapó, usando um botoque de 10 centímetros líderes indígenas em Mato Grosso, 2015.

Para as mulheres da tribo mursi que vivem no Vale do Rio Omo, no sul da Etiópia tradição mais típica é uso do botoque um disco preso ao lábio inferior. Esse objeto circular é considerado um ornamento prestigioso para a etnia africana. Mas para qualquer estrangeiro o uso do botoque pode parecer ser exemplo de bizarrice e até mesmo da tão maldita deformação do corpo feminino. Para nós, brasileiros, o botoque não deveria ser considerado como um elemento tão estranho. Várias etnias indígenas do Brasil conseguiram manter viva essa tradição. No caso dos caiapós botoque é usado somente pelos homens e é um símbolo associado à oratória e à comunicação verbal O botoque é quase uma marca registrada do famoso chefe Raoni que, na luta para defender seu povo e seu território, sempre fez questão de visitar autoridades internacionais portando seu disco labial.

[…] CASTRO, Haroldo. disco labial uma decoração que sublinha a beleza feminina ou uma mutilação do corpo? Época São Paulo, 17 ago. 2017. Disponível em: https://epoca.oglobo.globo.com/sociedade/viajologia/noticia/2017/08/o-disco-labial-e-uma-decoracao-que-sublinha-beleza-feminina -ou-e-uma-mutilacao-do-corpo.html. Acesso em: 10 maio 2022.

Responda:

Os botoques possuem formato circular. Quais propriedades dos círculos favorecem esse formato para os alargadores?

2 A circunferência do alargador é o conjunto de todos os pontos em contato com a pele, que chamaremos de local de contato. Observe as seguintes afirmações:

Se o diâmetro do alargador dobrar, o local de contato também dobra.

Se forem aumentados 5 mm no diâmetro do alargador, então haverá um aumento de 5 mm no local de contato.

Classifique cada uma dessas afirmações como verdadeira ou falsa. Justifique suas conclusões.

O texto problematiza o papel da mulher dentro dessa prática cultural. Qual é seu ponto de vista sobre essa discussão entre relações de gênero e cultura? Sintetize suas ideias por escrito e compartilhe com os colegas. Lembre-se de que alguns deles podem pensar diferente de você, então, exercite o diálogo ao argumentar respeitosamente sua posição.

Ícones

Ângulos congruentes e ângulos adjacentes Em um momento decisivo de uma partida de futebol, a imagem transmitida pela televisão foi congelada. Nessa cena, dois jogadores observavam gol dos pontos C D (sob ACB ADB e a linha do gol

A

Dependendo da posição dos jogadores, é possível sobrepor fazendo os vértices e os lados coincidirem. Nesse caso, poderíamos concluir que os dois ângulos têm a mesma medida, isto é, são Agora observe AOB BOC representados na figura abaixo.

O lado OB e o vértice O são comuns à pontos internos comuns e são ângulos adjacentes

Ilustrações: DAE

– 460 Comédia – 345

Para organizar o transporte, ela necessita de caixas em que caiba a mesma quantidade de filmes de um só tipo por caixa. Qual a soma da quantidade mínima de caixas que ela deve comprar com a quantidade de filmes que deve caber em cada caixa? a) 23 b) 46 c) 65

d) 88 e) 176

Por meio de textos e questões, você vai explorar o tema e aprender a ter uma vida financeira saudável. 148

4 (CMBEL-PA) Em um mesmo ponto, passa um ônibus para o Ver-o-Peso, de 15 em 15 minutos, e um ônibus para a Praça Batista Campos, de 25 em 25 minutos. Levando em conta que os dois ônibus dessas linhas passaram juntos às 22h30min, o próximo momento que eles passarão juntos será às a) 22 horas e 45 minutos. b) 10 horas e 55 minutos. c) 23 horas e 15 minutos.

d) 11 horas e 30 minutos.

e) 23 horas e 45 minutos.

5 (OBM) Esmeralda foi escrevendo os quadrados dos números inteiros positivos um em seguida ao outro, formando o número 149162536..., e parou quando chegou ao centésimo algarismo. Qual foi o último algarismo que ela escreveu?

6 (IFAL) Resolvendo a expressão numérica {30 - [16 - (3 + 3 2] + 2 encontramos valor a) b) 15. c) 18. d) 20. e)

Autoavaliação

Momento para você verificar o que aprendeu na unidade.

7 Se A 5 7 e B 2 - 20, então o valor de A B é: a) 7. b) 10. c) 29.

d) -6. e) -8. 8 Que número deve ser colocado no lugar de cada de modo que a igualdade seja verdadeira? a) 6 6 6 b) -3) -3) -3) -3) c) 8 8 8 8 9 (IFMG) Escreva V conforme a afirmativa seja verdadeira ou falsa.

2 ) 23 (2 A sequência CORRETA é a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - V d) F - V - F 10 Sendo A 5 + 25 e B 3 -- 9 () considerando somente a raiz positiva em cada caso, calcule:

a) A B b) A - B c) A B

Autoavaliação

d) A B e) B

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi Compreendi parcialmente Ainda não compreendi O que aprendi CPN Identifico múltiplos e divisores de números naturais. Resolvo e elaboro problemas com múltiplos divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum por meio de estratégias diversas. Reconheço, comparo e ordeno números inteiros em diferentes contextos. Represento pontos no plano utilizando o sistema de coordenadas cartesianas. Resolvo e elaboro problemas de adição subtração com números inteiros. Aplico as propriedades da adição, subtração, multiplicação e divisão para efetuar cálculos. Resolvo e elaboro problemas de multiplicação e divisão com números inteiros positivos e negativos. Entendo a potenciação como uma multiplicação de fatores iguais e radiciação como operação inversa da potenciação.

Este selo indica o trabalho sobre um Tema Contemporâneo Transversal.

Principais objetivos da unidade

• Identificar múltiplos e divisores de números naturais.

• Resolver e elaborar problemas com múltiplos e divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas.

• Reconhecer, comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos.

• Representar pontos no plano utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números inteiros.

• Aplicar as propriedades da adição, subtração, multiplicação e divisão para efetuar cálculos.

• Resolver e elaborar problemas de multiplicação e divisão com números inteiros.

• Entender a potenciação como multiplicação de fatores iguais e a radiciação como operação inversa da potenciação.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF07MA01, ao retomar a ideia de múltiplos e divisores de um número natural, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. O reconhecimento, a ordenação e a comparação de números inteiros em diferentes contextos e a sua associação com pontos na reta numérica estão contemplados por meio da habilidade EF07MA03. A habilidade EF07MA04 propõe a resolução e elaboração de problemas envolvendo operações com números inteiros. A habilidade EF07MA05 está contemplada na resolução de um mesmo problema por meio de diferentes algoritmos. A habilidade EF07MA06 propõe o reconhecimento de que as resoluções de um grupo de problemas de mesma estrutura. A representação de resolução de problemas por meio de fluxogramas está contemplada por meio da habilidade

EF07MA07

Mercúrio

• Temperatura média: 169 °C

• Temperatura máxima: 427 °C

• Temperatura mínima: -183 °C

• Distância média do Sol: 57 910 000 km

Vênus

• Temperatura média: 462 °C

• Temperatura máxima: 490 °C

• Temperatura mínima: 446 °C

• Distância média do Sol: 108 200 000 km

Terra

• Temperatura média: 15 °C

• Temperatura máxima: 56,7 °C

• Temperatura mínima: -89,2 °C

Saturno

• Temperatura média: -189 °C

• Distância média do Sol: 1 429 400 000 km

• Distância média do Sol: 149 600 000 km

Marte

• Temperatura média: -63 °C

• Temperatura máxima: -3 °C

• Temperatura mínima: -133 °C

• Distância média do Sol: 227 940 000 km

Júpiter

• Temperatura média: -163 °C

• Distância média do Sol: 778 330 000 km

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento desses objetivos é esperado que os estudantes:

• efetuem as quatro operações e a potenciação com números naturais;

• identifiquem múltiplos e divisores de um número natural em situações práticas do cotidiano;

• reconheçam, comparem e ordenem números naturais;

• localizem números naturais na reta numérica;

• reconheçam o fluxograma a partir de sua estrutura;

Sistema Solar.

Representação fora de proporção e cores-fantasia.

• entendam o plano cartesiano como um sistema de referência que tem como função a localização e a posição dos pontos representados por seus pares ordenados.

Avaliação diagnóstica

Verifique o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Isso é condição fundamental para favorecer a escolha das estratégias didáticas a serem utilizadas para o trabalho com o conteúdo proposto. Promova, inicialmente, uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem

Números inteiros

Nosso sistema solar está composto pela nossa estrela, o Sol, pelos oito planetas com suas luas e anéis, pelos planetas anões, asteroides e pelos cometas. Os cinco planetas mais brilhantes, que são visíveis a olho nu, já eram conhecidos desde a antiguidade. A palavra planeta em grego quer dizer astro errante. [...] SARAIVA, Maria de Fátima. Fundamentos de Astronomia e Astrofísica. Porto

Alegre: Universidade do Rio Grande do Sul, [20--]. Disponível em: http:// www.if.ufrgs.br/fis02001/aulas/aulasisolar.htm. Acesso em: 17 mar. 2022.

Fontes dos dados das imagens: CARACTERÍSTICAS dos planetas. In: ASTRONOO. [S. l.], c1997. Disponível em: http://www.astronoo.com/pt/artigos/caracteristicas -dos-planetas.html; SILVA, Edna M. E. O Sistema Solar. In: PLANETÁRIO – UFSC, São Carlos, 2021. Disponível em: https://planetario.ufsc.br/o-sistema-solar/. Acessos em: 6 maio 2022.

1. Quais planetas têm temperatura média expressa por números inteiros positivos e números inteiros negativos?

2. Qual planeta do infográfico está mais distante do Sol? Qual é essa distância, e como podemos lê-la? Aproxime esse valor para a centena de milhão mais próxima.

3. Explique como você chegou a essas respostas. Respostas no Manual do Professor.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• resolver e elaborar problemas que envolvam múltiplos e divisores de números naturais;

• reconhecer, comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos;

• representar pontos no plano utilizando o sistema de coordenadas cartesianas;

• entender a potenciação como multiplicação de fatores iguais e a radiciação como operação inversa da potenciação.

sobre os pré-requisitos elencados, assim como a realização de atividades escritas, além de resolução, e elaboração de problemas e cálculos diversos, favorecendo a resolução por meio de estratégias pessoais, quando possível. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos tenham compreendido.

Orientações

A unidade apresenta o conjunto dos números inteiros como uma ampliação do conjunto dos números naturais. Inicie o capítulo fazendo uma exploração do sistema solar e as temperaturas correspondentes a cada planeta que aparece na introdução. Esse diálogo favorece a competência específica 3

Pergunte o que os estudantes sabem em relação aos números negativos utilizados para representar temperaturas. As atividades e discussões dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA03

A leitura e correção coletiva das questões pode ser bastante útil para auxiliar os estudantes com dificuldade e para avaliar o nível de conhecimento do sistema decimal e de números negativos.

1. Mercúrio, Vênus e Terra. Números inteiros negativos: Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.

2. Netuno; 4 504 300 000; quatro bilhões, quinhentos e quatro milhões e trezentos mil quilômetros; 45 centenas de milhão.

3. Incentive os estudantes a compartilharem suas estratégias. Você pode também, organizar os estudantes em duplas para que um explique ao outro como chegou à resposta.

A BNCC na unidade Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 9

Competências específicas 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 8

Habilidades EF07MA01, EF07MA03, EF07MA04, EF07MA05, EF07MA06 e EF07MA07

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental

Objetivos do capítulo

• Identificar múltiplos e divisores de números naturais.

• Resolver e elaborar problemas com múltiplos, divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum por meio de estratégias diversas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidade trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 9 Competências específicas

2 e 7

Habilidades EF07MA01, EF07MA06 e EF07MA07

Orientações

Em Para começar oriente os estudantes para que leiam a situação apresentada, realizem os cálculos por meio de estratégias pessoais e os apresentem aos demais colegas.

Observe se identificam as informações: 3 km de extensão; uma linha para de 300 em 300 metros (0, 300 m, 600 m, 900 m, 1200 m, 1500 m, 1800 m, 2100 m, 2400 m, 2700 m, 3000 m). A outra linha para em 0, 400 m, 800 m, 1200 m, 1600 m, 2000 m, 2400 m, 2800 m...). Devem concluir que as paradas simultâneas acontecem em 1200 m e 2400 m.

Em Pense e responda, espera-se que os estudantes percebam que o número 99 não é divisível por 7 nem múltiplo de 7, pois a divisão de 99 por 7 não é exata nem existe número natural que multiplicado por 7 dê 99.

Múltiplos e divisores de um número natural

Em certa avenida de 3 quilômetros de extensão, circulam ônibus de duas linhas. Em uma delas, há pontos de 300 em 300 metros, e na outra, de 400 em 400 metros. Sabe-se que os pontos ocupam a mesma posição no início da avenida.

• Que pontos da avenida serão comuns para as duas linhas?

• Apresente sua estratégia de resolução aos colegas.

1 200 m e 2 400 m Resposta pessoal.

Múltiplos e divisores

Neste item, vamos rever os conceitos de múltiplo e divisor vistos nos anos anteriores, que servirão de base para ampliar seus conhecimentos. Observe as operações a seguir.

147 3 0 49 dividendo divisor resto quociente e 49 3 = 147

fatorfator

produto

Considerando a divisão 147 : 3, podemos dizer que:

• 147 é múltiplo de 3 ou que 3 é fator de 147, pois existe o número natural 49 que, multiplicado por 3, resulta como produto 147.

• o número 147 não é múltiplo de 2, pois não existe número natural que, multiplicado por 2, resulte em 147.

• 147 é divisível por 3, ou 3 é divisor de 147, pois a divisão de 147 por 3 é exata (o resto é igual a zero).

Agora, analise e responda às perguntas.

99 7 e14 7 + 1 = 99

1 14

1. 99 é divisível por 7?

2. 99 é múltiplo de 7? Não. Não.

1 Efetuando as divisões, verifique quais dos números a seguir são múltiplos de 9.

108 b) 220

É múltiplo. Não é múltiplo.

2 Determine os números naturais que são divisores de:

18;

20;

e 20

Não

369

3 O número de estudantes do 7? ano A é um número natural múltiplo de 7, maior do que 36 e menor do que 46. Qual é o número de estudantes do 7? ano A?

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA01

Resolução da atividade 1

a) Sim, pois 108 : 90 = 12.

b) Não, pois 220 : 90 = 24,444...

c) Não, pois 88 : 90 = 9,777...

d) Sim, pois 369 : 90 = 41.

Na atividade 2

É interessante que os estudantes percebam que, em qualquer dos itens, o primeiro divisor é o número 1, e o último, o próprio número.

Resolução da atividade 3

Múltiplos de 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, ...

42 é o único múltiplo maior que 36 e menor que 46 4 42 estudantes. Resolução da atividade 4

a) 2? b) 3? c)

d)

176; 678; 2 128

10?

e

a) três algarismos que seja múltiplo de 5.

b) quatro algarismos que seja múltiplo de 4.

6 Escreva os números naturais divisíveis por 2 que são maiores do que 320 e menores do que 340.

322, 324, 326, 328, 330, 332, 334, 336 e 338

7 Observe a multiplicação 28 . 75 = 2 100, classifique cada sentença abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa) e justifique. Todas são verdadeiras. Resposta pessoal.

a) 2 100 é divisível por 75

b) 2 100 é múltiplo de 28

c) 75 é fator de 2 100

8 Uma caixa contém 50 peras. É possível organizar essas peras em embalagens com 5 unidades em cada uma, sem sobrar peras fora das embalagens? E em embalagens com 8 unidades?

Respostas no Manual do Professor.

9 Use a calculadora e responda:

a) 2 700 é divisível por 7?

b) 15 600 é divisível por 9?

c) 169 240 é divisível por 5?

Peras.

a) Os números pares são176, 678, 2 128 e 5 390.

b) A soma dos algarismos é divisível por 3 em 678 (6 + 7 + 8 = 21) e 1 305 (1 + 3 + 0 + 5 = 9).

c) O número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4 em 176 e 2 128.

d) Os números que terminam em 0 ou em 5 são 1 305 e 5 390.

e) É divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3 apenas o número 678.

f) A soma dos algarismos é divisível por 9 em 1 305 (1 + 3 + 5 + + 0 + 9 = 9).

g) Termina em 0 apenas o número 5 390.

Na atividade 5, verifique se os números escolhidos pelos estudantes terminam em 0 ou em 5 no item a, e se o número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4, no item b

Resolução da atividade 6

São os números pares entre 320 e 340, ou seja: 322, 324, 326, 328, 330, 332, 334, 336 e 338.

Resolução da atividade 7

a) Sim, pois 2 100 : 75 = 28.

b) Sim, pois 75 . 28 = 2 100.

c) Sim, pois 28 . 75 = 2 100.

Resolução da atividade 8

Sim, pois 50 : 5 = 10; 10 embalagens com 5 peras em cada uma.

Não, pois 50 : 8 = 6 e resto 2; 8 embalagens com 6 peras, e sobrariam 2 peras.

Resolução da atividade 9

a) Não, pois 2 700 : 7 = = 385,714285...

b) Não, pois 15 600 : 9 = = 385,714285...

c) Sim, pois 169 240 : 5 = 33 848 (ou porque termina com 0).

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA01 e EF07MA07

Resolução da atividade 10

a) 12 784 2 = 25 568

25 568 3 = 76 704

76 704 : 2 = 38 352

b) 12 784 3 = 38 352, por tanto, o mesmo.

Resolução da atividade 11

531 441 : 3 = 177 147

177 147 : 3 = 59 049

59 049 : 3 = 19 693

19 683 : 3 = 6 561

6 561 : 3 = 2 187

2 187 : 3 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

81 : 3 = 27

Resolução da atividade 12

a) Verdadeira pois 55 : 11 = 5.

b) Falsa, pois não termina em 0 ou em 5.

c) Verdadeira, pois 776 = 8 97.

d) Falsa, pois 96 : 14 = 6,857142...

e) Verdadeira, pois 70 : 14 = 5.

f) Falsa, pois 180 : 40 = 4,5.

g) Verdadeira, pois 264 = 8 33. Resolução da atividade 13

2032 4 -20 508 03 2 - 32 0

Como o resto da divisão por 4 é 0, o ano é bissexto.

3032 400 -2800 7 300

Como o resto da divisão por 400 não é 0, o ano não é bissexto.

Para aprofundar

O artigo trada de conceitos de múltiplos de divisores aplicado a jogos.

• CALDAS, F.; GRAÇA, V.; MARQUES, V. Múltiplos e divisores: uma experiência com o uso do jogo de trilhas. Revista Exitus, Santarém (PA), v. 10, p. 01-28, e020109, 2020. Disponível em: http://www.ufopa.edu. br/portaldeperiodicos/index.php/ revistaexitus/article/view/1483.

Acesso em: 27 jun. 2022.

10 Multiplique o número natural 12 784 por 2. Em seguida, multiplique o resultado obtido por 3 e divida esse último resultado por 2.

a) Que resultado você obteve?

38 352

b) Verifique se esse resultado é o mesmo se você multiplicar o número 12 784 por 3. Justifique por que isso ocorre.

11 O primeiro número de uma sequência é 531 441 e cada número seguinte é igual ao número anterior dividido por 3. Qual será o décimo número dessa sequência?

12 Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) 55 é múltiplo de 11

b) 5 é divisor de 128

c) 776 é múltiplo de 97

d) 96 é múltiplo de 14

e) 14 é divisor de 70

V

f) 180 é divisível por 40

g) 8 é fator de 264

Dividir

a) Use o fluxograma para verificar se os anos de cada idem a seguir serão bissextos.

• 2032 Sim.

• 3100 Não.

b) Verifique se o ano de seu nascimento foi bissexto.

Máximo divisor comum

Acompanhe a situação a seguir.

Ana tem uma folha de cartolina retangular cujo lado maior mede 80 centímetros e o lado menor mede 60 centímetros. Ela quer dividir a folha em partes quadradas iguais, sem que sobre nenhum pedaço, de modo que as partes quadradas tenham o maior tamanho possível.

Ela quer aproveitar totalmente uma cartolina, cujas medidas dos lados são 80 cm e 60 cm, e, para isso, ela precisa encontrar um número que seja divisor, ao mesmo tempo, de 80 e de 60, e que seja o maior possível.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA01

Leia com os estudantes a situação apresentada, e verifique se todos compreenderam o enunciado. Para responder à questão do Pense e responda, os estudantes deverão perceber que todos os divisores comuns de 60 e 80 podem ser usados para formar quadrados nessa cartolina, e não só o 20, que é o máximo divisor comum.

Veja quais são os divisores de cada número.

Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Divisores de 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 e 80. Os divisores comuns de 60 e 80 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.

Se a medida da parte quadrada não for a maior possível, de quantos centímetros poderia ser a medida de seus lados? Explique como você pensou para responder.

Como a parte quadrada deve ser a maior possível, a medida W de seu lado deve ser de 20 cm, pois 20 é o maior divisor comum de 60 e de 80. Podemos indicar assim:

mdc (60, 80) = 20

(Lê-se: o máximo divisor comum de sessenta e de oitenta é igual a vinte.)

O maior divisor comum de dois ou mais números naturais diferentes de zero é chamado de máximo divisor comum (mdc).

Também podemos calcular o máximo divisor comum de dois ou mais números efetuando a decomposição simultânea desses números. Veja:

As divisões serão feitas pelos números primos: 2, 3, 5, 7...

Começamos com 2; quando não for possível usar o 2, usamos o 3; quando não for possível usar o 3, usamos o 5, e assim sucessivamente, até que todos os números sejam completamente divididos e reste apenas o 1.

O máximo divisor comum é igual ao produto de todos os fatores primos que dividem 60 e 80 ao mesmo tempo (são os fatores primos em verde na decomposição acima).

Logo, mdc (60, 80) = 2 . 2 . 5 = 20

Orientações

a) 216, 180 2 108, 90 2 54, 45 2 27, 45 3 9, 15 3 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 mdc = 2 2 3 3 = 36 b) 48, 54 2 24, 27 2 12, 9 2 6, 3 2 3, 3 3 1, 1 mdc = 2 . 3 = 6 c) 8, 25 2 4, 25 2 2, 25 2 1, 25 5 1, 5 5 1, 1 mdc = 1 d) 48, 72, 80 2 24, 36, 40 2 12, 18, 20 2 6, 9, 10 2 3, 9, 5 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 mdc = 2 . 2 . 2 = 8

Resolução da atividade 2

a) mdc (96, 60, 72) = 2 2 3 =

= 12 4 12 metros

b) Seda:

96 : 12 = 8 4 8 cortes

Linho:

60 : 12 = 5 4 5 cortes

Algodão:

84 : 12 = 7 4 7 cortes

Resolução da atividade 3

mdc (120, 96, 84) = 2 2 3 =

= 12 4 12 bandejas

72 : 12 = 6 4 6 coxinhas

96 : 12 = 8 4 8 bolinhas de queijo

84 : 12 = 7 4 7 empadas

Resolução da atividade 4

O mdc (8, 6) = 2.

Cada tora de 8 m dará: 8 : 2 = 4;

4 pedaços de 2 m.

Cada tora de 6 m dará: 6 : 2 = 3;

3 pedaços de 2 m.

Atividades

1 Calcule usando o processo que você preferir.

a) mdc (216, 180).

b) mdc (48, 54).

c) mdc (8, 25).

d) mdc (48, 72, 80).

2 Três peças de tecido (seda, linho e algodão) têm a mesma largura. A peça de seda tem 96 metros de comprimento, a peça de linho tem 60 metros e a de algodão tem 72 metros. Maria Antônia precisa dividi-las em cortes de mesmo comprimento e com o maior tamanho possível.

a) Que comprimento devem ter esses cortes?

12 m

b) Quantos cortes de cada peça serão obtidos?

Seda: 8 cortes; linho: 5 cortes; algodão: 6 cortes.

c) Apresente sua estratégia de resolução aos colegas. Resposta pessoal.

3 Seu Roberto precisa colocar quantidades iguais de salgadinhos no maior número possível de bandejas. Para o aniversário de seu neto, ele encomendou 120 coxinhas, 96 bolinhas de queijo e 84 empadas. Como ele pode distribuir os salgadinhos para que o número de coxinhas, de bolinhas de queijo e de empadas seja o mesmo em cada bandeja?

Serão 12 bandejas, com 10 coxinhas; 8 bolinhas de queijo e 7 empadas em cada uma. 340 toras

4 Um carpinteiro tem 40 toras de madeira de 8 metros cada uma e 60 toras de madeira de 6 metros cada uma. Ele precisa cortar em toras de mesmo comprimento e com o maior comprimento possível. Quantas toras serão obtidas, ao todo, pelo carpinteiro?

5 Escolha dois números entre os indicados abaixo e elabore um problema que envolva mdc. Entregue o problema a um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve o que ele elaborou.

Resposta pessoal.

5 6 24 36 50 60 72

(OPRM-PR) Ana, Beatriz, Carla e Daniele fazem cada uma um esporte diferente da outra entre os seguintes: karatê, handebol, voleibol e tiro ao alvo. Ana não faz esportes praticados com bolas. Carla é boa de mira e pratica tiro ao alvo. Das afirmações abaixo, qual delas é necessariamente verdadeira?

Alternativa c

a) Ana pratica voleibol.

b) Carla pratica voleibol.

c) Ana pratica karatê.

d) Beatriz pratica handebol.

Portanto, serão obtidas:

40 4 = 160 4 160 pedaços de 2 m

60 3 = 180 4 180 pedaços de 2 m

160 + 180 = 340 4 340 toras.

Na atividade 5, escolha alguns problemas elaborados pelos estudantes para resolver coletivamente. Essa é uma ótima oportunidade para avaliar como eles estão compreendendo o assunto. Explique-lhes situações em que os números são primos entre si, escrevendo alguns exemplos na lousa. Resolução do Lógico, é lógica!

Se Ana não pratica esportes com bola, ela não pratica handebol nem voleibol. Portanto, Ana pratica k aratê ou tiro ao alvo. Se Carla pratica tiro ao alvo, resta karatê para ser o esporte de Ana. Alternativa c Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Mínimo múltiplo comum

Acompanhe a situação a seguir.

Dois carros percorrem uma pista em volta de um lago. O carro amarelo completa uma volta em 3 minutos e o carro verde completa uma volta em 5 minutos.

Os dois carros saem do ponto de largada no mesmo instante e mantêm velocidade constante após o início da corrida. Depois de quanto tempo eles se encontrarão pela primeira vez no ponto de largada?

Como o carro amarelo leva 3 minutos para dar uma volta completa, ele passará pelo ponto de largada nos instantes correspondentes a múltiplos de 3:

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA01

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, … (minutos)

O instante 0 (zero) representa a largada, isto é, o instante em que acionamos o cronômetro para a contagem do tempo da corrida.

O carro verde leva 5 minutos para dar uma volta completa. Logo, ele passará pelo ponto de largada nos instantes correspondentes a múltiplos de 5:

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ... (minutos)

Após 15 minutos de corrida, os carros se encontrarão, pela primeira vez, na posição de largada e se encontrarão novamente nos instantes:

0 (momento da largada), 15, 30, 45, ... (minutos)

Esses números são chamados de múltiplos comuns de 3 e de 5. Sendo que o menor múltiplo comum de 3 e de 5 diferente de zero é 15.

Indicamos assim: mmc (3, 5) = 15.

(Lê-se: o mínimo múltiplo comum de três e de cinco é igual a quinze.)

• Por meio da decomposição simultânea, temos:

3, 5 3

1, 5 5

1, 1

mmc (3, 5) = 3 5 = 15

O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números naturais é o menor de seus múltiplos comuns diferente de zero.

Portanto, após 15 minutos o carro amarelo e o carro verde se encontrarão pela primeira vez no ponto de largada.

Após a partida, quantas vezes eles passarão juntos pela posição de largada durante 1h e 30min? Explique como você chegou a essa conclusão.

6 vezes; resposta pessoal

Inicie a conceituação observando a situação do livro, que apresenta uma corrida entre dois carros. Pergunte aos estudantes se já assistiram a corridas do tipo, como Fórmula 1 e campeonatos nesse universo. Pergunte se é possível os carros se encontrarem em algum ponto de referência da pista. É importante observar que, apesar de zero ser um múltiplo comum, ele nunca será considerado o menor múltiplo comum. E, no caso de dois números primos entre si, o mmc será obtido pelo produto dos dois números.

Resolução de Pense e responda 1 h e 30 min = 90 min 90 : 15 = 6 4 6 vezes

Orientações

As atividades desta página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA01 e EF07MA06

Resolução da atividade 1

a) mmc (180, 210) = 22 32 5 .

7 = 1 260

b) mmc (216, 96) = 25 33 = 864.

c) mmc (144, 160, 320) = 26 32 .

5 = 2 880

d) mmc (160, 250) = 25 . 53 = = 4 000

Resolução da atividade 2

mmc (3, 4, 5, 6) = 22 . 3 . 5 = 60 4

4 60 pessoas

Resolução da atividade 3

mmc (4, 6) = 22 3 = 12 4 12 s

Resolução da atividade 4

mmc (4, 6, 8) = 2 2 3 = 24

2008 + 24 = 2032

Resolução da atividade 5

mmc (15, 20, 40) = 23 . 3 . 5 = = 120 4 120 minutos

Como 120 minutos equivalem a 2 horas, eles tocam simultaneamente a cada 2 horas.

Atividades

1 Calcule como preferir:

a) mmc (180, 210);

b) mmc (216, 96);

c) mmc (144, 160, 320);

d) mmc (160, 250).

2 Em uma festa, o jantar era constituído de arroz, salada, frango e massa servidos pelos garçons em pequenas bandejas. A quantidade era aproximadamente igual para todos, sem repetição. Todos os convidados se serviram de todos os pratos oferecidos, e as bandejas retornavam à copa sempre vazias. Cada bandeja de arroz servia 3 pessoas; de salada, 4 pessoas; de frango, 5 pessoas e de massa, 6 pessoas. Qual é o número mínimo do total de convidados presentes nesse jantar? Com a orientação do professor, apresente suas estratégias de resolução para os colegas. 60 pessoas; resposta pessoal

3 No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam em diferentes intervalos de tempo. A primeira pisca a cada 4 segundos, e a segunda pisca a cada 6 segundos. Se, em certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar ao mesmo tempo?

4 Em um país, o prefeito é eleito a cada 4 anos, o governador é eleito a cada 6 anos, e o presidente é eleito a cada 8 anos. Em setembro de 2008, as três eleições coincidiram. Em que ano os eleitores votarão simultaneamente para prefeito, governador e presidente novamente?

Depois de 24 anos, em 2032.

5 Na relojoaria de Seu Jaime, o cuco canta a cada 15 minutos, o relógio de pêndulo bate a cada 20 minutos e o despertador toca a cada 40 minutos.

Imagens fora de proporção.

Relógio cuco. Relógio de pêndulo.

Relógio com despertador.

Encontre o menor intervalo de tempo, em horas, decorrido entre dois momentos em que os três relógios tocaram simultaneamente. 2 horas

6 Qual é o mmc de dois números em que um deles é múltiplo do outro? Dê um exemplo e justifique sua resposta.

Resposta possível: mmc (2, 4) = 4. O mmc de dois números em que um deles é múltiplo de outro é o maior deles. Desafio

7 Gustavo tem um envelope com mais de 60 figurinhas. Rita quer saber quantas são. Observe as dicas que Gustavo falou a Rita e descubra.

• Contando as figurinhas de duas em duas, não sobra nenhuma.

• Contando de cinco em cinco, também não sobra nenhuma.

• Contando de três em três, sobram duas.

Ajude Rita a descobrir qual é o menor número de figurinhas que Gustavo pode ter. 80 figurinhas

8 (CMR-PE) Em um terminal de ônibus do Recife, os ônibus das 4 (quatro) linhas municipais saem diariamente de acordo com os seguintes intervalos de tempo, apresentados no quadro abaixo:

Linhas municipaisIntervalos de saída

A De 10 em 10 minutos

B De 12 em 12 minutos

C De 15 em 15 minutos

D De 25 em 25 minutos

Assim, se em um dia qualquer da semana os ônibus das 4 (quatro) linhas saírem pontualmente às 7h15min da manhã, qual será o próximo horário, deste mesmo dia, no qual os ônibus dessas linhas sairão novamente ao mesmo tempo?

Alternativa e

a) 9h

b) 9h30min

c) 9h15min

9 Leia o texto a seguir.

d) 12h

e) 12h15min

As organizações não governamentais (ONGs) são entidades privadas da sociedade civil, sem fins lucrativos, portanto, o propósito é defender e promover uma causa política. Essa causa pode ser virtualmente de qualquer tipo, por exemplo: direitos humanos, direitos animais, direitos indígenas, gênero, luta contra o racismo, meio ambiente, questões urbanas, imigrantes, entre muitos outros. [...]

O QUE é uma ONG. In: INSTITUTO THADEU JOSÉ DE MORAES. São Paulo, [20--]. Disponível em: https://itjm.org.br/2021/06/14/o-que-e-uma-ong/. Acesso em: 6 maio 2022.

Sabemos o quanto é importante cuidar de si mas também cuidar do outro e do planeta. Muitas ONGs se propõem a esse cuidado, transformando a realidade de muitas pessoas e do planeta.

a) Você conhece ou já ouviu falar de alguma ONG? Você desenvolve algum tipo de atividade voluntária voltada ao cuidado do outro e/ou do planeta? Resposta pessoal.

b) Uma ONG que ajuda instituições que atendem pessoas em situação de vulnerabilidade econômica recebeu, do supermercado X, a doação de 12 cestas básicas, e do supermercado Y, 18 cestas básicas, todas diferentes das recebidas do supermercado X. Para cada instituição, a ONG enviará cestas básicas de um único supermercado, na maior quantidade possível, sendo que todas as instituições receberão quantidades iguais de cestas básicas.

• Quantas instituições serão contempladas com as cestas básicas? 5

• Quantas cestas básicas cada instituição receberá? 6

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA01 e EF07MA06

Resolução da atividade 6

Alguns exemplos:

mmc (2, 4) = 2 2 = 4 mmc (3, 9) = 3 3 = 9 mmc (15, 45) = 3 3 5 = 45

O mmc de dois números, em que um deles é múltiplo do outro, é o maior número.

Resolução da atividade 7 É preciso começar do número 61. Assim, se o número buscado é múltiplo de 5 e de 2, como informam as primeiras duas dicas, ele é múltiplo de 10. Os múltiplos de 3 a partir de 61 são 63, 66, 69... Não pode ser 70, porque nesse caso sobraria uma figurinha, e não duas. Continuando a sequência: 72, 75, 78... O número é 80, pois é múltiplo de 10 e, subtraindo 2, resulta em um múltiplo de 3.

Resolução atividade 8 mmc (10, 12, 15, 25) = 22 3 52 = = 300 4 300 min

300 : 60 = 5 4 5 h.

Portanto, os ônibus sairão novamente ao mesmo tempo às 12h15min.

Alternativa e Resolução da atividade 9

b) A quantidade de cestas básicas destinadas a cada instituição: mdc (12,18) = 2 3 = 6.

c) Cada instituição receberá 6 cestas básicas. Como 12 ÷ 6 = 2 e 18 ÷ 6 = 3, então, o total de instituições contempladas é igual a 2 + 3 = 5.

A reflexão proposta no item a , favorece o desenvolvimento da competência geral 9, da competência geral 10 e da competência específica 7. Você pode ampliar em uma roda de conversa, para que os estudantes relatem suas experiências.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer, comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos.

• Identificar o sucessor e o antecessor de um número inteiro.

• Representar os números inteiros na reta numérica.

• Reconhecer os números simétricos ou opostos.

• Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro.

• Representar pontos no plano utilizando coordenadas cartesianas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2 e 3

Competências específicas 1, 2 e 3

Habilidades EF07MA03 e EF07MA04

Orientações

Espera-se que os estudantes, nessa etapa da escolaridade, já tenham tido contato com situações que envolvam números negativos, como as temperaturas abaixo de zero, o saldo negativo de gols em um campeonato de futebol, o saldo bancário devedor, entre outras. Com base nesse conhecimento prévio, é possível apresentar o conjunto dos números inteiros como ampliação do conjunto dos números naturais. A representação dos números inteiros na reta numérica, tendo o zero como origem, e dos números simétricos equidistantes em relação à origem, possibilita abordar a adição e a subtração entre inteiros de forma construtiva.

Para começar aborda a variabilidade climática de Santa Catarina. Converse com os estudantes sobre o clima da região em que se insere a escola. Se possível, acesse a previsão do tempo na semana em que está estudando o assunto, a fim de fazer comparações entre as temperaturas de cada dia.

Números inteiros

O sinal(menos) indica que a temperatura é menor do que zero.

Em algumas regiões do Brasil, o frio pode ser intenso. Observe a temperatura registrada em um dia de inverno na cidade de São Joaquim, em Santa Catarina.

Você sabe o significado do sinal de menos na temperatura indicada pelo termômetro?

Termômetro de rua indicando a temperatura da cidade de São Joaquim (SC).

O conjunto dos números inteiros

O sinal de menos em frente ao número indica que a temperatura registrada no termômetro é negativa, ou seja, menor do que zero. Podemos encontrar esse tipo de notação em várias situações do cotidiano, como nas medidas de altitude, de profundidade, no saldo bancário, no saldo de gols etc.

Esses números podem ser inteiros, expressos na forma de fração, na forma decimal ou de radical. Nesta unidade, vamos estudar os números inteiros, que podem ser:

• negativos: ... -5, -4, -3, -2, -1

• positivos: +1, +2, +3, +4, +5, …

• zero: 0

Os números que constituem o conjunto dos números inteiros, que é representado pela letra Z, podem ser escritos da seguinte maneira:

Z= {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +

Temperaturas

+2, +3, +4, +5, +6, ...}

Veja alguns exemplos.

• Observe as temperaturas previstas (mínima e máxima) por um centro meteorológico, em determinado dia, para algumas cidades do estado de São Paulo.

No caso de temperaturas na escala Celsius, usamos como referência a temperatura de fusão do gelo (isto é, a temperatura em que o gelo derrete) ao nível do mar. Essa temperatura foi definida como zero grau Celsius, ou 0 ‘C.

Fonte:

Observe no mapa vemos que a temperatura mínima prevista para a cidade de Campos do Jordão foi negativa: 2 graus abaixo de zero ou 2 graus Celsius negativos, que também pode ser representada assim: -2 ‘C.

O sinal de menos indica que a temperatura é menor do que 0 ‘C.

Já a temperatura mínima prevista para Marília, por exemplo, foi de 6 graus acima de zero ou 6 graus Celsius positivos, que também pode ser representada assim: +6 ‘C, ou simplesmente 6 ‘C.

O sinal positivo indica que a temperatura é maior que 0 ‘C.

Para medir a temperatura, usamos um instrumento chamado termômetro

Orientações

O conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

Imagine que, em uma viagem de avião, o piloto comunique aos passageiros:

“Estamos voando a uma altitude de 9 km, com velocidade de 800 km/h. A temperatura externa é de -53 ‘C”.

Podemos dizer que o comandante está voando a uma altitude de 9 km acima do nível do mar, pois este é o referencial para medir a altitude. A esse nível é associado o número zero. As altitudes acima do nível do mar são representadas por números positivos (altitudes positivas) e, abaixo dele, por números negativos (altitudes negativas).

Em qualquer contexto em que apareçam números com sinais, é necessário fixar o referencial ao qual associamos o número zero. É em relação a esse referencial que temos: números negativos zero (0) números positivos.

• Os números maiores que zero, denominados números positivos, podem ou não ser precedidos do sinal +, pois o uso desse sinal é opcional.

Exemplos: +5; +13; +88; +674.

• Os números menores do que zero, chamados de números negativos, devem ser precedidos do sinal -

Exemplos: -4; -18; -61; -218.

O número zero (0) não é nem positivo nem negativo. Ele é chamado de neutro ou nulo

Sugerimos retomar, com os estudantes, alguns conhecimentos prévios sobre o conjunto dos números naturais, representado por N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}, mostrando que nem todas as operações com números naturais estudadas resultam em números naturais. Por exemplo, quando tentamos efetuar 3 - 5, sendo 3 e 5 números naturais, concluímos que o resultado da operação não pode ser encontrado no conjunto dos números naturais. Daí a necessidade de ampliar esse conceito com a inclusão dos números inteiros negativos. Assim, obtemos o conjunto dos números inteiros, representado por Z= {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. No conjunto dos inteiros, a operação 3 - 5 torna-se possível, pois o resultado é -2 (2 negativo).

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF07MA03 e EF07MA04

O conjunto dos números inteiros possibilita determinar o antecessor e o sucessor de qualquer número inteiro, estabelecendo, assim, uma relação de ordem.

Por exemplo: -1 é o antecessor de 0; -4 é o sucessor de -5.

A reta numérica do conjunto dos inteiros é infinita. Nela são representados todos os números negativos, os positivos e o zero, todos dispostos em relação ao zero, denominado origem Sugerimos representar retas numéricas em diferentes escalas.

Pode-se trabalhar a localização de números na reta: coloque alguns números na reta e peça aos estudantes que digam quais números faltam entre os representados.

No Pense e responda, espera-se que os estudantes já associem a ideia de profundidade a um número negativo, no caso - 11 000. Espera-se o mesmo na discussão de congelamento apresentada em Curiosidade É comum as pessoas acharem que diminuir a temperatura do ar condicionado diz respeito a deixar o ambiente mais quente. Discuta situações mais próximas como essa.

Reta numérica

Podemos representar o conjunto dos números inteiros em uma reta numérica. Em uma linha reta, marcamos um ponto O, chamado origem, que corresponde ao número inteiro zero, e a partir desse ponto adotamos um sentido positivo e um sentido negativo na reta. Em seguida, marcamos pontos nessa reta a uma mesma distância um do outro aos quais associamos os números inteiros.

números inteiros positivos números inteiros negativos

Algumas ideias e relações estudadas no conjunto dos números naturais são também válidas no estudo dos números inteiros. Veja, por exemplo, as noções de antecessor, sucessor e números consecutivos:

• 4 é o sucessor de 3;

Quando o número é positivo, o uso do sinal + é opcional.

• -6 é o antecessor de -5;

• -6, -5 e -4 são números inteiros consecutivos.

A Fossa das Marianas, que está localizada no Oceano Pacífico, é o lugar mais profundo do planeta a, aproximadamente, 11 000 metros. Como podemos representar esse valor por um número inteiro?

11 000

Fonte: CABRAL, Gabriela. Fossa oceânica. UOL [s. l.], c.2022. Mundo Educação. Disponível em: https:// mundoeducacao.uol.com.br/geografia/fossa-oceanica.htm.

Acesso em: 6 maio 2022.

Ilustração artística com cores-fantasia e fora de escala.

O congelamento, assim como a refrigeração, são processos de preservação de alimentos baseados no abaixamento da temperatura. O efeito conservador do frio deve-se à inibição parcial ou total de alguns agentes responsáveis pela degradação dos alimentos, como o crescimento e a atividade dos micro-organismos, as atividades metabólicas de tecidos vivos, as reações enzimáticas e bioquímicas.

