A geometria Fractal da Natureza

Olhem estas imagens aí em cima, por favor! Não há como não ficar maravilhado com cada uma delas, não é mesmo? Estes são exemplos de criações que você encontra na natureza. São plantas, flocos de neve, alimentos, organismos humanos. Todos eles seguem um mesmo padrão, recorrente na terra. Bernoit Mandelbrot fez a seguinte provocação : "Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta". (Benoît Mandelbrot, em seu livro " The Fractal Geometry of Nature " - 1983). Eu tenho o privilégio de ter um exemplar impresso do livro dele, e diria que se trata de uma obra de arte, além de um manifesto científico. A capa do livro já mostra como será dentro dele, com um belíssimo fractal de Julia, provavelmente um dos mais belos fractais existentes.

O que Mandelbrot desejou nos ensinar foi que a matemática utilizada para descrever os objetos criados pelo homem não pareciam as mesmas que deveriam se usadas para descrever a natureza. Os objetos manufaturados tendem a seguir formas geométricas definidas pelas matemática tradicional, como quadrados, triângulos ou círculos. Mas quando olhamos para a natureza, nenhum deles parece seguir este tipo de padrão matemático. O que ele questionou foi se seria possível existir algum tipo de matemática que representasse coisas da natureza. Na verdade a matemática já existia desde muito antes de sua obra, mas ele correlacionou tudo isto de uma forma coerente e bela.

Mas olhe de novo com atenção as imagens acima. Você consegue encontrar algo em comum entre todas elas? Repare que todas as imagens tem uma característica chamada repetição em escala, que é manter a similaridade mesmo olhando um pedaço menor. Se pegar a imagem do canto superior esquerdo, uma folha, e retirar um dos galhos, parece ainda igual ao todo. E se retirar um galho deste galho, ainda parece uma folha. Este tipo de imagem com repetição em escala, parece nos atrair e fascinar.

Mas pense bem, será que é tão incomum assim? A natureza sempre usou padrões repetitivos para criar a vida. Olhe esta outra imagem aqui :

Ela é a proteção de um tipo de caracol marinho chamado Nautilus. Ele começa se desenvolvendo criando câmeras menores para sua concha, e conforme o animal vai crescendo, o mesmo padrão se repete, mas em uma escala um pouco maior (afinal ele cresceu), e segue assim ao longo da vida. Se observar bem um brócolis, ele começa como um pequeno galho, e quando evolui novos galhos são criados, com os mesmos padrões que criaram o primeiro galho. Este tipo de padrão repetitivo está de novo acontecendo. Algumas vezes algum "defeito" aparece na repetição, talvez causado pelas chuvas, talvez pelo vento, mas ignorando as pequenas e belas imperfeições, a repetição em escala ainda está lá!

Mas como toda esta beleza pode ser criada por um padrão tão simples? Olha só, vou propor uma brincadeira muito legal, que você pode fazer com uma folha de papel. Pegue uma folha comum, e marque três pontos, nos locais onde seriam as pontas de um triângulo. Escreva os números 1,2 e 3 em papeis, e coloque dentro de um saco. Agora começa a brincadeira! Escolha uma das pontas para começar, qualquer uma delas. Sacuda o saco de papel e retire um número. Se sair o número 1, significa que a ponta selecionada é a superior, se sair o número dois, a ponta selecionada é a inferior esquerda, e se sair o número 3 a ponta selecionada é a inferior direita. Trace uma reta imaginária do ponto onde você está para o ponto indicado pelo papel que foi retirado com o número, e marque o ponto exatamente no centro. Este é seu novo ponto "inicial". Coloque o papel de novo dentro do saco, sacuda e faça novamente o mesmo processo, sempre marcado o ponto BEM NO MEIO da reta imaginária entre ponto onde você está agora e o ponto da ponta do triângulo selecionada. Não importa o quanto se repita o processo, ou quantas vezes sairá um 1, 2 ou 3. A imagem final SEMPRE será esta aqui abaixo :

Eu mosto neste artigo aqui as equações que descrevem este fractal. Nunca um ponto irá cair em uma área branca. Nunca MESMO! Este fractal recebe o nome de triângulo de Sierpinsky, e foi criado por um padrão tão simples quanto encontre a metade. Mas, e se adotarmos outros padrões simples, conseguimos outros resultados? Comece com um triângulo em uma folha de papel, e escolha aleatoriamente um lado. Neste lado escolhido, divida em 3 partes, e no trecho central coloque um triângulo com os lados iguais. Repita isto muitas vezes, muita mesmo! Você terá um padrão como este aqui.

Bom, e o que estes padrões tem em especial? Todos eles tem características curiosas, muitas vezes difíceis de serem explicadas. O triangulo de Sierpinky, por exemplo, tem uma área que tende a zero. Ou seja, existem infinitos espaços dentro dele. Seria uma forma ideal para a criação de uma esponja, pois tem muitas áreas de armazenamento. Como ele também tem infinitas "pontas" (tente contar quantas pontas você vê nele), é ideal para antenas de dispositivos móveis (esta é uma aplicação prática).

