O documento apresenta um enigma matemático encontrado na dedicatória no túmulo de Diofante, matemático do século III. O enigma fornece detalhes sobre a vida de Diofante em frações de sua idade total e pede para calcular quantos anos ele viveu. A resposta é obtida ao traduzir as frações para equações e resolvê-las, chegando-se à conclusão de que Diofante morreu aos 84 anos.
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
Equações do 1.º grau
1. Equações do 1. º grauEquações do 1. º grau
Informática Educativa IIInformática Educativa II
Andressa Borba da SilvaAndressa Borba da Silva
2. Breve introdução de equaçõesBreve introdução de equações
Aos 10 anos de idade, Albert Einsten gritava emocionadoAos 10 anos de idade, Albert Einsten gritava emocionado
““GooolGoool” toda vez que resolvida um dos complicados” toda vez que resolvida um dos complicados
problemas matemáticos sugeridos pelo seu querido tio Jakob.problemas matemáticos sugeridos pelo seu querido tio Jakob.
Seu tio dava aulas de álgebra e naquela época para que EinstenSeu tio dava aulas de álgebra e naquela época para que Einsten
se interessasse pelo estudo das equações, descrevia a resoluçãose interessasse pelo estudo das equações, descrevia a resolução
das mesmas como “das mesmas como “uma ciência divertida em que saímos àuma ciência divertida em que saímos à
caça de um pequeno animal cujo nome não sabemos. Por issocaça de um pequeno animal cujo nome não sabemos. Por isso
o chamamos de “x” e quando o capturamos, damos-lhe oo chamamos de “x” e quando o capturamos, damos-lhe o
nome certo”nome certo”
Equação tem o prefixoEquação tem o prefixo equaequa que provém do Latim e significaque provém do Latim e significa
igualigual
3. Introdução ao conceito de equaçõesIntrodução ao conceito de equações
É exatamente isso, para resolver um problema, na maioria das vezes temosÉ exatamente isso, para resolver um problema, na maioria das vezes temos
que transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentençaque transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença
que seja escrita em linguagem matemática.que seja escrita em linguagem matemática.
Por exemplo:Por exemplo:
1-“1-“João tem um lápis a menos que MariaJoão tem um lápis a menos que Maria””
Se x representa o número de lápis que Maria possui,Se x representa o número de lápis que Maria possui,
x-1 representa a quantidade de lápis de João.x-1 representa a quantidade de lápis de João.
2 – A expressão 2y -1 pode representar a frase “2 – A expressão 2y -1 pode representar a frase “ O dobro de um númeroO dobro de um número
menos 1menos 1” , ou ainda, “” , ou ainda, “Subtraindo 1 ano do dobro da idade de Carol, temosSubtraindo 1 ano do dobro da idade de Carol, temos
a idade de Rogérioa idade de Rogério””
4. Equações do 1.ºgrau com uma variávelEquações do 1.ºgrau com uma variável
Nesta transformação de uma sentença apresentada comNesta transformação de uma sentença apresentada com
palavras em uma sentença com linguagem matemática, comopalavras em uma sentença com linguagem matemática, como
vocês podem perceber utilizamos letras ( “x” e “y”) . Essavocês podem perceber utilizamos letras ( “x” e “y”) . Essa
letras são conhecidas como variáveis ou incógnitas.letras são conhecidas como variáveis ou incógnitas.
O objetivo do estudo de equações é “descobrir” o valor de algoO objetivo do estudo de equações é “descobrir” o valor de algo
desconhecido.desconhecido.
5. Visualizando a Equação de 1.º grauVisualizando a Equação de 1.º grau
Vamos visualizar a situação abaixoVamos visualizar a situação abaixo
8kg2kg
A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas abóboras com
"pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 8Kg. Quanto pesa cada abóbora?
2 abóboras + 2Kg = 8Kg
Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada abóbora.
Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:
2x + 2 = 8
6. Resolvendo a equação:Resolvendo a equação:
2x +2= 82x +2= 8
2x = 8 – 22x = 8 – 2
2x = 62x = 6
x = 6/2x = 6/2
x = 3x = 3
Resposta:Resposta: Logo temos que cada abóbora pesa 3 kg.Logo temos que cada abóbora pesa 3 kg.