Vegetais congelados

A diferença entre a refrigeração e o congelamento reside no grau de abaixamento da temperatura utilizado para a preservação do alimento. Enquanto na refrigeração utilizam-se temperaturas acima do ponto de congelamento, normalmente ao redor de 5 ‘C, no congelamento as temperaturas giram em torno de -18  ‘C. Consequentemente, tanto os possíveis danos ao alimento como o aumento da vida de prateleira são bem menores na refrigeração. [...]

NITZKE, Julio. Princípios. In: VEGETAIS CONGELADOS. [Porto Alegre]: UFRGS, [20--]. Disponível em: https://www.ufrgs.br/napead/projetos/vegetais-congelados/principios.php. Acesso em: 6 maio 2022.

Atividades Orientações

1 A imagem mostra a botoeira de um elevador.

a) Qual é o referencial para determinar quais números são positivos e quais são negativos?

b) Quais números são menores que zero?

c) Quais números são maiores que zero?

2 Leia o texto a seguir.

“O local mais profundo do Atlântico fica na Fossa de Porto Rico, um local denominado Depressão Brownson, a 8 378 m.”

AMOS, Jonathan. Conheça os 5 pontos mais profundos de cada oceano, mapeados por expedição. BBC News, [s l.], 17 maio 2021. Disponível em: https://www.bbc.com/portuguese/internacional-57141772#:~:text=O%20local%20mais%20profundo%20do,m)%2C%20na%20Fossa%20Tonga. Acesso em: 6 maio 2022.

Considerando a superfície do mar como referencial, a profundidade será um número maior ou menor que zero? Escreva esse número arredondando-o para a dezena mais próxima. Menor que zero; -8 380.

Módulo ou valor absoluto

Módulo ou valor absoluto de um número inteiro é a distância do ponto correspondente a um número na reta numérica até o ponto de origem (O).

OA B

0 -3 +4

Como a distância do ponto B até a origem O é igual a 3, dizemos que o módulo de -3 é 3. Desta forma, escrevemos:

• |-3| = 3 (Lê-se: módulo de menos três é igual a três.)

De maneira análoga, dizemos que o módulo de +4 é 4.

• |+4| = 4 (Lê-se: módulo de mais quatro é igual a quatro.)

Sendo x um número inteiro, temos: |x| = x, se x l 0 e |x| =-x, se x < 0.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA04

A atividade 1 apresenta uma situação bastante comum em áreas urbanas. Explore a imagem com os estudantes, explicando-a para aqueles que eventualmente não estejam habituados a usar elevadores. Comente que, nos elevadores, nem sempre o sinal de menos aparece diante dos números abaixo de zero. Em alguns casos pode aparecer S, indicando subsolo, ou seja, abaixo do solo, que é indicado por zero.

A atividade 2 retoma o contexto do Pense e responda da página anterior, apresentando um valor abaixo do nível do mar, considerado como zero.

Sugerimos observar que a distância entre 0 e 4 é igual à distância entre 0 e - 4, ou seja, 4 unidades.

Para aprofundar

O artigo a seguir trata de conceitos que envolvem o conjunto dos números inteiros.

• GONÇALVES, Kleber Ramos; BITTAR, Marilena. O bloco do saber do conjunto dos inteiros relativos. E ducação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 21, n. 5, p. 455-468, 2019. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/index. php/emp/article/view/45592/ pdf_1. Acesso em: 30 jun. 2022.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF07MA03 e EF07MA04

Para trabalhar o conceito de números opostos ou simétricos, sugerimos explorar a simetria existente na reta numérica. Peça aos estudantes que, com o auxílio de uma régua, construam a reta numérica em uma tira de papel, deixando a mesma distância entre os números. A seguir, mostre que, se dobrarem o papel na origem, ou seja, no ponto marcado pelo zero, os pontos representados pelos números opostos se sobrepõem. Por exemplo, -3 e +3 coincidem, assim como -4 e +4, -1 e +1 etc. Assim, evidencia-se que números opostos ou simétricos se encontram à mesma distância do zero.

Viagem no tempo traz informações sobre as primeiras referências a números negativos favorecendo o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1. Faça a leitura coletiva dele. É interessante propor aos estudantes que pesquisem sobre a relação entre a Matemática e o comércio ao longo da história para responder à questão 1 Resolução da questão 2

• 5 - 1 - 3 + 4 = 1 + 4 = 5 4

4 5 kg

• 5 - 2 + 2 - 3 = 5 - 3 = 2 4

4 2 kg

• 5 - 1 - 4 + 1 = 0 + 1 = 1 4

4 1 kg

Números simétricos ou opostos

Em uma reportagem, o jornalista disse: “Ontem a temperatura máxima atingiu 5 graus, e hoje, não passou dos 5 graus abaixo de zero!”. Vamos representar essas duas temperaturas em uma reta numérica.

Os pontos A e B estão à mesma distância da origem O, mas em lados opostos em relação a ela. Neste caso, dizemos que A e B são pontos simétricos. Também dizemos que os números +5 e -5, associados respectivamente aos pontos A e B, são números opostos ou simétricos. Podemos dizer, também, que o simétrico de +5 é -5 e que o simétrico de -5 é +5.

O simétrico de um número inteiro a é -a

Não, porque a distância de +10 até a origem é 10 e a de -100 até a origem é 100.

Os números +10 e -100 são simétricos? Por quê?

O surgimento dos números negativos

Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações-problemas consistia no uso dos símbolos + e –. Suponha que um comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em seu armazém. Se ele vendesse 5 Kg de arroz, escreveria o número 5 acompanhado do sinal –; se ele comprasse 7 kg de arroz, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +. [...]

SILVA, Marcos N. P. O surgimento dos números inteiros. UOL, [s l.], c2022. Mundo Educação. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/o-surgimento-dos-numeros-inteiros.htm. Acesso em: 6 maio 2022.

1. Como você pôde ver, a ideia dos números negativos está associada a questões externas à Matemática, derivadas do comércio. Quais são elas?

A representação de operações de compra e venda, perdas e dívidas.

2. Havia 3 sacos de sal com 5 kg cada um. Veja as transações que o comerciante registrou:

• no primeiro saco: 5 - 1 - 3 + 4;

• no segundo saco: 5 - 2 +2 - 3;

• no terceiro saco: 5 - 1- 4 + 1.

Ao final dessas transações, ele precisa verificar a quantidade que há em cada saco. Qual saco possui mais sal? E qual possui menos sal?

Mais sal: o 1? saco; menos sal: o 3? saco.

Atividades

1 Determine os números que correspondem a cada letra nas retas numéricas e diga quais letras representam números simétricos em relação ao zero.

AD C B a)

a) 20 -2 10

b)

Resolução da atividade 5 a Números inteiros a e bb -4 -3, -2, -1, 0, 1, 2 +3

-8 -7, -6, -5 -4 -12 -11, -10, -9, -8, -7 -6 -45 -44, -43, -42, -41, -40, -39 -38

2 Observe o quadro a seguir.

200-10

Ponto AB C D E

Valor numérico associado -4 -2 -1 3 6

C DB A E c)

C DB A E b) 60 -6

• Trace, no caderno, uma reta numérica e marque os pontos indicados no quadro.

• Na mesma reta, marque os pontos A’, B’, C’, D’ e E’, simétricos dos pontos dados com relação ao ponto O (0).

Resposta no Manual do Professor.

3 Observe a reta numérica.

A G C I E K B H D J F L

Considerando que a distância entre cada ponto da reta numérica é de 1 unidade, que número inteiro pode substituir cada letra, supondo que: Resposta pessoais.

a) E é a origem? b) I é a origem?

4 Escreva o antecessor e o sucessor de cada número abaixo.

Na atividade 6, verifique se os estudantes compreenderam o sentido da palavra "oposto" e se conseguiram escrever corretamente as situações opostas, bem como a relação do número como seu oposto.

Resolução da atividade 7

a) Como o módulo de um número inteiro representa a distância desse número até a origem, o módulo é sempre positivo. Verdadeira.

b) Como a distância correspondente ao número zero até a origem é nula, o módulo de zero é igual a zero. Verdadeira.

a) -18

19 e -17

b) -39 c) 55 d) 8 e) 0 f) 14 g) -1 h) -13 i) +3 j) -21

40

38

5 Reproduza, no caderno, o quadro a seguir e complete-o.

Respostas no Manual do Professor.

a Números inteiros entre a e b b

-4 -3, -2, -1, 0, 1, 2 +3

-8 -4 -12 -6 -45 -38

6 Escreva a situação oposta e os números opostos correspondente. Respostas no Manual do Professor.

a) Ângela chegou 1 hora antes do início do jogo.

Ângela chegou 1 hora depois do início do jogo. +1 hora; -1 hora

b) Indo a pé para a escola, levo 20 minutos a mais do que de bicicleta.

Indo de bicicleta para a escola, levo 20 minutos a menos que à pe. +20 minutos; -20 minutos

c) Ontem perdi 5 reais na rua.

Ontem achei 5 reais na rua. -5 reais; +5 reais

d) Em uma corrida, Gabriel chegou 10 segundos depois de Marcelo.

Em uma corrida, Marcelo chegou 10 segundos antes de Gabriel. +10 segundos; -10 segundos

7 Escreva V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. Justifique suas respostas e apresente-as as colegas.

a) O módulo de um número inteiro é sempre um número positivo.

b) O módulo de zero é igual a zero.

c) O módulo de +8 é maior do que o módulo de -8.

d) Existem dois números inteiros que têm módulo igual a 20.

e) O oposto do número -8 é

(

8).

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA03

Resolução da atividade 1

a) A =-8; B =-10; C = 6; D = 8.

A e D são simétricos.

b) A = 18; B = 24; C =-12; D =-18; E =-30.

A e D são simétricos.

Resolução da atividade 2

E’A

Resolução da atividade 3:

a) A =-4; B =-3; C =-2; D =-1; E = 0; F =+1;

G =+2; H =+3; I =+4; J =+5; K =+6; L =+7

b) A =-8; B =-7; C =-6; D =-5; E =-4; F =-3;

G =-2; H =-1; I = 0; J =+1; K =+2; L =+3

Se notar que os estudantes têm dificuldade em resolver a atividade 4, retome os conceitos de antecessor e sucessor e sugira a eles que busquem o auxílio de retas numéricas.

c) Como I+8| = 8 e I-8I = 8, os módulos são iguais. Falsa.

d) Como I+20I = 20 e I-20I = = 20. Verdadeira.

e) O oposto de -8 é + 8, que é igual a - (-8). Verdadeira.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA03

Faça a correção coletiva da atividade 8 perguntando aos estudantes se ainda têm alguma dúvida.

Resolução da atividade 9

a) Dia 1: (1, -2) 4 -2 ‘C

Dia 5: (5, 2) 4 2 ‘C

Dia 2: (0, 0) 4 0 ‘C

b) Dia 4: (4, 3) 4 3 ‘C

Dia 6: (6, -3) 4-3 ‘C

c) Dia 1: (1, -2) 4-2 ‘C

Dia 2: (2, 0) 4 0 ‘C

Dia 3: (3, 1) 4 1 ‘C

Dia 5: (5, 2) 4 2 ‘C

Dia 7: (7, 0) 4 2 ‘C

Dia 8: (8, -1) 4 -1 ‘C

Dia 9: (9, -1) 4 -1 ‘C

Faça a leitura coletiva do gráfico, relembrando pares ordenados e ressaltando que há o crescimento e o decrescimento das temperaturas. O item a da atividade 10 sugere que se faça uma pesquisa sobre os tópicos sugeridos. Abra um espaço para que compartilhem os resultados da pesquisa e pergunte as fontes de onde os dados foram retirados.

• Porque os icebergs são formados por água pura, que congela a 0 ‘C ao nível do mar, e a água do mar é salgada, o que faz diminuir a temperatura de congelamento (menor do que 0 ‘C).

• Joga-se sal misturado com areia porque o sal faz diminuir a temperatura de congelamento da água pura e a areia faz aumentar a aderência dos pneus.

8 Escreva usando números negativos e positivos.

a) Uma altitude de 1 200 m acima do nível do mar. +1 200

b) Uma altitude de 500 m abaixo do nível do mar. -500

c) Um crédito de R$ 1.352,00. +1 352

d) Um débito de R$ 275,00. -275

9 Regina reside em uma cidade da América do Norte onde, em muitos períodos do ano, a temperatura fica próxima a 0 °C. Ela registrou a temperatura de 10 dias consecutivos que ela verificou diariamente às 12h.

Temperatura observada durante 10 dias

a) Qual foi a temperatura registrada no dia 1? E no dia 5? E no dia 2?

b) Em que dia a temperatura registrada foi 3 °C? E -3 °C?

Fonte: Dados coletados por Regina. -2 °C, 2 °C e 0 °C Dia 4.

c) Quais temperaturas expressas por números inteiros estão entre -3 °C e 3 °C?

10 Analise as imagens. -2 °C, -1 °C, 0 °C, 1 °C e 2 °C

a) Faça uma pesquisa e descubra por quê: Respostas Manual do Professor.

• os icebergs ficam na fase sólida e a água do mar não?

• em países onde costuma nevar, coloca-se sal nas ruas para ajudar no derretimento do gelo?

b) Escreva as conclusões no caderno e apresente-as aos colegas para troca de ideias e informações.

Comparando números com sinais

Podemos comparar dois números inteiros usando a reta numérica. Veja o exemplo a seguir.

A temperatura média na Antártida é inferior a -20 ‘C. Já no deserto do Atacama, no Chile, durante o dia a temperatura pode alcançar 45 ‘C. Nesse caso, é fácil identificar qual número é maior.

A temperatura mínima prevista para uma cidade foi de -10 ‘ C, enquanto para outra cidade foi de -14 ‘C. Vamos identificar qual temperatura medida foi a mais baixa.

Observando a reta numérica, podemos concluir que a temperatura mais baixa foi de -14 ‘C.

Observando a reta numérica, responda:

1. Que número fica mais à direita na reta?

• +3 ou -2? +3 • -4 ou -2? -2

2. Compare os seguintes pares de números e escreva qual é o menor.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF07MA03 e EF07MA04

Apresente aos estudantes os exemplos das retas numéricas e explore a comparação entre os números usando a reta como suporte.

Se possível, elaborem coletivamente as conclusões sobre a comparação entre dois números positivos, entre dois números negativos e entre um número positivo e outro negativo.

• +3 e -3 -3 • 0 e -4 -4

-7 e +5 -7 • -12 e -6 -12 Como você explica isso? Resposta pessoal.

Formas de marcar o tempo

De uma maneira geral podemos dizer que um Calendário consiste em um conjunto de unidades de tempo (dias, meses, estações, ano…) organizadas com o propósito de medir e registrar eventos ao longo de “grandes períodos”.

LAS CASAS, Renato. Calendários. In: UFMG. Observatório Astronômico Frei Rosário. Caeté: UFMG, 26 fev. 2002. Disponível em: http://xingu.fisica.ufmg.br:8087/oap/public/pas39.htm. Acesso em: 17 fev. 2022.

Utilizando o calendário cristão, podemos representar os fatos históricos em uma linha do tempo. Nessa linha, o marco zero representa o nascimento de Jesus Cristo. Os fatos ocorridos antes do nascimento de Cristo são indicados por a.C. (antes de Cristo) ou pelo sinal -. Já os fatos ocorridos depois do nascimento são indicados por d.C. (depois de Cristo) ou pelo sinal +. Veja o esquema a seguir.

Para responder às questões do Pense e responda, sugira aos estudantes que os representem na reta numérica e verifiquem a posição que ocupam. Se um número se encontra situado à esquerda de outro, então é menor que esse outro. Por exemplo, comparando -2 com +3, observamos que -2 está à esquerda de +3; portanto, -2 <+3.

-2 +3 0

Leia o texto de Curiosidade coletivamente. Em seguida, pergunte aos estudantes se já viram esse tipo de indicação para algum fato ocorrido. O boxe dialoga com a área de História, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 3 Resolução do item a

|-753| + |-78| = 753 + 78 = = 831.

Fonte: GÖÖCK, Roland. Maravilhas do mundo. São Paulo: Círculo do Livro, 1968.

a) Quantos anos se passaram da fundação de Roma até a erupção do vulcão Vesúvio?

b) Os primeiros jogos olímpicos ocorreram na Grécia em 776 a.C. Roma já havia sido fundada? Justifique.

c) Troque ideias com os colegas sobre como você chegou a essa conclusão.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA04

Peça aos estudantes que resolvam individualmente as atividades da página e observe quais estratégias eles utilizam.

Se os estudantes tiverem dificuldade para resolver a atividade 1, sugira que localizem os números em uma reta numérica.

Resolução da atividade 2

a) Janeiro, fevereiro, março, novembro e dezembro. A menor temperatura foi registrada em janeiro: - 15 ‘C.

b) Abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro e novembro.

c) Janeiro, fevereiro, março, novembro e dezembro.

As atividades 3, 4 e 5 podem ser resolvidas com o apoio da reta numérica. No entanto, você pode desafiar os estudantes a resolver sem ela, desenvolvendo ainda mais o raciocínio numérico.

Ao resolver a atividade 4, observe se os estudantes estão seguros quanto ao uso dos sinais > e <

Atividades

1 A tabela mostra as temperaturas registradas em algumas cidades em uma noite de Natal. Em qual dessas cidades a temperatura foi a mais baixa nessa noite? Em Paris.

2 O quadro abaixo mostra as temperaturas máxima e mínima registradas na cidade de Montreal, no Canadá, em certo ano. Jan.Fev.Mar.Abr.MaioJun.Jul.Ago.Set.Out.Nov.Dez. Mín. (°C) -15 -13 -70712151493 -3 - 10 Máx. (°C) -6 -32111924262521136 -1

Fonte: CLIMA no Canadá: conheça um pouco sobre cada estação do ano. In CULTURA E ESTILO DE VIDA. [S. l.]: 3RA Intercâmbio, 4 jan. 2018. Disponível em: https://3raintercambio.com/clima-no-canada/. Acesso em: 6 maio 2022.

De acordo com os dados do quadro, responda ao que se pede.

a) Quais meses apresentaram temperaturas mínimas negativas em Montreal? Qual foi a menor temperatura registrada nesses meses?

b) Em quais meses a temperatura mínima foi maior que -7 ‘C?

c) Em quais meses a temperatura máxima foi menor que 11 ‘C?

3 Escreva:

a) os cinco primeiros números inteiros maiores que -2;

b) os seis primeiros números inteiros maiores que +3;

c) os quatro primeiros números inteiros maiores que -12;

d) os números inteiros maiores que -8 e menores que 1.

4 Para obter uma sentença verdadeira, substitua o por > ou <

a) 8 12 < b) -7 10 < c) 0 -9 > d) –80 -1 <

5 Observe os números do quadro a seguir. -7 -18 910 -26 -15 -32 23 -4 018

a) Qual é o maior número? E o menor?

b) Escreva os números em ordem crescente.

c) Quais desses números estão entre -20 e 10?

d) Quais desses números são menores que -19?

e) Quais desses números têm valor absoluto maior que 14?

6 Escreva V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. Justifique as respostas com exemplos.

a) Um número inteiro positivo é sempre maior que um número inteiro negativo.

b) Entre 24 e 14 existem exatamente 5 números inteiros.

c) O número zero é maior que qualquer outro número negativo.

d) O maior número inteiro negativo é – 1.

Resolução da atividade 6

a) Na reta numérica, podemos observar que os números negativos estão todos à esquerda dos números positivos e, portanto, são menores que eles. Verdadeira. -3 -2 -1 5 34 102 -4 -3 -2 -1 23 10

b) Escrevendo os números inteiros, temos: 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Entre 14 e 24 temos 9 números inteiros. Falsa.

c) Observando a reta numérica, concluímos que a afirmação é verdadeira, pois o número zero está localizado à direita de qualquer número negativo.

d) Na reta numérica, podemos observar que o -1 é o primeiro número à esquerda o zero e, portanto, o maior número inteiro negativo. Verdadeira.

3

2

1 5 34 102

7 Qual é o maior número inteiro formado por dois algarismos?

8 Um número é maior que -900 e menor que -800. Nele, o algarismo das unidades é 7 e o algarismo das dezenas é 5. Qual é esse número?

-857

Copie o quebra-cabeça, cuja regra é: completá-lo com números de 1 a 9 considerando que cada número deve aparecer apenas uma vez na horizontal, na vertical e em cada quadrado 3 * 3.

Resposta no Manual do Professor.

Sistema de coordenadas cartesianas

Já vimos que, para representar pontos em um plano, usamos o sistema de coordenadas cartesianas Esse sistema é formado por dois eixos perpendiculares entre si, que se interceptam no marco zero, denominado origem. O eixo horizontal é comumente nomeado de eixo x, e o eixo vertical, de eixo y

Veja abaixo o quadro completo. 751438962

369127584

428596371

532869147

987241653

614375829

146982735

275613498

893754216

Vamos agora. retomar e ampliar o estudo sobre o sistema de coordenadas cartesianas, visto em anos anteriores.

Resolução do Lógico, é lógica! Peça aos estudantes que observem que, na 4a linha de baixo para cima, faltam os números 4, 7 e 8. Como o 7 e o 8 já estão na terceira coluna, no quadradinho do cruzamento da 4a linha com a 3a coluna deve ser colocado o número 4. Da mesma forma, no quadradinho do cruzamento da 4a coluna com a 5a coluna, o número 8 não pode ser colocado. Assim, nesse quadradinho colocamos o número 7. Resta o 8 para ser colocado no quadradinho do cruzamento da 4a linha com a 7a coluna. Continuando com esse raciocínio, colocamos todos os números no quadro.

Agora vamos ampliar esse conceito para números inteiros.

Um ponto P do plano é representado de maneira única nesse sistema de coordenadas.

Traçando retas perpendiculares aos eixos x e y que se cruzam em P, os valores de a e de b dos pontos em que as perpendiculares encontram os eixos são chamados coordenada a ou abscissa a do ponto P e coordenada b ou ordenada b do ponto P. Essas coordenadas são indicadas pelo par ordenado (a, b). Reciprocamente, considerando as coordenadas de um ponto, podemos localizá-lo no plano x0y

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 2 Resolução da atividade 7

Orientações

Comente com os estudantes que o par ordenado indica as coordenadas de um ponto localizado no plano. Ressalte que a ordem em que elas se apresentam é muito importante, sendo o par simbolicamente compreendido por: P (x,y).

Leve os estudantes a observar que o eixo x é uma reta infinita que divide o plano em duas partes, e que o eixo y é uma reta infinita, perpendicular ao eixo x, cortando-o na origem. Dessa forma, o plano é dividido em 4 partes infinitas e iguais, as quais denominamos quadrantes, como mostra a figura a seguir. 2o

Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes, cuja identificação é feita conforme indicados no plano cartesiano a seguir.

O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada, varia de acordo com o quadrante.

O termo cartesiano foi dado em homenagem ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), um dos responsáveis pela criação do sistema de eixos e coordenadas para a localização de pontos no plano.

Fonte: FRAZÃO, Dilva. René Descartes – Filósofo e matemático francês. In:E-BIOGRAFIA. [São Paulo], c2020-2022. Disponível em: https://www.ebiografia.com/rene_descartes/. Acesso em: 6 maio 2022.

Observe que:

• no 1o quadrante, a abscissa e a ordenada são positivas (+, +);

• no 2o quadrante, a abscissa é negativa e a ordenada é positiva (, +);

• no 3o quadrante, a abscissa e a ordenada são negativas (, -);

Veja o exemplo.

y

• O par ordenado (2, 3) indica a localização do ponto A dada por 2 no eixo x e 3 no eixo y

• O par ordenado (-5, 4) indica a localização do ponto B dada por -5 no eixo x e 4 no eixo y

• O par ordenado (0, -2) indica a localização do ponto C dada por 0 no eixo x e -2 no eixo y

• O ponto de encontro dos eixos cujo par ordenado é (0, 0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.

0 y

2o quadrante (x < 0 e y > 0) 1o quadrante (x > 0 e y > 0)

• no 4o quadrante, a abscissa é positiva e a ordenada é negativa (+, -). Curiosidade remete ao fato de o plano ser chamado de cartesiano como homenagem ao matemático René Descartes, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1 Na questão 1 de Pense e responda, espera-se que os estudantes respondam que os pontos não são coincidentes. Se necessário, peça que representem esses pontos no plano cartesiano, como a seguir.

3o quadrante (x < 0 e y < 0) 4o quadrante (x > 0 e y < 0)

1. Observe os pontos correspondentes aos seguintes pares ordenados na figura:

• (4, 5) e (5, 4); • (-3, -4) e (-4, -3). Eles têm a mesma localização no plano cartesiano?

2. O que deve ocorrer com as abscissas (eixo x) e com as ordenadas (eixo y) dos pares de ordenadas (a, b) e (c, d) para que representem o mesmo ponto no plano cartesiano? a = c e b = d

Sendo C (-4, -3) e D (-3, -4), eles não têm a mesma localização.

No item 2, os estudantes devem perceber que as abscissas devem ser iguais e as ordenadas também devem ser iguais, ou seja: a = c e b = d.

Sendo A (4, 5) e B (5, 4), eles não têm a mesma localização.

Atividades Orientações

1 Observe os pontos no plano cartesiano.

Ilustrações:

a) A(4, 3); B(0, 4); C(-6, 3); D(-4, 0); E(-6, -5); F(0, -2); G(7, -3). G; C e E B e E. D. B e F. A e G; E, F e G

a) Escreva os pares ordenados correspondentes aos pontos A, B, C, D, E, F e G

b) Desses pontos, qual tem a maior abscissa? E a menor?

c) Desses pontos, qual tem a maior ordenada? E a menor?

d) Quais dos pontos têm coordenada y igual a zero?

e) Quais dos pontos têm coordenada x igual a zero?

f) Quais dos pontos têm abscissa positiva? E ordenada negativa?

a) A(-9, 0), B(-9, 6) e C(0, 6)

2 Represente, em um sistema cartesiano, os três polígonos com os vértices dados a seguir. Depois responda: Qual é o nome dos polígonos formados?

Triângulo.

b) M(-10, -2), N(-13, -5), P(-5, -5) e Q(-2, -2)

c) S(4, 11), T(4, 4), U(8, 1), V(11, 1), X(14, 4) e Z(14, 11)

3 Dê as coordenadas dos vértices dos polígonos representados a seguir.

10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 x 0 y -10 J G H E F AB D K I C 5 5 -5 -5 x A D C B F G E 0 y Faça no caderno

4 Represente os pontos A(2, 3), B(8, 3), C(8, 9) e D(2, 9) em um plano cartesiano. Depois, trace o polígono ABCD

b) Calcule o perímetro e a área do polígono formado. Quadrado. P = 24 e A = 36.

a) Que polígono você obteve?

x x

Ilustrações: Fórmula Produções

Resolução da atividade 3

ABCD : A ( - 50, 40), B ( - 30, 40), C(0, 20) e D(-50, 20).

EFGH: E(-30, -30), F(-10, -50); G(40, 0) e H(20, 20).

IJK: I(20, -50), J(60, -20) e K(60, -50).

x

a) Triângulo x x x C B A y y N M P Q T S X U V Z 1 0 0 0 1234567891011121314 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x y 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12345678910 A B D C -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 b) Paralelogramo x x x C B A y y N M P Q T S X U V Z 1 0 0 0 1234567891011121314 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x y 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12345678910 A B D C -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 c) Hexágono x x x C B A y y N M P Q T S X U V Z 1 0 0 0 1234567891011121314 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x y 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12345678910 A B D C -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13

b) P = 6 4 = 24 4 24 unidades de comprimento.

Orientações

Resolução da atividade 5

Analisando os dados do gráfico, temos:

• Lucro:

janeiro: R$ 200,00; fevereiro; R$ 400,00; abril: R$ 500,00 e junho: R$ 600,00.

• Prejuízo:

março: R$ 200,00 e maio: R$ 300,00.

Além de estimular a análise do gráfico retratado, a atividade trabalha os números inteiros e sua representação na reta numérica em posição vertical, e relaciona o conceito de lucro ao sinal positivo, pois indica ganho, e de prejuízo ao sinal negativo, pois revela perda – relações sempre muito utilizadas na resolução de problemas simples do cotidiano.

Resolução da atividade 6

b) 400 + 500 + 200 + 100 + + 100 + 700 + 300 + 200 + + 400 + 100 + 500 = 3 500 4

4 3 500 m = 3,5 km

5 O gráfico abaixo apresenta o demonstrativo financeiro de uma papelaria durante o primeiro semestre de 2022.

a) Em que meses desse semestre a papelaria teve lucro? E em que meses teve prejuízo?

b) Em que mês ocorreu o maior lucro? De quanto foi esse lucro?

Em janeiro, fevereiro, abril e junho ela teve lucro. Em março e maio teve prejuízo. Junho. R$ 600,00.

6 Observe o trajeto que vai do ponto M ao ponto P e sua representação na imagem abaixo.

a) Agora, descreva o trajeto do ponto A ao ponto B indicado abaixo. 4L, 5N, 2O, 1S, 1O, 7N, 3L, 2N, 4O, 1N, 5L

b) Quantos metros têm esse trajeto? E quantos quilômetros?

3 500 m; 3,5 km

c) Desenhe um trajeto em uma folha de papel quadriculado e dê para um colega descrevê-lo, enquanto você descreve o que ele desenhou. Depois, confiram juntos as resoluções.

Adição e subtração com números inteiros

O funcionário de um mercado foi verificar a massa de cinco pacotes A, B, C, D e E de certo produto. Cada pacote deveria ter exatamente 500 gramas, mas nenhum deles estava com a medida correta. O funcionário anotou a diferença de massa de cada pacote em um quadro:

Diferença de massa +11 -13 -10 +7 -26

Com quantos gramas desse produto estavam os pacotes A e B? Explique como você chegou a essa conclusão. A: 511 g e B: 487 g. Resposta pessoal.

Orientações

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EF07MA03 e EF07MA04

Resolução de Para começar

O ponto de partida é 500 g. Então:

A = 500 + 11 = 511 4 g e

B = 500 - 13 = 487 4 487 g.

Para introduzir a adição de números inteiros, sugerimos a representação dos números na reta numérica.

A partir da origem, ou seja, do zero, deslocamos a quantidade indicada na primeira parcela da adição para a direita, se o número for positivo, ou para a esquerda, se o número for negativo. Depois, deslocamos a quantidade de unidades indicada na segunda parcela. O número encontrado será a soma dos números dados, como nos exemplos a seguir.

Adição

Para estudar os processos que envolvem a adição de números inteiros vamos analisar algumas situações.

Neusa e Odair estão jogando dados de um jeito diferente: Em um saquinho há um dado verde, que representa pontos ganhos (pontos positivos), e um dado vermelho, que representa pontos perdidos (pontos negativos). Cada jogador, na sua vez e sem ver a cor, retira um dado do saquinho e o lança sobre a mesa. Observe a pontuação de cada um na primeira rodada.

O saldo de cada jogador é a soma dos pontos obtidos em cada jogada. Podemos representar, na reta numérica, os pontos de Neusa e de Odair na primeira rodada.

Tomamos como ponto de partida a origem e, então, deslocamos os pontos ganhos para o sentido positivo (à direita) e os pontos perdidos para o sentido negativo (à esquerda).

Na pontuação de Odair, como a primeira parcela é negativa, saímos do zero e andamos quatro unidades para a esquerda. Como a segunda parcela também é negativa, andamos mais duas unidades para a esquerda a partir de onde paramos. Chegamos, então, a -6.

Objetivos do capítulo

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da adição.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição e subtração em à

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2 e 5

Competências específicas 1, 2 e 5 Habilidades EF07MA03, EF07MA04 e EF07MA07

Apresente aos estudantes vários exemplos de adições e induza-os a notar que:

• o resultado da adição de dois números positivos é sempre um número positivo;

• o resultado da adição de dois números negativos é sempre um número negativo;

• o resultado da adição de um número positivo com um número negativo pode ser negativo ou positivo.

Orientações

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EF07MA03 e EF07MA04

Com base nas observações levantadas sobre a soma de dois números inteiros, sugerimos formalizar as regras.

• Para efetuar adição de números inteiros, é necessário observar os sinais dos números.

• Se os números tiverem sinais iguais, deve-se adicioná-los e manter o sinal.

• Se os números tiverem sinais diferentes, deve ser feita a subtração deles (maior módulo –menor módulo), mantendo o sinal do maior número em módulo.

Ao efetuar (-3) + (+2), obtemos como soma -1, pois, como os números têm sinais diferentes, fazemos a subtração entre os módulos dos números (|-3| - |+2| = 1) e atribuímos o sinal do maior em módulo (3), chegando ao resultado 1.

Para facilitar a adição de números inteiros, sugerimos apresentar aos estudantes a regra para a eliminação dos parênteses: os parênteses das parcelas podem ser eliminados mantendo-se os sinais dos números, como nos exemplos a seguir.

(-3) + (+2) =-3 + 2 =-1

(-3) + (-2) =-3 - 2 =-5

(+3) + (+2) =+3 + 2 =+5

(+3) + (-2) =+3 - 2 =+1

No Pense e responda, os estudantes serão conduzidos a fazer análises e comparações entre inteiros. Sugira a utilização da a reta numérica para visualizar as operações propostas. Na questão 2, espera-se que eles respondam que a adição de qualquer número inteiro com zero terá como resultado o próprio número e que a soma de dois números simétricos tem resultado zero. Compartilhe as estratégias utilizadas pelos estudantes.

Para adicionar dois números inteiros de mesmo sinal, adicionamos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles.

Na pontuação de Neusa, como a primeira parcela é positiva, partindo do zero, andamos quatro unidades para a direita. Como a segunda parcela também é positiva, andamos mais três unidades para a direita a partir de onde paramos. Chegamos, então, a +7.

Podemos representar assim:

Representação do saldo de Neusa

(+4) + (+3) =+4 + 3 =+7

parcelas soma

Representação do saldo de Odair (-4) + (-2) =-4 - 2 =-6

parcelas soma

Observe na situação anterior que +4 e +3 têm o mesmo sinal e que -4 e -2 também têm o mesmo sinal.

Acompanhe mais essa situação: Imagine que um noticiário afirme que, às 5 horas da manhã, os termômetros marcaram 6 graus abaixo de zero na cidade de São Joaquim, em Santa Catarina, e que, às 10 horas da manhã, a temperatura subiu 4 graus. Como podemos determinar a temperatura em São Joaquim às 10 horas da manhã?

Para calcular o resultado devemos desenvolver a adição:

(-6) + (+4) =-6 + 4 =-2

Na reta numérica, podemos indicar assim:

Para adicionar dois números inteiros de sinais contrários subtraímos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto.

Primeiro marcamos o valor -6 na reta e, depois, deslocamos +4 para a direita. Portanto, às 10 horas, a temperatura era de -2 ‘C em São Joaquim.

Observe na situação anterior que -6 e +4 têm sinais contrários. O resultado, -2, tem o sinal do maior valor absoluto, que é 6.

1. Qual é a soma de:

• +11 e 0? +11

• -15 e 0? -15

• -32 e 32? 0

• -8 e 8? 0

2. Que considerações você pode fazer acerca da soma de um número inteiro com zero? E da soma de dois números inteiros simétricos (que estão à mesma distância do zero)? Respostas pessoais.

3. Quando a soma de dois números inteiros de sinais diferentes é positiva?

Quando o sinal do número de maior valor absoluto for positivo.

4. Quando a soma de dois números inteiros de sinais diferentes é negativa?

Quando o sinal do número de maior valor absoluto for negativo.

Atividades Orientações

1 Considere as informações a seguir.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

• Dado vermelho: pontos perdidos.

• Dado verde: pontos ganhos. Qual é o total de pontos (saldo) em cada jogada?

a)

b)

2 Efetue as operações.

a) (+25) + (+12)

b) (-15) + (-15)

c) d)

c) (+34) + (-20)

d) (+8) + (-50)

3 Observe a temperatura indicada neste termômetro de rua. Luiz Barrionuevo/Shutterstock.com

Termômetro de rua. Quantos graus ele marcará se a temperatura:

a) aumentar 3 ‘C?

4 Que número devemos adicionar a:

a) - 6 para obter 4?

b) -20 para obter -8?

b) diminuir 8 ‘C?

c) diminuir 12 ‘C?

c) 7 para obter -3?

d) 15 para obter 0?

5 Em uma noite de inverno, dois amigos resolveram monitorar a temperatura do lado de fora da casa em que estavam. De hora em hora, eles observavam a temperatura e anotavam em um papel. A primeira anotação foi às 18 horas e o termômetro registrava 8 ‘C. A última anotação foi à meia-noite, quando o termômetro marcava -4 ‘C.

a) Qual foi a variação de temperatura nesse período? 12 ‘C

b) Em média, de quanto foi a queda de temperatura a cada hora? 2 ‘C

c) Considere que, depois da meia-noite, a queda da temperatura se manteve constante e igual à média calculada. Qual seria o registro do termômetro às 2 horas da madrugada? -8 ‘C

Resolução da atividade 1

a) - 4 + 2 = -2

b) - 1 + 6 = 5

c) - 3 + 3 = 0

d) - 4 + 1 = -3

Resolução da atividade 2

a) 25 + 12 = 37

b) - 15 - 15 = -30

c) 34 - 20 = 14

d) 8 - 50 = -42

Resolução da atividade 3

a) 33 + 3 = 36 4 36 °C

b) 33 - 8 = 25 4 25 °C

c) 33 - 12 = 21 4 21 °C

Resolução da atividade 4

a) -6 + ■ = 4

■ = 4 - (-6) ■ = 4 + 6 = 10

b) -20 + ■ =-8

■ =-8 - (-20)

■ =-8 + 20 = 12

c) 7 + ■ =-3

■ =-3 - 7 =-10

d) 15 + ■ = 0

■ = 0 - 15 =-15

Resolução da atividade 5

a) 8 - (-4) = 8 + 4 = 12 4 12 °C

b) 12 : 6 = 2 4 2 °C por hora

c) -4 - (2 2) =-4 - 4 = -8 4

4-8 °C

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

Resolução da atividade 6

... 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29,...

10o termo 15o termo 19o termo

Portanto, a = 21 e b = 29.

(a - b) = 29 - 21 = 8, que é múltiplo de 4.

Resolução da atividade 7

a) 300 + ■ = 240

■ = 240 - 300 =-60 4

4-R$ 60,00

Na atividade 8, convide alguns estudantes a compartilhar os problemas que elaboraram, mostrando a resolução na lousa.

Resolução da atividade 9

a) 600 - 670 =-70 4

4-R$ 70,00

b) 600 + 200 = 800 4 R$ 800,00

c) 600 - 600 = 0 4 R$ 0,00

Resolução da atividade 10

Pirâmide da esquerda.

1; linha acima da base:

+8 - 2 =+6 -2 + (-5) =-2 - 5 =-7

2; linha:

+6 + (-7) = -1

Pirâmide da direita.

1; linha acima da base:

-10 + 2 = -8

+2 + (+5) = +2 + 5 = +7

+5 + (-4) = +5 - 4 = +1

2; linha: -8 + 7 =-1

+7 + 1 =+8

3; linha: -1 + 8 =+7

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Resolução da atividade 10

Ao introduzir as Propriedades da adição com números inteiros, relembre aos estudantes essas propriedades no conjunto dos números naturais e, se necessário, faça uma revisão utilizando números naturais.

6 Os números inteiros da sequência (-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...) são sucessivamente obtidos de acordo com certa regra. Se a e b são, respectivamente, o décimo quinto e o décimo nono número dessa sequência, então (b – a) é um número:

I. divisível por 3. II. múltiplo de 4. III. múltiplo de 5. Quais das afirmações anteriores são verdadeiras?

7 Antônio depositou R$ 300,00 em sua conta corrente em um banco e seu saldo passou a ser R$ 240,00. Qual era o saldo de Antônio antes do depósito?

8 Elabore um problema envolvendo saldo bancário positivo e negativo. Releia-o para fazer adequações no texto, se necessário, e dê para um colega resolver, enquanto você resolve o problema elaborado por ele.

9 Márcia tem um saldo de R$ 600,00 em sua conta corrente em um banco. Qual será o saldo se ela:

a) retirar R$ 670,00?

b) depositar R$ 200,00?

c) retirar R$ 600,00?

$ 60,00. Resposta pessoal. -R$ 70,00. R$ 800,00. R$ 0,00.

10 Na pilha abaixo, vale a regra: -7 + 2 =-5.

Usando a mesma regra, copie e complete as pilhas a seguir com os números que faltam.

Propriedades da adição

Propriedade comutativa

A ordem das parcelas não altera a soma.

Exemplo: (+8) + (-13) =-5 e (-13) + (+8) =-5.

Propriedade associativa

Associando as parcelas de modos diferentes, a soma não se altera. Exemplo: Vamos fazer a adição (-7) + (-5) + (+15) de duas maneiras.

• Associando as duas primeiras parcelas:

• Associando as duas últimas parcelas:

Elemento neutro

Observe as adições a seguir em que o zero é uma das parcelas.

• (-8) + 0 =-8 • 0 + (+5) =+5 • (-12) + 0 =-12

Em cada uma delas o resultado é igual à outra parcela. Por isso, dizemos que zero é o elemento neutro da adição de números inteiros.

Elemento oposto

Veja agora estas adições:

• (+3) + (-3) = 0

• (-12) + (+12) = 0

• (+1) + (-1) = 0

As parcelas são números inteiros opostos (ou simétricos) e a soma é igual a zero. Essa propriedade é chamada de elemento oposto ou elemento simétrico

O quadro a seguir apresenta, simbolicamente, um resumo das propriedades que acabamos de estudar. As letras a, be c representam números inteiros quaisquer.

Propriedades

comutativa a + b = b + a

associativa (a + b) + c = a + (b + c)

elemento neutro a + 0 = a

elemento oposto a + (-a) = 0

1. Qual é a soma de:

• -3 e 1? -2 • -5 e -6? -11 • 7 e -4? 3

2. A soma de dois números inteiros é negativa. Sabendo que um dos números é negativo, como deve ser o outro número? Como você explica isso?

Respostas no Manual do Professor.

Vamos calcular o valor da expressão: (+18) + (-8) + (-4) + (-10) usando as propriedades da adição.

Dependendo de como utilizamos essas propriedades, alguns cálculos podem se tornar mais simples. Veja os passos a seguir.

1? passo: (+18) + (-8) + (-4) + (-10) =

2? passo: (+10) + (-4) + (-10) =

3? passo: (+10) + (-10) + (-4) =

4? passo: 0 + (-4) =-4

No 1? passo, foi usada a propriedade associativa; no 2? passo, a propriedade comutativa; no 3? passo, a propriedade do elemento oposto; no 4? passo, a propriedade do elemento neutro.

Descreva com palavras cada passo da resolução anterior. Resposta no Manual do Professor.

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

O item 1 do primeiro Pense e responda traz três exemplos de adições em que pelo menos uma das parcelas é um número negativo. Se o estudante acertar os cálculos, poderá responder facilmente ao item 2, observando que, se uma das parcelas é um número negativo e o resultado também é negativo, há duas possibilidades: 1) a outra parcela também é um número negativo; 2) a outra parcela é um número positivo de módulo menor que o da parcela negativa.