Já o floco de Kock (este bem aí em cima), tem também características bizarras. Não tem nenhum ponto tangenciável. Ou seja, se tentar traçar uma reta, tocando uma das pontas, sem que a reta encontre outras partes da imagem, será impossível!!!! Acredite porque é verdade. A representação da imagem acima parou em um número de iterações que pode fazer você acreditar que isto seria possível, mas não é. E tem outra característica mais estranha ainda. Faça um circulo em torno do floco acima. Você terá um circulo, e dentro dele o floco. Para o circulo, você pode calcular perfeitamente a área, e o perímetro (o tamanho da linha que forma o círculo). Mas o floco, que está dentro do circulo, tem um perímetro infinito!!!! Ou seja, você colocou um objeto que se esticado tem um tamanho infinito dentro de um objeto que se esticado tem um tamanho finito. Não consigo deixar de pensar no filme homens de preto, onde no pescoço de um gato comum tinha a galáxia de "Orion", uma joia que continha todo um universo dentro dela, ou seja uma área finita contendo um objeto de tamanho infinito :

Existem muitos outros fractais que geram resultados inesperados. Tá bom, mas até agora você só mostrou imagens simples, me mostre algo mais próximo do que existe na natureza? Então olha só, vamos fazer a mesma brincadeira da folha de papel. Mas para este talvez precise de um papel com um quadriculado bem pequeno. Porque para este, os dados do próximo ponto serão calculados a partir do atual. Comece com um ponto de lapis em qualquer lugar do quadriculado! Só que ao invés da metade, como fizemos com o Sierpinky, usaremos algumas equações mais complexas:

Digite estas equações cada uma em um papel, e coloque no saco. Sacuda, retire o papel e trace um ponto de acordo com a equação. Por exemplo, se tivesse colocado o ponto na posição (10,8), ou seja, 10 pontos na horizontal e 8 pontos na vertical, e saiu o papel com f1, o novo ponto será x=0 e y=0.16*8 = 1.28. Coloque um ponto em (0,1). Basta substituir o valor que tem em Xn para o eixo X, e Yn para o Y, e obterá novos valores para Xn+1 e Yn+1, que é onde o novo ponto ficará, e quando retirar outro papel do saco use os novos pontos para fazer o calculo. Novamente, não importa quais equações irão sair, ou em que ordem elas sairão. Basta seguir estas equações simples. Você tem alguma idéia do que irá gerar após muitas iterações?

Eu duvido mesmo que imagine, a menos que já tenha lido sobre Michael Barnley e IFS (Iterated Function Systems). Outro livro maravilhoso que vale a pena ter com você. Olha, por mais inacreditável que seja, a imagem que irá se formar é esta aí em baixo. Sempre! Todas as vezes! Não importa mesmo qual papel sair do saco, e em que ordem eles sairem!

Ela será a perfeita representação de uma folha de samambaia. Isto é magnífico! Esta folha não é como os outros que desenhamos, onde tudo é igual em escala. Ela tem um caule, e folhas formadas por folhas menores. Na verdade, olhando na imagem, é impossível saber se é a foto de uma samambaia de verdade ou uma equação matemática. Isto tem implicações inacreditáveis. Uma delas é que já que sabemos a equação, podemos apenas guardar as fórmulas, e toda vez que quisermos desenha-la, bastaria iterar novamente. Isto seria o algoritmo de compressão para uma folha mais eficiente do universo. Em 17 bytes, você armazena com perfeição a folha em qualquer escala. Mas tem um outro aspecto ainda mais profundo.

Será que lá no DNA da folha, tem estas três equações marcadas como o processo de evolução, e alguma entidade superior está sempre jogando dados, criando a vida ? E mais ainda, será que todas as formas de vida na terra tem em seu DNA equações estampadas que dizem como a vida evolue? Eu não sei você, mas só de pensar nesta possibilidade, dá para pirar. Quando eu comprei o livro, imaginei que encontraria dentro dele como recriar a garota andina da capa :

Mas infelizmente esta descoberta vai ficar para as jovens mentes de hoje. De uma forma meio decepcionante, não foram encontrados outros conjuntos de equações que representem outras formas de vida. Mas se pensarmos bem, faz muito sentido isto. É muito improvável que apenas uma equação exista, a da folha de samambaia. Talvez o próprio ser humano seja mesmo formado por centenas de equações destas, todas armazenadas nos vários tipos de célula, e conforme o acaso for "jogando dados", sempre os órgãos são formados nos mesmos locais, e o ser humano criado com base nas mesmas fórmulas. O acaso seria ter olhos azuis ou castanhos, cabelos pretos ou loiros, e nariz pontudo ou mais esparramado. Esta descoberta provavelmente seria uma das mais revolucionárias da humanidade, e implicaria em avanços na genética, na física e na computação.

Se você gostou de ler sobre Fractais, tem mais estes artigos aqui que eu publiquei

• Porque a Meteorologia não funciona ?
• Parabens MandelBrot
• Paisagens fractais a beleza matemática
• Jogo do Caos - Iterated Function Systems

E vários outros artigos que você também pode encontrar no meu perfil, sobre eletrônica, Inteligência artificial, computação natural, MicroServiços, Containers e Matemática, todos eles de uma forma, digamos, não usual!

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