7. Verificando a respostaVerificando a resposta
Para verificar se a resposta está correta, bastaPara verificar se a resposta está correta, basta
substituirmos o valor de x na equação:substituirmos o valor de x na equação:
2x +2= 82x +2= 8
2(3)+2 = 82(3)+2 = 8
6+2 = 86+2 = 8
8=88=8
A sentença é verdadeira.A sentença é verdadeira.
8. ConclusõesConclusões
O lema é traduzir mesmo, uns traduzem português para inglês, eO lema é traduzir mesmo, uns traduzem português para inglês, e
vice-versa, nós aqui vamos traduzir problemas ou melhorvice-versa, nós aqui vamos traduzir problemas ou melhor
equacioná-los e o mais importante encontrar a solução.equacioná-los e o mais importante encontrar a solução.
Resumindo toda equação tem:Resumindo toda equação tem:
Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que sãoUma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são
denominadas variáveis ou incógnitas ;denominadas variáveis ou incógnitas ;
Um sinal de igualdade, denotado por =Um sinal de igualdade, denotado por =
Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membroUma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro
ou membro da esquerda;ou membro da esquerda;
Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ouUma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou
membro da direita.membro da direita.
9. Presentinho “ O enigma de Diofante”Presentinho “ O enigma de Diofante”
A história não guardou muitos dados sobre a vida deA história não guardou muitos dados sobre a vida de
Diofante. Tudo o que sabemos dele estava numaDiofante. Tudo o que sabemos dele estava numa
dedicatória gravada em seu túmulo – com todadedicatória gravada em seu túmulo – com toda
certeza escrita por Hipatia (segundo relatos foi acerteza escrita por Hipatia (segundo relatos foi a
primeira mulher matemática da história –primeira mulher matemática da história –
infelizmente ela foi assassinada ):infelizmente ela foi assassinada ):
10. Caminhante!
Aqui foram sepultados os restos de Diofante. EAqui foram sepultados os restos de Diofante. E
os números podem mostrar – oh, milagre –os números podem mostrar – oh, milagre –
quão longa foi a sua vida, cuja sexta partequão longa foi a sua vida, cuja sexta parte
constituiu sua formosa infância.constituiu sua formosa infância.
E mais um duodécimo pedaço de sua vidaE mais um duodécimo pedaço de sua vida
havia transcorrido quando de pêlos se cobriu ohavia transcorrido quando de pêlos se cobriu o
seu rosto.seu rosto.
E a sétima parte de sua existência transcorreuE a sétima parte de sua existência transcorreu
em um matrimônio sem filhos.em um matrimônio sem filhos.
Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-oPassou-se um qüinqüênio mais e deixou-o
muito feliz o nascimento de seu primeiro filhomuito feliz o nascimento de seu primeiro filho
que entregou à terra seu corpo, sua formosaque entregou à terra seu corpo, sua formosa
vida, que durou somente metade da de seu pai.vida, que durou somente metade da de seu pai.
E com profundo pesar desceu à sepultura,E com profundo pesar desceu à sepultura,
tendo sobrevivido apenas quatro anos aotendo sobrevivido apenas quatro anos ao
descenso de seu filho.descenso de seu filho.
Diga-me: Quantos anos viveu DiofanteDiga-me: Quantos anos viveu Diofante
quando lhe chegou a morte?quando lhe chegou a morte?
11. Vamos “traduzir”Vamos “traduzir”
Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofante. EAqui foram sepultados os restos de Diofante. E
os números podem mostrar – oh, milagre – quão longa foi aos números podem mostrar – oh, milagre – quão longa foi a
sua vida,sua vida,
6
xcuja sexta parte constituiu sua formosa infância.cuja sexta parte constituiu sua formosa infância.
E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorridoE mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido
quando de pêlos se cobriu o seu rosto.quando de pêlos se cobriu o seu rosto.
x
12
x
12. Traduzindo a equaçãoTraduzindo a equação
E a sétima parte de sua existência transcorreu emE a sétima parte de sua existência transcorreu em
um matrimônio sem filhos.um matrimônio sem filhos.