Para efetuar adições com várias parcelas de números inteiros, sugerimos comentar que podemos usar a propriedade associativa, inicialmente adicionando todos os números positivos, obtendo um número positivo; depois, adicionando todos os números negativos, obtendo como resultado um número negativo; e, finalmente, adicionar os dois valores obtidos e atribuir ao resultado o sinal do maior valor em módulo.

Resolução do segundo Pense e responda

1? passo: adicionamos a dezoito menos oito, menos quatro e com menos dez.

2 ? passo: adicionamos dezoito com menos oito obtendo dez, mantendo a posição de menos quatro e menos dez.

3? passo: trocamos de posição o menos dez com menos quatro.

4? passo: adicionamos dez com menos dez obtendo zero, e o adicionamos a menos quatro, obtendo menos quatro.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04. Se achar oportuno, proponha que sejam realizadas em duplas, para que, juntos, encontrem o processo de resolução mais adequado.

Resolução da atividade 1

a) 11 + ■ = 5 + 11

■ = 5 + 11 - 11 = 5

b) ■ + (-30)=-30

■ -30 =-30

■ =-30 + 30 = 0

c) (-22) + ■ = 0

■ = 0 + 22 = 22

d) (-6) + (■) = (-3) +(-6)

■ =-3 - 6 + 6 =- 3

Resolução da atividade 2

a) 5 - 8 + 7 - 2 =

= 5 + 7 - 8 - 2 =

= 12 - 10 = 2

b) - 10 + 30 + 80 - 90 =

= 30 + 80 - 10 - 90 =

= 110 - 100 = 10

Resolução da atividade 3

1; estação: 360

2; estação: 360 + 98 - 37 = 421

3; estação: 421 + 15 - 70 = 366

4; estação: 366 + 118 - 295 = 189

Última: 189 passageiros.

A atividade 4, observe as estratégias utilizadas pelos estudantes e faça uma roda de conversa sobre as escolhas que fizeram e as respectivas justificativas.

Na atividade 5, os estudantes podem resolver por tentativa e erro ou utilizar a operação inversa para chegar ao resultado.

Atividades complementares

Sugerimos aproveitar para explorar conceitos de matemática financeira, como saldo positivo, saldo negativo, lucro, prejuízo, dívida e desconto, associando suas representações aos números inteiros. Peça aos estudantes que providenciem recortes de jornais, revistas, extratos bancários ou qualquer impresso que se refira a esses assuntos. Discuta com eles os conceitos envolvidos e mostre, por exemplo, que o lucro sempre será representado por um número positivo, e o prejuízo sempre será representado por um número negativo.

Em geral, os saldos bancários são representados por números positivos ou negativos, porém não inteiros. Aproveite a oportunidade para observar que os conceitos de número positivo e negativo se estenderão para os outros conjuntos numéricos.

Atividades

1 Qual número devemos substituir pelo para que cada igualdade seja verdadeira?

a) 11 += 5 + 11

b) + (-30) =-30

2 Calcule o valor das expressões.

a) (+5) + (-8) + (+7) + (-2) +2

b) (-10) + (+30) - (-80) + (-90) +10

c) (-22) += 0

d) (-6) + ( ) = (-3) + (-6)

3 Ao sair de uma estação, um trem estava com 360 passageiros. No quadro abaixo, os números escritos com o sinal + indicam a quantidade de passageiros que subiram no trem em cada estação, e os com sinal -, aqueles que desceram.

Estação 1; 2; 3; 4; última

Quantidade de passageiros +360 +98 -37 +15 -70 +118 -295 ?

Quantos passageiros vão descer na última estação?

4 As adições podem ser calculadas de muitas maneiras. A seguir, observe algumas delas.

a) Qual dessas estratégias de cálculo você prefere? Justifique sua escolha. Respostas pessoais.

b) Usando as propriedades da adição, cálculo mental e criatividade, efetue:

Agora, convide um colega e, juntos, verifiquem se as resoluções estão corretas.

5 Em cada item, encontre os números que, adicionados, resultem na soma indicada.

6 Observe e complete o extrato da movimentação bancária de Nelson.

Extrato bancário

Período: 11/01/2022 – 15/01/2022

Banco: Bom Agência: 0014-5

Nome: Nelson Melo C.c: 0000091-7

Data HistóricoDébito/CréditoSaldo

11/01Taxa extrato -2 reais 200 reais

12/01Pagamento conta de luz -57 reais 143 reais

13/01Crédito salário +1 200 reais1 343 reais

14/01Saque no caixa -300 reais 1 043 reais

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

Resolução da atividade 6

a) -2 - 57 - 300 =

=-359 4-R$ 359,00

b) 1 200 + 121 = 1 321 4

4 R$ 1.321,00

c) 200 - 57 + 1 200 - 300 + 121 =

= 1 164 4 R$ 1.164,00

Resolução da atividade 7

Júlio: 120 - 15 + 23 + 13 - 9 =

= 116 4 116 figurinhas.

a) Quanto foi retirado da conta-corrente de Nelson no período de 11/1/2022 a 15/1/2022?

b) Que quantia entrou na conta de Nelson nesse período?

c) Como o saldo final que aparece no extrato foi calculado?

7 Júlio e Cláudia adoram jogar figurinhas. O resultado do jogo, após duas partidas, está no quadro abaixo.

1; partida 2; partida ganhou perdeu ganhou perdeu

Júlio 1523139

Cláudia 12172210

Júlio começou o jogo com 120 figurinhas, e Cláudia com 138. Calcule com quantas figurinhas cada um ficou depois das duas partidas.

Cláudia: 138 + 12 - 17 + 22 -

- 10 = 145 4 145 figurinhas.

Resolução da atividade 8

8 000 - 750 = 7 250

7 250 - ■ = 6 540

■ = 7 250 - 6 540

■ = 710 4 R$ 710,00

Resolução da atividade 9

15/01 Depósito +121 reais1 164 reais Resultado

Júlio: 116 figurinhas; Cláudia: 145 figurinhas. R$ 710,00.

O gráfico associa o resultado positivo ao lucro e o resultado negativo ao prejuízo. São três resultados positivos: 4 + 3 + 6 e dois resultados negativos: 4 + 2.

Total:

8 De uma dívida de R$ 8.000,00, obteve-se um desconto de R$ 750,00 e, em seguida, outro desconto que reduziu a dívida para R$ 6.540,00. Qual foi o valor do segundo desconto?

9 O gráfico mostra os resultados operacionais bimestrais de uma empresa, em milhões de reais, nos cinco primeiros bimestres de 2022.

Nesses cinco bimestres considerados, o resultado operacional foi:

a) lucro de 6 milhões de reais.

b) lucro de 7 milhões de reais.

c) prejuízo de 2 milhões de reais.

Qual das afirmativas acima é verdadeira?

Pode ser mais de uma.

Somente a alternativa b

13 + (-6) =+7 4 7 milhões de reais.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF07MA03 e EF07MA04

Para introduzir a subtração de inteiros, sugerimos fazer uso da representação dessa operação na reta numérica.

Na subtração, a partir do zero, deslocaremos a quantidade indicada:

• para a direita (4), se o número for positivo;

• para a esquerda (4), se o número for negativo.

Subtração

Acompanhe a situação a seguir.

Um jornal publicou o registro da temperatura de duas cidades, A e B, em determinado dia.

Como podemos encontrar a variação de temperatura registrada em cada cidade?

A variação de temperatura, que também chamamos de amplitude térmica, é a diferença entre as temperaturas máxima e mínima, ou seja, devemos efetuar uma subtração. Observe na tabela a seguir as temperaturas registradas nas cidades A e B.

(em ‘C)

Fonte: Dados fictícios.

Vejamos a variação de temperatura na cidade A.

oposto de +5

(+22) - (+5) = (+22) + (-5) =+22 - 5 =+17

Para subtrair dois números, adicionamos ao primeiro número o oposto do segundo.

Representando na reta numérica, temos:

A amplitude térmica na cidade A foi de 17 ‘C. Vejamos, agora, a variação de temperatura na cidade B.

oposto de -3

(+9) - (-3) = (+9) + (+3) =+9 + 3 =+12 Adicionamos ao primeiro número o oposto do segundo. Representando na reta numérica, temos:

Como a subtração no conjunto dos números inteiros pode ser transformada em adição, ela pode ser considerada uma única operação chamada adição algébrica, e o resultado é chamado de soma algébrica

1. Após cair 6 °C, a temperatura na cidade atingiu -2 °C. Qual era a temperatura anterior?

4 °C

2. Escolha um dia da semana anterior à realização dessa atividade e busque informações sobre qual foi a amplitude térmica em sua cidade nesse dia. Resposta pessoal.

Atividades

1 Teoricamente, a menor temperatura possível de ser atingida, chamada de zero absoluto, é –273 ‘C. Veja no quadro ao lado as temperaturas mínimas que algumas substâncias atingem no ponto de fusão (PF)

Calcule a diferença entre a temperatura de cada substância em seu ponto de fusão (PF) e o zero absoluto (-273 ‘C).

Amônia: 195; cloro: 171; nitrogênio: 63; oxigênio: 54; hidrogênio: 14.

2 Efetue as operações e represente-as na reta numérica.

a) (+35) - (+20)

b) (+10) - (-40)

15 50

3 Escreva os próximos três números de cada sequência.

a) -100, -80, -60, ...

b) 10, -20, -50, -80, ...

c) -8, -3, 2, 7, 12, ...

4 Observe a figura do painel de um elevador.

c) (-50) - (-70)

d) (+90) - (+90)

Substância PF (‘C) amônia -78 cloro -102

nitrogênio -210

oxigênio -219

hidrogênio -259

Fonte: LIDE, R. D. (ed.). CRC handbook of Chemistry and Physics 87. ed. Boca Raton: CRC Press, 2006.

Ponto de fusão: é a temperatura na qual uma substância sólida se torna líquida.

a) O que indica o botão número 8? E o número -3? 8? andar; 3? subsolo

b) João entrou no elevador no 3? andar. Ele quer ir ao 1? subsolo. Que botão João deve apertar?

-40, -20, 0 -110, -140, -170 17, 22, 27 -1

c) Vanessa entrou no elevador no 2? subsolo e apertou o botão número 7. Quantos andares o elevador deverá subir?

9 andares

5 Analise a subtração a seguir.

856

297-1 6 - 7 = 1 -40 50 - 90 =-40 +600 800 - 200 = 600

559

Efetue conforme o modelo acima.

a) 517 - 259

b) 545 - 478

c) 714 - 566

Orientações

As atividades desta página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA04

Sugerimos reforçar a ideia de que tirar uma quantidade negativa é o mesmo que acrescentar essa quantidade.

Proponha exemplos que permitam inferir que subtrair um número negativo de outro número (negativo ou positivo) é o mesmo que somá-lo a esse número.

Resolução Pense e responda

3 - (-8) =+5

Portanto, temos: -8, -3, 2, 7, 12, 17, 22, 27

Resolução da atividade 4 7 - (-2) = 9 4 9? andar

atividade 5

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA04

Resolução da atividade 6

a) 25 - (- 40) = 25 + 40 =

= 65 4 65 km

b) 220 - (-54) = 220 + 54 =

= 274 4 274 km

Resolução da atividade 7

Calculando jogo a jogo:

Austrália: -1 +1 +3 =+3.

Brasil: +3 -1 +1 =+3.

Itália: +1 +5 -1 =+5.

Jamaica: -5 -3 -3 =-11.

Se possível, proponha uma roda de conversa sobre mulheres nos esportes e peça aos estudantes que pesquisem sobre mulheres que se destacam em diferentes mobilidades atualmente.

Resolução da atividade 8

a) 1 hora: Rondônia, Roraima, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e grande parte do Amazonas.

2 horas: Acre e extremo oeste do Amazonas.

3 horas: Não há, exceto quando em vigor o horário de verão.

b) A resposta dependerá do estado em que o estudante mora.

c) Em Londres será 02h00min, pois, com base no texto, temos:

• Recife: 23 h

• Tóquio:11 h

• Montreal: 22 h

• Moscou: 5 h

• Cairo: 4 h

• Alasca: 18 h

• Londres: 2 h

6 Observe a localização de Ari (no ponto A) e a de Bia (no ponto B).

A distância entre eles pode ser calculada pela subtração:

(+8) - (-3) = (+8) + (+3) = 8 + 3 = 11 Portanto, a distância entre eles é de 11 m. Calcule, a seguir, a distância entre os motociclistas. Em cada item, eles estão em uma mesma estrada retilínea.

a)

b)

7 O saldo de gols de um time é o número de gols marcados menos o número de gols sofridos em certo número de jogos. Dê o saldo de gols de cada seleção do grupo C na fase 1 da Copa do Mundo Feminina de Futebol de 2019, na França.

Brasil: 3, Austrália: 3, Itália: 5; Jamaica: -11.

Grupo C

Austrália 1 * 2 Itália

Brasil 3 * 0 Jamaica

Austrália 3 * 2 Brasil

Jamaica 0 * 5 Itália

Jamaica 1 * 4 Austrália

Itália 0 * 1 Brasil

8 Considere as informações a seguir.

• Tóquio está a 12 horas a mais que Recife.

• Moscou está a 7 horas a mais que Montreal.

• Montreal está a 13 horas a menos que Tóquio e a 6 horas a menos que o Cairo.

• O Alasca está a 10 horas a menos que o Cairo e a 8 horas a menos que Londres.

a) Faça uma pesquisa para saber os estados brasileiros que, por causa do fuso horário em relação à Brasília, têm:

• 1 hora a menos; • 2 horas a menos; • 3 horas a menos.

b) Busque informações sobre o estado em que você mora. Qual é a situação do seu estado de acordo com o fuso horário em relação a Brasília?

c) Quando em Recife for 23h00min do dia 11 de setembro de 2023, que dia e que horas será em Londres? Use as informações iniciais da atividade para calcular.

• Como você explica isso? Troque ideias com os colegas e com o professor.

9 Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma. Essa soma é chamada de soma mágica. Reproduza os quadrados mágicos abaixo e complete-os com os números que faltam, sabendo que:

a) a soma mágica é 0 (zero);

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

b) a soma mágica é 10. -2 1154 -9 93

Resolução da atividade 9

a) Quadro com soma mágica zero. -3 4 -1 20 -2 1 -43

b) Quadro com soma mágica dez. -2 -8 1154 -9 10 93 -3 1482 -4 -10

-6

-10

-130 e 130 -3 2; 0; -2 -8 10; -3 14; 2; -4 1; -5; 13 6

7 1 -5 -6 13 0 -1 -7 12 6

10 A distância entre dois números inteiros na reta numérica é 260 unidades de comprimento. Quais são esses números, sabendo que são opostos?

11 Qual é a diferença de altitude entre um ponto com 1 250 m acima do nível do mar e um ponto, no fundo do mar, de profundidade 180 m?

1 430 m -4; 3

12 Reproduza, no caderno, o quadro a seguir. Depois, descubra a regra e escreva os números que faltam.

-9 -15 -21

3 -15 -27

13 Expresse o resultado com um número inteiro.

a) Uma dívida de R$ 60,00 e outra de R$ 30,00 é equivalente a quantos reais de dívida? R$ 90,00.

b) Tenho R$ 700,00 no banco e emiti um cheque de R$ 800,00. Qual será meu saldo quando esse cheque for descontado? -R$ 100,00.

c) Tenho três dívidas iguais de R$ 40,00. Qual é a minha dívida total? -R$ 120,00.

Resolução da atividade 10 -130 0 +130

130 260 130

DAE

Resolução da atividade 12

cd -3 -3 -3 -3

3 -3 -9 -15 -21 -27 -3 -15 -39 -75 -123 -3 -21 -75 -189

-3 -27

-123 -287 -963

b) 700 - 800 = - 100 4

4-R$ 100,00

c) - 40 - 40 - 40 = - 120 4

4-R$ 120,00

d) -5 - 7 = -12 4-12 metros

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA04 e EF07MA07 Resolução da atividade 14

Início

Ler os sinais dos dois números inteiros informados

14 Reproduza o fluxograma a seguir, no caderno, e coloque a orientação correta em cada símbolo para que se possa, por meio dele, calcular a soma entre dois números inteiros.

Fim Início

Os sinais são iguais?

Ler os sinais dos dois números inteiros informados

Calcular a soma entre seus valores absolutos

Atribuir a esta diferença o sinal do maior número

Calcular a diferença entre seus valores absolutos

Os sinais são iguais?

Não Sim

Calcular a diferença entre seus valores absolutos

Calcular a soma entre seus valores absolutos

Teste o fluxograma com os números: Respostas pessoais.

Atribuir a esta soma o sinal comum a estes números

a) +7 e +2; b) -5 e -6; c) +8 e -4.

15 Elabore problemas que envolvam a operação de adição com os números a seguir. Respostas pessoais.

a) -9 e 12 b) -21 e -14 c) 50 e -50

Troque com um colega e resolva os problemas que ele elaborou. Depois, juntos, confiram as respostas.

16 Observe a reta numérica representada abaixo.

Atribuir a essa diferença o sinal do número de maior valor absoluto

Atribuir a essa soma o sinal comum a estes números

B xb

O (origem) 0 A x a

Elabore um fluxograma para calcular a distância d entre os pontos A e B, de coordenadas respectivamente iguais a xA e xB Resposta no Manual do Professor.

Fim

a) +9; b) -11; c) +4

Durante a resolução da atividade 15, verifique os problemas elaborados e as respectivas resoluções. Se necessário, faça perguntas para conduzi-los à elaborações adequadas e respostas corretas.

Resolução da atividade 16

Início

Ler os números xA e xB

Calcular d d = |xA| - |xB|

Mostrar d

Fim

A agência de turismo Voe Mais está atendendo a três mulheres: Carina, Ione e Rosângela. Elas têm profissões diferentes e cada uma delas fará uma viagem para um país da Europa: uma irá para a Itália; a outra, para a Inglaterra; e a outra, para Portugal. Siga as pistas e descubra quem é quem e para onde cada uma vai.

Ione é professora e vai para a Itália; Carina é médica e vai para a Inglaterra; Rosângela é secretária e vai para Portugal.

Pistas

• Uma é professora, a outra é médica, e a outra é secretária.

• A professora não vai para a Inglaterra nem para Portugal.

• A médica não se chama Ione nem Rosângela.

• Nem a secretária nem Ione vão para a Inglaterra.

Resolução do Lógico, é lógica!

Se a professora não vai para a Inglaterra nem para Portugal, ela vai para a Itália.

Se a médica não se chama Ione nem Rosângela, ela se chama Carina.

Se a secretária não se chama Ione e a médica também não, então Ione é a professora.

Se Ione é a professora e Carina é a médica, a secretária é Rosângela.

Então, Ione é professora e vai para a Itália; Carina é médica e vai para a Inglaterra; Rosângela é secretária e vai para Portugal.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Soma algébrica utilizando a calculadora

Veja o fluxograma para efetuar (-58) + (-34) usando dois tipos diferentes de calculadora:

Calculadora simples.

Início

Digitar 5 8

Digitar +/-

Digitar +

Digitar 3 4

Digitar +/-

Digitar =

Fim

a) Qual é o resultado dessa expressão? -92

b) Crie um fluxograma para calcular:

• 5 + (-29); 46

• (-13) - (+25). -38

c) Agora, efetue as subtrações a seguir usando uma calculadora.

• (-7) - (-8) 1

• (-25) - (+16) -68

Calculadora científica.

Início

Digitar (

Digitar -

Digitar 5 8

Digitar )

Digitar +

Digitar (

Digitar -

Digitar 3 4

Digitar )

Digitar =

Fim

• (-18) - (-7) - (-56) 45

• (-35) - (-49) 14 •

d) Usando apenas as teclas 1 e 2 e as operações de adição e subtração, faça aparecer, no visor da calculadora, os números a seguir. Explique como chegou aos resultados.

• -34

Orientações

Essas atividades favorecem o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 5 e da habilidade EF07MA07

O uso da calculadora em sala de aula é uma das tendências no ensino da Matemática que vem ganhando força. Isso porque os educadores a consideram uma ferramenta com potencial para o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem, uma vez que oferece inúmeras possibilidades para a construção do conhecimento. Com ela, o professor não só se propõe a trabalhar de maneira diferenciada os conteúdos matemáticos como também volta seu olhar para

a necessidade de refletir sobre mudanças curriculares para o ensino da disciplina.

Ao trabalhar as atividades propostas nessa seção, atente-se para a possível necessidade de organizar os estudantes em duplas ou pequenos grupos para que possam compartilhar calculadoras. O ideal seria que todos tivessem acesso tanto a calculadoras simples como a calculadoras científicas. A elaboração do fluxograma poderá variar de acordo com o tipo de calculadora que o estudante usa; cuide para que todos registrem cada modelo de fluxograma construído. Resolução das atividades

a) -92

Digitar 1 3 Digitar 2 5

Digitar +/Digitar =

Digitar -

Fim

Nos itens b e c, verifique se os estudantes estão usando corretamente a calculadora. Peça que confiram as respostas e troquem ideias com os colegas.

Objetivos do capítulo

• Efetuar multiplicações com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da multiplicação.

• Efetuar divisões com números inteiros.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição, subtração, multiplicação e divisão em Z

• Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

• Calcular potências com base inteira e expoente natural.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da potenciação.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 3, 4, e 5 Competênciais específicas 1, 2, 3 e 5

Habilidades EF07MA03, EF07MA04, EF07MA05, EF07MA06 e EF07MA07

Foco nos TCTs

• Ciência e Tecnologia

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF07MA03 e EF07MA04

Resolução de Para começar

a) Um número adicionado a seu dobro, é igual a três vezes esse número. Logo, três vezes esse úmero é igual a -6. Assim, o número é igual a - 6 dividido por 3, que é igual a -2.

b) Se o número dividido por 5 é igual a -4, então esse número é igual a 5 vezes -4, ou seja, -20. Introduza a multiplicação de números inteiros utilizando a reta numérica, uma vez que é possível pensar a multiplicação como adição de parcelas iguais. É muito importante que os estudantes construam o significado dessas operações, para que tenham condições de inferir as “regras de sinais”. Em geral, quando são simplesmente decoradas, é comum que se faça uso indevido dessas regras.

Multiplicação, divisão e potenciação com números inteiros

Para iniciar o trabalho com multiplicação e divisão de números inteiros, a professora Sílvia propôs dois desafios aos estudantes.

-2; -20

Converse com os colegas e com o professor sobre suas estratégias para resolver esses desafios. Resposta pessoal.

Multiplicação

Vamos analisar algumas situações que envolvem a multiplicação de dois números inteiros.

Multiplicação de números inteiros positivos

O professor Paulo desenhou uma reta numérica no chão da quadra. Em seguida, solicitou a Bárbara que, da origem, ela fizesse 2 deslocamentos de 5 unidades no sentido positivo. Veja:

Podemos escrever deste modo o deslocamento total de Bárbara:

(+5) = (+5) + (+5) =+10

Os números inteiros positivos e o zero podem ser considerados números naturais.

Assim, a multiplicação é (+2) (+5) =+10, equivale a: 2 5 = 10.

Multiplicação de números inteiros com sinais diferentes

Depois, o professor Paulo pediu a Caíque que, partindo do zero, fizesse 2 deslocamentos de 5 unidades no sentido oposto ao de Bárbara. Veja:

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA04

Em relação à multiplicação de números positivos, os estudantes devem inferir que o resultado será, também, um número positivo, já que entre os conceitos da multiplicação está a adição de parcelas iguais. Por exemplo:

3 . (+5) = (+5) + (+5) + (+5) = = +15.

O deslocamento total de Caíque pode ser obtido assim:

2 . (–5) = (–5) + (–5) = –10

Portanto, a multiplicação é (+2) . (–5) = 2 . (–5) = –10.

Veja outros exemplos:

• (+4) . (-3) = 4 . (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) =-12

• (+5) . (-6) = 5 . (-6) = (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-6) =-30

Agora, observe a multiplicação de um número inteiro negativo por um número inteiro positivo.

(-2) (+8) =-(+2) (+8) =-(+16) =-16

2 -16

Observe que usamos a noção de oposto ou simétrico ao substituir (-2) por -(+2) e ao substituir -(+16) por -16.

Multiplicação de números inteiros negativos

Quando os fatores da multiplicação são números inteiros negativos, podemos usar a noção de oposto para chegar ao resultado. Veja:

(-3) (-7) =-(+3) (-7) =-(-21) =+21

3 +21

Outro exemplo:

• (-1) (-34) =-(+1) (-34) =-(-34) =+34

A multiplicação envolvendo números inteiros negativos pode ser explorada observando-se regularidades, como no quadro a seguir.

Dados dois números inteiros diferentes de zero:

A cada redução de uma unidade no primeiro fator da multiplicação, o produto sofre um acréscimo de 7 unidades.

• o produto deles será positivo se os números tiverem o mesmo sinal;

• o produto deles será negativo se os números tiverem sinais contrários.

O mesmo pode ser inferido em relação à multiplicação de um número positivo por um negativo. Na base dessa operação, está a adição de parcelas iguais. Portanto, ao adicionar parcelas negativas, o resultado será um número negativo. Observe:

3 . (–5) = (–5) + (–5) + (–5) = = –15.

Sobre a multiplicação de um número negativo por um positivo, podemos recorrer às regularidades em um quadro de multiplicação, como o apresentado a seguir, em que uma sequência de números positivos e negativos é multiplicada por +4.

A multiplicação de dois números negativos pode ser explicada por meio da ideia de opost o de um número inteiro. Por exemplo, na multiplicação (–4) (–5), podemos considerar -4 como o oposto de +4:

-4 =- (+4).

Assim, teremos:

(–4) . (–5) =- (+ 4) . (–5) = =- (–20) =+20.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA04

Para responder às questões do Pense e responda, para o item a, os estudantes devem apenas quantificar os fatores negativos em cada item: 1; 3, 2 e 4. No item b, devem seguir a orientação: o produto será positivo, se os números tiverem o mesmo sinal. Será negativo, se os produtos tiverem sinais contrários. Exemplo: (+3) . (+3) =+9 (+9) (-4) =-36

Peça aos estudantes que compartilhem as explicações do item c na multiplicação dos números inteiros também que verifiquem as propriedades comutativa, associativa e elemento neutro, bem como, na adição, verifiquem a propriedade do elemento nulo e a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Utilizamos essas propriedades, muitas vezes, sem nos darmos conta disso. Sugerimos a apresentação das propriedades aos estudantes e a observação da utilização prática delas. A propriedade comutativa garante que, em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Ou seja, na multiplicação, podemos trocar os fatores de posição, mas o resultado da operação será o mesmo.

A propriedade do elemento neutro garante que existe um número que, ao ser multiplicado por qualquer outro número inteiro, não o altera. No caso, o elemento neutro da multiplicação é o 1, ou +1.

A propriedade associativa garante que, quando multiplicamos três ou mais fatores, podemos associar de várias formas esses números para resolver a operação da multiplicação, e o resultado será sempre o mesmo.

• A propriedade do elemento nulo garante que, sempre que multiplicarmos qualquer número inteiro pelo elemento nulo, o resultado será zero. Portanto, o elemento nulo é o número zero. É muito importante ressaltar o fato de que todo número multiplicado por zero é igual a zero, o que será muito utilizado na resolução de equações pela fatoração.

1. Observe as multitplicações e o sinal do produto obtido.

• (+3) (+3) (-4) =-36

• (-1) (-1) (-1) (+1) =-1

• (-2) . (-2) . (+2) =+8

• (-3) (-3) (-3) (-3) (+3)

a) Quantos fatores negativos tem cada uma dessas multiplicações?

b) Investigue o que acontece com o sinal do produto nessas multiplicações.

c) Como você explica isso? Respostas no Manual do Professor.

Propriedades da multiplicação

As propriedades da multiplicação com números naturais também são válidas para os números inteiros.

Propriedade comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto.

Propriedade associativa

Associando os fatores de forma diferente, o produto não se altera.

Veja duas maneiras de efetuar

O número 1 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros.

Se um dos fatores da multiplicação for zero o produto é igual zero.

Propriedade distributiva

Exemplo: Vamos resolver a expressão (-3)

A segunda maneira é conhecida como propriedade distributiva. Nesse caso, em relação à adição mas também é válida em relação à subtração.

• A propriedade distributiva garante que para multiplicar um número qualquer pela soma de dois ou mais números entre parênteses, podemos calcular, primeiro, a soma dos números dentro dos parênteses e, depois, multiplicá-la pelo número que está fora dos parênteses. Outra possibilidade é multiplicar o número que está fora dos parênteses por cada uma das parcelas dentro deles e, em seguida, efetuar a soma.

Parece não haver vantagem em aplicar essa propriedade nessa situação, mas observe que o caminho inverso dela nos ajuda. Veja: •

Essa propriedade é bastante utilizada nas situações em que letras representam números desconhecidos e quando queremos substituir uma multiplicação por uma adição ou por uma subtração. Por exemplo:

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

As atividades propostas possibilitam trabalhar o conceito de multiplicação, bem como suas propriedades.

1 100 - 330 - 22 =-1 452

Veja no quadro a seguir um resumo das propriedades que você acabou de estudar. As letras a, b e c representam números inteiros quaisquer.

Propriedades comutativa a . b = b . a associativa (a . b) . c = a . (b . c) elemento neutro a . 1 = a elemento nulo a . 0 = 0 distributiva da multiplicação em relação à adição ou à subtração a (b + c) = a b +

Amplie a atividade do Pense e responda para os estudantes apresentarem mais exemplos com diferentes números.

Sugira a leitura do livro proposto no Assim também se aprende e peça aos estudantes que façam resumos por meio de textos, desenhos ou performance teatral para contar a história. É uma ótima oportunidade para trabalhar as diferentes linguagens, como propõe a competência geral 4

Faça a correção coletiva das atividades 1 a 3 chamando alguns estudantes para resolver as questões na lousa.

Em História de sinais, de Luzia Faraco Ramos (Ática), Milena recebe a visita de um hóspede inesperado durante as férias de verão e, com a ajuda dele, desvenda o mundo dos números inteiros.

Atividades

1 Escreva na forma de adição.

a) 2 . (-4)

b) 5 . (-1)

2 Escreva na forma de produto.

a) (-5) + (-5) + (-5)

b) (+50) + (+50)

5).

Dê um exemplo de propriedade associativa da multiplicação com os números (-2), (-3)

3 Determine:

a) o dobro de -3;

b) o triplo de +6;

c) o quádruplo de -30;

d) o quíntuplo de -7.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04. Se achar oportuno, proponha a realização das atividades em dupla, para discutirem as formas de resolução.

Resolução da atividade 4

1 ; linha de cima para baixo:

140 : 7 = 20

2; linha: -2 . 4 = -8; -2 . (-5) =

= 8; - 2 . (- 10) = 20 e - 2 . 20 =

=-40

3; linha: -3 4 =-12; -3 (-5) =

= 15;

- 3 (- 10) = 30 e - 3 20 =

=-60

4; linha: 60 : (-10) = -6;

6 . 4 =-24;

6 . (- 5) = 30; e - 6 . 20 =

=-120

5; linha: 7 . 4 = 28; 7 . (- 5) =

=-35 e 7 (-10) =-70

Resolução da atividade 5

a) (-8) ■ = 64

■ = 64 : (-8) =-8

b) ■ 1 = 31 4 ■ = 31

c) ■ . 3 = 3 . (-5)

■ =-15 : 3 =-5

d) ■ . (-4) = 0 4 ■ = 0

Resolução da atividade 6

Sugestões. Há outras possibilidades.

a) [( - 3) ( - 4)] ( - 7) =

= 12 (-7) = -84

b) [(-2) (+4)] [(-1) (+5)] =

= [-8] . [-5] = 40

c) [( + 5) . ( - 8)] . ( + 3) =

= [-40] . (+3) =-120

d) [(+6) . (-3)] . [(-4) . (+2)] =

= [-18] [-8] =+144

Resolução da atividade 7

a) 1; linha acima da base da pirâmide

4 (-3) =-12; (-3) . (-2) =+6

2; linha:

(-16) . (-12) =+192;

(-12) . (+6) =-72.

3; linha:

x = (+192) (-72) =-13 824

b) 1; linha acima da base da pirâmide

8 (-1) -=-8;

2; linha:

y = (-16) . (-8) = 128

Resolução da atividade 8

a) Cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por (-2).

2, -4, 8, -16, 32, -64, 128, -256, 512, ...

4 Reproduza o quadro no caderno e complete-o com os números corretos.

5 Qual é o número inteiro que pode substituir cada para que a igualdade seja verdadeira?

a) (-8) . (  ) = 64

b) (  ) . (+1) = 31

c) (  ) . (+3) = (+3) . (-5)

d) (  ) . (-4) = 0

6 Utilizando a propriedade associativa, resolva as multiplicações de duas maneiras.

a) (-3) . (-4) . (-7)

b) (-2) . (+4) . (-1) . (+5)

c) (+5) . (-8) . (+3)

d) (+6) . (-3) . (-4) . (+2)

7 Descubra a regra para obter os números de cada tijolo da pilha abaixo e calcule os valores de x e y a) b)

8 Descubra a regra e determine o nono termo de cada sequência.

a) 2, -4, 8, -16, 32, ...

b) 2, -2, 2, -2, 2, ...

c) -5, -10, -20, -40, -80, ...

d) -5, -15, -45, -135, -405, ...

e) 5, -15, 45, -135, 405, ... f) -

9 Qual é o número inteiro cujo dobro adicionado a -7 é igual a -23?

10 Thaís calculou o valor de (+2) . (-37) . (+5) . (+1) aplicando a propriedade comutativa, seguida da associativa e finalizando com a do elemento neutro. Veja:

b) Cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por (-1).

2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, ...

c) Cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por 2.

-5, -10, -20, -40, -80, -160, -320, -640, -1 280, ...,

d) Cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por 3.

-5, -15, -45, -135, -405, -1 215, -3 645, -10 935, -32 805, ...,

e) Cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por (-3).

5, -15, 45, -135, 405, -1 215, 3 645, -10 935, 32 805, ...

f) Cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por 1.

-3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, ...,

Resolução da atividade 9

2 ■ + (-7) =-23 6 2 ■ =-23 + 7

2 ■ =-16 6 ■ =-8

Agora, calcule do mesmo modo o valor de:

a) (+3) . (-2) . (-4) . (+5);

b) (-1) . (-2) . (-3) . (-4) . (-5) . (-6);

c) (-4) . (-3) . (-2) . (+1) . (-1);

d) (-3) . (+3) . (-2) . (-5) . (-1) . (-3).

11 Veja como Elvira efetua as multiplicações: -7 . (54) =-7 . (50 + 4) =

= (-7) . 50 + (-7) . 4 =-350 - 28 =

=-378

Calcule as operações a seguir, da mesma forma que Elvira.

a) -8 . (+63)

b) -7 . (+94)

c) -3 . 87

d) -9 . 86 e) 34 . (-11)

f) 95 . (-11)

g) 100 . (+200)

h) -7 . (+7)

i) -2 . (-123)

12 Lorenzo pensou em dois números inteiros, adicionou-os e obteve -100. Um dos números é o quádruplo do outro. Em que números Lorenzo pensou?

13 Veja como podemos efetuar a multiplicação ( - 5) * ( - 6) usando uma calculadora que tenha a tecla +/

Orientações

a) Agora, use o mesmo tipo de calculadora para efetuar as operações a seguir.

• (-14) . (-9)

• (-12) . (-7)

b) A tecla de multiplicação de uma calculadora quebrou. Sem utilizar a tecla de multiplicação, como obter os produtos a seguir? Quais são os resultados desses produtos? •

Resolução da

12 Se um número é o quádruplo de outro, adicionando-os obtemos o quíntuplo desse número, logo:

O outro número é:

. (-20) =-80 A atividade 13 sugere trabalhar com calculadora. Observe que esse recurso é ótimo aliado para o ensino e a aprendizagem de conceitos básicos na Matemática. Ele introduz uma metodologia diferenciada, possibilitando ao estudante, maior autonomia para buscar e conferir resultados e compreender os significados de definições. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 5

Orientações

O conteúdo e atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

O texto apresenta a ideia de divisão como operação inversa da multiplicação. Sugerimos reforçar essa ideia com outros exemplos, para os estudantes terem condições de inferir que, na divisão, o sinal do quociente será o mesmo que o do produto na multiplicação.

Resolva as atividades coletivamente para trabalhar as divisões.

Na multiplicação ou na divisão, sinais iguais sempre resultam em sinal positivo.

Regra do sinal

Divisão

Já que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Por exemplo: que número multiplicado por 2 resulta em -50?

Veja outros exemplos:

(-50) : (+2) =-25, pois (-25) . (+2) =-50

(+50) : (+2) =+25, pois 25 . 2 = 50

(-50) : (-2) =+25, pois (+25) . (-2) =-50

(+50) : (-2) =-25, pois (-25) . (-2) =+50

Observe que as regras de sinais válidas para a multiplicação também são válidas para a divisão. Divisões com números inteiros aparecem com frequência em expressões numéricas. Veja como calculamos o valor da expressão a seguir.

15 + 10 . (+2) - (-48) : (-4)

Efetuamos as multiplicações e as divisões na ordem que aparecem:

15 + 10 . (+2) - (-48) : (-4) =

= 15 + 20 - (+12) =

O valor da expressão é 23.

Na multiplicação ou na divisão, sinais diferentes sempre resultam em sinal negativo.

Regra do sinal

Ao resolver a atividade 1, os estudantes devem perceber que as divisões são realizadas da mesma maneira que com números positivos, apenas se atentando para o uso dos sinais.

Na atividade 2, observe como os estudantes compreenderam o assunto estudado, escrevendo mais exemplos na lousa para serem resolvidos por meio da estratégia de Valentina.

Atividades

1 Efetue.

Eliminamos os parênteses:

15 + 20 - 12 =

Efetuamos a adição e a subtração também na ordem que aparecem:

35 - 12 = 23

Dados dois números inteiros diferentes de

zero:

• se o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente será positivo;

• se o dividendo e o divisor têm sinais contrários, o quociente será negativo.

2 Veja como Valentina associa uma multiplicação a duas divisões:

3 Solucione as charadas.

a) Que número inteiro dividido por -5 tem como resultado +10? -50

b) Que número inteiro dividido por +14 tem como resultado -1? -14

4 Na reta numérica a seguir, a, b, c e d representam números inteiros. -1 cd 01ba DAE

Qual é o sinal do quociente das divisões seguintes?

a) b : a +

b) a : c -

c) b : c -

d) d : c +

5 Calcule o valor das expressões.

a) -40 + (-3) . (+2) + (-12) : (+4) -49

b) 10 + (-7) . (-3) 31

c) (-16) : (-2) - (-3) . (+2) 14

d) 35 + (-20) : (+5) + (+35) : (-7) 26

6 Em uma divisão, o divisor é 32, o quociente, -7, e o resto é -6. Qual é o dividendo? -230

7 Veja esta maneira de efetuar uma divisão:

(-648) : 2 =

= (-600 - 40 - 8) : 2 =

=-600 : 2 - 40 : 2 - 8 : 2 =

=-300 - 20 - 4 =

=-324

Agora, faça igual ou invente outra maneira de efetuar as operações a seguir.

a) (-268) : 2 -134

b) (-396) : 3 -132

c) (-939) : 3 -313

d) (-840) : 4 -210

8 Qual é o valor de cada nas sentenças?

Ilustrações:

a) 45 :=-5 -9

b) (-125) :=-25 5

c) : 16 =-4 -64

d) (-10 +  ) : 2 =-6 -2

9 Fernando pensou em um número inteiro e dividiu-o por 2. Em seguida, adicionou 10 ao resultado e obteve -15. Em que número Fernando pensou no início? -50

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

Resolução da atividade 3

a) ■ : (-5) = 10

■ = 10 . (-5) =-50

b) ■ : 14 =-1

■ =-1 14 =-14

Resolução da atividade 4

a = 2; b = 3; c =-2 e d =-3

a) 3 : 2 4 o resultado é positivo.

b) 2 : (-2) 4 o resultado é negativo.

c) 3 : (-2) 4 o resultado é negativo.

d) -2 : (-2) 4 o resultado é positivo.

Resolução da atividade 5

a) -40 - 3 . 2 - 12 : 4 =

=-40 - 6 - 3 =-49

b) 10 - 7 . (-3) = 10 + 21 = 31

c) -16 : (-2) + 3 . 2 = 8 + 6 = 14

d) 35 - 20 : 5 + 35 : (-7) =

= 35 - 4 - 5 = 26

Resolução da atividade 6 ? 32 -6 -7 6 dividendo = (-7) (+32) + (-6) dividendo = (-224) + (-6) dividendo =-230

Resolução da atividade 7

a) (-200 - 60 - 8) : 2 =-100-30 - 4 =-134

b) (-300 - 90 - 6) : 3 =-100- 30 - 2 =-132

c) (-900 - 30 - 9) : 3 =-300 -

- 10 - 3 =-313

d) (-800 - 40) : 4 =-200- 10 =-210

Resolução da atividade 8

a) ■ = 45 : (-5) =-9

b) ■ = -125 : (-25) = 5

c) ■ = -4 . 16 =-64

d) -10 + ■ =-12 ■ =-12 + 10 6 ■ =-2

Para aprofundar

O artigo a seguir trata de formas de trabalhar com problemas que envolvem a multiplicação e a divisão de números inteiros.

• LANDIM, Evanilson; MAIA, Lícia de Souza Leão. Menos com menos é menos ou é mais? Resolução de problemas de multiplicação e divisão de números inteiros na sala de aula. Revista Paranaense de Educação Matemática, Campo Mourão, v. 7, n. 14, p. 88-109, 27 nov. 2020. Disponível em: https://periodicos. unespar.edu.br/index.php/rpem/ article/view/6114/4137. Acesso em: 04 ago. 2022.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

Resolução da atividade 10

a) Os números são -5 e 2, pois:

- 5 + 2 =- 3 e - 5 + 2 = =-10.

b) Os números são -7 e 2, pois:

- 7 + 2 =- 5 e - 7 + 2 = =-14.

c) Os números são - 6 e 6, pois: - 6 + 6 = 0 e - 6 .+ 6 = =-36.

Resolução da atividade 11

a) Cada número, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por (-2). -2, +4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, -512, 1 024, ...

b) Cada número, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por -1.

5, -5, 5, -5, 5, -5, 5, -5, 5, -5,...

c) Cada número, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por -3.

1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, 729, -2 187, 6 561, -19 683, ...

d) Cada número, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por 5.

2, 10, 50, 250, 1 250, 6 250, 31 250, 156 250, 781 250, 3 906 250,...

e) Cada número, a partir do segundo, é igual ao produto do termo imediatamente anterior por 7.

1, 7, 49, 343, 2 401, 16 807, 117 649, 823 543, 5 764 801, 40 353 607,...

f) Cada número, a partir do segundo, é igual ao quociente do termo imediatamente anterior por 2.

1 024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8,

4, 2,...

g) Cada número, a partir do segundo, é igual ao quociente do termo imediatamente anterior por 2.

177 147, 59 049, 19 683, 6 561,

2 187, 729, 243, 81, 27, 9,...

Resolução da atividade 12

a) 200 : [- (-3 - 2] = 200 : [3 +

+ 2] = 200 : 5 = 40

b) -7 + [-1 + 10 : (-2)] =-7 +

+ [-1 - 5] =-7 - 6 =-13

c) {25 5 [3 . (2 - 7)]} : 8 = {25- [3 . (- 5)]} : 8 = {25 - [-15]} :

: 8 = {25 + 15} : 8 = 40 : 8 = 5

d) 25 : (- 5) + 3 [-5 - 1] =

=- 5 + 3 [-6] =- 5 - 18 =

=- 23

A resposta à atividade 13 dependerá do resultado da pesquisa. Resolução do Lógico, é logica!

