A Geometria Fractal e a Natureza Complexa
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Fractais
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- 1. FRACTAISFRACTAIS A OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADAA OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADA POR MATEMÁTICOSPOR MATEMÁTICOS Trabalho elaborado por: Alexandra Pereira César Pereira
- 2. Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando penetram na terra - existe uma infinidade de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por essa geometria toda certinha. É preciso apelar para complicados cálculos que resultam nas chamadas dimensões fracionárias.
- 3. CONCEITOCONCEITO Fractais são objetos gerados pela repetição deFractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentandoum mesmo processo recursivo, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita.auto-semelhança e complexidade infinita.
- 4. “Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta.“ Benoît Mandelbrot, "The Fractal Geometry of Nature“"The Fractal Geometry of Nature“ 1983 A GEOMETRIA FRACTALA GEOMETRIA FRACTAL DA NATUREZADA NATUREZA
- 7. GEOMETRIA NÃO-GEOMETRIA NÃO- EUCLIDIANAEUCLIDIANA A Geometria Fractal pode ser utilizada para descreverA Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenómenos na natureza, onde não podem serdiversos fenómenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas,utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas, turbulências, árvores, crescimento de populações, vasosturbulências, árvores, crescimento de populações, vasos sanguíneos e outras formas irregulares podem sersanguíneos e outras formas irregulares podem ser estudadas e descritas utilizando as propriedades dosestudadas e descritas utilizando as propriedades dos
- 8. Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milénios atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única dimensão. Já a capa de SUPERINTERESSANTESUPERINTERESSANTE, de acordo com a geometria euclidiana, tem duas dimensões. Pois, para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números - o do comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema.
- 9. CARACTERÍSTICAS DOSCARACTERÍSTICAS DOS FRACTAISFRACTAIS COMPLEXIDADE INFINITA:COMPLEXIDADE INFINITA: É uma propriedade dos fractaisÉ uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-losque significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Semprecompletamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.existirão reentrâncias e saliências cada vez menores. AUTO-SIMILARIDADE:AUTO-SIMILARIDADE: Um fractal costuma apresentar cópiasUm fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço éaproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de umsimilar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.fractal parece similar.
- 10. O PAI DOS FRACTAISO PAI DOS FRACTAIS Benoît Mandelbrot foi o pioneiro na investigação da geometria fractal.
- 11. A imagem ao lado (A imagem ao lado ("A Curva de"A Curva de Koch"Koch") é um exemplo geométrico da) é um exemplo geométrico da construção de um fractal. Um mesmoconstrução de um fractal. Um mesmo procedimento é aplicado diversasprocedimento é aplicado diversas vezes sobre um objeto simples,vezes sobre um objeto simples, gerando uma imagem complexa.gerando uma imagem complexa. Cada pedaço da linha foi dividido emCada pedaço da linha foi dividido em 4 pedaços menores idênticos ao4 pedaços menores idênticos ao pedaço original, cada um sendo 3pedaço original, cada um sendo 3 vezes menor que o tamanho original.vezes menor que o tamanho original.
- 12. CONJUNTO DECONJUNTO DE CANTORCANTOR O TAPETE DEO TAPETE DE SIERPINSKYSIERPINSKYTAPETETAPETE TRIANGULARTRIANGULAR
- 13. CURVA DE PEANOCURVA DE PEANO