7
x
Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muitoPassou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito
feliz o nascimento de seu primeiro filho,feliz o nascimento de seu primeiro filho,
que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida,que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida,
que durou somente metade da de seu pai.que durou somente metade da de seu pai.
2
x
55
13. Terminando a traduçãoTerminando a tradução
E com profundo pesar desceu à sepultura, tendoE com profundo pesar desceu à sepultura, tendo
sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho.sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho.
Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegouDiga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou
a morte?a morte?
44
14. Equação “traduzida”Equação “traduzida”
Ainda bem que hoje nós sabemos decifrar esta dedicatóriaAinda bem que hoje nós sabemos decifrar esta dedicatória
através de uma equação:através de uma equação:
84
9
756
7569
336420421271484
84
3364242012714
84
84
4
2
5
7126
=
=
=
+=−−−−
+++++
=
+++++=
x
x
x
xxxxx
xxxxx
xxxx
x
15. Resolvendo o enigma – parte 1Resolvendo o enigma – parte 1
Caminhante! Aqui foram sepultados os restos deAqui foram sepultados os restos de
Diofante. E os números podem mostrar – oh, milagreDiofante. E os números podem mostrar – oh, milagre
– quão longa foi a sua vida,– quão longa foi a sua vida,
14
6
84
6
==
xcuja sexta parte constituiu sua formosa infância.cuja sexta parte constituiu sua formosa infância.
E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorridoE mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido
quando de pêlos se cobriu o seu rosto.quando de pêlos se cobriu o seu rosto.
84=x
7
12
84
12
==
x
16. Resolvendo o enigma – parte 2Resolvendo o enigma – parte 2
E a sétima parte de sua existência transcorreu emE a sétima parte de sua existência transcorreu em
um matrimônio sem filhos.um matrimônio sem filhos.
12
7
84
7
==
x
Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muitoPassou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito
feliz o nascimento de seu primeiro filho,feliz o nascimento de seu primeiro filho,
que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida,que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida,
que durou somente metade da de seu pai.que durou somente metade da de seu pai.
42
2
84
2
==
x
55
17. Resolvendo o enigma – parteResolvendo o enigma – parte
finalfinal
E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevividoE com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido
apenas quatro anos ao descenso de seu filho.apenas quatro anos ao descenso de seu filho.
Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou aDiga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a
morte?morte?
Assim, com a resolução da equações descobrimos queAssim, com a resolução da equações descobrimos que
Diofantes morreu aos 84 anos.Diofantes morreu aos 84 anos.
Quatro anos antes presenciou a morte de seu filho, que tinhaQuatro anos antes presenciou a morte de seu filho, que tinha
42 anos: ½ . 84 = 4242 anos: ½ . 84 = 42
Diofantes foi pai, portanto, com 38 anos e casou-se aos 21 anos:Diofantes foi pai, portanto, com 38 anos e casou-se aos 21 anos:
80-42=3880-42=38
38-5-12=2138-5-12=21
44
18. FinalizandoFinalizando
Os matemáticos da época de Hipatia e Diofante não conheciamOs matemáticos da época de Hipatia e Diofante não conheciam
as equações. Apenas os considerados “gênios” eram capazesas equações. Apenas os considerados “gênios” eram capazes
de resolver desafios como este.de resolver desafios como este.
Graças a Deus, com o passar dos séculos, os matemáticosGraças a Deus, com o passar dos séculos, os matemáticos
foram aprendendo a substituir palavras por letras e sinais (=,foram aprendendo a substituir palavras por letras e sinais (=,
+, etc.). Isso com certeza tornou os cálculos mais rápidos e+, etc.). Isso com certeza tornou os cálculos mais rápidos e
podemos dizer até mesmo mais fáceis.podemos dizer até mesmo mais fáceis.
Obs.:Obs.: Snif, turma, conseguimos resolver o enigma porém nãoSnif, turma, conseguimos resolver o enigma porém não
seremos consideramos “gênios”.seremos consideramos “gênios”.
Bola pra frente, um dia chegaremos lá.Bola pra frente, um dia chegaremos lá.