10 Descubra dois números:

a) cuja soma é -3 e cujo produto é -10; -5 e 2

b) cuja soma é -5 e cujo produto é -14; -7 e 2

c) cuja soma é 0 (zero) e cujo produto é -36. +6 e -6

11 Descubra o critério de formação dos números das sequências a seguir e determine o décimo número de cada uma delas.

a) -2, +4, -8, +16, -32, ... 1 024

b) 5, -5, 5, -5, 5, ... -5

c) +1, -3, +9, -27, +81, ... -19 683

d) 2, 10, 50, 250, 1 250, ... 3 906 250

e) 1, 7, 49, 343, 2 401, ... 40 353 607

f) 1 024, 512, 256, 128, ... 2

g) 177 147, 59 049, 19 683, 6 561, ... 9

12 Resolva as expressões.

a) 200 : [-(-9 : 3 - 2)] 40

b) (-2 - 5) + [-1 + 10 : (-4 + 2)] -13

c) {25 - [3 . (2 - 49 : 7)]} : 8 5

d) (38 - 13) : (-5) + 3 . [(-10) : (+2) - (+1)] -23

Para resolver uma expressão, começamos com as operações que estão dentro dos parênteses, depois as que estão dentro dos colchetes e, por fim, as que estão dentro das chaves.

13 Faça uma pesquisa sobre o saldo de gols dos times do Campeonato Brasileiro de Futebol do ano passado. Em seguida, organize o resultado de sua pesquisa em uma tabela. Resposta pessoal.

Observe os alvos ilustrados a seguir e a quantidade de pontos obtida em cada um.

Quantos pontos o último alvo deverá indicar?

Analisando os alvos I e II, verificamos que há uma diferença de um triângulo. Analogamente, podemos verificar a diferença entre as quantidades de pontos, ou seja, - 12 - (-7).

Alvo I:

Alvo II: -7

Logo: = -5 No alvo III, temos 1 e 3 , resultado - 23.

Subtraindo o valor de 1 e dividido o resultado por 3 para encontrar o valor de

-23 - (-5) =- 23 + 5 =-18

-18 : 3 =-6

Para descobrir o valor do , voltamos ao alvo II, por exemplo.

Efetuamos, então:

- 7 - (-5) - (-6) =- 7 + 5 + 6 = 4

4 : 2 = 2

Desse modo, no alvo IV, temos:

=- 6 + 2 =-4

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Fusos horários e suas implicações

A determinação da hora parte do princípio de que a Terra é uma circunferência perfeita, medindo 360°, e de que a rotação terrestre dura 24 horas. Com isso, conclui-se que esse é o tempo necessário para que todos os meridianos que “cruzam” o planeta passem, num determinado momento, frente ao Sol.

Dividindo-se os 360 graus da esfera terrestre pelas 24 horas de duração do movimento de rotação, resultam 15 graus. Portanto, a cada 15 graus que a Terra gira, passa-se uma hora – e cada uma dessas 24 faixas recebe o nome de fuso horário.

Orientações

Matemática interligada aborda os fusos horários, tema que sugere uma atividade interdisciplinar que envolva Matemática e Geografia, e contribui para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Ciência e Tecnologia. Se possível, o professor da área para falar sobre o assunto.

Pergunte aos estudantes se alguém tem parentes ou amigos em outros países e como organizam o horário de comunicação com essas pessoas. Lembre-se também de que mesmo dentro do Brasil há regiões com fusos horários diferentes, motivo pelo qual se toma sempre como referência nacional o horário de Brasília (GMT -3).

MIRANDA, Ângelo Tiago de. Fusos horários: entenda como se determina a hora em cada país. UOL, São Paulo, 27 fev. 2014. UOL Educação - Geografia. Disponível em: https://educacao.uol.com.br/disciplinas/geografia/ fusos-horarios-entenda-como-se-determina-a-hora-em-cada-pais.htm.

em meia hora Linha de mudança de dataPrincipais cidades

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

Resolução da atividade 1

Nessa atividade, o cálculo deve ser feito considerando que o horário de Brasília é –3 horas em relação a Greenwich. Então, se em Atenas a diferença é de +5 horas em relação a Greenwich, a diferença entre Brasília e Atenas é de 8 horas. Veja duas possibilidades de resolução para a atividade 2

Se em Brasília são 18 horas, em Bogotá são 16 horas. Se o voo durou 3 horas, saiu de Bogotá às 13 horas (16 - 3) no horário local.

Se a viagem demorou 3 horas e o fuso horário é de - 2 horas, temos: 18 - 3 - 2 = 13 4 4 13 horas.

Sugerimos a você que, após a realização da pesquisa solicitada na atividade 3, os estudantes elaborem um texto sobre fusos horários e realizem uma discussão sobre o assunto. Levante questões que envolvam os diferentes horários nas diversas regiões, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 3 e da competência específica 1 e da competência específica 3

[...] Uma das faixas tem como centro o Meridiano de Greenwich, que foi adotado como referência [...].

Assim, em um fuso horário, a hora marcada nos relógios será a mesma para todas as localidades e esta hora é chamada de hora oficial

A partir do Meridiano de Greenwich acrescenta-se ou subtrai-se uma hora ao horário de Greenwich (GMT – Greenwich Meridian Time) para cada fuso percorrido, respectivamente quando se vai para leste ou para oeste.

[...]

BRASIL. Ministério da Educação. As aventuras do Geodetetive 5: como viajar e chegar no dia anterior –Guia do Professor. Campinas: Unicamp, [2012]. p. 5 e 7. (Série Matemática na Escola).

1 Brasília está na faixa que corresponde ao meridiano -45°; assim, o Greenwich Meridian Time (GMT) é indicado como GMT -3. Ou seja, quando são 18 horas em Greenwich, em Brasília são 15 horas. Suponha que, neste instante, em Brasília, os relógios marquem 2h da manhã. Que horas estariam marcando os relógios em cada cidade?

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE,

2 O fuso horário de Bogotá, na Colômbia, é de - 2 horas em relação a Brasília. Se um voo saiu do aeroporto de Bogotá com destino ao aeroporto de Brasília, a viagem durou 3 horas e o avião aterrissou às 18h, em qual horário esse avião decolou? Às 13h no horário de Bogotá.

3 Faça o que se pede.

a) Pesquise quantos fusos horários existem no Brasil.

b) No local em que você mora, subtraem-se quantas horas em relação ao horário de Greenwich? Resposta no Manual do Professor.

Potenciação

No estudo dos números naturais, vimos que a potenciação pode ser relacionada a uma multiplicação de fatores iguais. Para o conjunto dos números inteiros, essa ideia permanece válida. Veja alguns exemplos a seguir.

Potência com base positiva Potência com base negativa

• 33 = 3 . 3 . 3 = 27

• 104 = 10 . 10 . 10 . 10 =

Sendo a um número inteiro e n um número inteiro (n > 1), temos: an = a . a . a .. a n vezes Em que: a é a base; n é o expoente; an é a potência.

• Se a base da potência é positiva, o resultado será positivo, qualquer que seja o expoente.

• Se a base da potência é negativa, o resultado será positivo se o expoente for par, e será negativo se o expoente for ímpar.

Veja algumas convenções estabelecidas:

• Se o expoente é 1, a potência é igual à própria base. Exemplos:

(-2)1 =-2 e (-100)1 =-100

• Se o expoente é zero e a base é diferente de zero, a potência é igual a 1. Exemplos:

(-5)0 = 1 e (-3 000)0 = 1

• Se a base é zero e o expoente é positivo e diferente de zero, a potência é igual a zero. Exemplos: 07 = 0 e 02 008 = 0

Agora, observe a resolução da seguinte expressão numérica:

(+4)3 + (-2)4 + (+5)2 - (-1)5

Calculando primeiro as potências, temos:

( + 4)3 + ( - 2)4 + ( + 5)2 - ( - 1)5 = ( + 64) + ( + 16) + ( + 25) - ( - 1) =

=+64 + 16 + 25 + 1 = 106

Portanto, o valor da expressão é 106.

Quanto dá (-1)100 e (-1)2 021? 1 e -1

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA04

Para introduzir a potenciação em Z , é recomendável fazer a revisão dos conceitos de potência, base e expoente, associando a potenciação à multiplicação de fatores iguais.

Proponha o cálculo de várias potências com base positiva e expoente positivo.

Para justificar que todo número elevado a zero é igual a 1, você pode explorar com os estudantes as regularidades dos quadro a seguir.

Podemos observar que 24 : 23 = = 16 : 8 = 2; 23 : 22 = 8 : 4 = 2; 22 : 21 = 4 : 2 = 2.

Assim, 21 : 20 = 2; portanto 20 = 1. Se a base for um número negativo, o pensamento é análogo, como mostra o quadro a seguir:

Ressalte que bases negativas elevadas a expoentes pares têm resultado positivo e, se o expoente for ímpar, a potência será negativa. Esse conceito auxiliará na resolução do Pense e responda . Não importa quantas vezes multipliquemos 1 por ele mesmo, o resultado será sempre 1. No entanto, ao multiplicar -1 por ele mesmo, teremos resultado positivo quando o número de vezes que multiplicamos for par, e resultado negativo quando o número de vezes a multiplicar for ímpar.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

Verifique se os estudantes compreenderam os cálculos de potenciação com bases negativas para resolver as atividades. Caso tenham dúvidas, amplie para trabalhar mais exemplos.

Na atividade 1, observe as estratégias utilizadas pelos estudantes e se estão atribuindo o sinal correto nas operações em que a base é um número negativo.

Resolução da atividade 2

a) Sendo (-7)0 = 1 e (+45)0 = 1, então: (-7)0 = (+45)0

b) Se (-76)1 =-6 e (-1)6 = 1, então: (-6)1 > (-1)6

c) Se (- 2)10 = 1 024 e (+ 4)4 =

= 256, então: (-2)10 > (+4)4

d) Se (-10)4 = 10 000 e (-5)5 =

= 3 125, então: (-10)4 > (+5)5

Resolução da atividade 3

a) (-3)2 : (-9) = (+9) : (-9) = =-1

b) (+5)3 : (-5)2 - (-2)2 (+1)8 = = (+125) : (+25) - (+4) (+1) =

(+5) - (+4) =

Atividades

1 Calcule o que se pede a seguir.

a) (+4)2 16

b) (-8)3 -512

c) (+1)4 1

d) (+100)1 100

e) (-4)2 16

f) (+5)3 125

g) (+10)3 1 000

h) (-9)0 1

2 Compare as potências usando >, < ou =

a) (-7)0 e (+45)0 =

b) (-6)1 e (-1)6 <

3 Calcule o valor das expressões.

a) (-3)2 : (-9) -

As Propriedades da potenciação, facilitam muito as operações entre números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, da Química e da Biologia, além de serem aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas.

i) (+8)3 512

j) (+2)5 32

k) (+6)1 6

l) (+12)0 1

c) (-2)10 e (+4)4 >

d) (-10)4 e (+5)5 >

e) 102 - [(-4)2 - 15 - (-2)3] 77

f) 43 - 83 - 26 : 25 450

g) 38 : 36 - 23 + 52 . 5 - (-32)0 125

h) [(-1)3 . (-1)2 : (-1)] - 1 0

4 Observe, abaixo, o algoritmo da subtração em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E

A 80 B 2 - 23 C 4 D

5 E 935

Calcule:

a) os valores de A, B, C, D e E; A = 7, B = 8, C = 1, D = 7 e E = 4

b) (A - B + C - D - E)2 121

Propriedades da potenciação

Vamos estudar algumas propriedades das potências de mesma base.

Multiplicação de potências de mesma base

Orientações

Qual é o resultado de ax ay az em forma de uma só potência? ax

Divisão de potências de mesma base

Em uma divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

A divisão de potências de mesma base ajuda a entender o significado das potências de expoente 1 e 0. Veja:

• (-5)3 : (-5)2 = (-125) : (+25) =-5

• (-5)3 : (-5)2 = (-5)3 - 2 = (-5)1

Como os resultados devem ser iguais, concluímos que (-5)1 =-5.

• (+5)2 : (+5)2 = (+25) : (+25) = 1

• (+5)2 : (+5)2 = (+5)2 - 2 = (+5)0

Como os resultados devem ser iguais, concluímos que (+5)0 = 1.

Potência de uma potência

Observe

Qual é o resultado de am : an se a = 1? 1

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

O texto apresenta as propriedades aplicadas na divisão ou na multiplicação de potências de mesma base e potência de potência.

Mostre aos estudantes que a aplicação das propriedades das potências facilita a resolução de algumas expressões que envolvem potenciação de números inteiros.

Para isso, apresente cálculos cuja resolução dependa dessas propriedades. Por exemplo, para efetuarmos (–5)46 : (-5)43 não é recomendável calcular o valor de (- 5)46 nem de (- 5)43; aplicando a propriedade da divisão de potências de mesma base, teremos:

(-5)46 : (-5)43 = (-5)3 = (-5) . . (-5) . (-5) =-125.

Resolução do primeiro Pense e responda

1n : 1m = 1 : 1 = 1

Resolução do segundo Pense e responda

[23 4 ]5 = [212 ]5 = 260

Qual é o resultado de [(23)4]5 em forma de uma só potência? 260

Note que, para elevar uma potência a um expoente, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA04 e EF07MA05

Resolução da atividade 1

a) 63 + 4 = 67

b) (-5)7 + 4 + 2 = (-5)13

c) (-8)2 + 3 + 1 = (-8)6

d) 12 + 3 + 4 + 5 + 6 = 120

Veja outras possibilidades de resposta para a atividade 2

a) 71 . 74

b) 102 . 106; 103 . 105; 104 . 104

c) 141 . 145; 142 . 144

d) ( - 20) 1 ( - 20) 6 ; ( - 20) 3 . (-20)4

Na atividade 3, verifique se os estudantes conseguiram transformar os números apresentados em cada item, em potências de mesma base. Se necessário, retome com eles a decomposição em fatores primos.

Resolução da atividade 4

[(-3)10 (-3)6 3] : (-3)14

Como expoentes de (-3), são número pares, temos:

(-3)10 = 310; (-3)6 = 36 e (-3)14

Atividades

1 Escreva cada produto na forma de uma única potência.

a) (+6)3 . (+6)4

b) (-5)7 . (-5)4 . (-5)2

c) (-8)2 . (-8)3 . (-8)

d) 12 . 13 . 14 . 15 . 16

2 Transforme cada potência a seguir em um produto de potências de bases iguais.

a) 75

b) 108

c) 146

d) (-20)7

3 Escreva cada produto na forma de um produto de potências de bases iguais.

a) 4 . 64

b) 27 . 81

4 Calcule :- 3   3 3   3 10 614 ()() ()

c) 25 . 625

d) 49 . 243

-27

5 Escreva, na forma de uma única potência, cada quociente a seguir.

a) 58 : 54

b) (-10)6 : (-10)4

c) 203 : 203

d) (-11)9 : (-11)8

6 Determine o valor de cada de modo que as igualdades sejam verdadeiras.

a) 5 : 53 = 54

b) (-9)8 : (-9) = (-9)3

c) 15 : 157 = 15

d) 4 : 43 = 1

7 Escreva cada potência de potência em forma de uma única potência.

a) (23)4

b) [(-3)2]5

c) (77)7 d) (103)2

e) [(32)3]4

f) {[(-2)2]2}2

8 Em cada item transforme o respectivo valor em uma potência de uma potência.

a) 210

c)

- 3 = 200

d) (-11)9 - 8 = (-11)1

Resolução da atividade 6

b)

c)

Resolução da atividade 7

a) 23 4 = 212

b) (-3)2 5 = (-3)10

c) 77 7 = 749

d) 103 2 = 106

Resolução da atividade 8

a) (22)5 ou (25)2

b) Outras possibilidades:

[(-5)2]20 ou [(-5)20]2; [(-5)4]10 ou

[(-5)10]4; [(-5)5]8 ou [(-5)8]5

Resolução da atividade 9

Nessa atividade, aplica-se o mesmo

raciocínio da atividade 8, mas recompondo o expoente.

a) 5 ■ = 10 6 ■ = 10 : 5 = 2

b) 10 ■ = 50 6 ■ = 50 : 10= 5

Resolução da atividade 10

a) 103 10 = 103 + 1 = 104

b) 104 103 = 104 + 3 = 107

c) 105 107 = 105 + 7 = 1012

d) 108 1012 = 108 + 12 = 1020

b) (-5)40

9 Qual é o valor do em cada caso, de modo que a igualdade seja verdadeira?

a) 710 = (75)

b) 1050 = (10  )10

10 Converta cada fator em uma potência e escreva o resultado na forma de potência.

a) 1 000 . 10

b) 10 000 . 1 000

c) 100 000 . 10 000 000

d) 100 000 000 . 1 000 000 000 000

11 Calcule o valor das expressões aplicando as propriedades das potências e escreva o resultado na forma de potência.

a)

:

b)

c)

d)

Orientações

Calculando potências utilizando a calculadora

1 Veja como podemos calcular potências de base negativa usando a calculadora. Exemplo: (-3)5

Logo, (-3)5 =-243.

Agora, use a calculadora para calcular:

Em calculadoras cientificas temos as seguintes funções.

2 Agora, observe como podemos utilizar essa funções para calcular potências.

Veja os exemplos.

a) Usando uma calculadora que tenha essas teclas, calcule:

9)5 • (-10)6 • (-30)0 • (-1)200

b) Elabore questões de cálculo com potências. Depois, troque com um colega para que ele resolva as que você elaborou e você resolva as dele.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA04 e EF07MA06, assim como a competência específica 5 MatemaTIC trabalha o uso da calculadora para o cálculo de potências. Convém alertar os estudantes de que nem todas as calculadoras repetem a última operação sempre que se aciona a tecla =. Em algumas será preciso redigitar o fator todas as vezes. Se necessário, organize os estudantes em grupos para que possam dispor de pelo menos uma calculadora com essa função para realizar a atividade 1 e uma calculadora científica para realizar a atividade 2

As questões elaboradas no item b da atividade 2 podem ser trocadas entre os grupos. Atente-se à formulação das questões e ao uso da terminologia correta. Ao resolver essas questões, podem surgir dificuldades não identificadas anteriormente.

Objetivos do capítulo

• Entender a radiciação como operação inversa da potenciação.

• Efetuar, quando possível, a radiciação com números inteiros.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 7 e 9

Competências específicas 8

Habilidades EF07MA04

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA04

Neste capítulo, estudaremos a radiciação no conjunto dos números inteiros, apresentando como efetuar essas operações, quando possível, nesse conjunto numérico. O objetivo é instrumentalizar os estudantes, de forma prática e didática, para que identifiquem e realizem essa operação com o conjunto dos números inteiros, aplicando, na resolução de problemas, as propriedades da potenciação estudadas no capítulo anterior.

A resposta à questão do Para começar será obtida pelos estudantes após o desenvolvimento do tema. Como 16 deve ser um número memorizado como a multiplicação de 4 por 4, provavelmente os estudantes reconhecerão que a medida do lado do quadrado é 4 metros. Proponha, então, outras medidas de área de quadrado, como 32 m2, por exemplo, de modo que percebam que é necessária uma operação diferente das que já dominam para chegar à medida do lado desse quadrado.

A questão sobre a existência ou não de raiz quadrada de número negativo, apresentada no Pense e responda, pode deixar os estudantes em dúvida. Lembre a eles que, ao multiplicar um número negativo por si mesmo, sempre obtém-se um número positivo, pois, para o produto ser negativo, seria necessário haver um número ímpar de fatores negativos, o que não pode acontecer nesse caso.

Radiciação

Como podemos calcular a medida do lado de um quadrado cuja área é igual a 16 m2? Resposta no Manual do Professor.

Raiz quadrada

Quais são os números inteiros que, elevados ao quadrado, são iguais a 25? Para indicar o número procurado, ou seja, aquele cujo quadrado é 25, usamos a notação:

radical 4 √25 (Lê-se: raiz quadrada de 25)

radicando

√25 = 5, pois 52 = 25

Apesar de (-5)2 = 25 e (+5)2 = 25, temos que a raiz quadrada de um número inteiro positivo é um número positivo.

Se √a = b, então, b2 = a, a l 0 e b > 0

Veja outros exemplos:

• √49 = 7, pois 72 = 49.

• √8 é impossível em Z, pois não existe número inteiro positivo que elevado ao quadrado resulta 8.

• √-100 é impossível em Z, pois não existe número inteiro que elevado ao quadrado resulta -100.

Radiciação é a operação inversa da potenciação.

Existem raízes quadradas de números inteiros negativos? Não.

Para aprofundar

Convém salientar que nem todo número natural inteiro, positivo ou nulo, é quadrado de outro. Por exemplo, não há número natural que, elevado ao quadrado, seja igual a 10. Por isso, dizemos que 10 não é um quadrado perfeito. Os números naturais que são quadrados de outros números naturais são denominados quadrados perfeitos. Veja os números quadrados perfeitos de 0 a 100.

O artigo trata de uma abordagem histórica para o ensino de raiz quadrada.

• CUNHA, Ângela Maria Visgueira; SILVA, JOSÉ Roberto. Elaboração de um material potencialmente significativo: uma abordagem histórica para o ensino de raiz quadrada. Educação em Revista, [s. l.], ed. 3, 2021. Disponível em: https://www.scielo.br/j/edur/a/yG9fTNxWtRsk8CNT7bps

TVQ/#. Acesso em: 30 jun. 2022.

0 = 02

1 = 12

4 = 22

3 = 32

16 = 42

25 = 52

Quadrados perfeitos

36 = 62

49 = 72

64 = 82

81 = 92

100 = 102

Para verificar rapidamente se um número natural é ou não é um quadrado perfeito, observe o quadro a seguir.

Número 12345678910

Quadrado 149253649647281100

Como no sistema de numeração indo-arábico qualquer número natural deve necessariamente terminar com: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, podemos concluir que:

Se um número natural tem como algarismos das unidades 2, 3, 7 ou 8, bem como se terminar com um número ímpar (maior que 1) de zeros, então esse número não é um quadrado perfeito.

Portanto, 2 348, 5 000 e 16 902 não são quadrados perfeitos.

Atividades

1 Determine as raízes.

a) 49 b) 100 c) 144 d) 169

2 Calcule o valor da expressão.

:-.+ 64 4   9 144 1

+7 +10 +12 +13 -31

3 Copie o quadro no caderno e complete-o com números inteiros. Caso a raiz não exista, escreva “não existe”.

a 812516 -36

√a 12017

4 A raiz quadrada de um número é 11. Qual é esse número?

5 Calcule o valor da expressão 12 + 16 : 22 – 3 : 25

6 Calcule a raiz quadrada do valor de cada uma das expressões a seguir.

a) 182 + 242

b) 72 + 242

7 Calcule a medida do lado, em centímetros, de um quadrado em que a área é:

a) 81 cm2

b) 361 cm2

8 Quais números abaixo são quadrados perfeitos? Justifique sua resposta.

7 413 9 000 698

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA04

Para retomar o conceito de raiz quadrada, peça aos estudantes que relacionem os números quadrados (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...), observando que esses números correspondem a áreas de quadrados cujos lados são representados, respectivamente, pelos números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Assim, a área de um quadrado de lado 1 será igual a 1; a de lado 2 será igual a 4; a de lado 3 será igual a 9, e assim sucessivamente. A raiz quadrada de um número inteiro é, portanto, o valor que corresponde ao lado do quadrado.

não existe

Os itens a e b da atividade 1 podem ser resolvidos consultando a tabela de Curiosidade. Seguindo a mesma ideia, os estudantes podem arriscar os números seguintes, usando a lógica: “o número que multiplicado por si mesmo resulta em 4 é 2; então, vou testar o 12” (item c); e “o número que multiplicado por si mesmo dá 9 é 3; então, deve ser o 13” (item d). Para ter certeza, eles devem fazer o cálculo. Resolução da atividade 2

64 49 144 1 :-.+=

8 : 2 - 3 . 12 + 1 = 4 - 36 + + 1 =-31

Resolução da atividade 3

a 812516144 0 289 -36

a 954 12 0 17 não existe

Resolução da atividade 4

O número é 121, pois, 112 = 121. Resolução da atividade 5

12 + 16 : 2 2 - 3 25 = 12 + 16 : 4 - 3 5 = = 12 + 4 - 15 = 1

Comente com os estudantes que raízes quadradas e raízes cúbicas devem ser resolvidas em primeiro lugar, junto com as potenciações, na ordem em que aparecem.

Resolução da atividade 6

a) 182 + 242 = 324 + 576 = 900

900 = 30

b) 72 + 242 = 49 + 576 = 625

625 = 25

Resolução da atividade 7

a) 81 = 9 4 9 cm

b) 361 = 19 4 19 cm

c) 12 100 cm2

A noção de quadrado perfeito é importante para o cálculo de uma raiz quadrada. Faça questionamentos variados para trabalhar o tema:

• Porque 81 = 9? Porque 92 = 81.

• Que número natural elevado ao quadrado dá 81? 9

• Que número natural elevado ao quadrado dá 18? O número 18 está entre 16 e 25, ou seja, 18 está entre 42 e 52. Logo, não há número natural que elevado ao quadrado dê 18.

• Podemos dizer que 18 é um quadrado perfeito? Por quê? Não, porque nenhum número natural elevado ao quadrado dá 18.

c) 12100 = 110 4 110 cm

Resolução da atividade 8 Nenhum deles é quadrado perfeito, porque números naturais que terminam em 2, 3, 7 ou 8 ou que têm um número ímpar de zeros no final não são quadrados perfeitos.

Orientações

Esse jogo favorece o desenvolvimento da competência específica 8

O jogo propõe que cada dupla obtenha o maior resultado possível. Para isso, ao sortear as cartas, os estudantes devem avaliar as diversas possibilidades de combinar os valores usando adição e/ou multiplicação, o que deve aumentar seu domínio sobre o trabalho simultâneo com números positivos e negativos.

Respostas

Maior resultado:

(-10) (-10) (+10) = 1 000;

Menor resultado:

(-10) (+10) (+10) =-1 000. Para o segundo item, há várias possibilidades de resposta.

Deixe os estudantes apresentarem suas composições, explicando como pensaram.

Embaralhando: cartas positivas e negativas

Para começar, junte-se aos colegas e formem um grupo com quatro integrantes. Depois, no grupo, formem duas duplas.

Vocês vão precisar de:

• 1 baralho completo;

Previamente, peça aos estudantes que tragam cartas de baralho para esta atividade.

• 2 lápis pretos.

• 2 quadros, como o mostrado a seguir;

Quadro de anotações

• Decidam, com a turma, quantas rodadas o jogo terá e completem a tabela de anotações com mais linhas, de acordo com a quantidade de rodadas.

• Cada grupo deve retirar do baralho as seguintes cartas: coringas, reis, damas e valetes.

• Decidam (pode ser no par ou ímpar) que dupla iniciará o jogo.

• Um dos integrantes da dupla iniciante deve embaralhar as cartas, e o outro sortear três delas do monte. Os naipes em vermelho representam números negativos; os pretos, números positivos; as cartas AS representam o número 1.

• Depois de sorteadas as três cartas, a dupla deve usar as operações de adição e/ou multiplicação, de modo a encontrar o maior resultado possível. Em seguida, deve preencher a tabela de anotações. Por exemplo, se a dupla sortear as seguintes cartas e usar apenas a operação de adição:

3) + 7 + (-1) = (-4) + 7 = 3

• As cartas sorteadas devem voltar ao monte, e a outra dupla repete o procedimento. O jogo seguirá até que as rodadas terminem.

• Ao final, as duplas devem adicionar os resultados encontrados.

• Vence a dupla que obtiver a maior soma.

Trabalhando juntos

• Qual é o maior resultado que pode ser obtido nesse jogo? E o menor?

Respostas no Manual do Professor.

• Que outras operações poderiam ser feitas com as cartas mostradas no exemplo para que fosse encontrado um número maior?

Exemplo de resposta: (-3) . 7 . (-1) = 21.

• Conversem sobre as possíveis respostas e apresentem as soluções para os demais grupos.

Respostas pessoais.

Mudanças climáticas

A  temperatura média do planeta Terra aumentou em torno de 0,5 °C nos últimos 100 anos e cientistas estimam que deva aumentar em 4 °C até o final deste século. Quais poderão ser as consequências disso?

O aumento da temperatura média do planeta tende a alterar as condições climáticas (circulação atmosférica, chuvas e secas) provocando mudanças nas diferentes regiões do globo.

• Furacões podem ficar mais frequentes causando destruição!

• Períodos secos mais extremos em alguns locais podem levar à escassez de água, essencial para a vida!

• O derretimento das calotas polares prejudica os animais, como os ursos polares, e aumenta o nível do mar!

• O aumento do nível do mar pode causar enchentes em cidades costeiras e até destruir algumas delas!

• As chuvas mais intensas em outros locais podem causar enchentes que levam tudo o que está pela frente!

• O aparecimento de bactérias mais resistentes e danosas podem causar muitas doenças!

BRASIL. Empresa de Pesquisa Elétrica. Mudanças climáticas e transição energética. [Brasília, DF]: EPE, [20--]. Disponível em: https://www.epe.gov.br/pt/abcdenergia/clima-e-energia. Acesso em: 21 fev. 2022.

Orientações

A seção Matemática Interligada trata de um tema de extrema importância na atualidade: o aquecimento global.

Incentive o debate entre os estudantes sobre as informações levantadas na pesquisa que farão e, pr incipalmente, sobre as propostas para reversão do quadro, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 7 e contempla o Tema Contemporâneo Transversal: Educação Ambiental

Observe que, ainda hoje, existem divergências de opiniões sobre o aquecimento global, e ainda há quem defenda que o fenômeno existe, mas que independe da ação humana. Essas ideias podem surgir na pesquisa ou os estudantes podem trazê-las do contexto familiar e social em que vivem. Atente-se para que eventuais divergências sejam tratadas com respeito e tolerância, exercitando a competência geral 9

Se julgar conveniente, convide o professor de Geografia e o de Ciências para um debate conjunto sobre o assunto.

1 Por que a temperatura média da Terra está aumentando? Pesquise para responder.

Porque as atividades humanas estão emitindo para a atmosfera grandes quantidades de gases de efeito estufa (GEE).

2 O que precisamos fazer para combater as mudanças climáticas?

Resposta pessoal.

3 Converse sobre as informações do texto e, em grupo, redijam um texto sintetizando as conclusões. Resposta pessoal.

Orientações

A seção Para encerrar contempla testes, inclusive de provas oficiais, para os estudantes ampliarem e enriquecerem seu repertório de questões acerca dos temas desenvolvidos na unidade.

Resolução da atividade 1:

Entre os números 20 e 40, temos:

21 é divisível por 1

22 é divisível por 2

24 é divisível por 4

25 é divisível por 5

31 é divisível por 1

32 é divisível por 2

33 é divisível por 3

35 é divisível por 5

36 é divisível por 6

Portanto, temos 9 números entre

20 e 40 que são divisíveis pelo dígito que aparece no lugar da unidade.

Alternativa e Resolução da atividade 2

Os divisores do número 100 são:

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.

Sua soma vale:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + + 50 + 100 = 217.

Alternativa b Resolução da atividade 3

Fatorando a quantidade de filmes, teremos:

Drama 4 460 = 22 . 5 . 23.

Terror 4 391 = 17 23.

Comédia 4 345 = 3 5 23.

Infantil 4 299 = 13 23.

As quantidades de filmes são números múltiplos de 23, ou seja, o maior múltiplo comum das quatro quantidades é o número 23.

Portanto, o número de caixas é 23.

Em cada caixa teremos:

Drama 4 460 : 23 = 20.

Terror 4 391 : 23 = 17.

Comédia 4 345 : 23 = 15.

Infantil 4 299 : 23 = 13.

Logo, a soma da quantidade mínima de caixas: 23 + 65 = 88.

Alternativa d

Resolução da atividade 4

Do enunciado, temos:

• O ônibus para Ver-o-Peso passa de 15 em 15 minutos, ou seja, passa em:

15, 30, 45, 60, 75, 90, ... minutos.

• O ônibus para a praça Batista

Campos passa de 25 em 25 minutos, ou seja, passa em: 25, 50, 75, 100, ... minutos.

O primeiro encontro ocorrerá em 75 minutos (1h15min) após às 22h30min, ou seja, 23h45min.

Alternativa e

1 (OPRM-PR) O número 36 tem a propriedade que é divisível pelo dígito que aparece no lugar da unidade, pois 36 é divisível por 6. O número 38, por exemplo, não tem essa propriedade. Entre os números de 20 a 40, quantos têm a propriedade explicada? Alternativa e

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

2 (OPRM-PR) A soma dos divisores de 100 é: Alternativa b

a) 11

b) 217

c) 221

d) 222

e) 250

3 (CMRJ) A dona de uma locadora, que vai se mudar, precisa embalar todos os filmes de forma segura. Ela deve começar a embalar pelas quatro categorias que possuem a maior quantidade de filmes:

Drama – 460

Terror – 391

Comédia – 345

Infantil – 299

Para organizar o transporte, ela necessita de caixas em que caiba a mesma quantidade de filmes de um só tipo por caixa. Qual a soma da quantidade mínima de caixas que ela deve comprar com a quantidade de filmes que deve caber em cada caixa? Alternativa d

a) 23

b) 46

c) 65

d) 88

e) 176

4 (CMBEL-PA) Em um mesmo ponto, passa um ônibus para o Ver-o-Peso, de 15 em 15 minutos, e um ônibus para a Praça Batista Campos, de 25 em 25 minutos. Levando em conta que os dois ônibus dessas linhas passaram juntos às 22h30min, o próximo momento que eles passarão juntos será às: Alternativa e

a) 22 horas e 45 minutos.

b) 10 horas e 55 minutos.

c) 23 horas e 15 minutos.

d) 11 horas e 30 minutos.

e) 23 horas e 45 minutos.

5 (OBM) Esmeralda foi escrevendo os quadrados dos números inteiros positivos um em seguida ao outro, formando o número 149162536..., e parou quando chegou ao centésimo algarismo. Qual foi o último algarismo que ela escreveu?

9 Alternativa e

6 (IFAL) Resolvendo a expressão numérica {30 - [16 - (3 + 32) / 2] + 22}, encontramos o valor:

a) 12.

b) 15.

c) 18.

d) 20.

Resolução da atividade 5

Os números 12, 22, 32 possuem um algarismo.

Os números 42, 52, ..., 92 possuem dois algarismos.

Os números 102, 112, ..., 312 possuem três algarismos. Assim, ao escrever o quadrado do número 31, o número de algarismos escritos é 1 . 3 + 2 . 6 + 3 . 22 = 81, faltando escrever 19 algarismos. Com os quadrados de 32, 33, 34 e 35, temos mais 16 (4 . 4) algarismos, faltando ainda escrever apenas três algarismos.

Como 362 é 1 296, concluímos que o último algarismo escrito foi o 9.

Resolução da atividade 6

{30 - [16 - (3 + 32) : 2] + 22} = {30 - [ 16 - (3 +

+ 9) : 2] + 4} = {30 - [16 - 12 : 2] + 4} = = {30 - [16 - 6] + 4} = 24.

Alternativa e

Orientações

Resolução da atividade 7

7 Se A = 5 + 7 e B = 2 - 20, então o valor de A + B é: Alternativa d

a) 7.

b) 10.

c) 29.

Ilustrações:

d) -6.

e) -8.

8 Que número deve ser colocado no lugar de cada de modo que a igualdade seja verdadeira?

a) 61 . 6 = 68 7

b) (-3) . (-3)3 . (-3)7 = (-3)12 2

c) 83 . 8 . 89 = 812 0

9 (IFMG) Escreva V ou F, conforme a afirmativa seja verdadeira ou falsa. Alternativa c

( ) 22 + 32 = 25 ( ) 23 . 22 = 25 ( ) (22)3 = 26

A sequência CORRETA é:

a) V - V - V

b) V - V - F

10 Sendo A = 5 + 25 e B = 3 -- 9 () e considerando somente a raiz positiva em cada caso, calcule:

a) A + B; 16

b) A - B; 4

c) A . B; 60

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi O

Identifico múltiplos e divisores de números naturais.

Resolvo e elaboro problemas com múltiplos e divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum por meio de estratégias diversas.

Reconheço, comparo e ordeno números inteiros em diferentes contextos.

Represento pontos no plano utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.

Resolvo e elaboro problemas de adição e subtração com números inteiros.

Aplico as propriedades da adição, subtração, multiplicação e divisão para efetuar cálculos.

Resolvo e elaboro problemas de multiplicação e divisão com números inteiros positivos e negativos.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

A = 5 + 7 = 12

B = 2 - 20 =- 18

A + B = 12 - 18 - 6

Alternativa d Resolução da atividade 8

a) 6■ = 68 : 61 = 68 - 1 = 67

Logo, ■ = 7.

b) (-3)■ (-3)3 + 7 = (-3)12

(-3)■ = (-3)12 : (-3)10 = (-3)2

Logo, ■ = 2.

c) 8■ . 83 + 9 = 812

8■ = 812 : 812 = 812 - 12 = 81

Logo, ■ = 1.

Resolução da atividade 9

• Falsa, pois 22 + 32 = 4 + 9 = 13.

• Verdadeira, pois 23 22 = 23+2 = 25 = 32.

• Verdadeira, pois (22)3 = 22 3 = 26 = 64.

A

= 5 + 25

A

= 10

3 B = 6

B = 3

Principais objetivos da unidade

• Compreender variável representada por letra ou símbolo, por meio da relação de dependência entre diferentes grandezas.

• Resolver problemas utilizando expressões algébricas para generalizar e representar situações matemáticas.

• Utilizar simbologia algébrica para identificar regularidades em sequências.

• Identificar sequências recursivas e não recursivas, na Matemática e em outros contextos.

• Identificar uma equação polinomial do 1? grau com uma incógnita.

• Entender incógnita como o termo desconhecido de uma equação.

• Resolver equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita utilizando procedimentos construídos com base nas propriedades da igualdade.

• Representar e resolver situações-problema por meio de equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF07MA13, quanto à utilização de variável representada por letra ou símbolo, diferenciado-a da ideia de incógnita, da habilidade EF07MA14, no que se refere à classificação de sequências em recursivas e não recursivas, e o reconhecimento de que o conceito de recursão está presente na Matemática e também nas artes e na Literatura; e também da habilidade EF07MA15, quanto à utilização da simbologia algébrica para expressar regularidades de sequências numéricas.

A habilidade EF07MA16 contribui para o reconhecimento e equiv alência de expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de sequências numéricas. A resolução e elaboração de problemas envolvendo grandezas diretamente e inversamente proporcionais, com a utilização de sentenças algébricas para expressar a relação entre elas, contribui para o desenvolvimento da habilidade

EF07MA17. A habilidade EF07MA18 favorece a resolução e elaboração de problemas representados por equações polinomiais de 1o grau.

Pré–requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos, é esperado que os estudantes:

• resolvam expressões numéricas envolvendo as quatro operações básicas e a potenciação;

• compreendam a relação entre duas expressões matemáticas utilizando símbolos e números por meio da relação de igualdade;

• compreendam o uso da simbologia para expressar situações do dia a dia;

• transformem dados apresentados em linguagem natural para a linguagem matemática.

Avaliação diagnóstica

Verificar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade é condição fundamental para favorecer, ao professor, a escolha das estratégias didáticas a serem utilizadas para o trabalho com o conteúdo proposto. Promova, inicialmente, uma roda de conversa e incentive os estudantes a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados, assim como a realização de atividades escritas, além de resolução e elaboração de problemas e cálculos diversos, favorecendo a resolução por meio de estratégias pessoais. Se necessário, retome os conteúdos propostos, para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

Orientações

Linguagem algébrica e equação polinomial do 1 ? grau

A balança de dois pratos foi criada no Antigo Egito e sua utilização consistia em colocar em um dos pratos o objeto que se desejava medir e, no outro, massas de valores conhecidos. Quando os dois pratos tinham conteúdos de mesma massa, a balança ficava em equilíbrio.

1. Se a balança estiver em desequilíbrio, o que é necessário fazer para que os pratos fiquem equilibrados?

2. Em sua opinião, por que a balança de dois pratos é usada como um dos símbolos da Justiça?

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• resolver problemas utilizando expressões algébricas para generalizar e representar situações matemáticas;

• utilizar simbologia algébrica para identificar regularidades em sequências;

• resolver equações do primeiro grau com uma incógnita utilizando procedimentos construídos com base nas propriedades da igualdade.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 4, 7, 8 e 9

Competências específicas 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8

Habilidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, F06MA16, EF07MA17 e EF07MA18

Foco nos TCTs

• Educação em Direitos Humanos

Esta unidade tem a finalidade de desenvolver o pensamento algébrico, pois é fundamental para que os estudantes elaborem modelos matemáticos para compreensão, representação e análise de relações quantitativas de grandezas com utilização de letras. A partir disso, eles podem construir uma linguagem que seja capaz de estabelecer generalizações para a resolução de problemas com equações, o que possibilita o enfrentamento de problemas matemáticos em seus diversos contextos utilizando a linguagem algébrica.

Sugerimos propostas de situações que podem direcioná-los na construção de conceitos matemáticos, expondo e discutindo suas ideias, levantando hipóteses e apresentando conclusões.

Na questão 1, é esperado que os estudantes entendam que, para deixar os pratos em equilíbrio, é necessário atribuir mais massa ao prato que está mais alto (com menor massa) ou tirar do prato que está mais baixo (com maior massa). Se tiver a oportunidade, leve uma balança de dois pratos para a sala de aula e mostre, na prática, experimentos relacionados a essa atividade.

O tema da questão 2 permite direcionar para uma discussão sobre a justiça em nossa sociedade.

Para aprofundar

O artigo evidencia a importância do uso de equações para a resolução de problemas matemáticos.

• NEGROMONTE, M. A. O.; SILVA, M. G.; CORDEIRO, A. G. S. L. A importância do uso das equações na resolução de problemas matemáticos. In: CONGRESSO NACIONAL DE EDUCAÇÃO, 6., 2019, Fortaleza. Anais  [...]. Fortaleza: Editora Realize, 2019. Disponível em: https://www.editorarealize.com. br/editora/anais/conedu/2019/ TRABALHO_EV127_MD1_SA13_ ID12606_13092019190344.pdf. Acesso em: 11 jul. 2022.

Objetivos do capítulo

• Compreender variável representada por letras ou símbolos por meio da relação de dependência entre diferentes grandezas.

• Utilizar expressões algébricas para generalizar e representar situações matemáticas.

• Reconhecer a equivalência de expressões algébricas.

• Identificar a regularidade em uma sequência.

• Obter uma sequência numérica com base em seu termo geral.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, e 8

Competências específicas 1, 2, 3, 4, 6 e 8

Habilidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA17

Orientações

A discussão sobre as diferentes linguagens que fazem parte de nosso cotidiano possibilitará evidenciar a linguagem matemática como forma de comunicação, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 4

Resolução de Para começar

1. x =-3 - 7 4 x =-10

2. Há diferentes valores de m e n que satisfazem as condições dadas.

Por exemplo: - 1 + 9 = 8; - 3 + + 11 = 8; 2 + 6 = 8; etc.

Converse com os estudantes sobre as diferentes linguagens utilizadas no cotidiano, por exemplo, os sinais de trânsito das inúmeras placas espalhadas pela cidade que indicam, por meio de uma linguagem específica, o que o motorista pode ou não fazer. Apresente os principais sinais de trânsito, como os exemplos das figuras a seguir, discutindo o significado de cada um e a relevância do respeito a essas sinalizações por parte dos cidadãos.

Expressões algébricas

Tente resolver os desafios.

1. Observe a igualdade x + 7 =-3. Descubra um número inteiro que pode substituir a letra x, de maneira que a igualdade seja verdadeira. -10

2. Na igualdade m + n = 8, sabemos que m representa um número menor do que n Descubra dois números inteiros que podem substituir as letras m e n, de maneira que a igualdade seja verdadeira. Respostas possíveis: 2 e 6; 3 e 5; 1 e 7; 0 e 8.

3. Como você pensou para resolver os desafios? Resposta pessoal.

Linguagem matemática

Quando conversamos, comunicamos ideias e fornecemos orientações ou informações. Podemos não perceber, mas há uma variedade de maneiras pelas quais as nossas ideias podem ser representadas. Além da palavra escrita e falada, usamos em nossa comunicação gestos, sinais sonoros, desenhos, símbolos etc.

A Matemática também tem a própria forma de comunicação. Com apenas alguns símbolos é possível propor muitas noções matemáticas que, se redigidas com o texto convencional, exigiriam uma quantidade maior de palavras. Vamos conferir?

Frase em linguagem naturalFrase em linguagem matemática

A soma de três e cinco é igual a oito.

3 + 5 = 8

Nove é maior do que quatro décimos. 9 > 0,4

A diferença entre um número qualquer e cinco dezenove avos. x 5 19 -

A diferença entre o triplo de um número e um é igual a dez. 3 x – 1 = 10

A soma de dois números distintos quaisquer é menor do que seis.

+ y < 6

O que é uma expressão algébrica

Expressões matemáticas que contêm apenas números e símbolos de operações são denominadas expressões aritméticas. As expressões que contêm números, símbolos de operações e letras são denominadas expressões literais ou expressões algébricas

Expressão em linguagem natural Expressão em linguagem matemática

A soma entre oito e sete dividida por três. (8 + 7) : 3 Expressões aritméticas

A multiplicação entre o quadrado de três e cinco.

A soma entre o dobro de um número qualquer e outro número qualquer.

O dobro da soma de dois números distintos quaisquer.

Um número inteiro ímpar.

32 5

2 x + y

2 (x + y)

2 x + 1, x óZ

Expressões algébricas

Nas expressões algébricas, não é necessário escrever o sinal de multiplicação (* ou ) entre letras ou entre números e letras. Veja:

• 2 * a ou 2 a pode ser representado por 2a;

• x * y ou x y pode ser representado por xy Também podemos omitir o sinal de multiplicação quando um número ou uma letra está multiplicando uma expressão entre parênteses, colchetes ou chaves.

• 2 . (x + y) pode ser representado por 2(x + y);

• a (b + c) pode ser representado por a(b + c).

Orientações

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EF07MA13

Para apresentar as expressões algébricas ou literais, consideramos muito importante apresentar aos estudantes expressões numéricas e expressões literais para que as diferenciem. Vale observar que as expressões numéricas podem ser resolvidas; seu resultado é único. Porém, só encontraremos o resultado de uma expressão literal quando atribuirmos um valor às variáveis; alterando o valor inicial, estaremos modificando o resultado da expressão.

Literal: a palavra literal vem do latim littera, que significa “letra”. A área da Matemática em que se utilizam letras para expressar números é, de forma genérica, chamada Álgebra Escreva a expressão (2x + 3y) : 5 em linguagem natural. Como você pensou para responder?

A soma do dobro de um número qualquer e o triplo de outro número qualquer dividida por 5. Resposta pessoal.

Nessa fase da aprendizagem, é essencial que os estudantes atribuam significado às expressões algébricas e entendam as letras como símbolos que substituem números para representar quantidades que variam. Mostre mais exemplos, utilizando outros símbolos, como estrelas e/ou formas geométricas, para reforçar a simbologia do termo desconhecido. As expressões algébricas são utilizadas para formular problemas, generalizar e representar situações matemáticas.

Apresente situações que possam ser representadas por meio de expressões algébricas, reforçando a ideia de que essas expressões são utilizadas quando os números de valor desconhecido são denominados variáveis e representados por letras.

A resolução do Pense e responda pode ser feita coletivamente, com você escrevendo na lousa o que os estudantes falaram, de modo que percebam se enunciaram corretamente o pensamento e intervindo, quando necessário.

Orientações

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EF07MA13

Como, em geral, os estudantes apresentam dificuldades em compreender a linguagem algébrica e fazer generalizações, o que requer abstração. Utilizar letras que tenham significado para eles pode ser uma opção interessante. Por exemplo, no problema “Comprei 5 bananas e paguei 4 reais”, poderão chamar o número de bananas de B e escrever a sentença:

B + B + B + B + B = 4, ou 5 B = 4

No exemplo 2b + 3b = 5b, a sentença pode ser interpretada como 2 bananas mais 3 bananas totalizam 5 bananas (adição de termos semelhantes).

Ou, ainda, 2(a + b) = 2a + 2b, representando o dobro do número de abacates adicionado ao dobro do número de bananas (propriedade distributiva).

Atividades complementares

Apresente à turma o Jogo da linguagem algébrica, que tem como objetivo reforçar a leitura adequada de uma expressão algébrica, fazendo com que o estudante seja capaz de traduzir algebricamente informações apresentadas em uma situação-problema. O jogo deve ser trabalhado em dois grupos, promovendo uma competição.

As regras e os modelos de cartelas podem ser encontrados em: http:// www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/por tals/roteiropedagogico/recursome tod/417_curiosidades.pdf (acesso em: 13 jul. 2022).

Os símbolos matemáticos representam conceitos, operações, propriedades e, em geral, qualquer situação da Matemática. Os algarismos, os sinais de operações e os de comparações são exemplos de símbolos. Termos semelhantes têm a mesma parte literal.

Nas expressões algébricas, por exemplo, em 2x + y, cada uma das letras pode assumir diversos valores; por esse motivo, as letras x e y são chamadas de variáveis e 2x e y são os termos algébricos dessa expressão.

Já em x + 2 = 5, a letra x é considerada um número desconhecido. Nesse caso, a letra x é chamada de incógnita

Os termos algébricos têm uma parte numérica, chamada coeficiente, e uma parte literal. Veja:

• em 2x, o coeficiente é 2 e a parte literal é x;

• em 1y ou y, o coeficiente é 1 e a parte literal é y

Nas operações com termos algébricos, usam-se as mesmas propriedades empregadas nas operações com números. Veja alguns exemplos:

• a + a = 1 a + 1 a = (1 + 1) a = 2 a = 2a

• 4x + 7x - 3x = (4 + 7 - 3) x = 8x

A expressão 4x + 7x - 3x pode ser simplificada, porque 4x, 7x e 3x são termos semelhantes.

• 5y + 8z + 4y - 2z = 5y + 4y + 8z - 2z = (5 + 4) y + (8 – 2) z = = 9y + 6z

A expressão 9y + 6z não pode ser simplificada, porque 9y e 6z não são termos semelhantes.

• A forma simplificada da expressão 3(x - 1) - 2(3x + 4) é:

3(x - 1) - 2(3x + 4) = 3x - 3 - 6x - 8 Propriedade distributiva da multiplicação.

Como já não há termos semelhantes, - 3x - 11 é a forma simplificada ou reduzida da expressão.

Sentenças matemáticas

As sentenças matemáticas utilizam expressões algébricas ou aritméticas para estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre elas.

Veja:

• 3 + 5 = 8 4 sentença matemática verdadeira;

• 9 + 1 = 12 - 5 4 sentença matemática falsa;

• 2x + 4 = 2(x + 2) 4 sentença matemática verdadeira, independentemente do valor que se atribua a x;

• 5x + 3 = 5x + 4 4 sentença matemática falsa, independentemente do valor que se atribua a x;

• x + y ≠ 10 4 sentença matemática que pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos valores atribuídos a x e a y;

• 3x = x + 1 4 sentença matemática que pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído a x

Álgebra em quadrinhos, de Larry Gonick (Blucher), explica tópicos de Álgebra de maneira divertida, por meio de ilustrações que lembram revistas em quadrinhos. O livro apresenta exemplos com problemas resolvidos e também propõe exercícios para que você tente solucionar sozinho.

Resolução da atividade 5

b) Sugestões: • pares.

Escrever um número inteiro 2x

Escrever o número inteiro 2x + 2

Escrever o número inteiro 2x + 4

1 Qual é o significado de cada representação a seguir?

C 2

Reciclagem.

a) R$ b) jojoo64/ iStockphoto.com c)

Dinheiro em real.

Proibido ultrapassar.

2 Represente em linguagem matemática:

a) um número adicionado a quatro;

b) o triplo de um número mais cinco;

x + 4

3x + 5

c) o dobro de um número mais sua terça parte;

d) o quociente entre x e y aumentado de 5.

2x + x 3

x y 5 +

3 Vinícius comeu 1 5 de uma pizza e a parte restante foi dividida igualmente entre seus dois irmãos. Escreva o que representa cada uma das expressões a seguir.

a) 1 1 5 -

A parte que foi dividida entre seus dois irmãos.

4 Simplifique as expressões algébricas.

a) 3(x + 4) - 2x

x + 12

b) 5 + 6(2x + 1) - 4(3x - 8)

c) 4(x - 1) - 2(5 - x)

6x - 14 43

5 Observe o fluxograma a seguir.

Início Fim

• Ímpares.

A parte que cada irmão recebeu.

Escrever o número inteiro x Escrever o sucessivo: x + 1

Escrever: 2x + 1

a) O que este fluxograma calcula?

Calcular: x + x + 1

Calcula a expressão que representa a soma de dois números consecutivos.

b) Elabore um fluxograma para calcular a expressão que representa a soma de três números inteiros consecutivos:

Resposta pessoal.

• pares;

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA07 e EF07MA13

Se possível, peça aos estudantes que leiam o livro sugerido no Assim também se aprende e façam um resumo para discutir em sala de aula.

Amplie a atividade 1, compartilhando mais símbolos, e peça aos estudantes que digam seus significados. É uma ótima maneira de trabalhar interpretação de leitura simbólica.

A atividade 2 reforça o desenvolvimento da linguagem algébrica. Comente que os símbolos surgiram pela necessi-

• ímpares.

dade de simplificar a escrita das operações, o que se tornou muito útil também para fazer com que a linguagem matemática seja entendida nos mais diversos idiomas. Comente que a atividade 3 trabalha com uma expressão aritmética, a qual poderia ser escrita também como expressão algébrica.

Resolução da atividade 4

a) 3x + 12 - 2x = x + 12

b) 5 + 12x + 6 - 12x - (-32) = 43

c) 4x - 4 - 10 - (-2x) = 6x - 14

Escrever um número inteiro 2x + 1

Escrever o número inteiro 2x + 3

Escrever o número inteiro 2x + 5

Calcular 2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5

Escrever a soma 6x + 9

Início Fim

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF07MA13 e EF07MA16

Apresente situações que sejam representadas por meio de expressões algébricas, reforçando a ideia de que essas expressões são utilizadas em situações nas quais os números de valor desconhecido são denominados variáveis e representados por letras.

Resolução da atividade 1

a) 2(3 + y + 1 + x) + 2x = 6 +

+ 2y + 2 + 2x + 2x = 4x + 2y +8.

b) 4 4 + 2 5 + 8 = 16 + 10 + + 8 = 34 4 34 m

Essa atividade envolve calcular o valor numérico de expressões algébricas. Comente com os estudantes que, quando substituímos o valor desconhecido por um número ou atribuímos valor para ele, encontramos o seu valor numérico.

Valor numérico de uma expressão algébrica

Acompanhe o exemplo a seguir e veja como podemos encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica.

Fórmula: sentença matemática que representa uma informação.

Valor numérico: resultado de uma expressão algébrica obtido quando se substitui cada variável por um número e se efetuam as operações indicadas.

Adriano, que está com 156 quilogramas de massa, procurou uma clínica especializada em tratamento de obesidade. O objetivo do tratamento é fazer Adriano eliminar, em média, 2,5 quilogramas por semana até atingir a meta estipulada pelo seu médico.

Resultados obtidos na clínica

TempoMassa final

1 semana156 - 2,5 = 153,5

2 semanas156 - 2,5 2 = 151

3 semanas156 - 2,5 3 = 148,5

4 semanas156 - 2,5 4 = 146

n semanas156 - 2,5 n

Fonte: Dados fictícios.

Supondo que o objetivo tenha sido alcançado, qual será a massa de Adriano ao final da 8; semana?

A tabela acima mostra a expressão que representa a massa final de Adriano em cada período. Ao final de n semanas, a expressão algébrica que representa a massa de Adriano será:

156 - 2,5 n

Chamando de M a massa, em quilogramas, no decorrer do tempo n, em semanas, obtemos a fórmula M = 156 - 2,5n

Agora, para saber o valor da massa M de Adriano em qualquer período de n semanas, basta fazer a devida substituição.

Assim, a massa de Adriano, ao final da 8; semana, será calculada substituindo n por 8 na fórmula.

M = 156 - 2,5n 6 M = 156 - 2,5 . 8 6 M = 156 - 20 6 M = 136

Portanto, ao final da 8; semana, Adriano estará com 136 kg.

O número 136 é chamado de valor numérico da expressão algébrica 156 - 2,5n quando n = 8.

1 Observe o retângulo ABCD, cujas medidas indicadas estão em metros.

3 D A C B x x + 1 y

a) Escreva a expressão algébrica mais simples que pode representar o perímetro desse retângulo.

4x + 2y + 8 34 m

2 Um campo retangular tem 100 m de comprimento e largura W, em metros, conforme a figura. 100 m

a) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro desse campo.

2W+ 200 320 m

b) Qual será o perímetro do campo se W= 60 m?

3 Uma curiosa calculadora tem duas teclas, A e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x Quando se aperta a tecla de um número qualquer (x) e, em seguida,

a) Indicando por x a quantidade de quilômetros rodados, escreva a expressão que forneça o preço total a ser pago por uma corrida conforme a quantidade de quilômetros percorridos.

6,80 + 5,40x

b) Qual será o preço, em reais, de uma corrida de 14,5 km?

R$ 85,10.

5 Em um evento foi colocado à disposição dos participantes um recipiente de água mineral contendo 20 L de água. Considerando que os copos, com capacidade para 0,2 L, eram servidos totalmente cheios, a expressão que representa a quantidade de água, em litros, que restou no vasilhame, relacionada com o número x de copos utilizados, é 20 - 0,2x. Que volume de água haverá no recipiente se forem utilizados:

a) 15 copos?

b) 70 copos?

6 Você sabia que o pé esquerdo e o direito, na maioria das pessoas, têm tamanhos diferentes? Nesse caso, para comprar um par de sapatos você deve medir ambos os pés e utilizar a maior medida obtida. O número do sapato que uma pessoa calça está relacionado ao comprimento p, em centímetros, de seu pé, e pode ser representado por: p 528 4 +

Qual é o número do sapato de uma pessoa cujo pé mede 27,2 cm?

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA13

Resolução da atividade 2

a) 2 W+ 2 100, ou 2 W+ 200.

b) 2 W+ 200 = 2 60 + 200 =

= 120 + 200 = 320 4 320 m

Resolução da atividade 3 a)

• Se x = 5, temos:

Tecla A: 2 . 5 + 1 = 11;

Tecla B: 3 . 11 – 1 = 32;

Tecla A: 2 . 32 + 1 = 65;

• Se x = 24, temos:

Tecla A: 2 24 + 1 = 49;

Tecla A: 2 49 + 1 = 99;

Tecla A: 2 99 + 1 = 199.

Resolução da atividade 4

a) Do enunciado, temos:

6,80 + 5,40x, sendo x o número de quilômetros rodados.

b) 6,80 + 5,40 . 14,5 = 6,80 + + 78,30 = 85,10 4 R$ 85,10.

Resolução da atividade 5

a) 20 - 0,2 15 = 20 - 3,0 = 17.

Portanto, haverá 17 L no recipiente.

b) 20 - 0,2 70 = 20 - 14 = 6

Portanto, haverá 6 L no recipiente.

Resolução da atividade 6

• a tecla A, o número no visor é substituído pelo resultado de 2x + 1.

• a tecla B, o número do visor é substituído pelo resultado de 3x - 1.

a) Calculem o número que aparecerá no visor quando:

• teclamos o número 5 e, em seguida, as teclas A, B e A, nessa ordem;

7 No Brasil e na maioria dos países do mundo, usamos a escala de temperatura Celsius. Já os Estados Unidos utilizam a escala de temperatura Fahrenheit. Se soubermos a temperatura de certo local em grau Farenheit, podemos obter o valor dessa temperatura em grau Celsius, usando a fórmula:

=- T 5 9 (T 32) CF

527, 228 4 + = 164 4 = 41

Resolução da atividade 7

T c = 5 9 (23 - 32)

T c = 5 9 (-9) =-5 4-5 ‘C

• teclamos o número 24 e, em seguida, as teclas A, A e A;

65 199

b) Expliquem como vocês pensaram para resolver os itens anteriores. Resposta pessoal.

4 Um taxista cobra, por corrida, um valor fixo de R$ 6,80 mais R$ 5,40 por quilômetro rodado.

Em que:

TC é a temperatura em grau Celsius (°C).

TF é a temperatura em grau Fahrenheit (°F).

Se em certo local a temperatura é 23 °F, qual é a temperatura em grau Celsius?

-5 °C

Para ampliar as atividades, peça aos estudantes que sugiram expressões e escreva-as na lousa. Em seguida, atribua valores às incógnitas dessas expressões para encontrar seu valor numérico.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA16

O texto define expressões algébricas equivalentes como expressões que, quando atribuímos o mesmo valor às suas variáveis, resultam no mesmo valor numérico.

Junto aos estudantes, observe a sequência apresentada nessa página, faça inferências e acompanhe o raciocínio deles no momento de investigar se duas expressões são equivalentes.

Para responder à questão do Pense e responda, os estudantes poderão observar as regras apresentadas no quadro de expressões equivalentes e fazer o cálculo ou simplesmente observar que o número de pontos aumenta de 3 em 3. A sétima linha terá, portanto, 26 + 3 = 29 4 29 pontos.

Neste momento, relembre as propriedades distributivas e mostre exemplos na lousa de como agrupar os fatores da multiplicação. Essa revisão irá auxiliar a resolução das atividades 1, 2 e 3

Resolução da atividade 1

Simplificando a expressão

3(n + 2) + 9, temos:

3n + 6 + 9 = 3n + 15.

Portanto, as expressões 3n + 15

e 3(n + 2) + 9 são equivalentes.

Resolução da atividade 2

5(4x + 1) = 20x + 5

a) 20x + 5 = 5(4x + 1); sim

b) 5(2x + 1) + 10x = 10x + 5 +

+ 10x = 20x +5; sim

c) 4x + 1 q 20x + 5; não

Resolução da atividade 3

4(6a - b) = 24a - 4b

a) Sim.

b) Não, pois 2(12a - 3b) = 24a- 6b

Para aprofundar

O artigo trata do desenvolvimento de conceitos e do pensamento algébrico.

• COELHO, F.; AGUIAR, M. A história da álgebra e o pensamento algébrico: correlações com o ensino. Estudos Avançados, [s. l.], v. 32, n. 94, p. 171-187. Disponível em: https://doi.org/10.1590/s0103

-40142018.3294.0013. Acesso em: 13 jul. 2022.

Se seguirmos o mesmo padrão do número de pontos de cada linha, quantos pontos terá a 7; linha? Explique como você chegou a essa conclusão.

29 pontos. Resposta

Expressões algébricas equivalentes

Para indicar o número de pontos de cada linha do esquema abaixo, em que n representa o número da linha, Renato utilizou a expressão 3n + 8 e Fernando 3(n + 5) - 7

Depois, eles calcularam o número de pontos das linhas usando essas expressões.

Veja os resultados:

Note que essas duas expressões têm o mesmo valor numérico para o mesmo valor atribuído à variável. Elas são chamadas de expressões algébricas equivalentes

De modo geral, duas expressões algébricas são equivalentes quando, ao atribuirmos o mesmo valor para suas variáveis, o valor numérico resultante é igual.

1 Considere as expressões algébricas 3n + 15 e 3(n + 2) + 9, sendo n um número natural. Verifique se elas são equivalentes.

São equivalentes.

2 Considere a expressão algébrica 5(4x + 1), sendo x um número natural. Verifique se as expressões algébricas a seguir são equivalentes à expressão dada.

a) 20x + 5 b) 5(2x + 1) + 10x c) 4x + 1

Sequências numéricas

O que é uma sequência

Os meses do ano, as letras do alfabeto, os números pares (quando apresentados obedecendo à ordem usual) são exemplos de sequências ou sucessões

• janeiro, fevereiro, ..., dezembro • A, B, C, ..., J, K, ..., Y, Z • 0, 2, 4, 6, ..., 2 020, ...

Em cada uma dessas sequências é possível identificar qualquer um de seus termos, uma vez que é dada sua ordem. Veja:

O décimo mês do ano é outubro, a décima sexta letra do alfabeto é P, e o centésimo número natural par é 198

Costuma-se indicar o primeiro termo de uma sequência por a1, o segundo termo por a2, e assim por diante.

Na sequência dos números naturais pares, temos:

1? termo: 0, ou seja, a1 = 0 (a1 lê-se: “a índice 1” ou “a um”)

2? termo: 2, ou seja, a2 = 2 (a2 lê-se: “a índice 2” ou “a dois”)

3? termo: 4, ou seja, a3 = 4 (a3 lê-se: “a índice 3” ou “a três”)

Em uma sequência, cada um dos termos ocupa uma posição determinada por um número natural.

Genericamente, uma sequência é representada por (a1, a2, a3, ..., a n - 1, a n) quando é finita, e por (a1, a2, a3, ..., a n - 1, a n, a n + 1, ...) se é infinita, em que o índice n de cada termo a n (lê-se: “a índice n” ou “a ene”) indica a posição ou ordem do termo na sequência.

Os termos a n e a n + 1 são chamados de termos consecutivos, sendo a n o antecessor de a n + 1. Consequentemente, a n + 1 é o sucessor de a n

Obtenção dos termos de uma sequência

As sequências podem ou não obedecer a uma lei de formação de seus termos. As que obedecem a padrões em sua formação podem ser representadas de duas formas: pela fórmula de termo geral ou por recorrência

Termo geral

O termo geral determina o valor de cada termo a n da sequência dependendo de sua posição n nela. Veja, por exemplo, o valor de alguns termos da sequência definida pelo termo geral a n = 2n - 1, com n natural e maior que zero:

n = 1 6 a1 = 2 . 1 - 1 6 a1 = 1

n = 2 6 a2 = 2 2 - 1 6 a2 = 3

n = 3 6 a3 = 2 3 - 1 6 a3 = 5

n = 4 6 a4 = 2 4 - 1 6 a4 = 7

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF07MA14 e EF07MA15

Retome o conceito de sequências numéricas apresentando os exemplos a seguir. Evidencie que elas podem ser finitas ou infinitas.

a) (0, 2, 4, 6, 8): sequência dos números pares positivos menores que 10 (finita);

b) (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...): sequência dos números quadrados perfeitos (infinita);

c) (8, 12, 16, 20, 24, 28, ...): sequência dos múltiplos de 4 maiores que 5 (infinita).

É muito importante que você apresente a representação genérica de uma sequência numérica como (a1, a2, a3, a4, ..., a n - 1, a n, a n + 1, ...), em que: a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, a n é o enésimo termo. Resolução de Pense e responda

1. n = 10

a10 = 2 . 10 – 1 6 a10 = 19

2. Os termos da sequência aumentam de 2 em 2 unidades.

Portanto, a sequência é dada por: (1, 3, 5, 7, ...).

1. Qual será o décimo termo dessa sequência? 19

2. Os termos dessa sequência aumentam de quantas em quantas unidades? Como você chegou a essa conclusão? 2 unidades. Resposta pessoal.

Orientações

O conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA14 e EF07MA15

Com base no texto da seção Curiosidade , peça aos estudantes que pesquisem fenômenos que apresentem padrões. O trabalho poderá ser feito em grupo, propiciando a integração entre os estudantes e entre as diversas áreas do conhecimento, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 1 e das competências específicas 1 e 8

Para aprofundar

Este artigo se propõe a descrever e compreender o uso de padrões em sequências repetitivas e recursivas, apontando como os padrões propiciam ensinar e aprender Matemática com significado, além de desenvolver o pensamento algébrico dos alunos.

• JUNGBLUTH, A.; SILVEIRA, E.; GRANDO, R. C. O estudo de sequências na Educação Algébrica nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 21, n. 3, p. 96–118, 2019. Disponível em: https://revistas. pucsp.br/index.php/emp/article/ view/44255. Acesso em: 04 ago. 2022.

Recorrência ou recursividade

Em uma sequência definida por recorrência ou recursividade, o cálculo de um termo seguinte é feito com base no cálculo do termo anterior.

Por exemplo, escreva os quatro primeiros termos da sequência infinita definida por a1 = 1 e a n + 1 = a n + 2, com n natural e maior ou igual a 2.

n = 1 6 a1 + 1 = a1 + 2 6 a2 = 1 + 2 6 a2 = 3

n = 2 6 a2 + 1 = a2 + 2 6 a3 = 3 + 2 6 a3 = 5

n = 3 6 a3 + 1 = a3 + 2 6 a4 = 5 + 2 6 a4 = 7

Portanto, a sequência é: (1, 3, 5, 7, ...).

Foi pela observação de regularidades que os seres humanos produziram conhecimentos que nos deixaram como valiosa herança. Por exemplo, os egípcios, observando que o nível das águas do Rio Nilo aumentava segundo certo número de dias, descobriram o padrão das cheias do Nilo e puderam planejar suas plantações. Os padrões “maré baixa” e “maré alta” auxiliaram o físico Isaac Newton a encontrar a explicação do fenômeno das marés relacionando-as com a influência da atração gravitacional da Lua sobre as águas dos mares, oceanos e rios.

Saco do Mamanguá. Paraty (RJ), 2007.

Fonte: FERREIRA, Jean Coelho. Discutindo a física das marés como proposta para a crise de energia elétrica 2016. Dissertação (Mestrado em Ensino de Biociência e Saúde) – Instituto Oswaldo Cruz, Rio de Janeiro, 2006. Disponível em: https://www.arca.fiocruz.br/bitstream/icict/17811/2/jean_ferreira_ioc _mest_2016.pdf. Acesso em: 6 maio 2022.

Vamos observar a sequência para determinar a fórmula do termo geral, que permite calcular o número de pontos de cada figura da sequência.

Verificando o número de pontos de cada figura:

Figura 1 6 a1 = 1 6 a1 = 12

Figura 2 6 a2 = 4 6 a2 = 22

Figura 3 6 a3 = 9 6 a3 = 32

Figura 4 6 a4 = 16 6 a4 = 42

Figura n 4 a n = n2

Portanto, o termo geral é igual a a n = n2, com n natural, n > 0.

1 Descubra a regra e escreva os três próximos termos de cada sequência a seguir.

a) (2, 5, 8, 11, 14, ...)

b) (7, 4, 1, -2, -5, ...)

c) 1 2 ,0, 1 2 ,1, 3 2 ,

17, 20, 23

-8, -11, -14

d) (1, 10, 100, 1 000, ...)

e) (2, -4, 8, -16, 32, ...)

10 000, 100 000, 1 000 000 -64, 128, -256

2 Determine os cinco primeiros termos da sequência definida pelo termo geral a n = 1  + 3n, com n natural, n > 0.

4, 7, 10, 13 e 16

3 Determine o quarto termo da sequência definida pela lei de recorrência a1 =-5 e a n = a n - 1 + 4, com n natural, n > 0.

a4 = 7

4 Uma pesquisa acompanhou o crescimento de uma colônia de bactérias. Na 1; observação, constatou-se um total de 1 200 bactérias. Observações periódicas revelaram que a população da colônia sempre duplicava em relação à observação imediatamente anterior. Quantas bactérias terá essa colônia na 5; observação?

5 A meditação é indicada para todos os públicos, de crianças a idosos, e contribui para o autoconhecimento e a saúde emocional. Para quem deseja iniciar essa prática, é indicado que faça isso gradualmente, aumentando o tempo de meditação aos poucos.

d) Partindo do 1 e multiplicando cada termo 10, obtemos: (1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000).

e) Partindo do 2 e multiplicando cada termo por -2, obtemos:

(2, - 4, 8, - 16, 32, - 64, 128, -256).

Portanto, as respostas são:

a) 17, 20, 23

b) -8, -11, -14

c) 2, 5 2 , 3

d) 10 000, 100 000, 1 000 000

e) -64, 128, -256

Resolução da atividade 2

a n = 1 + 3n

a1 = 1 + 3 . 1 = 4;

a2 = 1 + 3 . 2 = 7;

a3 = 1 + 3 . 3 = 10;

a4 = 1 + 3 4 = 13;

a5 = 1 + 3 5 = 16.

Resolução da atividade 3

a2 = a1 + 4 =-5 + 4 = -1

a3 = a2 + 4 =-1 + 4 = 3

a4 = a3 + 4 = 3 + 4 = 7

Proponha formar sequências por recursividade, sendo necessário conhecer o primeiro termo para obter o segundo, conhecer o segundo para determinar o terceiro e assim sucessivamente.

Resolução da atividade 4

Se o número de bactérias duplica após cada observação, temos a sequência:

Pessoas praticando meditação.

Lúcia, iniciante na prática, pretende adotar o seguinte esquema: na primeira semana, vai praticar por 3 minutos diariamente; a partir da segunda semana, pretende aumentar 2 minutos diários na prática, e assim por diante, até atingir os 41 minutos diários, que se manterão constantes nas semanas seguintes.

A sequência formada pelo tempo diário, em minutos, que Lúcia vai meditar a cada semana pode ser definida recursivamente.

a) Na 5; semana, quantos minutos diários serão destinados por Lúcia à prática de meditação?

19 200 bactérias 11min

b) Após quantas semanas Lúcia atingirá o tempo destinado à meditação?

c) Definam essa sequência por meio de uma lei recursiva.

d) Pesquisem, em fontes confiáveis, os principais benefícios da meditação para a saúde emocional. Vocês se interessariam por essa prática? Quais cuidados vocês têm com a saúde emocional?

pessoais.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA14 e EF07MA15

As atividades dessa página exigem que o estudante identifique uma sequência, obtenha os termos de uma sequência por meio de seu termo geral ou de uma regra de recursividade, e ainda, que obtenha a lei de formação de uma sequência pelo termo geral ou pela recursividade.

Regras de formação das sequências da atividade 1

a) Partindo do 2 e adicionando 3 a cada termo, obtemos: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23).

b) Partindo do 7 e subtraindo 3 de cada termo, obtemos: (7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, -14).

c) Partindo do1 2 e adicionando 1 2 a cada termo, obtemos:

1 200, 2 400, 4 800, 9 600, 19 200. Portanto, na quinta observação haverá 19 200 bactérias.

Resolução da atividade 5

Sequência: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41.

Portanto, na 5; semana, Lúcia meditará por 11 minutos (item a) e, na 20; semana, atingirá o tempo de 41 minutos (item b).

c) a1 = 3

a2 = a1 + 2 = 5

a3 = a2 + 2 = 7

a n = a n-1 + 2

Essa atividade contempla a competência geral 8 e a competência específica 6

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA14 e EF07MA15

Resolução da atividade 6

a1 = 100, a2 = 140, a3 = 180 e

a4 = 220

Termo geral: a n = 60 + 40n

a) a7 = 60 + 40 7 = 60 + 280 =

= 340

b) a5 = 60 + 40 . 5 = 60 + 200 =

= 260

a6 = 60 + 40 . 6 = 60 + 240 =

= 300

a7 = 340 (item a)

a8 = 60 + 40 8 = 60 + 320 =

= 380

a9 = 60 + 40 9 = 60 + 360 =

= 420

a10 = 60 + 40 . 10 = 60 + 400 =

= 460

Até a 10; semana:

100 + 140 + 180 + 220 + 260 +

+ 300 + 340 + 380 + 420 + 460 =

= 2 800 4 2 800 bicicletas

Essa atividade contribui para o desenvolvimento da competência específica 3

Resolução da atividade 7

a) Da sequência dada, temos:

136 1015212836

+2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

Portanto, a 6 = 21; a 7 = 28 e

a8 = 36.

Resolução da atividade 8

a1 = 5, a2 = 9, a3 = 13 e a4 = 17

Termo geral: a n = a n - 1 + 4.

a) a5 = a4 + 4 = 17 + 4 = 21

b) a6 = a5 + 4 = 21 + 4 = 25

a7 = a6 + 4 = 25 + 4 = 29

a8 = a7 + 4 = 29 + 4 = 33

c) Não, pois a sequência tem os seguintes termos: (5, 9, 13, 17, 21, 25,

29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, ...).

6 O gráfico abaixo mostra a produção de bicicletas em quatro semanas. Após a 1; semana, a fábrica manteve o mesmo ritmo de crescimento durante as três semanas seguintes.

Quantas bicicletas essa fábrica produziu:

a) na 7; semana?

340 bicicletas

b) ao todo, até a 10; semana?

2 800 bicicletas

7 Os gregos tinham grande interesse pelas sequências numéricas e costumavam representá-las por meio de padrões geométricos. Por exemplo, a sequência (1, 3, 6, 10, ...) é chamada de números triangulares, pois o padrão geométrico de cada um de seus termos tem a forma triangular.

Respostas no Manual do Professor.

a) Quais são o 6? e o 8? números triangulares dessa sequência? Façam os desenhos.

b) Expliquem o raciocínio usado para resolver o item anterior. Resposta pessoal.

8 Observem esta sequência de figuras formadas por quadrados:

a) Mantida a regularidade dessa sequência, quantos quadrados teria a figura 5?

b) Quantos quadrados terá o 8? termo dessa sequência?

c) Há algum termo da sequência com 55 quadrados? Não.

9 Qual é o termo geral de cada sequência a seguir?

a) (3, 6, 9, 12, ...)

a n = 3n, n natural e n l 1

b) (7, 14, 21, 28, ...)

a n = 7n, n natural e n l 1

c) (3, 9, 27, 81, 243, ...)

d) 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,…

a n = 3n, n natural e n l 1

a nn 1 2 = , n natural e n l 1

10 Analise a sequência de figuras representada a seguir.

Note que cada termo da sequência é formado por certa quantidade de círculos e de quadrados.

a) Quantos círculos e quantos quadrados tem o quinto termo dessa sequência?

9 círculos e 10 quadrados

b) Compare a quantidade de círculos e a quantidade de quadrados de cada termo da sequência. Que relação há entre elas?

O número de quadrados é igual ao número de círculos mais 1.

c) Determine as expressões algébricas que indicam a quantidade de círculos e a quantidade de quadrados de cada termo dessa sequência.

d) Verifique se as expressões algébricas do item anterior são equivalentes.

Círculos: 2n - 1; quadrados: 2n. Não são equivalentes.

11 Siga estes passos:

• Escolha um número inteiro.

• Adicione 3 a esse número.

• Multiplique o resultado por 2.

• Subtraia 4 do resultado.

• Divida o resultado por 2.

• Subtraia o número escolhido do resultado.

a) Qual resultado você encontrou?

b) Escolha outro número e refaça o passo a passo. Que número você encontrou? Há algo que o intriga?

c) Use uma variável para generalizar o processo. O que você conclui? Resposta no Manual do Professor.

12 Escreva duas expressões algébricas e peça a um colega que escreva as frases que traduzem essas expressões.

13 Elabore uma expressão algébrica com duas variáveis e seus respectivos valores. Peça a um colega que calcule o valor numérico dessa expressão enquanto você calcula o valor numérico da expressão que ele elaborou. Depois, confirmem as respostas.

Orientação

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA13, EF07MA14 e EF07MA15

atividade 9

Resolução da atividade 10

a) Da figura, temos:

1o termo: 1 círculo e 2 quadrados;

2o termo: 3 círculos e 4 quadrados;

3o termo: 5 círculos e 6 quadrados;

4o termo: 7 círculos e 8 quadrados;

5o termo: 9 círculos e 10 quadrados.

b) O número de quadrados é igual ao número de círculos mais 1.

c) Círculos: (1, 3, 5, 7, 9, ...). A expressão algébrica é: 2n - 1, com n natural e n l 1.

Quadrados: (2, 4, 6, 8, 10, ...). A expressão algébrica é 2n, com n natural e n l 1.

d) Não são equivalentes, ou seja, não assumem os mesmos valores numéricos, pois 2n q 2n – 1. Resolução da atividade 11 Escolhendo qualquer x no conjunto dos números naturais temos:

• x

• (x + 3)

• 2(x + 3) = 2x + 6

• 2x + 6 - 4 = 2x + 2 = 2(x + 1)

• 2(x + 1) : 2 = x + 1

• x + 1 - x = 1

O resultado será sempre igual a 1. Acompanhe os estudantes na elaboração das propostas para as atividades 12 e 13 e escolha algumas para resolver coletivamente. Se achar conveniente, convide-os a resolver na lousa.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidades EF07MA14 e EF07MA15. Sugerimos que sejam realizadas com os estudantes organizados em duplas.

Após os estudantes resolverem a atividade 14, peça que compartilhem suas produções com os colegas para que percebam o quanto podem ser diversificadas as respostas a uma mesma proposta.

Resolução da atividade 15

Inicia-se com 1 região e, ao final de cada etapa, são formadas 8 regiões novas. Assim:

• primeira etapa: 1 + 8 1 = 9;

• segunda etapa: 1 + 8 2 = 17;

• terceira etapa: 1 + 8 3 = 25;

décima etapa: 1 + 8 . 10 = 81. Resolução de Lógico, é lógica! A sequência é:

1,5,11,19,29, ?

+4 +6 +8 +10 +12

? = 29 + 12 = 41

Observe quais estratégias eles utilizam para descobrir o número. Em seguida, peça que expliquem como o encontraram e se utilizaram recursos algébricos. Essa atividade contribui para o desenvolvimento da competência específica 2

14 Na sequência abaixo, há dois quadrados e um triângulo que se repetem.

Desenhe, no caderno, diferentes sequências em que:

a) três quadrados e um retângulo se repetem;

b) três quadrados e um círculo se repetem;

c) dois retângulos e dois círculos se repetem.

Pinte os elementos das sequências como quiser. Há várias possibilidades de resposta.

15 (TRT 1; Região-RJ) Um quadrado ABCD foi dividido em várias regiões, em um processo feito em dez etapas. Na primeira, o vértice A foi ligado ao ponto médio do lado BC, o vértice B foi ligado ao ponto médio do lado CD, e assim sucessivamente, como mostra a figura 1. Na segunda etapa, o quadrado central obtido na primeira foi dividido segundo a mesma lógica, como ilustra a figura 2.

Se em cada nova etapa o quadrado central obtido na etapa anterior foi dividido segundo a mesma lógica descrita acima, ao final da décima etapa o quadrado ABCD estava dividido em um total de: a) 72 regiões. b) 85 regiões. c) 81 regiões. d) 75 regiões. e) 90 regiões. Alternativa c

Os números representados na figura abaixo foram colocados a partir do número 1 no sentido horário obedecendo a um critério.

Segundo o critério estabelecido, qual número deve substituir o ponto de interrogação? 41

Como determinar se uma palavra ou uma frase é palíndromo

Um palíndromo, do grego palin (“novo”) e dromo (“percurso”), é toda palavra, frase ou número que podem ser lidos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda tendo grafia e sentido mantidos. Por exemplo: radar, o galo ama o lago e 9 339 são palíndromos, mas amor não é palíndromo.

Para números, como 4 334, ele também é chamado de capicua

Para determinar se a palavra salas é um palíndromo, siga o passo a passo do exemplo a seguir.

1? passo: verifique se a primeira e a última letra são iguais.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA14

O texto de Matemática Interligada usa o processo de verificação da existência de um palíndromo para definir a recursividade, pois, no caso, é necessário verificar a veracidade de uma etapa para, então, verificar a da segunda etapa, e assim sucessivamente.

2? passo: retire essas letras da palavra e verifique se as próximas letras das extremidades são iguais.

S A L A S iguais A L A iguais

3? passo: retire essas letras da palavra, até que sobre apenas uma letra (L no exemplo dado).

Portanto, a palavra SALAS é um palíndromo.

Atenção: Se a palavra tiver um número par de letras, por exemplo OSSO, você deve seguir o mesmo procedimento, até que não sobre nenhuma letra.

Observe que o procedimento de analisar se a primeira e a última letra são iguais e retirar essas letras da palavra se repete nas etapas seguintes. Ele deve continuar até se obter uma letra sozinha ou nenhuma letra. Esse é um procedimento recursivo ou uma recursividade. Se em alguma dessas etapas a primeira e a última letra não forem iguais, a palavra não é um palíndromo.

1 Verifique se são palíndromos as palavras a seguir.

a) Reviver. Sim.

b) Arara. Sim.

2 Verifique se as frases a seguir são palíndromos.

a) A base do teto desaba. Sim.

b) A sacada da casa. Sim.

3 Escreva três frases que sejam palíndromos. Você pode pesquisar na internet. Resposta pessoal.

Ana e os palíndromos

Para acompanhar Ana e seu avô em uma história “palindrômica”, divertida, cheia de rimas e de palavras e frases escritas de frente para trás e de trás para frente, leia Ana e os palíndromos, de Fernando Vilela (Editora do Brasil).

Peça aos estudantes que investiguem quando aconteceu o último palíndromo relacionado ao ano, mês e dia.

Resposta:

20/02/2022 (20 de fevereiro de 2022)

o próximo só ocorrerá no próximo século em 21 de dezembro de 2112 (21/12/2112).

As frases produzidas ou pesquisadas como resposta à atividade 3 poderão ser compartilhadas por toda a turma, proporcionando um momento lúdico. Escolha algumas frases para fazer a verificação na lousa.

Objetivos do capítulo

• Identificar uma equação polinomial do 1? grau com uma incógnita.

• Entender a definição de incógnita como o termo desconhecido de uma equação.

• Resolver equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita utilizando procedimentos construídos com base nas propriedades da igualdade.

• Reconhecer a raiz ou a solução de uma equação.

• Definir o conjunto universo.

• Reconhecer o conjunto-solução como um subconjunto do conjunto universo.

• Representar e resolver situações-problema por meio de equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 4 , 7 e 9

Competências específicas 1, 2 e 5

Habilidades EF07MA18

Foco nos TCTs

• Educação em Direitos Humanos

Orientações

O capítulo introduz as equações polinomiais do 1? grau explorando, inicialmente, os conceitos de igualdade e desigualdade para, então, apresentar as equações e os métodos de resolução. Sugerimos que você dê uma atenção especial a esse capítulo. A resolução de equações polinomiais do 1o grau é um conteúdo fundamental porque está diretamente ligado à resolução de diversas situações-problema e contribui para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Equação polinomial do 1 ? grau

Nos dois pratos da balança, há latas diferentes cujas massas estão expressas em quilogramas. Encontre duas possibilidades para os valores das massas (em kg) das latas para que a balança esteja em equilíbrio. Justifique sua resposta.

Há várias respostas possíveis. Por exemplo: lata azul: 3 kg e latas vermelhas: 1,5 kg cada; lata azul: 5 kg e latas vermelhas: 2,5 kg cada.

Igualdade e desigualdade

Observe a balança ao lado.

Podemos notar que sua haste está inclinada, isto é, não está paralela à base. Nesse caso, dizemos que a balança está em situação de desequilíbrio, ou seja, existe uma relação de desigualdade entre as massas dos objetos que estão nos pratos, o que pode ser expresso pela sentença matemática:

4 < 5 + 3

Esse tipo de sentença é chamado de desigualdade

Nas sentenças que expressam desigualdades, podemos usar os sinais:

> (maior) < (menor) q (diferente) l (maior ou igual) k (menor ou igual)

Observe, agora, esta outra balança:

Note que ela está em situação de equilíbrio porque há uma relação de igualdade entre as massas dos objetos que estão nos pratos, o que pode ser indicado pela sentença matemática:

10 = 6 + 4

Esse tipo de sentença é uma igualdade

Nas sentenças matemáticas que representam igualdades, ocorre o sinal = (igual). Nas igualdades ou nas desigualdades, a expressão que está à esquerda do sinal é denominada 1? membro; a expressão que está à direita é denominada 2? membro.

10 = 6 + 4

1? membro2? membro

O que é uma equação polinomial do 1 ? grau

Você já sabe que, a fim de resolver um problema em Matemática, é preciso traduzir para a linguagem matemática a situação descrita no enunciado. Para isso, muitas vezes, recorremos à Álgebra, simbolizando as quantidades desconhecidas por letras e construindo sentenças matemáticas.

Nessa tradução, algumas sentenças expressam igualdades. Dizemos, então, que equacionamos o problema, criando uma equação que nos ajudará a chegar à solução. Veja um exemplo:

Uma caixa contém bolas verdes e amarelas. O número total de bolas é 21, e o número de bolas amarelas é 3 4 do número de bolas verdes. Quantas bolas verdes há nessa caixa?

Se trocarmos de lugar os membros de uma igualdade, ela irá se alterar? Explique como você chegou a essa conclusão.

Não. Resposta pessoal.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA18

A equação polinomial do 1? grau com uma incógnita é definida como uma igualdade que apresenta uma incógnita cujo expoente é 1. Retome as expressões algébricas comparando–as com equações e mostre que:

• na expressão: 2x + 3, x é uma variável, pois podemos atribuir qualquer valor numérico a x;

• na equação: 2x + 3 = 5, x é uma incógnita e seu valor é único, sendo x = 1.

Em Pense e responda, reforce mais uma vez a ideia de igualdade e sua importância no momento de resolver uma equação polinomial do 1? grau. Compartilhe as respostas entre os estudantes.

Para aprofundar

Chamando de v a quantidade de bolas verdes, v3 4 representará a quantidade de bolas amarelas, e o problema pode ser traduzido pela sentença matemática:

v v3 4 21 +=

1? membro 2? membro

Essa sentença é uma equação polinomial do 1? grau, e o número desconhecido v é a incógnita dessa equação.

Equação é qualquer sentença matemática expressa por uma igualdade que apresenta pelo menos uma incógnita.

Toda equação que pode ser escrita na forma ax = b com a q 0 é chamada de equação polinomial do 1? grau com uma incógnita x. Exemplos:

• 2x = 10 é equação polinomial do 1? grau na incógnita x;

• -4y = 8 é equação polinomial do 1? grau na incógnita y;

• 1 2 a = 6 é equação polinomial do 1? grau na incógnita a;

• 7x + 1 = 22 é equação polinomial do 1? grau na incógnita x

Esse trabalho de revisão teórica destaca o conceito de equação, o papel das equações no ensino da Álgebra, bem como algumas estratégias para o ensino desse conteúdo.

• DEMASCENO, V. S.; COSTA, A. C.; FREITAS, T. L. M. Equação do 1o grau: uma revisão teórica acerca de seus significados. In: ENCONTRO NACIONAL

DE EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA, 7., 2016, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: SBEM, 2016. Disponível em: http:// www.sbem.com.br/enem2016/ anais/pdf/7109_4024_ID.pdf. Acesso em: 14 jul. 2022.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA18

Antes de apresentar qualquer método de resolução de equações polinomiais do 1o grau, mostre aos estudantes equações de diversos graus e até de mais de uma incógnita, como nos exemplos a seguir.

a) 3x - 1 = 8

b) x2 - 4 = 0

c) x3 = 1

d) x + y = 4

Resolução da atividade 1

a) d - 46 = 85

• 39 - 46 =-7 4 Falsa.

• -39 - 46 =-85 4 Falsa.

• 131 - 46 = 85 4 Verdadeira.

b) d = 85 + 46 =131

Na atividade 2, o uso de calculadora, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 5. É importante ressaltar que a calculadora só é útil se o estudante entender qual operação precisa realizar. Incentive-os a utilizar estratégias próprias e verifique se usaram as operações inversas para chegar ao valor desconhecido x

O domínio da transcrição da linguagem materna para a linguagem matemática, e vice-versa, tema da atividade 3, é fundamental para a resolução de situações-problema. Peça aos estudantes que compartilhem as estratégias usadas para a resolução da atividade 4

Essas equações são do 1? grau porque o expoente da incógnita é 1. Veja: x = x1, y = y1 e a = a1

As equações a seguir não são equações polinomiais do 1? grau: 3x2 = 75 e 2z4 + 20 = 80

Uma equação pode se transformar em sentença numérica verdadeira ou falsa, dependendo do valor que se atribui à incógnita. Por exemplo, na equação x + 4 = 20:

• se x =-3, então -3 + 4 = 20 é falsa;

• se x = 0, então 0 + 4 = 20 é falsa;

• se x = 16, então 16 + 4 = 20 é verdadeira;

• se x = 2 3 , então 2 3 + 4 = 20 é falsa.

Nessa equação, 16 é o único número que a transforma em uma sentença verdadeira, isto é, satisfaz a equação. O número 16 é chamado solução ou raiz da equação.

Uma equação pode ter mais de uma incógnita. Por exemplo, a equação 2x + y = 11 tem duas incógnitas: x e y

1 Considere a equação: d - 46 = 85.

a) Verifique se a equação é verdadeira ao substituir:

• d por 39. Falsa. • d por -39. Falsa. • d por 131. Verdadeira.

b) Qual é a solução dessa equação? d = 131

2 Usando a calculadora, determine o valor de x

a) x - 3,7 = 5

b) x : 2 = 5,4

c) x + 4 = 10,81

d) x 10 = 41,5

3 Escreva uma equação para cada uma das situações a seguir.

a) O quádruplo de um número x mais 13 é igual a 37.

b) Três vezes um número x menos 8 resulta em 22.

4x + 13 = 37

c) A diferença entre um número x e 16 é igual ao triplo de x

3x - 8 = 22 x - 16 = 3x

4 Escrevam a equação correspondente às situações descritas a seguir e a resolvam.

a) Cada lata verde que está na balança tem x gramas de massa. Escrevam a equação que representa o equilíbrio da balança. Quanto pesa cada lata verde?

2x + 50 = 100; 25 kg

b) Recebi aumento de R$ 210,00 e passei a ganhar R$ 1.500,00. Qual era o meu salário?

Explique como você encontrou a solução de cada item.

Resposta pessoal.

5 Considere a equação x 5 2 - 4 = 66.

a) Qual é o primeiro membro da equação? E o segundo?

b) Quantos termos tem o primeiro membro? E o segundo?

c) O número 8 é solução da equação? E 28?

Orientações

x 5 2 - 4; 66

2 termos; 1 termo Não. Sim.

d) Se trocarmos os membros entre si, a solução da equação mudará? Justifique.

6 Dê a equação correspondente a cada situação abaixo.

a) O número 5 adicionado a outro número resulta em 14. x + 5 = 14

b) A diferença entre o triplo de um número e seu dobro é 100.

3x - 2x = 100

Resposta no Manual do Professor.

c) O número 3 adicionado a outro número cujo resultado é multiplicado por 5 é igual a 70.

d) O quádruplo de um número é igual à soma desse número com 20.

Resolução de uma equação polinomial do 1 ? grau

Observe as propriedades das igualdades a seguir.

4x = x + 20

• Adicionando o mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade.

• Subtraindo o mesmo número dos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade.

• Multiplicando os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número, obtemos uma nova igualdade.

• Dividindo os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número diferente de zero, obtemos uma nova igualdade.

Quando resolvemos uma equação, devemos saber quais valores a incógnita pode assumir e quais desses valores tornam a sentença verdadeira. Por exemplo:

Qual número natural é raiz da equação x - 10 = 26?

Como x é um número natural, ele pode assumir qualquer valor do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, ...}, que é chamado conjunto universo da equação. Geralmente, ele é indicado pela letra U.

A solução dessa equação, no conjunto universo considerado, é x = 36.

Na equação x - 2 =- 7, por exemplo, se tomarmos Z como conjunto universo, verificamos que o número inteiro -5 torna verdadeira a igualdade: -5 - 2 =-7

Por isso, -5 satisfaz a equação, ou seja, é raiz dessa equação. No entanto, se o conjunto universo for N, não há número natural que torne a igualdade verdadeira e, portanto, nesse universo, a equação não tem raiz, ou seja, não tem solução.

Vamos acompanhar a resolução de equações por meio das situações a seguir.

(x + 3)5 = 70

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA18

É imprescindível que, no estudo das equações, os estudantes compreendam pelo menos um método de resolução. O método prático se baseia no princípio aditivo e no princípio multiplicativo.

O princípio aditivo afirma que, ao adicionar um número em ambos os membros de uma igualdade, esta continua válida, como nestes exemplos: •

É importante observar que, no princípio aditivo, devemos adicionar aos dois membros da igualdade o oposto do número que precisamos eliminar para isolar a incógnita. No princípio multiplicativo, ao multiplicar os dois membros da igualdade por um mesmo número esta continua válida, como nos exemplos a seguir.

Conjunto universo: conjunto formado por todos os valores que a incógnita de uma equação pode assumir.

Reforce os conceitos de “oposto” e de “inverso”, pois eles, em geral, confundem os estudantes.

Resolução da atividade 5

c) 58 2 - 4 = 66 6 20 - 4 =

= 66 6 16 = 66 (falso)

58 2 - 4 = 66 6 70 - 4 =

= 66 6 16 = 66 (verdadeiro)

d) Não, pois, se x5 2 - 4 = 66, então, 66 = x5 2 - 4.

Essa atividade propicia uma boa oportunidade para avaliar o entendimento dos estudantes sobre os termos da equação. Retome-os, se julgar necessário.

Na atividade 6, mais uma vez os estudantes devem traduzir linguagem materna para linguagem matemática, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 4. Faça a correção coletiva dessa atividade.

Orientações

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É importante verificar se o valor obtido é adequado, ou seja, se pertence ao conjunto universo, ou ao conjunto dos valores possíveis para a incógnita.

Para ilustrar essa situação, sugerimos que você apresente uma situação-problema, como no exemplo a seguir.

Pedro possui x bolinhas de gude. Sabendo que, adicionando o dobro do número de bolinhas de Pedro às 13 bolinhas de João obteremos 30 bolinhas, é possível determinar quantas bolinhas de gude Pedro possui?

Número de bolinhas de Pedro: x

Dobro do número de bolinhas de

Pedro: 2x

Número de bolinhas de Pedro: 13.

Equação: 2x + 13 = 30

2x + 13 - 13 = 30 - 13

2x = 17 ⇒ 2x . 1 2 = 17 . 1 2

x = 17 2 = 8,5.

Comente que esse valor de x não é apropriado, pois não é possível obtermos 8 bolinhas e “meia”. Assim, apesar resolver corretamente a equação esse valor não é adequado ao conjunto-solução da equação, que, no caso, é vazio.

Resolução de Pense e responda

Para x = 2, temos:

4 . 2 + 8 = 14 + 2

Ou seja, 16 = 16

Se retirarmos 14 kg, teremos: 16 - 14 = 16 - 14

2 = 2 (verdadeiro)

Portanto, a balança continuará em equilíbrio.

Uma igualdade não se altera quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número nos dois membros da igualdade, nem quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número diferente de zero.

A balança a seguir está em equilíbrio. Qual é o valor da massa x? (Considere as massas em quilogramas.)

Sim, porque ficariam 2 kg em cada prato.

Conhecendo o valor da massa x e retirando 14 kg de cada prato da balança, ela continuaria em equilíbrio? Justifique sua resposta.

Suponha que o conjunto universo seja o conjunto dos números racionais (U =Q) e a equação que representa o equilíbrio da balança seja 4x + 8 = x + 14.

Veja cada etapa em que foi aplicada uma propriedade da igualdade para determinar o valor de x:

• Retiramos uma massa x de cada um dos pratos.

4x - x + 8 = x - x + 14

3x + 8 = 14

• Retiramos 8 kg de cada um dos pratos.

3x + 8 - 8 = 14 - 8

3x = 6

• Dividimos por 3 as massas dos dois pratos.

x = 3 3 6 3 6 x = 2

Observe que 2 pertence ao conjunto dos números racionais, que é o conjunto universo da equação, e, por isso, vamos fazer a verificação para esse valor.

4x + 8 = x + 14 6 4 . 2 + 8 = 2 + 14 6 16 = 16 (sentença verdadeira)

Portanto, o valor da massa x é 2 kg.

As equações obtidas em cada uma das passagens anteriores são equivalentes umas às outras, pois admitem as mesmas soluções.

4x + 8 = x + 14 é equivalente a 3x + 8 = 14

3x + 8 = 14 é equivalente a 3x = 6

Na resolução dessa equação, utilizamos as propriedades das igualdades.

Vamos analisar a seguinte situação: Se subtraímos 4 de um número racional e dobramos esse resultado, obtemos o mesmo resultado que se subtraímos de 9 o triplo desse número diminuído de 5. Qual é esse número?

• Representando o número racional por x, obtemos a equação: 2 (x - 4) = 9 - (3x - 5)

• Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

Orientações

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Para que eles não se esqueçam de considerar o sinal negativo da equação antes do segundo parêntese, insira o número 1 como fator multiplicador:

xxx xxx

2( 4) 22 42 8  (35)1(35)3 5

2x - 8 = 9 - 3x + 5

• Aplicando a propriedade da igualdade e as operações inversas, temos:

2x - 8 + 8 = 9 - 3x + 5 + 8 6 2x = 22 - 3x 6 2x + 3x = 22 =6=522 22 5 xx

Como 22 5 é um número racional, a solução da equação é x = 22 5

1 Observe a igualdade: 18 - 38 =-30 + 10.

Faça o que se pede e verifique em cada item se a igualdade se manteve.

a) Adicione 5 a cada membro. Sim.

b) Subtraia 20 de cada membro. Sim.

2 Determine a solução de cada equação.

a) 2x + 3 =-5

b) x + 0,15x = 230

c) Multiplique cada membro por 2. Sim.

d) Divida cada membro por -2. Sim.

c) 10 = 5x + 15 x =-1

d) 3x - 8 =-2x + 22 x = 6

3 A figura abaixo é a representação do terreno de Pedro, que tem forma retangular e contorno medindo 74 metros. Uma das dimensões, porém, não é conhecida.

-4(x + 2) - 1(2x -5) = 0.

Resolução da atividade 1

Do enunciado temos:

18 - 38 =-30 + 10

-20 = -20

a) -20 + 5 =-20 + 5

-15 =-15 (verdadeira)

b) -20 - 20 =-20 - 20 -40 =-40 (verdadeira)

c) -20 2 =-20 2 -40 =-40 (verdadeira)

a) Qual equação representa o perímetro desse terreno?

b) Qual é a medida de L?

4 Verifique se os seguintes pares de equações são equivalentes. Considere que a incógnita x é um número inteiro.

a) x + 7 = 11 e 2x - 5 = 3

b) 4x + 1 = 9 e 2x + 1 2 = 9

2L + 60 = 74 L = 7 m Sim. Não.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA18

Sugerimos que você retome o fato de que, se representamos um número por x, seu dobro será 2x; seu triplo, 3x; sua metade, x 2 ; sua terça parte, x 3 ; e assim sucessivamente.

Resolução da atividade 5

15 . 5 + 10x = 255

10x = 255 - 75

x = 180 : 10 6 x = 18 4 18 cédulas de R$ 10,00.

Resolução da atividade 6

Idade de Francisco: x

Idade de João: x + 4.

Idade de Alvina: x -5.

(x + 4) + (x - 5) + x = 44

3x + 4 - 5 = 44

3x = 44 - 4 + 5

3x = 45 6 x = 15

Francisco: 15 anos.

João: 19 anos.

Alvina: 10 anos.

Resolução da atividade 7

a) Considere os três números consecutivos x, x + 1 e x + 2.

x + x + 1 + x + 2 = 48

3x + 3 = 48

3x = 48 - 3

x = 45 : 3 6 x = 15

Portanto, os números são: 15, 16 e 17.

b) Considere os três números pares consecutivos 2x, 2x + 2 e 2x + 4.

2x + 4 = (2x + 2x + 2 + 10) : 3

2x + 4 = (4x + 12) : 3

3 (2x + 4) = 4x + 12

6x + 12 = 4x + 12

6x - 4x =+ 12 - 12

2x = 0 6 x = 0

Portanto, os números são: 0 (2. 0),

2 (2 . 0 + 2) e 4 (2 . 0 + 4).

c) Considere os três números ímpares consecutivos 2x + 1, 2x + + 3 e 2x + 5.

2x + 3 - (2x + 1) + 23 = 2x + 5

2x + 3 - 2x - 1 + 23 = 2x + 5

25 = 2x + 5

2x = 25 + 5

2x = 20

x = 20 : 2 6 x = 10

Portanto, os números são: 21 (2 . . 10 + 1), 23 (2 . 10 + 3) e 25 (2 . 10 +5)

d) 2x + 3 x = 90

5x = 90

x = 90 : 5 6 x = 18 4 18‘

Portanto, os ângulos são: 36 ‘ (2 18) e 54‘ (3 18)

5 Ivo propôs a Samuel que adivinhasse a quantidade de cédulas de R$ 10,00 que ele possui. Ivo disse que tem 15 cédulas de R$ 5,00 e x cédulas de R$ 10,00, perfazendo um total de R$ 255,00. Quantas cédulas de R$ 10,00 Ivo tem? 18 cédulas

6 Francisco, João e Alvina têm, juntos, 44 anos. Calcule a idade de cada um sabendo que João é quatro anos mais velho que Francisco e Alvina é cinco anos mais jovem que Francisco.

7 Observem o quadro abaixo. Francisco: 15 anos; João: 19 anos; Alvina: 10 anos.

Em linguagem natural Em linguagem matemática

Três números inteiros consecutivos. x x + 1 x + 2

Três números pares consecutivos.

2x + 2

2x + 4

Três números ímpares consecutivos. 2x + 1 2x + 3

2x + 5

Um número proporcional a 2.

Dois números cuja razão é 5 4 5x e 4x

a) Determinem três números inteiros consecutivos cuja soma é 48.

15, 16 e 17

b) Três números pares são consecutivos. O maior é igual à terça parte da soma dos dois menores mais 10. Quais são esses números?

0, 2 e 4

c) Três números ímpares são consecutivos. A diferença entre o segundo e o primeiro adicionada a 23 é igual ao terceiro número. Quais são esses números?

21, 23 e 25

d) Um ângulo reto é dividido em dois. A medida de um deles é proporcional ao número 2, e a medida do outro é proporcional ao número 3. Determinem, em graus, as medidas desses dois ângulos.

e) A soma de dois números cuja razão é 5 4 é 108. Determinem esses números.

f) De acordo com as orientações do professor, apresentem para a turma as soluções encontradas.

8 Usando uma calculadora, Jéssica multiplicou um número inteiro por 3 e adicionou 5. Antônio, com outra calculadora, multiplicou esse mesmo número por 4 e adicionou 14. Eles obtiveram o mesmo número no visor das calculadoras.

a) Que número eles digitaram no início em suas calculadoras?

b) Como você chegou a essa conclusão? Justifique sua resposta.

e) 5x + 4 x = 108

9x = 108

x = 108 : 9 6 x = 12

Portanto, os números são: 60 (5 12) e 48 (4 12)

Resolução da atividade 8

a) Se eles obtiveram o mesmo número, devemos ter:

3x + 5 = 4x + 14 6 x =-9.

Portanto, eles digitaram o -9.

36° e 54° 60 e 48 Resposta pessoal. -9 Resposta pessoal.

9 O perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede (2x + 1) centímetros é igual a 33 centímetros. Calcule o valor de x 5 cm

10 Veja como Marina resolveu a equação a seguir.

4x - 2(x - 1) = 18

4x - 2x - 2 = 18

2x - 2 = 18

2x = 20

x = 20 : 2

x = 10

Resposta pessoal. A raiz correta é x = 8.

Marina encontrou x = 10. Faça a verificação para saber se a resposta de Marina está certa. Se você não concordar com a resposta de Marina,  justifique e resolva a equação da maneira correta.

11 Veja as operações que Jaqueline realizou na calculadora. Em cada caso, determine o número formado pelas duas teclas indicadas pelo sinal "?".

a)

b)

8 ? =

? 5 * - 187

12 Faça o que se pede a seguir.

a) Elabore uma equação polinomial do 1? grau com uma incógnita e peça a um colega que a resolva enquanto você resolve a equação que ele elaborou. Depois, verifiquem as respostas.

b) Elabore o enunciado de um problema que possa ser resolvido pela equação 2(x + 1) = 40, sendo x um número inteiro.

Joaquim tem 15 bolinhas de gude visualmente idênticas e uma balança de dois pratos conforme mostram as imagens.

Resolução da atividade 11

a) 78 - x + 9 = 29

-x = 29 - 87

-x =-58 6 x = 58

Portanto as teclas são 5 e 8.

8 . x - 5 = 187

8x = 187 + 5

x = 192 : 8 6 x = 24

Portanto as teclas são 2 e 4.

b) 187 + 5 = 192; 192 : 8 = 24

Teclas 2 e 4.

Na atividade 12, ao resolver as atividades propostas pelos colegas, podem surgir erros de resolução ou de formulação. Intervenha sempre que forem identificadas divergências de resultados ou dificuldades. Se julgar conveniente, escolha algumas dessas propostas para serem resolvidas na lousa.

Resolução de Lógico, é logica!

1o passo

Separam-se as 15 bolinhas em dois grupos com 7 bolinhas cada, ficando uma de fora.

Depois, coloca-se um grupo de 7 bolinhas em cada um dos dois pratos da balança.

Se os dois pratos ficarem equilibrados, a bolinha mais pesada é a que ficou de fora.

Se um dos pratos abaixar, a bolinha mais pesada está nesse prato.

2o passo

Separa-se o grupo mais pesado em dois grupos de 3 bolinhas cada, ficando uma de fora.

Se os pratos ficarem equilibrados, a bolinha mais pesada é a que ficou de fora.

Se um dos pratos abaixar, a bolinha mais pesada está nesse prato, que contém 3 bolinhas.

Balança de 2 pratos. Bolinhas de gude.

Entretanto, uma das bolinhas tem massa maior do que as outras. Se Joaquim utilizar uma balança como a da imagem, qual é o número mínimo de pesagens para que seja possível identificar a bolinha de maior massa? 3 pesagens

3o passo

Separam-se as 3 bolinhas em grupos de 1 bolinha cada, ficando uma de fora.

Coloca-se 1 bolinha em cada prato. Se os pratos ficarem equilibrados, a bolinha mais pesada é a que ficou de fora.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA18

Para que os estudantes resolvam a atividade 9, é importante lembrarem que, para obter o valor do perímetro de uma figura, é necessário adicionar as medidas de seus lados. Se estes forem representados por expressões algébricas, é necessário adicioná-las para obter uma equação.

Resolução da atividade 9

3 (2x + 1) = 33 6 6x + 3 = 33 6 6x = 30 6 x = 5.

Resolução da atividade 10

4 10 - 2(10 - 1) = 18 6 22 = 18.

O valor x = 10 não é raiz da equação, pois 22 q 18.

Resolvendo a equação, temos:

4x -2(x - 1) = 18 6 4x -2x + 2 = 18 6 2x + 2 =

= 18 6 2x = 16 6 x = 8.

Resposta: A resposta está errada. A solução da equação é 8.

Se um dos pratos abaixar, a bolinha mais pesada é a desse prato. Portanto, temos no máximo 3 pesagens.

Orientações

No texto de Matemática Interligada, é explorado o tema acessibilidade e as normas exigidas para a construção de uma rampa de acesso.

Promova uma roda de conversa sobre o tema no que se refere à inclusão de pessoas com algum tipo de dificuldade motora ou deficiência nos espaços urbanos, de forma a garantir a pessoas com mobilidade reduzida ou necessidades especiais o direito de ir e vir, sem prejudicar a segurança e a integridade física delas, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9 e do Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

Pergunte aos estudantes se conhecem pessoas próximas com alguma deficiência e os desafios que elas vivenciam diariamente.

As atividades solicitam o cálculo da inclinação de uma rampa de acesso por meio da substituição de valores em uma fórmula dada, e a interpretação do significado do resultado obtido dentro do contexto.

Para fazer o cálculo, primeiro, unificam-se as unidades de medida:

2,8 m = 280 cm.

i = h c 100 6 i = 35100 280

i = 3 500 280 = 12,5

Inclinação: 12,5%.

A inclinação está fora das normas, pois o máximo permitido é uma inclinação de 8,33%.

Observe as estratégias que os estudantes usarão para determinar as medidas de uma rampa com a inclinação adequada. Se necessário, verifique as medidas dos itens anteriores como ponto de partida, já sabendo que não são ideais. Os estudantes também podem fazer desenhos para facilitar a visualização.

Conversem sobre as fontes utilizadas na pesquisa para garantir que sejam confiáveis. Oriente-os para que as citem corretamente, incluindo a data de acesso. Se possível, convide um profissional da área da saúde ou um membro de uma associação de pessoas com algum tipo de deficiência para falar sobre suas dificuldades e sobre propostas de solução.

Acessibilidade é um direito de todos

A acessibilidade é a ação ou postura de facilitar o acesso das pessoas a todos os lugares, de forma segura e autônoma. Caracteriza-se como um meio de garantir o acesso à saúde, ao trabalho, ao esporte, ao lazer e à educação para pessoas com mobilidade reduzida. No Brasil, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) estabelece critérios e parâmetros técnicos que garantem as condições de acessibilidade nos projetos de construções, cujas normas são obrigatórias.

Na construção de rampas de acesso, por exemplo, a taxa percentual de inclinação deve estar abaixo de 8,33%, que é o máximo permitido.

A figura a seguir apresenta uma rampa com inclinação 5%. Para facilitar a visualização, o desenho não está em escala.

A inclinação pode ser calculada pela fórmula:

i é a inclinação, em taxa percentual; h é a altura do desnível; c é o comprimento da projeção horizontal da rampa.

Fonte:

Considerando as informações apresentadas, faça o que se pede.

• Calcule a inclinação de uma rampa cujo comprimento da projeção horizontal é 2,8 m, com um desnível de 35 cm de altura.

De acordo com as normas estabelecidas pela ABNT, essa inclinação é permitida? Por quê?

• Imagine que você vai construir uma rampa para acesso de pessoas com mobilidade reduzida. Que medidas de altura h e de comprimento c você utilizaria para estar de acordo com as normas da ABNT?

• Formem um grupo para pesquisar outras normas de acessibilidade que garantam a locomoção segura de pessoas com mobilidade reduzida ou deficiência auditiva, visual e outras. Procurem saber como é a acessibilidade para essas pessoas na cidade ou região onde vocês moram e pratiquem uma atitude cidadã por meio de campanhas que visem minimizar essas dificuldades. Após as pesquisas, proponham um plano de ação que melhore a acessibilidade na escola ou na comunidade.

12,5% Não, porque a inclinação deve ser menor que 8,33%. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

Atividades complementares

Aproveitando os dados levantados na pesquisa e nas discussões em sala de aula, peça aos estudantes que construam cartazes de conscientização sobre questões de acessibilidade e inclusão. Eles também podem produzir vídeos para serem compartilhados em suas redes sociais.

Resolução de uma equação ocultando a incógnita

Considere a equação x 5 2 69+=-

Se ocultarmos o termo x 5 2 , precisamos buscar o número que, adicionado a 6, é igual a -9: ? + 6 =-9

O número que satisfaz essa igualdade é -15. Logo: 5x 2 15=-

Se ocultarmos apenas o numerador da parcela x 5 2 , precisamos buscar o número que dividido por 2 é igual a -15: ? 2 15=-

Esse número é -30. Logo: 5x =-30.

Por último, ocultando a incógnita x, precisamos buscar o número que, multiplicado por 5, resulta em -30: 5 ? =-30

Esse número é -6.

Assim, como já não há incógnita, concluímos que a raiz da equação é -6.

Esse método não é conveniente para resolver todos os tipos de equação.

A origem das equações do 1 ? grau

[...] um passatempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para outro resolver.

x 2 3 17+=

Resolva as equações a seguir ocultando a incógnita.

• x + 7 = 15

• x 2 3 17+=

• 4t - 3 =-19

• 8b + 1 2 = 1

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

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Acompanhe com os estudantes a resolução da equação apresentada, esclarecendo possíveis dúvidas. Incentive-os a descobrirem sozinhos o valor da incógnita.

Resolução de Pense e responda

• x + 7 = 15 6 x = 15 - 7 = 8

8 9 -4 1 16

• x2 3 + 1 = 7 4 multiplicando ambos os membros por 3, obtemos:

• 2x + 3 = 21

2x = 18 6 x = 9

• 4t - 3 =-19

4t =-19 + 3 6 t = -16 : 4 = =-4

• 8b + 1 2 = 1 6 8b = 11 2 8b = 1 2 6 b = 1 16

Era muito difícil a Matemática nesse período. Sem nenhum sinal, sem nenhuma variável, somente alguns poucos sábios eram capazes de resolver os problemas, usando muitos artifícios e trabalhosas construções geométricas.

Hoje, temos a linguagem exata para representar qualquer quebra-cabeça ou problema. [...]

Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. A palavra "equação" vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra "equação" vem do árabe adala, que significa “ser igual a”, de novo a ideia de igualdade. [...]

A primeira referência a equações de que se têm notícias consta do papiro de Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de Matemática, escrito há mais ou menos 4 000 anos. [...]

Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido [...] em uma equação [...] chamavam o valor desconhecido de “coisa”. Em árabe, a palavra "coisa" era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada de palavra "coisa" em árabe. [...]

As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI. Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”. [...]

A ORIGEM das equações do 1? grau. In: MATEMATIQUÊS. [S. l.], c2003-2010. Disponível em: www.matematiques.com.br/conteudo.php?id 582. Acesso em: 6 maio 2022.

• O problema abaixo se encontra no papiro de Rhind, em que a incógnita é chamada de aha ou “montão”.

“Um aha mais a sétima parte de aha é 16. Qual é o valor de aha?”

Escreva a equação correspondente ao problema usando x como incógnita e resolva-a.

x + x 7 = 16; x = 14

O texto em Viagem no tempo apresenta um pouco da história da Matemática, no que se refere às equações do 1o grau, com o objetivo de mostrar a origem dessas equações e ajudar os estudantes a compreender a importância dos símbolos matemáticos utilizados na resolução de situações-problema. Esse boxe favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Orientações

A utilização de atividades lúdicas no ensino da Matemática valoriza o pensamento individual, uma vez que a solução de um problema poderá ser desenvolvida de forma livre. Quando promovemos espaços de discussão sobre problemas, estimulamos o desenvolvimento da competência geral 9, e esses momentos favorecem o trabalho com atitudes e valores como o exercício da empatia, do diálogo e da resolução de conflitos, em que os estudantes trocam experiências e auxiliam uns aos outros a encontrar a solução para o problema escolhido.

A torre de Hanói é um jogo estratégico capaz de contribuir no desenvolvimento da memória, do planejamento e da solução de problemas por meio de técnicas estratégicas.

O jogo é formado por uma base com três pinos na posição vertical. No primeiro pino, há uma sequência de discos com ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O objetivo é passar todos os discos para o último pino com a ajuda do pino central, de modo que, no momento da transferência, um disco de maior diâmetro nunca fique sobre o de menor diâmetro.

Trabalhar com esse recurso didático irá favorecer o desenvolvimento da competência específica 2

Torre de Hanói

Esse jogo é composto de uma base de madeira onde estão verticalmente fixados três pinos. Há, também, discos circulares de diâmetros diferentes.

Vocês vão precisar de:

• papel e lápis para anotações;

• um jogo para cada dois participantes. Vocês podem construir esse jogo usando materiais recicláveis. Sejam criativos!

Como jogar

1. Inicialmente, a torre de discos deve estar em um só pino e os discos devem estar dispostos como na imagem.

2. Deve-se transferir toda a torre para um dos outros pinos de modo que:

• em cada movimento só pode ser deslocado um disco;

• um disco maior nunca pode ser colocado sobre um disco menor.

3. Decidam quem será o primeiro da dupla a fazer o primeiro movimento.

4. Cada participante fará um movimento por vez.

5. Os participantes devem anotar a quantidade de movimentos.

6. Ganhará o jogo a dupla que conseguir transferir a torre para outro pino com a menor quantidade de movimentos.

Trabalhando juntos

Para transferir uma torre formada por 1 disco para outro pino, é necessário apenas 1 movimento. Para transferir uma torre formada por 2 discos para outro pino, são necessários, no mínimo, 3 movimentos. Veja:

Orientações

O jogo mais simples é constituído de três discos, mas que pode variar, deixando o jogo mais difícil à medida que a quantidade de discos aumentam.

Depois de feita a atividade, você poderá apresentar a expressão matemática, 2n - 1, em que n corresponde ao número de discos, a qual permite determinar o número mínimo de movimentos para transferir as peças de uma torre com n discos.

Assim, teremos para:

• três discos: 23 - 1 = 7;

• quatro discos: 24 - 1 = 15;

• cinco discos: 25 - 1 = 31.

Atividades complementares

Se achar conveniente, construa com os estudantes uma torre de Hanói com material reciclável.

Veja uma sugestão de passo a passo em Como fazer um geoplano e a Torre de Hanói com tampinhas da garrafa pet, disponível em: https://www. laboratoriosustentaveldematematica. com/2014/09/como-fazer-geoplano -torre-hanoi-com-tampinhas-garra fa-pet.html (acesso em: 15 jul. 2022).

Em duplas, determinem a quantidade mínima de movimentos se a torre tiver:

• 3 discos; 7

• 4 discos; 15

• 5 discos. 31

Agora, sigam as orientações do professor e, juntos, apresentem as conclusões sobre a atividade para a turma. Resposta pessoal.

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

A regra dessa sequência é PilhaContagemTotal

2 1 + 3 4

3 1 + 3 + 6 10

4 1 + 3 + 6 + 10 20

Alternativa: a

Resolução da atividade 2

(x . 3 + 15) : 7 = 15

3x + 15 = 15 . 7

3x = 105 - 15

x = 90 : 3 = 30

O número digitado é 30. O quíntuplo desse número é igual a

5 . 30 = 150.

Alternativa: b

Resolução da atividade 3

Das figuras, temos:

2 tijolos e 3 sacos de areia, juntos, a balança marca 64 kg. E 1 tijolo mais

2 sacos de areia, juntos, marcam 41 kg. Assim, subtraindo a segunda informação da primeira, obtemos:

2 tijolos + 3 sacos = 64 - 1 tijolo - 2 sacos =- 41

1 tijolo + 1 saco = 23

Alternativa: b

1 (UFLA-MG) Considere cubos empilhados como na sequência abaixo.

Continuando a sequência, o número de cubos na próxima pilha será de:

a) 20.

b) 16.

c) 18. d) 19.

2 (CMSM-RS) Eduardo digitou um número na calculadora do seu celular, multiplicou-o por 3, somou 15, dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O quíntuplo do número digitado é:

a) 180.

b) 150.

c) 30.

Alternativa a Alternativa b

d) 6.

e) 5.

3 (OBMEP) Nas balanças, há sacos de areia de mesmo peso e tijolos idênticos. Quanto deve marcar a última balança? Alternativa b

a) 22 kg

b) 23 kg

c) 24 kg

d) 25 kg

e) 26 kg

4 (XXV OBM-RJ) Na figura, o número 8 foi obtido somando-se os dois números diretamente abaixo de sua casinha. Os outros números nas três linhas superiores são obtidos da mesma forma. Qual é o valor de x?

a) 7

b) 3

c) 5

d) 4

e) 6

5 (CMCG-MS) Um pai deseja dividir uma mesada de R$ 750,00 entre seus 4 filhos, de modo que o primeiro receba o dobro do segundo, o segundo receba o dobro do terceiro e, por fim, o terceiro receba o dobro do quarto. De acordo com esses dados, quanto o primeiro filho receberá?

a) R$ 25,00.

b) R$ 50,00.

c) R$ 100,00.

6 (IFF-RS) Resolva a equação de 1? grau.

2x + 3(x + 5) = 10

Qual é o valor de x?

a) x =-1

b) x = 5

c) x = −5

d) x = 1

e) x = 2

Autoavaliação

d) R$ 200,00.

e) R$ 400,00.

Orientações

Resolução da atividade 4

Veja a figura preenchida:

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

Reconheço e utilizo a linguagem matemática para representar sentenças.

Compreendo variável representada por letra ou símbolo, por meio da relação de dependência entre diferentes grandezas.

Resolvo problemas utilizando expressões algébricas para generalizar e representar situações matemáticas.

Utilizo simbologia algébrica para identificar regularidades em sequências.

Entendo incógnita como o termo desconhecido de uma equação.

Resolvo equações polinomiais do primeiro grau com uma incógnita utilizando procedimentos construídos com base nas propriedades da igualdade.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno dessa autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

x = 750

= 750 : 15

x = 50 4 R$ 50,00

O primeiro filho receberá: 8 50 = 400 4 R$ 400,00 Alternativa e Resolução da atividade 6

x + 3(x + 5) = 10 2x + 3x + 15 = 10 5x + 15 = 10 x =-1

Alternativa a

Principais objetivos da unidade

• Efetuar adição e subtração com números racionais utilizando o mmc.

• Resolver e elaborar problemas representados por equações polinomiais do 1? grau envolvendo frações, utilizando a propriedade da igualdade.

• Introduzir o conceito de razão e destacar a escala como uma razão particular, explorando-a em diferentes situações-problema.

• Resolver situações-problema que envolvam a ideia de números e grandezas direta ou inversamente proporcionais.

• Resolver problemas de contagem que envolvam árvore de possibilidades.

• Resolver situações-problemas que envolvam o cálculo da probabilidade de determinado evento.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF07MA01 ao envolver noções de mínimo múltiplo comum. A habilidade EF07MA09 é favorecida por meio da associação entre razão e fração na resolução de problemas. A resolução e elaboração de problemas representados por equações polinomiais de 1? grau com frações, por meio da propriedade da igualdade, contribui para o desenvolvimento da habilidade EF07MA18. A habilidade EF07MA17 está contemplada na resolução e elaboração de problemas que envolvem variação de proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas. A habilidade EF07MA34 está contemplada por meio da realização de experimentos aleatórios, envolvendo cálculo de probabilidade, com a utilização de sentenças algébricas.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• resolvam problemas envolvendo múltiplos e divisores de números naturais;

• determinem o menor múltiplo comum entre dois ou mais números naturais;

• compreendam a relação de igualdade matemática para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas;

• realizem adição e subtração de frações com denominadores iguais;

• reconheçam frações equivalentes;

• realizem operações de multiplicação e divisão com números fracionários;

• determinem a probabilidade de ocorrência de um resultado em eventos equiprováveis.

Avaliação diagnóstica

Verificar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos

nesta unidade é condição fundamental para favorecer, ao professor, a escolha das estratégias didáticas a serem utilizadas para o trabalho com o conteúdo proposto. Promova, inicialmente, uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados, assim como a realização de atividades escritas, além de resolução e elaboração de problemas e cálculos diversos, propiciando a resolução por meio de estratégias pessoais quando possível. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

Operações com frações, razões, proporções e experimentos aleatórios

Os bonecos de Olinda são bonecos gigantes, tradicionais no Carnaval de Pernambuco.

Chegaram ao Brasil com os portugueses, desfilando inicialmente em procissões e festividades religiosas [...] Os bonecos sempre saem acompanhados por uma orquestra de metais. Eles chegam a medir três metros e meio de altura [...].

QUAL a origem

1. Quando criança, você já tentou vestir uma roupa de seus pais? Como se sentiu?

Resposta pessoal.

2. A altura média de um boneco de Olinda é quantas vezes maior que a altura de uma pessoa que tem 1,75 m? 2 vezes maior.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• efetuar operações com números na forma de fração;

• resolver e elaborar problemas representados por equações polinomiais de 1? grau envolvendo frações;

• resolver problemas que envolvam razão e proporção;

• resolver problemas que envolvam experimentos aleatórios.

Orientações

O objetivo geral da unidade é trabalhar o conceito de grandezas proporcionais e suas aplicações. Para isso, apresenta a adição e a subtração com números racionais, operações nas quais os estudantes usarão o mínimo múltiplo comum para obter frações com denominador comum, o que possibilita retomar, agora com frações, a resolução de equações do 1? grau.

Motive os estudantes a observar a presença de números, medidas e operações básicas na resolução de situações-problema do dia a dia. Incentive-os a levantar hipóteses, buscar estratégias e testá-las na resolução de problemas e exercícios, relacionando, quando possível, o assunto abordado com outras áreas do conhecimento.

A unidade inicia com a retomada das operações com números em forma de fração e dos conceitos da adição e da subtração de frações usando o mínimo múltiplo comum.

Se achar conveniente, aproveite a imagem de abertura e pergunte aos estudantes se já conheciam essa tradição do Carnaval de Olinda. Permita que comentem as manifestações culturais da região em que vivem ou de onde vieram, caso haja migrantes na turma. Essa conversa favorece o desenvolvimento da competência geral 3 Resposta da atividade 2 3 : 1,75 o 1,714, ou seja, aproximadamente duas vezes.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 3, 6 e 10

Competências específicas 1, 2, 3 e 6

Habilidades EF07MA01, EF07MA08, EF07MA09, EF07MA12, EF07MA17, EF07MA18, EF07MA34 e EF07MA36.

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental

Objetivos do capítulo

• Efetuar adição e subtração com números racionais utilizando o mmc.

• Introduzir o conceito de razão e destacar a escala como uma razão particular, explorando-a em diferentes situações-problema.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2

Competências específicas 2

Habilidades EF07MA01, EF07MA09, EF07MA12 e EF07MA18

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA01

Considerando que os estudantes já tenham adquirido habilidade em adicionar e subtrair frações de denominadores diferentes, por meio de frações equivalentes, o texto apresenta a opção de reduzirmos as frações ao mesmo denominador utilizando o mínimo múltiplo comum entre os seus denominadores. O objetivo de introduzir esse método é apresentar a resolução de equações polinomiais do 1? grau com frações.

Em Para começar permita que os estudantes resolvam a atividade antes de introduzir o cálculo com mmc:

Como = 1 2 2 4 , então += 2 4 1 4 3 4

Sugira que resolvam a atividade do Pense e responda de duas maneiras diferentes e comparem os resultados:

Como 1 2 2 = , então 2 2 1 2 3 2 +=

Operações com números em forma de fração

Ontem Vítor leu 1 2 do total das páginas de um livro e hoje mais 1 4 desse total. Que fração do total de páginas do livro ele já leu? Explique como você chegou a essa conclusão. Resposta pessoal.

Qual é o resultado da adição 1 1 2 + ?

3 4

Adição e subtração de frações usando o mínimo múltiplo comum

Você já viu que podemos efetuar adições e subtrações de frações com denominadores diferentes encontrando frações equivalentes. Outra maneira de efetuar adições e subtrações com denominadores diferentes é determinar o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Veja, por exemplo, como efetuar

3 4 1 8 +  e  3 4 1 8 -

Primeiro, usamos o mmc dos denominadores; o resultado será o denominador de cada fração.

O mmc de 4 e 8 é igual a 8. Veja:

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, ...

Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, ...

Depois, em cada fração, dividimos o mmc pelo denominador e multiplicamos o resultado pelo numerador para obter frações equivalentes às iniciais. Por último, adicionamos ou subtraímos as frações equivalentes obtidas, simplificando-as, se necessário. Logo:

Explique como você chegou a esse resultado.

3 2 Resposta pessoal.

2 Juliano gastou 1 2 do dinheiro que tinha para comprar

tintas para ela.

a) Que fração do dinheiro Juliano gastou ao todo?

b) Que fração do dinheiro restou para Juliano?

3 Luís gastou 4 10 de sua conta-poupança na compra da passagem para uma viagem, e 1 5 comprando presentes. Que fração da conta-poupança Luís gastou? Quanto sobrou?

4 Complete o quadrado mágico com os números que faltam.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA01 e EF07MA12

Resolução da atividade 1

a) mmc (3, 6) = 6; então, += 14 6 1 6 15

b) mmc (2, 4) = 4; então, += 6

No quadrado mágico, obtemos sempre o mesmo resultado quando adicionamos os números das linhas, das colunas ou das diagonais.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA18

O texto introduz as equações polinomiais do 1? grau com frações por meio de uma situação-problema que utiliza os termos “a metade de um número” e “a sexta parte de um número”.

A representação algébrica dessas expressões já foi apresentada ao estudante, porém, sugerimos a retomada desse conteúdo com exemplos.

Ao nomear um número desconhecido como x, teremos:

• a metade de um número: x 2 ;

• a sexta parte de um número:  x 6 ;

• o triplo de um número: 3x;

• o dobro da quinta parte de um número: x 2 5

Como essas representações possibilitam equacionar a expressão apresentada no problema, obteremos a resposta por meio da resolução dessa equação.

Para isso, sugerimos a retomada do princípio multiplicativo da igualdade. Em seguida, apresente a resolução com o uso do mmc para reduzir as frações a um denominador comum.

Na resolução das situações-problema, eventualmente o estudante poderá apresentar uma solução sem utilizar equações, por meio de figuras ou mesmo de operações puramente aritméticas. Nesse caso, cabe a você avaliar a adequação e mostrar a equação que representa a situação inicial e sua resolução, mostrando que esse método facilita a resolução, de modo a induzir o estudante a utilizar esse procedimento. Enfatize o conteúdo do Pense e responda, pois, aprendendo a validar os próprios resultados, os estudantes passarão a ter mais autonomia.

Para aprofundar

Esse artigo analisa como a literatura científica sobre o ensino de Álgebra, publicada em periódicos com escopo em Educação Matemática, aborda o objeto de conhecimento equação polinomial do primeiro grau.

• SANTOS, F.; FERREIRA, J. Ensino e aprendizagem de equação polinomial de primeiro grau: uma análise da literatura.  Revista Paranaense de Educação Matemática, Paraná, v. 10, n. 22, p. 308-335, 30 set. 2021. Disponível em: https://periodicos. unespar.edu.br/index.php/rpem/ article/view/6308/4331. Acesso em: 14 jul. 2022.

Equação polinomial do 1 ? grau com frações

Observe as situações a seguir.

• Adicionando a metade de um número à sua sexta parte, obtém-se 8. Qual é esse número?

Vamos resolver essa situação de duas maneiras.

1. Utilizando o princípio multiplicativo da igualdade, podemos multiplicar por um mesmo número os dois membros da igualdade. Devemos escolher um número que elimine os denominadores, por exemplo: 12. +=6.+= 2 6 8  12 26 12 8 xxxx   

6x + 2x = 96 6 8x = 96 6 x = 96 8 6 x = 12

Verificar o resultado é tão importante quanto resolver a equação. Com a verificação, você pode descobrir algum erro ou perceber uma inadequação da resposta obtida. Verifique se 12 é raiz dessa equação. resultado verdadeiro

O número é 12.

2. A outra forma é utilizando o mmc: sendo mmc (2, 6, 1) = 6, temos: +=6+= 26 8 1 3x 6 1 6 48 6 xxx Reduzimos as frações ao mesmo denominador.

6 3 6 1 6 6 48 6 Multiplicamos ambososmembros por6 31 48 Adicionamosostermossemelhantes 448Dividimos ambososmembros por4

• Resolva a equação a seguir, considerando U =N

aaa 1 83 2 6 1 2 + -=+

Queremos obter uma equação equivalente em que seus termos tenham coeficientes inteiros. Para isso, vamos usar o mmc dos denominadores e multiplicar os dois membros da equação por esse número.

Aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração e à adição:

Aplicamos novamente a propriedade distributiva, eliminamos os parênteses, reduzimos os termos semelhantes e isolamos a incógnita em um dos membros para determinar seu valor numérico.

3a + 3 - 8a = 8 - 4a + 12

-5a + 3 = 20 - 4a

3 - 20 = -4a + 5a a =-17

Note que -17 não é um número natural; portanto, não pertence ao conjunto Universo considerado. Logo, nesse universo, a equação não tem solução.

Atividades

1 Resolva as equações, considerando U =Q

a) =aa 12 29 4 2

b) bb 1 5 0,1 7 2=+

c) ppp23 6 1 8 37 12=+ -

d) xxxx

0,2 1 2 0,1  1 4 3 20 =+

2 Adicionando um número inteiro à sua metade e à sua terça parte, obtém-se -33. Qual é esse número?

3 O perímetro de um triângulo isósceles é 65 cm. A medida de sua base é 7 3 da medida dos demais lados. Quanto mede cada lado desse triângulo?

4 Lorenzo levou certa quantia ao supermercado. Gastou 2 5 do dinheiro mais R$ 14,00 e ficou com 1 4 do que tinha inicialmente. Com quantos reais ele foi ao supermercado?

5 Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades.

Considerando que uma delas pavimente 2 5 da estrada, e a outra, os 81 km restantes, determine a extensão dessa estrada.

6 De um tonel cheio de azeite, retirou-se 1 5 do volume que ele continha. Em seguida, retiraram-se 21 litros e o tonel ficou pela metade. Qual é a capacidade do tonel? 70 litros

7 A metade de um número inteiro mais sua terça parte é igual a 37,5. Calcule esse número.

8 Calcule o valor das expressões.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA01 e EF07MA18

atividade 1

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA09 e EF07MA18

Resolução da atividade 9

x 3

7 + 212 = x

+ = x x 3   1 484

7

3x + 1 484 = 7x

7x - 3x = 1 484

4x = 1 484

x = 371

Camisas azuis: .= 3 7 371159

Resolução da atividade 10

10% de R$ 4.000,00:

.+.= A 10 100 4 000 20 100 900

400 + 1 5 A = 900

1 5 . A = 900 + 400

A = 500 5 = 2 500 4 R$ 2.500,00.

A atividade 11 apresenta partes de um todo em forma de fração e de percentual. Se julgar conveniente, escolha alguns problemas formulados para serem resolvidos na lousa. Resolução de Lógico, é Lógica!

Das dicas, temos que: Rodrigo não foi o quarto colocado; Gabriel chegou antes de Felício e depois de Rodrigo; portanto, não foi o primeiro nem o quarto; Marcos não foi o quarto colocado. Portanto, o quarto colocado foi Felício.

Rodrigo chegou antes de Gabriel e não foi o primeiro colocado, então, Rodrigo foi o segundo, e Gabriel, o terceiro, restando o primeiro lugar para Marcos.

A ordem é: Marcos, Rodrigo, Gabriel e Felício.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 2

9 (CMM-AM) Na loja onde Pedro trabalha, um levantamento indicou que, na primeira semana do mês de junho de 2018, foi vendido um lote de camisas da Seleção Brasileira. Sabendo-se que 3 7 do lote eram da cor azul e 212 unidades desse lote eram amarelas, quantas camisas azuis foram vendidas nessa loja na referida semana? Alternativa e

a) 121

b) 212 c) 371 d) 250 e) 159

A = R$ 2.500,00.

10 A soma de 10% de R$ 4.000,00 com 20% de certa quantia A é igual a R$ 900,00. Calcule o valor de A

11 A família Oliveira gasta 20% de sua renda mensal com o aluguel do imóvel em que mora, 1 6 com despesas educacionais e 1 10 com alimentação.

Elabore uma pergunta com base nos dados desse enunciado. Troque com um colega e respondam às perguntas. Depois de finalizarem, conversem sobre como foi o processo de resolução. Resposta pessoal.

Rodrigo, Gabriel, Felício e Marcos foram os quatro primeiros colocados em uma corrida de bicicleta. Descubra qual foi a classificação de cada um deles sabendo que:

• Rodrigo chegou antes de Gabriel;

• Gabriel chegou antes de Felício;

• Marcos não foi o quarto colocado;

• Rodrigo não foi o primeiro a chegar. Escreva o nome de cada um deles por ordem decrescente de classificação.

Razão e proporção

A altura de Andréia é 180 cm e a de sua filha Marina é 90 cm. Comparando a altura delas, quantas vezes Andréia é mais alta do que Marina?

Objetivos do capítulo

• Identificar grandezas obtidas por meio da razão entre duas grandezas.

• Compreender o conceito de proporção e suas propriedades.

• Resolver situações-problema que envolvam a ideia de números e grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Foco na BNCC

Razão

Considere a seguinte situação.

Paula recebeu do professor o resultado do simulado que fez, contendo 60 questões.

Você sabe o que significa “4 acertos de cada 6 questões”?

O professor não disse qual foi a nota de Paula, apenas fez uma relação entre o número de acertos e o de questões: 4 acertos de cada 6 questões. Essa relação é chamada razão e pode ser escrita na forma de um quociente:

4   6 ou  4 6  ou  2 3 : Essa razão também pode ser escrita nas formas decimal e percentual. 4 6 0,67 o ou aproximadamente 67%

Observe que 4 acertos de cada 6 questões é o mesmo que 8 acertos de cada 12 questões

8 12 , que é o mesmo que 12 acertos de cada 18 questões

12 18 , e assim por diante.

Explique sua estratégia de resolução. 2 vezes 4

1 2 ou : 2

Paula, você acertou 4 de cada 6 questões do simulado.

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 3 e 10 Competências específicas 1, 3 e 6

Habilidades EF07MA08, EF06MA09 e EF06MA17

Orientações

Por acreditar que o raciocínio proporcional seja uma habilidade muito importante a ser trabalhada no Ensino Fundamental, sugerimos retomar alguns conteúdos relacionados a ele, como a comparação entre números e as relações entre parte-todo e parte-parte, apresentando a proporção como igualdade entre razões. As razões e as proporções podem ser exploradas com base em situações contextualizadas, possibilitando um trabalho integrado com outras disciplinas, como Geografia, Química etc.

A questão de Para começar pede aos estudantes que comparem as medidas de altura de duas pessoas, estabelecendo uma razão entre elas:

= 180 90

2. Portanto, Andreia é duas vezes mais alta que Marina.

60 questões

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF07MA08

Retome o conceito de fração irredutível. Mostre alguns exemplos na lousa.

A ordem de leitura da razão influencia e sua representação fracionária, ou seja, se a está para b, significa que a é antecedente e b é o consequente. Se fosse o contrário, b está para a, significaria que b é o antecedente e a o consequente.

Mostre aos estudantes que o cálculo mental também pode ser uma ferramenta para resolver problemas que envolvem proporcionalidade. Por exemplo, nos exercícios do Pense e responda, a ordem em que os termos são colocados já dá a resposta.

1 : 5 ou 1 5 , no caso, significa que para cada ano de Denise há cinco anos de Cecília.

1 : 6 ou 1 6 significa que para cada unidade de medida de peso registrado na Lua, o peso correspondente na Terra é 6 vezes maior.

Observe que, nesse caso, não estamos falando de massa, que é a mesma, e sim da relação entre essa massa e a força da gravidade, ou seja, o peso.

Para aprofundar

Esse artigo analisa as potencialidades de uma sequência didática para o ensino de razão e proporção, diferente das práticas usuais, aplicado para estudantes do 7? ano do Ensino Fundamental.

• CABRAL, N. et al. O ensino de razão e proporção por meio de atividades. Ensino da Matemática em Debate, São Paulo, v. 6, n. 3, p. 174-206, 2019. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/in dex.php/emd/article/view/45062.

Acesso em: 28 abr. 2022.

Qual é o significado das razões a seguir?

• Hoje, a idade de Denise está para a idade de Cecília na razão 1 : 5.

• A razão entre o peso do ser humano na Lua e seu peso na Terra é 1 : 6.

Hoje, Cecília tem 5 vezes a idade de Denise.

O peso do ser humano na Terra é 6 vezes seu peso na Lua.

A razão também pode ser usada para fazer a comparação entre dois números. Por exemplo, para saber quantas vezes 15 é maior do que 3, calculamos a razão, ou seja, 15 é cinco vezes maior do que 3.

15 3 15 35=:=

Veja o quadro a seguir.

Apesar de o professor ter usado a relação 4 6 para se referir à nota de Paula, a relação mais simples dessa razão é 2 acertos para cada 3 questões

2 3 , que é uma fração irredutível. Dizemos que existe uma razão de 2 para 3 ou ainda “2 está para 3”.

Fração irredutível é aquela cujo numerador e denominador não podem ser divididos simultaneamente por um mesmo número natural, pois o numerador e o denominador são números primos entre si.

Simbolicamente, representamos a razão entre dois números racionais a e b (com b q 0) pelo quociente a : b ou pela fração a b , na qual a e b são chamados de termos. O termo a é chamado de antecedente e o b é chamado de consequente As razões podem ser entre grandezas de mesma unidade de medida ou entre grandezas de unidades de medida diferentes. Veja os exemplos.

• Para calcular a razão entre as medidas da altura de duas árvores, uma com 50 cm e outra com 1,50 m, é necessário fazer a conversão das unidades de medida, de modo que as duas fiquem em metros ou em centímetros.

• Se em uma viagem um carro percorre 120 km e consome 15 L de combustível, a razão entre essas grandezas é igual a:

A razão é acompanhada das unidades que relacionam as grandezas. Essa razão significa que o carro percorre 8 quilômetros a cada litro de combustível consumido.

Considere a situação a seguir.

Sílvio resolveu três simulados na escola onde estuda. No primeiro, que tinha 20 questões, ele acertou 12. No segundo, com 25 questões, ele acertou 20. E, no terceiro, com 24 questões, ele acertou 18. Em qual simulado Sílvio obteve o melhor rendimento?

Vamos calcular a razão do número de questões que ele acertou para o número total de questões de cada simulado.

Assim:

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF07MA08 e EF07MA09

A atividade 1, que explora a razão entre a quantidade de triângulos azuis (4) e a quantidade total de triângulos (10).

12 acertos em 20 questões 20 acertos em 25 questões 18 acertos em 24 questões

Transformamos as frações em números decimais para facilitar a comparação entre elas. Temos: 0,8 > 0,75 > 0,6.

Usando percentuais, temos: 0,6 corresponde a 60%; 0,8 corresponde a 80%; 0,75 corresponde a 75%.

Como 80% é o maior percentual, Sílvio foi melhor no segundo simulado.

Atividades

1 Observe as figuras ao lado.

Qual é a razão do número de triângulos azuis para o total de triângulos? Escreva essa razão nas formas de fração, decimal e percentual.

Determine a razão entre as medidas de:

e ACCB ; b) ACAB  e ; c) CBAB  e

3 Que percentual de cada figura está pintado?

4 Um leão tem 1,75 m de comprimento e um gato, 35 cm. Qual é a razão entre o comprimento desse leão e o desse gato? Converta os comprimentos para a mesma unidade de medida. 5 : 1

A atividade 2 estabelece a razão entre os três segmentos, AC, AB e CB, medidos em centímetros. É um bom momento para conversar com a turma sobre a proporcionalidade entre parte-todo e parte-parte.

Resolução da atividade 3

A primeira etapa dessa resolução é a observação das figuras, retomando-se a representação de frações.

a) A figura foi dividida em 3 partes, das quais duas e meia foram pintadas. Então:

= 2, 5 3 5 6 = 0,83333 ... 4 83%, já que 6 corresponde a 100%.

b) A figura foi dividida em 5 partes, das quais foram pintadas

++++ 1 1 2 1 2 3 4 1 4 , totalizando 3 partes; == 3 5 60 100 60%

c) Das oito partes da figura 4, foram pintadas === 4 8 1 2 50 100 50%

d) A figura foi dividida em 8 triângulos e 4 quadrados, e a medida de um quadrado equivale à medida de dois triângulos. Então foi pintado o equivalente a 2 de 16 partes:

= 2 16 1 8 = 0,125 = 12,5%.

Com base no resultado do item a, pode ser discutida a aproximação de alguns resultados, pois, ao dividirmos o antecedente pelo consequente de uma razão, podemos obter um número inteiro, um decimal finito ou uma dízima periódica, caso em que se deve discutir o critério de aproximação a ser adotado.

Resolução da atividade 4 Como as medidas estão dadas em unidades diferentes (metro e centímetro), para obter a razão entre elas é necessário transformar pelo menos uma delas, como mostramos a seguir. Como 1, 75 m = 175 cm, temos:

Orientações

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Resolução da atividade 5

Os estudantes devem observar que Adriano teve aproveitamento de 65%, enquanto Rafael, 60%, pois:

= 65 100 65%

5 Em uma escolinha de futebol, Adriano e Rafael treinam cobranças de pênalti. O quadro mostra o resultado obtido por eles após o treino.

Resultados obtidos no treino JogadorGols marcadosGols perdidosTotal de chutes

Adriano 65 35 100 Rafael 48 32 80

a) Determine a razão entre o número de gols marcados e o total de chutes de cada garoto.

b) Adriano, pois 0,65 > 0,6.

b) Qual deles teve melhor aproveitamento? Justifique sua resposta.

=====

48 80 3 5 0, 60 ,60 60 100 60%

===60 ,60 60 100 60%

Resolução da atividade 6

Solicite aos estudantes que simplifiquem as frações obtidas à sua forma irredutível, observando o quanto a comparação de valores é facilitada dessa maneira.

a) = 600 180 10 3

b) = 60 120 1 2

c) = 240 1  200 1 5

No item b da atividade 7, espera-se que os estudantes indiquem que:

• o descar te de óleo de cozinha em locais inadequados pode causar doenças e poluir o meio ambiente;

• para descartar o óleo de cozinha de maneira correta, é preciso armazená-lo em garrafa PET e levá-lo a um ponto de coleta;

• o consumo excessivo de gordura pode acarretar diversos problemas de saúde, como doenças cardíacas, colesterol, entre outros.

A atividade aborda o cuidado com o meio ambiente e os danos causados por poluentes, como o óleo de cozinha. Essa discussão promove conscientização e cuidado com a natureza, contemplando alguns aspectos da competência geral 10

6 Uma escola realizou uma pesquisa com 1 200 estudantes sobre as atividades esportivas que eles gostariam de praticar. Vejam o resultado no gráfico ao lado.

Agora, determinem a razão entre o número de estudantes que gostariam de praticar:

a) vôlei e o número de estudantes e que gostariam de praticar basquete;

b) natação e o número de estudantes que gostariam de praticar futebol;

c) outras atividades esportivas e o número de estudantes da escola

7 Leiam o texto a seguir.

[…]

Sabe aquela coxinha, frango a passarinho ou a deliciosa e crocante batata frita? Tudo é muito saboroso, mas a gordura utilizada no preparo destes alimentos pode causar muitos problemas, principalmente se for jogada na pia ou nos ralos.

1 litro de óleo pode poluir até 25 mil litros de água. Isso porque suas substâncias não se dissolvem na água e, quando despejadas nos cursos d’água, causam descontrole do oxigênio e a morte de peixes e outras espécies. Em contato com o solo, há contaminação e mais sujeira.

[…]

SÃO PAULO. Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo. Óleo e água não se misturam. [...]. São Paulo: Sabesp, [20--?]. Disponível em: http://site.sabesp.com.br/site/interna/Default.aspx?secaoId=82#:~:text=Sabe% 20aquela%20coxinha%2C%20frango%20a,25%20mil%20litros%20de%20%C3%A1gua. Acesso em: 8 maio 2022.

a) De acordo com o texto, quantos litros de água serão contaminados se uma família jogar 5 litros de óleo na pia?

b) Façam uma pesquisa sobre:

Cinco litros contaminarão 5 25 000 = 125 000 4 125 000 L de água. Respostas no Manual do Professor.

• Quais são os prejuízos econômicos e ambientais quando descartamos óleo de cozinha no ralo da pia, no vaso sanitário ou no lixo comum?

• Qual é a maneira correta de descartar o óleo usado?

• Quais são os prejuízos à saúde causados pela ingestão excessiva de gordura?

c) Escrevam suas conclusões a respeito das informações coletadas na pesquisa e, com a orientação do professor, apresentem o resultado aos colegas. Respostas pessoais.

Escala

Algumas vezes, precisamos reproduzir figuras, desenhos ou objetos que, no tamanho real, seriam muito grandes ou muito pequenos e, para isso, não podemos alterar a forma original.

Tanto para fazer redução, no caso de figuras grandes, quanto ampliação, no caso de figuras pequenas, precisamos de uma escala.

Escala é a razão entre uma medida representada (no desenho) e a correspondente medida real, ambas expressas na mesma unidade. Escala medida no desenho medida real =

Orientações

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EF07MA09

Sugerimos apresentar a escala como uma razão utilizada em mapas ou plantas de construção civil, mostrando que ela indica o quociente entre a medida dos objetos no desenho e a medida real deles. Disponibilize aos estudantes mapas obtidos na internet, por exemplo, ou folhetos de propagandas de vendas de imóveis que apresentem as plantas e suas respectivas medidas.

Maquete de um empreendimento imobiliário com escala 1 : 50.

As escalas são usadas em diferentes atividades: na Cartografia, para fazer mapas; na Engenharia e na Arquitetura, para fazer plantas, esquemas e maquetes de edificações; na Oceanografia, para representações do fundo do mar, entre outras.

Veja alguns exemplos.

Planta da ilha de Antônio Vaz, Recife (PE)

Fonte: GOOGLE MAPS. [Mountain View]: Google, c2021. Disponível em: https://www.google.com.br/ maps/place/Rua+Imperador+Pedro +Segundo,+512/@-8.0548574, -34.8924075,14z. Acesso em: 2 abr. 2022.

Se um mapa apresenta a escala

1 : 50 ou 1 50 , significa que 1 cm no mapa é equivalente a 50 cm na área real.

Com base em uma planta que indique as medidas reais do imóvel, os estudantes podem tomar as medidas dos desenhos e, ao compará-las, determinar o quociente entre elas, obtendo a escala utilizada.

Analogamente, se a planta apresentar a escala considerando as medidas do desenho, eles podem obter as medidas reais do imóvel.

O trabalho desse tema “mapas” também deve ser incentivado, pois possibilita ao estudante obter, por meio de comparações, uma noção real da dimensão de uma cidade, um estado, um país, propiciando, ainda, inserir a Geografia no contexto matemático.

Dessa forma, é favorecido o desenvolvimento das competências específicas 1 e 3

Escala: 1 : 100

Orientações

A seção Matemática Interligada contribui para o desenvolvimento da habilidade EF07MA08. Seria interessante trabalhar mapas, especialmente algum que represente a região em que a escola se situa.

Você pode convidar o professor de Geografia para desenvolver um trabalho conjunto sobre leitura de mapas e utilização de escalas.

Promova uma conversa entre os estudantes sobre os mapas pesquisados e as escalas encontradas em cada um deles.

O tema abordado favorece o desenvolvimento da competência específica 3

Se julgar oportuno, pergunte que lugares do mundo eles gostariam de conhecer e incentive-os a pesquisar sobre esses lugares, identificando aspectos físicos, como rios, montanhas e vegetação, por exemplo.

Dando aquele zoom no mapa

Os mapas são muito úteis para estudar características geográficas, sejam elas políticas ou físicas, a nível regional ou global. Há mapas que permitem estudar o relevo de um país e outros que nos possibilitam estudar o perfil econômico de todo um continente.

O objetivo de um mapa é reproduzir um território de forma reduzida. Portanto, são utilizadas escalas que funcionam como fator de redução. Um mapa construído com uma escala de 1 : 6 000 000 indica que a região foi reduzida 6 milhões de vezes no mapa. Esta mesma escala pode ser representada por meio de uma escala geográfica, como a da figura a seguir, que indica que 1 cm no mapa equivale a 60 km reais.

Quanto menor a redução feita na construção de um mapa, maior a riqueza de detalhes que ele possibilita. Ao contrário disso, quanto maior a redução, menor a riqueza de detalhes. Respostas pessoais.

1 Pesquise um mapa-múndi, um mapa do Brasil e um mapa do estado em que você mora. Analise esses mapas e registre a escala utilizada em cada um deles.

2 Compare os três mapas que você pesquisou quanto à riqueza de detalhes.

a) Em algum desses mapas é possível identificar a cidade em que você mora? Se sim, em qual deles?

b) Em qual desses mapas é possível ver mais detalhes do seu estado, como cidades, rios etc.?

c) Relacione a riqueza de detalhes oferecidos por esses mapas com as escalas utilizadas por eles.

Acompanhe a resolução da situação a seguir.

Em um mapa, a distância entre as cidades de Cabrobó e Palmares, no estado de Pernambuco, é representada por 4,5 cm. Na realidade, a distância entre essas duas cidades é de 315 km.

• Em que escala foi feito esse mapa?

Inicialmente precisamos padronizar as unidades de medida. Como 315 km equivalem a 31 500 000 cm, a razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real é:

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA9

Comente com os estudantes que, para obtermos a razão entre medidas, é necessário que estejam representadas na mesma unidade.

4,5 31 500 000 1 7 000 000 =

/ 4,5 / 4,5

Portanto, o mapa foi feito na escala 1 : 7 000 000. Isso significa que 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real.

• Usando a mesma escala, qual é a distância, em quilômetros, entre as cidades de Serra Talhada e Garanhuns, sabendo que nesse mapa a distância entre essas cidades é de 2,4 cm?

No item anterior, encontramos a escala em que esse mapa foi feito. Assim, se cada 1 cm no mapa corresponde a 7 000 000 cm ou a 70 km, na realidade, temos: Mapa Distância real

1 cm 2,4 cm 70 km ? 2,4 2,4

Daí, vem: 70 2,4 km = 168 km.

Portanto, a distância real entre Serra Talhada e Garanhuns é de 168 km.

Atividades

1 Um mapa foi feito na escala: 1 20 000 000

a) O que significa essa escala?

1 cm no mapa indica 20 000 000 cm de distância real

b) Qual deve ser a distância no mapa entre duas cidades cuja distância real é 760 km?

2 Observem o mapa do estado de São Paulo.

Retome as principais unidades de medida de comprimento e suas transformações, assim como as de área, pois os estudantes poderão ter dificuldades em fazer essas transformações. Vale lembrar que:

1 m² = 10 000 cm² = 10 4 cm²

1 km² = 1 000 000 m² = 10 6 m²

1 km² = 1010 cm² Resolução da atividade 1 Comente que as medidas estão em centímetros. Para resolver o item b , ser á necessário compreender essa relação em quilômetros, o que pode ser feito em etapas: 20 000 000 cm = = 200 000 m = 200 km.

a) Meçam individualmente, usando a régua, a distância entre Campinas e Ribeirão Preto. Na sequência, comparem as medidas obtidas. Vocês obtiveram a mesma medida?

Estado de São Paulo

Aproximadamente

1,6 cm.

b) Se houvesse uma diferença de 1 mm nas medições, que distância, em quilômetros, essa diferença representaria? 12,8 km

c) Elabore uma pergunta com base nesse mapa. Depois dê para um colega respondê-la enquanto você responde a que ele elaborou. Ao final, conversem sobre as respostas dadas.

3,8 cm Resposta pessoal.

de 3,8 cm. Resolução da atividade 2 No item a, a distância medida com a régua deve ser de 1,6 cm. Se houver divergência entre as respostas, retome com eles o posicionamento correto da régua.

Ao responder ao item b, relacionando a diferença de 1 mm à distância de 12,8 km, os estudantes devem perceber a importância de ler e calcular escalas corretamente. Pela escala, 1 cm equivale a 128 km. Então, 1 mm equivale a 128 : 10 = 12,8 4 12,8 km.

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA17

Resolução da atividade 3

3 m = 300 cm; = 20 300 1 15 ou 1 : 15

Comente que a atividade apresenta uma xilogravura. Pergunte aos estudantes se conhecem ou já viram esse tipo de arte extremamente marcante na cultura nordestina. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 3 ao promover e valorizar diferentes tipos de culturas e manifestações artísticas.

Peça aos estudantes que pesquisem um pouco mais sobre arte em xilogravura e escolham desenhos em tamanhos reais para serem representados em escala determinada por eles. Depois, promova uma exposição para compartilhar seus desenhos e as escalas que foram utilizadas.

Para o estudo de proporção, sugerimos observar que, ao compararmos duas ou mais grandezas, podemos verificar se elas são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou se não apresentam proporcionalidade com base em exemplos que se refiram a cada uma das situações. Vale lembrar que, para duas grandezas serem diretamente proporcionais, não é suficiente que o aumento de uma acarrete o aumento da outra. O conceito de proporção será muito utilizado em outras áreas do conhecimento, como no estudo da Física e da Química, assim como em Arte.

3 A xilogravura é uma técnica antiga de “imprimir” imagens utilizando uma matriz em madeira. É muito usada na literatura de cordel em obras produzidas por artistas brasileiros que encantam o nosso país e o mundo.

Fonte: RIO DE JANEIRO. Empresa Municipal de Multimeios. Arte, artistas e arteiros Rio de Janeiro: MultiRio, [2012]. Disponível em: http://www.multirio. rj.gov.br/media/PDF/pdf_1252.pdf. Acesso em: 8 maio 2022.

A figura ao lado é uma xilogravura do artista J. Borges, do município de Bezerros, Pernambuco, conhecido e aclamado internacionalmente.

Suponha que a árvore da xilogravura tenha 20 cm de altura e seja a redução de uma árvore real que possui 3 metros de altura.

Qual é a escala utilizada na xilogravura?

a) 1 : 20

b) 1 : 5

c) 1 : 60

d) 1 : 15

e) 1 : 3

Proporção

Observe a situação a seguir.

Alternativa d

Bruno é um artesão e produz 8 pulseiras a cada 20 minutos. Edilson, outro artesão, produz 24 pulseiras a cada 1 hora, Qual deles é o mais eficiente para produzir pulseiras?

Para responder, vamos calcular a razão entre a quantidade de pulseiras e o tempo que cada um levou para produzi-las.

quantidadedepulseiras tempodeprodução

Bruno: 8 pulseiras a cada 20 minutos.

8 20 4 10 2 5 ==

Portanto, Bruno produz 2 pulseiras a cada 5 minutos.

Edilson: 24 pulseiras a cada 1 hora. Como 1 hora equivale a 60 minutos, temos: 24 60 8 20 4 10 2 5 ===

Portanto, Edilson também produz 2 pulseiras a cada 5 minutos.

Observe que a razão de produção de Bruno é igual à de Edilson, 2 5

, o que significa que os dois têm o mesmo grau de eficiência, ou seja, ambos produzem 2 pulseiras a cada 5 minutos.

Assim, podemos estabelecer uma igualdade entre essas razões, isto é, uma proporção

8 20 24 60 2 5 ==

Nesse caso, 8 20 = 24 60 , e lê-se: oito está para vinte assim como vinte e quatro está para sessenta.

De maneira geral, se a, b, c e d são números racionais não nulos e formam, nessa ordem, uma proporção, podemos escrever:

a : b = c : d ou = a b c d

Lê-se: a está para b assim como c está para d

• Os números a, b, c e d são chamados de termos da proporção

• a e d são chamados de extremos; e b e c são chamados de meios

Observe a imagem.

1. Se o cliente pagou por 9 sabonetes, quantos sabonetes ele levou?

12 sabonetes

2. Que estratégia você utilizou para chegar a esse resultado? Converse com um colega como foi o processo de resolução. Resposta pessoal.

Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa é a propriedade fundamental das proporções

Orientações

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Você pode incentivar o uso do cálculo mental para explorar o conceito de proporcionalidade, tanto na comparação entre as razões envolvidas na proporção quanto na aplicação da propriedade fundamental das proporções.

No primeiro Pense e responda, sugira aos estudantes que observem os aspectos de simplificação e fração irredutível para verificar a proporcionalidade:

= 3 4 9 12

Também é possível descobrir primeiro quantas embalagens ele comprou 4 9 : 3 = 3; e multiplicar o resultado por 4 4 3 4 = 12. Deixe que os estudantes compartilhem suas estratégias para que ampliem o repertório de resoluções.

No segundo Pense e responda, comente que os números envolvidos não formam uma proporção porque o produto dos meios é diferente do produto dos extremos.

a : b = c : d ou = a b c d

extremos extremos

meios meios

Para verificar se duas razões formam uma proporção, podemos efetuar simplificações ou fazer multiplicações cruzadas. Exemplo:

• 2 3 e 4 6 formam uma proporção, pois 2 6 = 3 4

• 6 7 e 3 5 não formam uma proporção, pois 6 5 q 7 3

Não, pois 1 100 q 10 1.

As razões 1 10  e 1 100 formam uma proporção? Como você explica isso?

1 100 q 10 1

Orientações

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Os exemplos apresentados referem-se a situações-problema que envolvem proporções. Retome com os estudantes a propriedade fundamental das proporções - o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Na atividade 1, é preciso verificar se as razões formam uma proporção.

a) 3 8 = 6 4. Sim.

b) 9 5 q 7 6. Não.

c) 2 55 q 11 110. Não.

d) 5 5 q 10 10. Não.

Resolução da atividade 2

Acompanhe a resolução das situações a seguir.

• O departamento de Recursos Humanos de uma empresa constatou que, entre os entrevistados pretendentes a determinado cargo, a razão entre o número de aprovados e o de entrevistados foi de  3 7

Sabendo que foram aprovados 12 candidatos, qual foi o número de reprovados?

Chamando de x o número de candidatos aprovados e y o número de candidatos entrevistados, podemos estabelecer a proporção: 3 7 x y =

Substituindo x por 12, vem: 12 3 7 y =6 3y = 12 7 6 3y = 84 6 y = 28.

Logo, houve 28 candidatos.

De 28 candidatos, 12 foram aprovados. O número de candidatos reprovados é igual a: 28 - 12 = 16

Portanto, foram reprovados 16 candidatos.

• A maquete de um prédio foi feita na escala 1 : 60. Se a altura da maquete é 70 cm, qual é a altura real do prédio?

x x x

=6=. ==4

1 9045  901 45 45 90 0, 50,5 m

Resolução da atividade 3

Transformar o texto de língua materna para matemática: um a cada quatro 4= 1 4 0, 25 ou 25%.

É importante e possui um teor de urgência social, ao tratar do aumento da fome durante a pandemia. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 6

Para aprofundar

O artigo analisa obstáculos enfrentados pelos professores quanto à legitimação do pensamento relativo como base para a elaboração de estratégias de resolução de problemas.

• OLIVEIRA, L. M. C. P. Raciocínio proporcional em um problema envolvendo relações de proporcionalidade [...]. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2016, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2016. Disponível em: http://www. sbem.com.br/enem2016/anais/ pdf/7314_3371_ID.pdf. Acesso em: 29 abr. 2022.

Lembrando que: Escala = altura da maquete  altura real

Do enunciado, temos: 1 60 70 x =

Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:

=6.=.6= 1 60 70 1   60   704 200 x xx

Logo, o prédio tem 4 200 cm ou 42 m de altura.

Atividades

1 Aplicando a propriedade fundamental das proporções, verifique se, em cada item, as razões formam uma proporção.

2 O modelo de um avião foi feito na escala, em metros, de 1 : 90. Se o avião tem 45 m de comprimento, qual é o comprimento do modelo?

3 Leia o trecho da matéria a seguir.

[…] Um a cada quatro brasileiros afirmou que a quantidade de comida na mesa para alimentar a família foi menor do que o suficiente durante os últimos meses da pandemia da Covid-19. [...] MOTA, Camilla Veras. 1 a cada 4 brasileiros não teve comida suficiente, diz Datafolha. Portal IG, São Paulo, 20 maio 2021. Disponível em: https://economia.ig.com.br/2021-05-20/brasileiros-comida-datafolha.html. Acesso em: 8 maio 2022.

Escreva a fração associada à razão descrita, assim como sua representação percentual.

0,5 m 1 4 = 25%

4 Em uma árvore de Natal, há bolas azuis e amarelas, sendo 12 amarelas. Quantas bolas azuis há na árvore, sabendo que a razão entre o número de bolas azuis e o de amarelas é igual a  2 3 ? 8 bolas azuis

()

() =

Altura

5 Em uma pesquisa, 24 em cada 100 pessoas escolheram branca como sua cor preferida. Se mantivermos essa proporção, entre 750 pessoas, quantas pessoas não escolheram essa cor? 570 pessoas

6 Os pares de figuras em cada item a seguir guardam as devidas proporções nas medidas? Justifiquem. Resposta pessoal.

a)

b) Não. Sim.

Resolução

da atividade 7

7 Em um supermercado, há a seguinte promoção de garrafas de água mineral:

a) Rita levou para casa 21 garrafas de água. Por quantas garrafas ela pagou?

14 garrafas 12 garrafas

8 O problema a seguir foi proposto para Peterson. A razão entre dois números é 2 7 , e a diferença entre eles é 40. Quais são esses números?

Veja como ele resolveu na imagem abaixo.

====== 2 7 4 14 6 21 8 28 10 35 12 42 ======= 2 7 4 14 6 21 8 28 10 35 12 42 14 49 16 56 Os números são 16 e 56,

pois

a) Como você resolveria esse problema? Resposta pessoal.

b) Você considera correta a resolução de Peterson? Justifique sua resposta. Se preferir, use figuras para ilustrar. Sim. Justificativa no Manual do Professor.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA17

Resolução da atividade 4

=6=6= x xx 12 2 3 3248

570 pessoas não escolheram branco

Resolução da atividade 6

No item a, podem ser comparadas as razões entre a quantidade de quadrados que as figuras apresentam na vertical e na horizontal.

(I): = na vertical na hor izontal 2 5 (II): = na vertical na hor izontal 2 3

q 2

x xx 24 100750 10024750 180750180570=6=6=-=

5 2 3 . As figuras não são proporcionais.

No item b, comparam-se as medidas dos lados dos trapézios.

=6=-= ⋅⋅

Orientações

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EF07MA17

Resolução da atividade 9

Pode-se observar que as medidas apresentadas na foto devem ser proporcionais às medidas reais, o que possibilita obter o valor da medida desconhecida com base em uma proporção:

9 (UCB-DF) Para descobrir o tamanho do calçado de um suspeito, um detetive, na cena do crime, tirou uma foto de uma pegada com uma nota de 2 reais ao lado. As medidas da pegada e da nota foram aferidas pela foto, conforme a figura apresentada.

13 cm

=

13 5, 512,1

=

5, 51312,1 157 ,3

x x x

==

5, 5 28 ,6

Da tabela, obtém-se o número 43. Alternativa b Depois de discutir o tema apresentado na seção Viagem no tempo, sugira um trabalho interdisciplinar com Arte sobre a cultura egípcia. A discussão voltada para aspectos culturais e históricos favorece o desenvolvimento da competência específica 1

A tabela mostra a relação do número de calçados e das respectivas medidas em centímetros. Considerando que uma nota de 2 reais mede 12,1 cm, é correto inferir que a pegada é de uma pessoa que usava o número:

Alternativa b

b) 43. c) 42. d) 45. e) 44.

a) 41.

Execução de um relevo

Relevos e pinturas dependiam muito dos desenhos preliminares, preparados de acordo com traços de orientação ou, a partir do Império Médio, dentro de grelhas quadriculadas. As grelhas eram também desenhadas sobre obras já existentes, para facilitar a cópia.

A grelha mais antiga se baseia em 18 quadrados, desde o chão até a linha do cabelo (a parte acima é de tamanho variável, de acordo com o que a figura tem na cabeça). Embora se relacione apenas com figuras escala a escala, cobre, por vezes, toda a superfície que deverá ser preenchida com uma cena; o desenho poderia então ser ampliado mecanicamente a partir de um esboço menor. [...]

BAINES, John; MÁLEK, Jaromír. O mundo egípcio: deuses, templo e faraós. Tradução: Maria Emília Vidigal. Rio de Janeiro: Edições Del Prado, 1996. v. 1. p. 61. (Grandes Impérios e Civilizações).

A cultura egípcia é muito rica e contribuiu para nossa civilização atual.

De acordo com o texto que você acabou de ler, responda às questões.

1 Com base em quantos quadrados era feita a grelha mais antiga?

18 quadrados Resposta pessoal.

2 Por que é mais fácil ampliar ou reduzir uma imagem quando a dividimos em quadrados?

Grandezas diretamente proporcionais

Você já viu que duas grandezas podem se relacionar por meio de uma razão. Agora vamos analisar a relação entre a variação das medidas de duas grandezas.

Alguém pode dar um exemplo de duas grandezas que variam da mesma maneira? Isto é, quando uma aumenta, a outra também aumenta; quando uma diminui, a outra também diminui, sempre na mesma razão.

Orientações

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EF07MA17 e EF07MA29

Se comprarmos

1 kg de feijão, pagaremos

R$ 4,00; se comprarmos metade, pagaremos a metade do primeiro preço. Já se comprarmos o dobro de feijão, 2 kg, o preço também dobrará.

Eu posso!

Quando a gente compra feijão, o preço depende da quantidade de feijão comprada, não é?

Quantidade adquirida e preço são, então, grandezas diretamente proporcionais.

Vale observar que a ideia de grandeza está associada a tudo o que pode ser medido ou contado, como comprimento, tempo, temperatura, massa, preço ou idade. Comente que, para duas grandezas serem diretamente proporcionais, não é suficiente que o aumento de uma leve ao aumento da outra. Para isso ocorrer é necessário que, ao multiplicar uma delas por um número real diferente de zero, a outra também seja multiplicada por esse número, acarretando um aumento proporcional de ambas; ou, ao dividir uma delas por um número real diferente de zero, a outra também seja dividida por esse mesmo número, acarretando uma variação proporcional de ambas as grandezas.

Resolução de Pense e responda

Sugestões:

• Se para fazer um lençol usamos 2 metros de um tecido, para fazer 3 lençóis utilizaremos uma quantidade de tecido 3 vezes maior (3 . 2 = 6), ou seja, 6 metros.

• Se um automóvel percorre 200 km com 14 litros de combustível, para percorrer 100 km com esse mesmo automóvel utilizará a metade da quantidade de combustível (14 : 2 = 7), ou seja, 7 litros.

É fácil perceber que, quanto maior for a quantidade de feijão comprada, maior será o preço a ser pago por ela. E quanto menor for a quantidade, menor será o preço. Grandezas que apresentam esse tipo de comportamento são diretamente proporcionais.

Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais em que ocorre diminuição das grandezas na mesma razão. Resposta pessoal.

Orientações

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EF07MA17

É muito importante observar que, quando duas grandezas são diretamente proporcionais, é possível obtermos uma constante k ao dividir o antecedente pelo consequente das razões que formam a proporção.

Por exemplo, na proporção

= 2 5 6 15 , a constante é k = 0,4, pois

2 : 5 = 0,4, assim como 6 : 15 = = 0,4.

Faça a interpretação do gráfico com os estudantes, uma representação muito comum no estudo de grandezas.

De modo geral, duas grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente de dois quaisquer valores x e y (não nulos) é constante, ou seja:

= x y k, com k constante e k q 0.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento ou a diminuição de uma corresponde ao aumento ou à diminuição da outra, na mesma razão.

Veja a seguir a representação gráfica das grandezas quantidade (q) e preço do feijão (p).

Observe que os pontos marcados estão alinhados e, assim, podemos traçar uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano e contém esses pontos.

Determinando a razão entre os números que representam o preço e a respectiva quantidade de feijão, verificamos que as razões são iguais. Veja:

O quociente 4 é uma constante chamada fator ou constante de proporcionalidade

A sentença algébrica que expressa essa relação é: 4 p q = ou p = 4q

Observe que os números relativos ao preço são quatro vezes maiores que os números relativos à quantidade de feijão. O fator de proporcionalidade, nesse caso, é uma razão que indica o preço por quilograma de feijão (R$ 4,00 por quilograma).

Dizemos também que os números da sequência 2, 4, 8, 12 e 16 são diretamente proporcionais aos números da sequência 1 2 , 1, 2, 3 e 4.

Grandezas inversamente proporcionais

Você viu que, quando duas grandezas aumentam ou diminuem na mesma razão, elas são diretamente proporcionais. Vamos conhecer outra maneira de relacionar duas grandezas? Veja a situação a seguir.

Orientações

EF07MA17

Por exemplo, em um percurso entre duas cidades, se formos mais devagar, a uma velocidade baixa, demoraremos mais tempo para chegar,mas se formos em uma velocidade maior, chegaremos mais rápido.

Muito bem! Observem como isso acontece.

Velocidade e tempo são, então, grandezas inversamente proporcionais.

Determinando os produtos dos números que formam cada par do quadro que relaciona velocidade e tempo, verificamos que eles são iguais. Veja:

30 12 = 60 6 = 90 4 = 120 3 = 150 2,4 == x y = 360

Veja a representação gráfica dessas grandezas.

Velocidade (km/h)

Note que, quando a velocidade do carro dobra, o tempo de percurso se reduz à metade; quando a velocidade triplica, o tempo de percurso se reduz à terça parte, e assim por diante.

Ilustrações: Wanderson Souza

Para introduzir o conceito de grandezas inversamente proporcionais, cite situações de fácil compreensão. Por exemplo, quanto mais pintores trabalharem, se todos tiverem a mesma eficácia, menor será o tempo para concluir o trabalho. É possível observar também que, nesse caso, se dobrarmos o número de pintores, e todos trabalharem com a mesma eficácia, o tempo se reduzirá à metade, porque as grandezas horas trabalhadas e número de pintores são inversamente proporcionais.

Resolução de Pense e responda

Sugestão:

O comprimento do passo de uma pessoa e a quantidade de passos necessária para percorrer uma certa distância.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma corresponde à diminuição da outra na mesma razão, ou a diminuição de uma corresponde ao aumento da outra, sempre na mesma razão, ou seja:

120

90

150 Tempo (h)

xyk , com k constante. 60

Dê um exemplo de duas grandezas inversamente proporcionais.

Resposta pessoal.

Orientações

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EF07MA17

Portanto, o produto dos números correspondentes das grandezas inversamente proporcionais é sempre o mesmo e é chamado de constante de proporcionalidade Para essa nova situação, calculamos as razões entre as velocidades e o inverso dos tempos, e veremos que elas são sempre iguais:

É importante destacar que, no caso de grandezas inversamente proporcionais, para obtermos a constante k de proporcionalidade devemos multiplicar o antecedente pelo consequente, pois, se a (antecedente) é inversamente proporcional a b (consequente), então a será diretamente proporcional ao inverso b e, assim, teremos: ==.= k a b

Podemos dizer que os números 30, 60, 90, 120 e 150 são inversamente proporcionais aos números 12, 6, 4, 3 e 2,4, respectivamente.

A sentença algébrica que expressa essa relação é 1 360 x y

= ou x y = 360.

a b ab 1 1

Apresente alguns exemplos para que os estudantes calculem a proporcionalidade inversa.

Acompanhe as situações a seguir.

• A loja de capas de celular de Moacir fez uma promoção. Veja a tabela com os preços.

Admita que o preço seja diretamente proporcional à quantidade de capas de celulares comprados. Que valores x e y representam?

Como o valor a pagar (preço), em reais, é diretamente proporcional à quantidade de capas de celulares compradas, temos:

Outra maneira de resolver é igualando as razões entre a quantidade de capas de celular e o preço, indicadas pelos pares de números correspondentes da tabela: 4 30 8  e 4 3090 x y ==

Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:

=6=.6=6=6= 4 30 8 4   308 4   240 240 4 60 x xxxx

=6=.6=6=6= 4 3090 30 49030360 360 30 12 yyyyy

Logo, x representa R$ 60,00 e y representa 12 capas de celular.

Como 12% equivale à razão 12 100 , ou seja, a cada R$ 100,00 reais há um desconto de R$ 12,00, em R$ 400,00 temos:

• R$ 12,00 de desconto em R$ 100,00;

• R$ 12,00 de desconto em R$ 100,00;

Assim: 12 + 12 + 12 + 12 = 48

• R$ 12,00 de desconto em R$ 100,00;

• R$ 12,00 de desconto em R$ 100,00.

Portanto, em R$ 400,00, o desconto corresponde a R$ 48,00.

Também podemos resolver utilizando a multiplicação,

12% de 400 4 12 100 400 = 48

Logo, o desconto será de R$ 48,00.

As medidas do comprimento e da largura de um retângulo são, respectivamente, 12 cm e 9 cm. Obtenha um novo retângulo com dimensões iguais a 2 3 das medidas iniciais.

As medidas do novo retângulo são:

Comprimento: 2 3 de 12 cm 4 2 3 . 12 = 24 3 = 8 4 8 cm.

Ilustrações: DAE

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA17

Apresente a porcentagem como uma razão de denominador 100, que possibilita determinar, por meio de uma proporção, um valor desconhecido. Por exemplo, para obtermos 20% de 250, podemos montar a proporção = x 20 100250 , em que os antecedentes e consequentes das razões relacionam parte e todo, respectivamente. Com base nessa proporção, é possível mostrar que, para obtermos o valor de x, basta multiplicarmos o todo pela porcentagem, pois:

= x 20 100250 6 100x = 250 . 20

x = 250 20 100 6 x = 250 20%

Retângulo inicial.

Largura: 2 3 de 9 cm 4 2 3 . 9 = 18 3 = 6 4 6 cm. Entra

8 Novo retângulo.

O que a máquina faz Sai 9 cmtransforma em6 cm 12 cmtransforma em8 cm

x = 250 0,20 6 x = 50 É conveniente estimular esse tipo de cálculo, que será muito utilizado tanto na resolução de situações-problema quanto na vida cotidiana. O uso da calculadora pode ser um bom recurso para conferir os cálculos realizados. Mostre mais exemplos e peça aos estudantes que façam essas conferências.

Para aprofundar

Esse artigo discute sobre as metodologias ativas e apresenta modelos capazes de incentivar o protagonismo nos estudantes durante a realização de atividades didáticas, além de indicar possíveis tecnologias digitais para cada um dos modelos ativos apresentados.

• BOTTENTUIT JUNIOR, J. B. Metodologias ativas e tecnologias digitais: propostas pedagógicas para o ensino da matemática. Boletim online de Educação Matemática, Florianópolis, v. 10, n. 19, p. 144-160, fev. 2022. Disponível em: https://www. revistas.udesc.br/index.php/boem/ article/view/21701. Acesso em: 29 abr. 2022.

x

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF07MA17

Na atividade 1, discuta com os estudantes as categorias de classificação solicitadas, pois a identificação delas será fundamental para resolver problemas.

Para obter as respostas do item a da atividade 2, deve-se aplicar a constante de proporcionalidade (8) a cada par de termos apresentados, fazendo a . b = 8 (resposta do item b).

a) 10 b = 8 6 b == 8 10 4 5

4 . a = 8 6 a = 8 4 = 2

1 2 . b = 8 6 b = 8 . 2 = 16

.=6==aa 4 3 8 24 4 6

8 . b = 8 6 b = 8 8 = 1

Resolução da atividade 3 x xx 350 1000 2, 80 350 2  800 8  =6=6=

xx 350 2  800 8  =6=6=

O preço será de R$ 8,00.

Resolução da atividade 4

x xx 2 318 336  12 =6=6=

Foram usados 12 kg de farinha.

Resolução da atividade 5

a) x xx 180 300 15 180 15 30025=6=.6=

xx 15 180 15 30025 =6=.6=4 25 L

b) =6=6= x xx 15 40 180 15 7  200480

=6=6= xx 180 15 7  200480 4 480 km

Resolução da atividade 6

No item a, para obter 3 porções, que é metade do rendimento inicial, as quantidades de todos os ingredientes devem ser divididas por 2. E para obter 18 porções, que é o triplo do rendimento, as quantidades de ingredientes devem ser triplicadas. Os fatores de proporcionalidade são, respectivamente, 1 2 e 3.

Diante da resolução, podemos concluir que, no item c, a resposta é diretamente proporcionais

Explore situações ressaltando que, em uma receita culinária ou em uma formulação médica, as proporções devem ser respeitadas, sendo os componentes grandezas diretamente proporcionais.

Atividades

1 Em cada item a seguir há duas grandezas que se relacionam. Classifiquem-nas em: diretamente proporcional (DP), inversamente proporcional (IP) ou não proporcional (NP).

a) A idade de uma pessoa e a massa de seu corpo.

b) A distância que um carro percorre a uma velocidade constante e o tempo de percurso.

c) A quantidade de pessoas para executar uma tarefa e o tempo para fazê-la.

d) A medida do lado de um triângulo equilátero e o perímetro desse triângulo. DP

e) Expliquem como chegaram a essas conclusões.

Resposta pessoal.

2 No quadro a seguir, os valores de a e b correspondentes são inversamente proporcionais e sabe-se que a constante de proporcionalidade é 8.

a) Copie o quadro, no caderno, e complete-o com os números que faltam.

b) Escreva a sentença algébrica que expressa a relação entre a e b

3 Se uma garrafa de água de 350 mL custa R$ 2,80, qual é o preço, em reais, diretamente proporcional ao de uma garrafa de 1 L?

4 Em uma cozinha gasta-se, mensalmente, farinha e açúcar na razão 2 3 . Se o gasto de açúcar no mês de abril foi de 18 kg, quantos quilogramas de farinha foram gastos nesse mês?

5 Em um percurso de 180 km, um carro consome 15 L de etanol.

a) Se esse veículo percorrer 300 km nas mesmas condições, quantos litros de etanol consumirá?

b) Com 40 L de etanol, quantos quilômetros esse carro percorrerá nas mesmas condições?

6 Veja os ingredientes de uma receita de bolo de banana com rendimento de 6 porções.

Ingredientes

• 2 xícaras de aveia em flocos;

• 4 bananas bem maduras amassadas com o garfo;

• 3 ovos;

• 1 2 xícara de óleo;

• 1 xícara de uvas-passas;

• 1 colher (sopa) rasa de canela em pó;

• 2 colheres (sopa) de fermento.

Modo de fazer

Bater tudo no liquidificador, exceto o fermento, que deve ser acrescentado ao final. Misturar bem a massa. Levar ao forno a 180° por 30 minutos.

a) Como fazer para que a receita tenha um rendimento de três porções? E de 18 porções?

Dividir os ingredientes por 2; multiplicar por 3.

b) Que fator de proporcionalidade você usou no item a para obter as outras quantidades de ingredientes em cada caso?

c) As grandezas “ingredientes” e “rendimento” são direta ou inversamente proporcionais?

Diretamente proporcionais.

a) Verifiquem se o preço a pagar é diretamente proporcional à quantidade comprada. Justifiquem a resposta.

Não, pois a razão de proporcionalidade entre as massas e os preços não é a mesma.

b) Ao fixar esses preços, o comerciante está dando desconto para quem compra mais? Justifiquem a resposta.

Sim, pois 3 kg deveria custar R$ 11,40 e 5 kg custar R$ 19,00.

8 As medidas dos lados de um retângulo são iguais a 10 cm e 15 cm. Obtenha um novo retângulo que tenha as medidas dos lados iguais a:

a) 3 5 das medidas do retângulo inicial;

b) 7 5 das medidas do retângulo inicial.

c) Em quais dos casos anteriores o novo retângulo é uma ampliação do retângulo inicial? Justifique sua resposta.

9 Para construir certo trecho de uma estrada foram utilizados 20 caminhões de 4 m3 de areia. Quantos caminhões de 5 m3 seriam necessários para concluir o mesmo trabalho?

10 Em uma fábrica, 8 eletricistas conseguem fazer toda a instalação elétrica em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas, mantendo o mesmo ritmo, para concluir o mesmo trabalho? 4

11 O coração humano bate, em média, 120 000 vezes por dia. Qual é o número de vezes que, desde o nascimento, já bateu o coração de uma pessoa ao completar 13 anos? Considere que cada ano tem 365 dias.

12 O triplo de um número racional adicionado a 20% desse número é igual a 64. Qual é esse número?

13 Observem os quadriláteros a seguir.

Para cada um desses quadriláteros, determinem a razão entre: Respostas no Manual do Professor.

a) o comprimento e a largura;

b) o perímetro e a área.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA17

Sugerimos orientar os estudantes para que realizem as atividades 7 a 13 em duplas, ou trios, para a discussão das estratégias de resolução.

As atividades propostas exploram esse assunto, e é possível apresentarmos opções para a resolução utilizando as definições de “aumento” e “desconto”.

Resolução da atividade 7

b) Sim, pois, comprando mais o preço do quilograma diminui. Resolução da atividade 8

a) 3 5 . 10 = 6; 3

b)

. 15 = 9

Resolução da atividade 9 Essas grandezas são inversamente proporcionais.

Caminhões m3

20 4

x 5

• Logo: 20 . 4 = 5x 6 x = 16

Serão necessários 16 caminhões. Resolução da atividade 10 Essas grandezas são inversamente proporcionais. Logo, temos que: Eletricistas Dias 8 3

6 x

8 3 = 6x 6 24 = 6x 6 x = 4

Resolução da atividade 11 Primeiro, vamos determinar quantos dias há em 13 anos. Chamando de x esse número de dias, temos:

Anos Dias

1 365 13 x

x = 13 365 = 4 745 4 4 745 dias

Depois, determina-se quantas vezes o coração bateu em 4 745 dias:

Dias Batidas

1 12 000 4 745 y y = 4 745 . 12 000 = 56 940 000 O coração bateu 56 940 000 vezes Resolução da atividade 12 3x + 0,2x = 64 6 3,2x = 64 x = 20

c) No item b, porque 7 5 = 1,4.

A ampliação foi de 40%.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA17

Resolução da atividade 14

Considerando a como a medida do lado do quadrado menor, temos:

14 O retângulo de dimensões x e y mostrado a seguir foi decomposto em quadrados. Qual é o valor da razão x y ? 5 3

Daí vem:

== x y a a 5 3 5 3

Portanto, a razão é = x y 5 3

Resolução da atividade 15

Carro I:

=4 195 20 9,75 9,75  km/ litro

Carro II: =4 96 12 88 km /litro

15 (ENEM) O presidente de uma empresa, com o objetivo de renovar sua frota de automóveis, solicitou uma pesquisa medindo o consumo de combustível de 5 modelos de carro que usam o mesmo tipo de combustível. O resultado foi:

Carro I: deslocamento de 195 km consumindo 20 litros de combustível;

Carro II: deslocamento de 96 km consumindo 12 litros de combustível;

Carro III: deslocamento de 145 km consumindo 16 litros de combustível;

Carro IV: deslocamento de 225 km consumindo 24 litros de combustível;

Carro V: deslocamento de 65 km consumindo 8 litros de combustível.

Para renovar a frota com o modelo mais econômico, em relação à razão quilômetro rodado por litro, devem ser comprados carros do modelo: Alternativa a

a) I.

145 16 9, 0628 9, 0628  km/ litro

Carro III: =4 4

Carro IV: =4 225 24 9, 375 9, 375  km/ litro

Carro V: =4 65 8 8,125 8,125  km/ litro

Concluímos, então, que o mais econômico é o carro I.

Alternativa a Resolução da atividade 16

Como 18 m = 1 800 cm, temos: === 24 800  cm 24

1  800 2 150

Portanto, para que o comprimento dessa quadra meça 24 cm, a escala deve ser 2 : 150.

Alternativa e

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

16 (UNCISAL) Criado em 1895, o vôlei é um esporte de origem norte-americana e de popularidade significativa em grande parte do mundo. Esse esporte, ao longo do tempo, foi sofrendo alterações tanto nas dimensões de sua quadra quanto em suas regras. A primeira quadra de voleibol tinha 15,24 m de comprimento por 7,62 m de largura. Atualmente, as medidas oficiais são 18 m de comprimento por 9 m de largura. Um aluno deseja representar uma quadra oficial em seu caderno utilizando uma escala adequada. Para que em seu desenho o comprimento dessa quadra meça 24 cm, a escala deve ser:

Alternativa e

a) 1: 1 500.

b) 2: 1 500.

c) 1: 125.

d) 1: 150.

e) 2: 150.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA17. Sugerimos que sejam realizadas em grupo para que, juntos, os estudantes possam discutir as estratégias de solução.

Resolução da atividade 19

Máquina 1: 35 5 = 175 4 4 175 segundos.

Máquina 2: 25 . 6 = 150 4 150 segundos.

Máquina 3: 22 . 7 = 154 4 154 segundos.

Máquina 4: 40 4 = 160 4 160 segundos.

Máquina 5: 20 8 = 160 4 160 segundos.

Daí, concluímos que o passageiro deverá se dirigir à máquina 2. Alternativa b

19 (ENEM) Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raios X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura.

Máquina 3 22 segundos 7 pessoas

Máquina

Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no instante indicado, visando esperar o menor tempo possível, deverá se dirigir à máquina:

Alternativa b

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

20 (FACESG-RJ) Observe, na imagem, a alteração de “peso” informada na embalagem de certo pacote de biscoito.

Peso (g)Preço (R$) 156 5,20 144 x x 156 144 5, 20 = 156 x = 144 . 5,20 6 156 x = = 748,8 6 x = 4,8

passará a custar

Há vezes em que o “peso” é reduzido sem que o preço do produto seja alterado, o que representa um aumento disfarçado de preço.

Suponha que o pacote desse biscoito custava, antes da redução do “peso”, R$ 5,20. Se a mesma proporção da redução do “peso” for aplicada ao preço do biscoito, esse pacote passará a custar, em reais: a) 4,90. b) 4,80. c) 4,70. d) 4,60. e) 4,50.

Alternativa b

RS 4,80.

Vendas

a) Sabendo que a quantidade de vendas do produto e o valor recebido são diretamente proporcionais, copiem, no caderno, e completem a tabela com os números que faltam.

b) Qual é a constante de proporcionalidade?

c) Escrevam a sentença matemática que relaciona as variáveis x e y

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA17

Resolução da atividade 22

d) Elaborem duas perguntas com base nos dados da tabela e troquem com outro grupo para que respondam às suas perguntas. Depois de finalizado, conversem sobre como foi o processo de resolução.

1 6 xy = Resposta pessoal.

22 O gráfico a seguir representa o tempo x, em horas, que seria gasto por um carro que mantém sempre a mesma velocidade y, em quilômetros por hora, para percorrer uma distância de 240 quilômetros.

120 y (km/h) 0246 x (h)

De acordo com os dados do gráfico, responda:

Luca Navarro

a) Inversamente proporcionais, pois 2 120 = 4 60 = = 6 40 = 240

b) A constante de proporcionalidade é 240 e representa a distância que será percorrida.

c) Fazendo x = 3h, vem: 3 . y = 240 y = 80 4 80 km/h

Resolução de Lógico, é Lógica! Considerando as informações da primeira sentença, obtemos duas possibilidades, em que uma delas é verdadeira.

a) As grandezas x e y são diretamente ou inversamente proporcionais. Por quê?

b) Qual é a constante de proporcionalidade?

c) Qual é o valor de y quando x é 3 horas?

logico, é logica!

Diretamente proporcionais, pois

2 . 120 = 4 . 60 = 6 . 40 = 240 240 80 km/h

(PUC-CAMP-SP) Cinco meninas, Ana, Beatriz, Catarina, Daniela e Elvira, estão brincando de mãos dadas, formando uma ciranda. Cada uma delas está com um vestido de cor diferente das demais.

• A menina de vestido branco está de mãos dadas com Ana e Elvira.

• A menina de amarelo está de mãos dadas com suas amigas que vestem branco e cinza.

• Beatriz tem ao seu lado a menina com vestido da cor cinza e a menina de vestido esverdeado.

• Elvira está de mãos dadas com Catarina e a menina de vestido dourado.

O nome da menina que está com vestido da cor cinza é:

a) Ana.

b) Beatriz.

c) Catarina.

Alternativa d 60

d) Daniela.

Elvira

Ana Branco Branco

ou

Elvira Ana

Considerando as informações da segunda sentença, obtemos mais duas possibilidades, em que novamente uma delas é verdadeira.

AnaAmarelo

Cinza Cinza ou

ElviraAmarelo

Branco Branco

Elvira Ana

Considerando as informações da terceira sentença, obtemos mais duas possibilidades, sendo uma delas verdadeira.

AnaAmarelo

Cinza Cinza ou

ElviraAmarelo

Branco Branco

ElviraEsverdeado AnaEsverdeado Beatriz Beatriz

Finalmente, considerando as informações da quarta sentença, obtemos outra vez duas possibilidades, mas agora podemos definir qual delas é a verdadeira.

AnaAmarelo

DanielaCinza DanielaCinza ou

ElviraAmarelo

CatarinaBranco CatarinaBranco

ElviraEsverdeado AnaEsverdeado BeatrizDourado BeatrizDourado

Observe que a segunda proposição não atende à quarta sentença. Alternativa d

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Objetivos do capítulo

• Resolver problemas de contagem que envolvam árvores de possibilidades.

• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da probabilidade de determinado evento.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 3, 6 e 10

Competências específicas 3

Habilidade EF07MA34

Foco nos TCTs

• Educação ambiental

Orientações

O capítulo trata de problemas de contagem e cálculo de probabilidades, introduzindo o estudo da análise combinatória, conteúdo a ser explorado e formalizado no Ensino Médio. Espera-se que os estudantes já tenham tido contato com esse tipo de problema ao estudar a multiplicação de números naturais.

Explore a resolução de problemas de contagem com uma abordagem que possibilite aos estudantes utilizar seu raciocínio e sua habilidade para solucionar problemas por meio de figuras, representações, tabelas ou multiplicações, sem o uso de fórmulas.

Para que eles se familiarizem com os conceitos básicos e a terminologia do estudo da probabilidade, você pode citar atividades cotidianas que envolvam probabilidade, promovendo discussões sobre o caráter aleatório de diversos fenômenos comuns, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EF07MA34

Se achar oportuno, amplie o exemplo do Para começar, sorteando alguns estudantes aleatoriamente para resolver algumas atividades. Use papéis com o nome dos estudantes e, sempre que sortear alguém, ponha o papel de volta, deixando claro que é possível sortear a mesma pessoa novamente, mas que nem sempre isso acontecerá.

Experimentos aleatórios

A professora Regina sempre começa as aulas de Matemática sorteando, aleatoriamente, 5 estudantes para ir à lousa durante a aula ajudar a responder às atividades. As aulas dela são às terças e quintas-feiras.

Na semana passada, Tatiana foi sorteada duas vezes seguidas e, ao final da semana, ela falou para os colegas: “Aposto que na semana que vem eu serei sorteada de novo”.

• É possível prever, com certeza, que Tatiana será sorteada novamente? Não.

• Com a mediação do professor, apresente sua opinião aos colegas e ouça as opiniões deles. Resposta pessoal.

Experimentos aleatórios e árvore de possibilidades

As situações cujos resultados não podemos prever são chamadas de experimentos aleatórios, já que só conheceremos com certeza o resultado depois que o experimento for realizado.

Assim, o que podemos fazer nessas situações de experimentos aleatórios é estimar os diferentes resultados possíveis que podem acontecer. Um meio de fazer isso é usando um diagrama denominado diagrama de árvore ou árvore de possibilidades

O diagrama de árvore nos ajuda a encontrar e visualizar melhor o espaço amostral, que é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e é representado pela letra grega ômega maiúscula (Ü). Um subconjunto do espaço amostral é chamado de evento

No caso do sorteio dos estudantes da professora Regina, o espaço amostral é o conjunto de todos os grupos de 5 estudantes que podem ser sorteados a cada aula. Cada grupo de 5 estudantes é um evento desse espaço amostral. Para estimar ou calcular a probabilidade de alguns experimentos aleatórios, é preciso recordar como se obtém a probabilidade teórica

A probabilidade de um evento A acontecer é dada pela seguinte expressão:

pA An A n () número de resultados favoráveis    número total  de resultados possíveis

=== ΩΩ

número de elementos de número de elementos de () ()

Essa fórmula também é conhecida como probabilidade clássica

Veja a aplicação dessa fórmula.

Joana lança uma moeda para o alto três vezes, sucessivamente.

a) Quantos e quais são os resultados possíveis desse experimento?

Considerando K = cara e C = coroa, vamos construir a árvore de possibilidades para contar os casos possíveis e os casos favoráveis. São três etapas (três lançamentos) equiprováveis. Assim, temos:

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA34

K 4 (K, K, K)

K

C 4 (K, K, C)

1? 2? 3? resultados possíveis C

K C

K 4 (K, C, K)

C 4 (K, C, C)

K 4 (C, K, K)

Ao resolver as atividades dessa seção, é possível que alguns estudantes apresentem a probabilidade como a razão entre os resultados favoráveis e os possíveis, que poderão ser enumerados com base na representação da árvore de possibilidades. Ressalte a importante diferença entre probabilidade e possibilidade para evitar que os estudantes confundam esses conceitos.

K

C 4 (C, K, C)

K 4 (C, C, K)

C 4 (C, C, C)

C Os resultados possíveis, ou seja, o espaço amostral é formado pelas 8 sequências indicadas.

b) Qual é a probabilidade de se obter exatamente uma cara?

De 8 resultados possíveis, os que apresentam exatamente uma cara são: (K, C, C ), (C, K, C ) e (C, C, K ), ou seja, são 3 casos favoráveis. Logo, a probabilidade é igual a:

p = 3 8 ou p = 0,375 ou p = 37,5%.

1 Alexandre vai escolher uma camiseta e uma bermuda. Ele dispõe das peças de roupa a seguir. Camisetas: amarela, preta, branca e verde; bermudas: preta e branca.

a) Construa a árvore de possibilidades de combinação para as roupas disponíveis.

Resposta no Manual do Professor.

b) Quantas possibilidades de combinação Alexandre pode ter?

c) Se ele escolher ao acaso uma combinação, qual é a probabilidade de ser camiseta preta com bermuda branca?

1

d) Qual é a probabilidade de ele escolher, ao acaso, uma combinação de roupas somente na cor branca?

e) Se Alexandre decidir retirar as peças de cor preta, quantas possibilidades de combinações ele passa a ter?

Na atividade 1, você pode explorar a representação da árvore de possibilidades, como mostramos na resolução do item a, expondo o princípio multiplicativo como uma forma de obter os resultados.

a) A: camiseta amarela; B: camiseta preta; C: camiseta branca; D: camiseta verde; E: bermuda preta; F: bermuda branca.

(A, E)

DAE

c) Uma em oito possibilidades: = 1 8 0,125

d) Uma em oito possibilidades: = 1 8 0,125

e) Retirando as peças de cor preta, ele terá 1 bermuda e 3 camisetas: 1 . 3 = 3

f) Resposta pessoal.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA34

Na atividade 2, comente como uma probabilidade pode ser representada: por um número racional ou por um percentual. Assim, você deve orientar os estudantes para que, sempre que possível, apresentem esse resultado também no percentual. Veja a resolução a seguir:

a) 3 candidatos a noivo e 2 candidatas à noiva: 3 . 2 = 6

b) 2 6 o 33,3%

c) 3 6 = 50%

d) 1 6 o 16,7%

e) Resposta pessoal. Aproveite o contexto para perguntar aos estudantes se conhecem ou já ouviram falar dessa importante manifestação cultural brasileira.

A temática abordada na atividade favorece o desenvolvimento das competências gerais 3 e 6 Resolução da atividade 3

a) Em dois lançamentos pode ocorrer: KC; KK; CC; CK. Há 1 em 4 possibilidades: 1 4 = 0,25 ou 25%.

b) Em três lançamentos pode ocorrer: KKK, KKC, KCK, KCC, CCC, CKC, CKK, CCK. São 3 de 8 possibilidades: = 3 8 0, 375 ou 37,5%.

c) P(K) = 1 2 = 0,5 = 50%;

P(Face 5) = 1 6 o 0,17 = 17%

0,5 0,166 o 0,0083 ou o 8,3%

P(C) = 1 2 = 0,5 = 50%;

P(número maior do que 2): 4 6 = 0,666... o 0,666

0,5 . 0,666 = 0,333... o 33,3%

O item c refere-se ao lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado. Nesse caso, é necessário calcular a probabilidade de ocorrer determinado resultado no lançamento da moeda e no lançamento do dado, e as probabilidades devem ser multiplicadas para obter o valor da probabilidade de os eventos ocorrerem simultaneamente.

2 Leiam o texto a seguir.

O Estado do Piauí já é conhecido nacionalmente por realizar uma das maiores festas populares do Brasil, o Encontro Nacional de Folguedos, que já é referência no calendário brasileiro das Festas Juninas, sendo uma grande vitrine para as manifestações da cultura popular.

O evento hoje é palco de grandes manifestações culturais, e anualmente participam não apenas grupos locais, mas de todo o país. O Encontro de Folguedos é realizado desde 1974 pelo Governo do Estado através da Fundação Cultural do Piauí (Fundac) [...].

TELES, Mírian. Festival de Quadrilhas dos Folguedos premiará melhores grupos. Diário Oficial [do] Estado do Piauí, Teresina, ano LXXXI, n. 93, p. 1, 18 maio 2012. Disponível em: http://www.diariooficial.pi.gov.br/diario/201205

Para a Festa Junina da escola, há três candidatos a noivo e duas candidatas a noiva.

Sabendo-se que será sorteado o primeiro casal:

a) Quantos são os casais possíveis?

b) Qual é a probabilidade de Faustino ser sorteado?

c) Qual é a probabilidade de Francisca ser sorteada?

d) Qual é a probabilidade de o casal sorteado ser formado por Faustino e Francisca?

e) Conversem sobre como foi o processo de resolução. Resposta pessoal.

3 Bárbara, Carlos e Eduardo são três amigos que adoram fazer lançamentos com dados e moedas para calcular probabilidades.

a) Bárbara lança uma moeda duas vezes. Qual é a probabilidade de ela obter duas caras?

b) Eduardo lança uma moeda três vezes. Qual é a probabilidade de ele obter exatamente uma coroa?

c) Carlos lança uma moeda e um dado, simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer:

• cara e número 5? o 8,3%

• coroa e número maior que 2? o 33,3%

4 Quatro estudantes, Valdir (V), Jurandir (J), Caio (C) e Edgar (E) disputam uma corrida. Supondo que todos terminem a corrida, responda às questões a seguir.

a) Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?

b) Qual é a probabilidade de Valdir chegar em primeiro lugar?

c) Qual é a probabilidade de Caio chegar em segundo lugar e Jurandir em primeiro?

5 No jogo "pedra, papel ou tesoura", os jogadores devem mostrar a mão de uma das maneiras a seguir.

Regras

• Pedra ganha de tesoura.

• Tesoura ganha de papel.

• Papel ganha de pedra.

• Se os jogadores colocarem as mãos da mesma forma, há empate e jogam de novo.

Suponham que Marjorie jogue com Viviane.

a) Quantos e quais são os resultados possíveis?

b) Qual é a probabilidade de Marjorie ganhar? E de ocorrer empate?

o 0,083 Resultados no Manual do Professor. 1 3 ;  1 3

c) Mostrem que esse jogo é equitativo, ou seja, ambos têm a mesma probabilidade de ganhar.

6 As dez cartelas numeradas representadas a seguir foram colocadas em uma caixa.

A probabilidade de Viviane ganhar também é 1 3

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores: 1 e ele mesmo.

a) Se retirarmos uma cartela dessa caixa, qual é a probabilidade de ser uma cartela com um número primo?

b) Se forem retiradas duas cartelas dessa caixa, simultaneamente e ao acaso, qual é a probabilidade de que a soma dos valores das cartelas retiradas seja 7 ou 10?

c) Se forem retiradas três cartelas dessa caixa, simultaneamente e ao acaso, qual é a probabilidade de que a soma dos valores das cartelas retiradas seja 11?

7 Deseja-se criar uma senha para usuários de um sistema. A senha deve começar com uma letra escolhida entre estas cinco: A, B, C, D e E; seguida de um algarismo escolhido entre 0, 2 e 4. Por exemplo: A2.

a) Quantas senhas poderão ser formadas?

b) Qual é a probabilidade de um usuário ter a senha C4? o 6,7%

8 Uma empresa produz cofres com códigos de segurança de cinco símbolos: duas vogais e três algarismos.

a) Quantos cofres podem ser produzidos com esse tipo de código?

b) Qual é a probabilidade de uma pessoa que esqueceu completamente o código de seu cofre acertar o código correto na primeira tentativa? o 0,04%

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA34. Proponha a realização em duplas ou pequenos grupos.

Incentive os estudantes a utilizar diagramas para encontrar a solução de problemas de contagem, ainda que seja para compará-las com o resultado obtido por meio de cálculos. Por exemplo, a representação da árvore de possibilidades propicia a compreensão do princípio multiplicativo, amplamente utilizado para solucionar problemas.

Resolução da atividade 4

a) Usando o princípio fundamental da contagem temos:

4 3 2 1 =24 possibilidades.

b) A possibilidade é de um quarto ou 0,25 ou 25%.

c) Restam as possibilidades J, C, V, E ou J, C, E, V. Como são duas possibilidades, temos:

oo 2

4 0, 083  ou   8 ,3%

Resolução da atividade 5

a) Há 9 resultados possíveis: 3 situações de vitória da Marjorie, 3 situações de vitória da Viviane e 3 situações de empate.

b) e c) Há 3 resultados possíveis: vitória de Marjorie, vitória de Viviane, empate. Portanto, cada resultado tem 1 3 probabilidade de ocorrer.

Se achar conveniente, forme grupos com cinco estudantes para desenvolver a atividade de forma prática, brincando de “pedra, papel e tesoura”, brincadeira antiga e popular.

Resolução da atividade 6

a) São 4 cartelas com números primos: 2, 3, 5 e 7.

Logo: == P 4 10 0, 40  ou  40%

b) Retirando-se 2 cartelas são 10  . 9 = 90 resultados possíveis.

Daí vem:

Soma 7: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 6 e 1, 5 e 2, 4 e 3 (seis resultados).

Soma 10: 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6, 9 e 1, 8 e 2, 7 e 3, 6 e 4 (oito resultados).

Ao todo são 14 resultados (6 + 8).

Logo:

=oo P 14 90 0,156  ou  15 ,6%

c) Retirando-se três cartas simultaneamente, sem reposição, o espaço amostral será

10 . 9 . 8 = 720. As três cartelas com soma 11 são:

• 1, 2, 8; 1, 8, 2; 2, 1, 8; 2, 8, 1;

São 30 resultados possíveis. Logo: == P 30 720 0, 042  ou  4, 2%

Resolução da atividade 7

a) Como são 5 letras e 3 números, temos:

5 3 = 15 senhas.

b) Como a senha C4 corresponde a uma possibilidade, temos:

oo 1 15 0, 067  ou  6,7%

Resolução da atividade 8

a) Os códigos têm duas vogais (são cinco vogais ao todo) e 3 algarismos (são dez algarismos ao todo).

5 5 10 10 10 = 25 000 códigos.

b) = 1 25 000 0, 00004  ou  0, 004%

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA34

Discuta com os estudantes o significado do conceito de probabilidade, dando exemplos de experimentos aleatórios, como: a probabilidade de chover hoje; a Probabilidade de retirar uma bola de determinada cor de dentro de um saco com bolas coloridas etc. No caso de alguns espaços amostrais como resultados de lançamento de moedas ou dados, sorteio de cartas do baralho etc., tente sempre trazer esses objetos para serem trabalhados de maneira concreta.

Para que os estudantes se familiarizem com o cálculo da probabilidade e o apliquem, você pode pedir que determinem qual seria a probabilidade, na realização de um sorteio aleatório, de ser sorteado um estudante do sexo masculino ou do sexo feminino na turma. Vale observar que a soma dessas probabilidades deverá ser 100%.

É muito importante que você faça perguntas sobre o tema, estimulando uma discussão e procurando solucionar as dúvidas que surgirem.

As respostas às atividades 1 e 2 dependem dos resultados dos experimentos realizados pelos estudantes. Se julgar conveniente, peça que comparem os resultados obtidos na atividade 1, especialmente quanto à proximidade com a probabilidade teórica, que é de 50%.

Experimentos aleatórios e cálculo de probabilidades

Nem sempre a probabilidade teórica de um evento coincide com a probabilidade experimental, ou seja, aquela obtida após um experimento aleatório. Compare as duas probabilidades no exemplo a seguir.

A probabilidade teórica de sair cara no lançamento de uma moeda é p = 1 2 ou 50%. Paula lançou uma moeda 10 vezes e obteve 2 caras e 8 coroas. Assim, após o experimento ela verificou que a probabilidade de sair cara foi 2 10 1 5 = , ou 20%, diferente do resultado da probabilidade teórica. Isso ocorreu porque o experimento é aleatório; portanto, não é possível garantir qual será o resultado.

1 Reproduzam o quadro abaixo, no caderno, joguem uma moeda e escrevam os resultados de 20  lançamentos sucessivos. Usem a letra C para coroa e K para cara.

Com base nos resultados, respondam às questões.

a) Em quantos desses 20 lançamentos saiu:

• cara? • coroa?

Expressem o resultado na forma de fração e na forma percentual.

Respostas condicionadas aos resultados dos lançamentos no experimento dos estudantes.

b) Qual foi o resultado que mais se aproximou de 50%, ou seja, da probabilidade teórica?

2 Construam uma roleta com um número par de setores. Depois, pintem, os setores de três cores diferentes – azul, vermelho e branco –, na quantidade que quiserem de cada cor.

a) Qual é a probabilidade teórica de:

Respostas condicionadas à quantidade de setores da roleta dos estudantes.

• sair a cor azul? • sair a cor vermelha? • sair a cor branca?

b) Agora, girem a roleta 30 vezes. Anotem os resultados e depois respondam quantas vezes saiu a cor:

• azul? Expressem esse resultado em uma probabilidade.

• vermelha? Expressem esse resultado em uma probabilidade.

• branca? Expressem esse resultado em uma probabilidade.

c) Comparem o resultado da probabilidade experimental com a probabilidade teórica de sair cada cor e digam qual delas se aproximou mais da probabilidade teórica.

3 No lançamento de um dado de forma cúbica, de faces com pontos de 1 a 6, a probabilidade de sair cada um desses números no lançamento, ao acaso, é igual a 1 6 , ou aproximadamente 17%.

Agora, em grupo de quatro estudantes, vocês vão lançar um dado igual a esse 100 vezes, anotar e completar os resultados em um quadro semelhante ao do modelo a seguir.

Número obtido ContagemFrequência absolutaFrequência

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA34. Proponha a realização em duplas.

A atividade 3 introduz a representação de uma tabela de frequências na qual os estudantes deverão representar: a contagem da maneira que acharem conveniente; a frequência absoluta, ou seja, o número de vezes que o evento ocorreu; e a frequência relativa, que é o percentual referente à ocorrência do evento.

As respostas dependerão dos resultados obtidos na realização do experimento.

Resolução da atividade 4

a) Como há 4 opções de bebida e 4 opções de sanduíche, temos: 4 . 4 = 16; 16 combinações

Com base nos dados registrados no quadro, respondam às questões.

a) Qual foi o número que saiu:

• mais vezes?

• menos vezes?

b) Nos cem lançamentos, qual foi a probabilidade de sair o número:

• 3?

• 5?

c) De que número foi a probabilidade que mais se aproximou de 17%?

d) Façam uma análise dos resultados obtidos.

Respostas condicionadas aos resultados obtidos nos lançamentos feitos pelos estudantes.

4 Com um colega, montem as combinações possíveis considerando as opções de lanche a seguir. Vocês podem construir a árvore de possibilidades. O lanche deve ter uma bebida e um sanduíche.

Sanduíches

• Atum

• Peito de peru

• Queijo

• Natural

Bebidas

• Suco de laranja

• Suco de uva

• Suco de abacaxi

• Chá gelado

a) Quantas combinações de lanche é possível obter?

b) Qual é a probabilidade de ser escolhida a combinação “Sanduíche natural e chá gelado”?

b) = 1 16 0,625  ou  6, 25%

c) Resposta a depender do experimento.

Atividades complementares

Para trabalhar a tabela de frequências, peça que, em grupos, os estudantes selecionem um trecho com 100 letras de um texto qualquer e enumerem a ocorrência de cada letra do alfabeto, montando uma grande tabela, como a que aparece na atividade 3. Nela, eles devem registrar os resultados obtidos, a frequência absoluta e a frequência relativa da ocorrência de cada evento.

6,25% Respostas pessoais.

c) Numerem essas combinações, anotem os números em pedacinhos de papel e coloque-os em uma sacola. Sorteiem aleatoriamente um número. Que combinação saiu? Expressem essa combinação em probabilidade.

Essa atividade, além de promover a familiaridade com a tabela de frequências, possibilita aos estudantes, pela comparação dos resultados obtidos pelos grupos, chegar a algumas conclusões curiosas e interessantes sobre a ocorrência de determinadas letras em um texto qualquer.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA34

Resolução da atividade 5 Retome que, se um dado com as faces numeradas de 1 a 6 for lançado ao acaso, qualquer número de uma de suas seis faces tem igual probabilidade de aparecer.

a) Modelo de quadro:

2? dado