ELIZA ROMAN ARINA ÎN ÅARA NUMERELOR CENTRUL EDITORIAL „CICERO E“ DIRECTOR FONDATOR AL EDITURII „SCRIPTA“ OCTAVIAN ÆTIREANU Descrierea CIP a Bibliotecii Naåionale a României ROMAN, ELIZA Arina în åara numerelor / Eliza Roman ; ed. îngrij. de conf. univ. dr. Nicolae Rauæ ; pref.: acad. Mircea Maliåa. - Bucureæti : Scripta, 2008 Bibliogr. Index. ISBN 978-973-8238-23-7 I. Rauæ, Nicolae (ed.) II. Maliåa, Mircea (pref.) 51 ELIZA ROMAN ARINA ÎN ÅARA NUMERELOR Ediåie îngrijitã de conf. univ. dr. NICOLAE RAUÆ Prefaåã Acad. MIRCEA MALIÅA Bucureæti 2008 Coordonator colecåie: dr. Nicolae Rauæ Redactor de carte: Dinu Moraru Tehnoredactare: CICERO GRUP Pre-press: ing. Adrian Antofe Reproducerea, transmiterea sau difuzarea, sub orice formã sau prin orice mijloace cunoscute sau viitoare, a textelor cuprinse în volumul de faåã sunt permise numai cu acordul scris al Editurii „Scripta“, care are toate drepturile rezervate. © Editura „Scripta“, 2008 Calea Victoriei, nr. 39A Bucureæti ISBN 978-973-8238-23-7 CUPRINS Acad. Mircea Maliåa: Prefaåã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 „La început a fost numãrul“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Concursul „Galaxia Numerelor“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Campanie electoralã la Televiziunea Numerelor . . . . . . . . .12 Candidaåi cu æanse la preæedinåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Numãrul 3 – simbolul Creaåiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Numãrul 7 – dintotdeauna în top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Φ – misteriosul Numãr de Aur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Buclucuri matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Secvenåe de istorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Ionuå aflã despre apariåia numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Omul a numãrat înainte de a vorbi . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 Prin cluburi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Asociaåia Iubitorilor Numãrului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 La Clubul Primelor Zece Numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 La Clubul Prieteniei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Elita numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Carismaticul π pe post de amfitrion . . . . . . . . . . . . . . . . .56 În prelungirea discuåiei de la Club: Numãrul e . . . . . . . . .64 Sisteme de numeraåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Cu æapte hieroglife egiptenii numãrau pânã la un milion . .67 De la bobul de cacao la glifa aztecã . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Sistemul acrofonic grecesc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Cum numãrau strãmoæii romani? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Numeraåiile alfabetice – un imens pas în istorie . . . . . . . . . .84 O asociere ingenioasã a literelor æi numerelor la evrei . . .85 6 Eliza Roman Impactul numeraåiei greceæti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 Numeraåia arabã priveæte spre Europa . . . . . . . . . . . . . . . .90 Numeraåiile de poziåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 Începutul a fost în Sumer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 Fantezia mayaæilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 Dinamismul numeraåiei chineze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 Indienii notau uæor numere mari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 Itinerarul numeraåiei la români . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 Numere remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 Creaåia pitagoricã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 Numere p-adice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 Statutul de numãr se obåine greu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 Existã numere iraåionale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 Numere negative – numere fictive . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 Numãrul i – „un amfibiu între existenåã æi neant“ . . . . . .151 Numere transcendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 Numãrul care nu-æi dezvãluie natura . . . . . . . . . . . . . . . .159 Triumful lui zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160 Interogaåii vechi æi noi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 Numere prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 Ipoteza lui Riemann – problema mileniului . . . . . . . . . .169 Marea provocare a lui Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 Legenda lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 Conjecturi nãbãdãioase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 Fiinåe matematice magice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 Numerele prime æi criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 Numere aproape prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 Fiæierul problemelor celebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 Pot, oare, numerele sã asigure onestitatea? . . . . . . . . . . .186 Arina este fericitã! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193 Index de termeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 Bibliografie selectivã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205 PREFAÅÃ Arina m-a luat cu ea în Åara Numerelor, dupã un cuvânt bun din partea autoarei. Mai fusesem acolo, dar sã nu subestimezi niciodatã un ghid tânãr din generaåia calculatoarelor. Am vãzut locuri noi æi am revãzut altele vechi. Într-o formaåie matematicã gãseæti rar un curs de teoria numerelor. Am dat odatã de un manual de teoria numerelor de pe timpul lui Haret, admirabil prin eleganåã æi rigoare, scris în mod evident pentru æcolile de fete. În facultãåi, disciplinele æi-au format arii proprii, expropriind terenul de obâræie al numerelor, regãsite vag în algebrã æi ascunse sub noi simboluri æi extensii, în toate domeniile matematicii æi ætiinåelor. Evident, „la început a fost numãrul“, nu cuvântul, cãci numãrul fãrã cuvânt s-a mulåumit cu niæte degete. Istoria lui este nu doar istoria matematicii, dar æi a gândirii abstracte æi, mai presus de toate, a civilizaåiei globale. Emanciparea lui abstractã este o istorie dramaticã. Dupã numerele întregi sacre æi armonioase, grecii au fost sfidaåi de pãtratul perfect, a cãrui diagonalã era un numãr ce nu avea sfâræit. „Se spune – scrie Proclus – cã cei care pentru prima datã au scos la ivealã iraåionalele din ascuns la vedere au pierit în naufragiu pânã la unul. Cãci inexprimabilul æi cel fãrã formã trebuie sã stea ascuns. Æi cei care au dezvãluit æi au atins aceastã imagine a lumii au fost distruæi subit æi vor rãmâne expuæi pentru vecie jocului eternelor valuri“. Era o adevãratã tragedie greceascã. Cuvintele au generat culturi, care s-au dezvoltat cu o altã familie de simboluri ce au permis comunicare umanã æi transmisiunea credinåelor æi valorilor de la o generaåie la alta. Culturile 8 Eliza Roman au stiluri proprii cu care definesc specificitatea æi identitatea localã. Cunoætinåele sunt exprimate acum în simboluri abstracte scoase din ascunziæuri, circulã liber, sunt transmisibile æi asimilabile în spaåiul universalitãåii. Înghesuite de discipline mari – algebrã, geometrie, analizã –, teoria æi istoria numãrului reintrã pe scenã. Stephen Hawking, fizicianul care ne-a fermecat cu cãråile lui, publicã lucrarea sa Dumnezeu a creat întregii pornind de la citatul lui Kronecker, care adaugã „restul este opera omului“. În peste 1 000 de pagini, începe cu Euclid æi cu Arhimede æi terminã cu giganåii secolului trecut, Gödel æi Turing, în total 17 matematicieni, cu biografiile æi lucrãrile lor. În subtitlu, scrie Deschiderile matematice care au schimbat istoria. De ce nu îl include æi pe Euler? – mã întreabã Arina. Pentru cã ea mã conduce la piatra pe care e sculptatã miraculoasa Ecuaåie a lui Euler: eiπ = –1, unde îæi dau întâlnire trei numere e, i æi π, tot atât de frumoasã æi compactã ca Ecuaåia lui Einstein: e = mc2. Fãrã e, i æi π omul n-ar zbura în atmosferã, n-ar trimite rachete în spaåiu, n-ar construi poduri suspendate æi nici zgârie-nori. Locul numãrului în civilizaåie îmi trezeæte o idee: n-ar trebui, oare, sã punem puterea calculatorie a omului la un loc cu puterea de energie instalatã, în definirea capacitãåii unei societãåi de a fi parte din civilizaåia globalã? Arina mã corecteazã: pe lângã cã ideea îi desemneazã un rol nou, ea e atrasã de numãr pentru aura sa de mister ce trebuie lãmuritã. S-a inventat, oare, un joc mai fascinant æi mai captivant care sã dea emoåii egale cu ale poeziilor sau melodiilor celor mai extaziante? Ca æi ele, jocul numerelor are ceva miraculos, pasionant, irezistibil. Îi mulåumesc cu cãldurã ei, autoarei æi editorului pentru cãlãtoria inspiratã. Acad. MIRCEA MALIÅA „LA ÎNCEPUT A FOST NUMÃRUL“ Înzestrat cu un mare potenåial de organizare a lumii, numãrul a fost asociat dintru început cu bogãåia æi cu puterea, iar pe de altã parte i-a fascinat atât pe gânditori, cât æi pe oamenii de rând. Mitul numãrului a cuprins, în Vechime, mai toate popoarele æi a dãinuit îndelung. În evoluåia lui, numãrul a cunoscut epoci de glorie æi de latenåã, însã a continuat sã fie permanent prezent în viaåa omului. Virtuåile lui explicã bogãåia de tipuri apãrute æi marea diversitate a categoriilor inventate. Numãrul suscitã interesul în ceea ce priveæte geneza æi tipologia lui, frãmântãrile pe care le-a iscat, cât æi impactul lui asupra vieåii cotidiene, a ætiinåei, tehnicii æi chiar a artei. Cãrticica de faåã nu-æi propune sã îmbrãåiæeze toate aspectele în care se implicã numãrul. Scopul ei este sã realizeze, într-o manierã accesibilã, un periplu în „Åara Numerelor“, fãcând apel la cunoætinåe de culturã generalã æi de matematicã elementarã. Cititorul va avea prilejul sã intre în contact cu numerele care se întâlnesc cel mai des, numere despre care vorbeæte Biblia, ca æi oamenii de afaceri, numere despre care se pomeneæte în mitologie, ca æi în tehnicã, numere folosite în manualele æcolare, ca æi în artã etc. El va afla povestea unor numere care i-au stârnit curiozitatea æi care i-au preocupat îndelung pe predecesorii noætri. Numãrul va fi martorul unor adevãrate drame generate de pasiunea celor care urmãreau gãsirea soluåiilor corecte, de obsesii, de aventuri celebre ce se întind pe sute, chiar pe mii de ani. Am expus, fireæte, mai pe larg sistemele de numeraåie la diferite popoare: sistemele primitive bazate pe juxtapunerea semnelor, sistemele contrase, contopite, sistemele alfabetice, precum æi cele 10 Eliza Roman de poziåie, mãrturie a ingeniozitãåii æi imaginaåiei oamenilor. În context, au fost menåionate probleme celebre æi probleme nerezolvate legate de numere. În final, am inclus, pentru uzul cititorului tânãr, un Index de termeni, care va uæura, credem, înåelegerea expunerii noastre. La distanåa a 2500 de ani faåã de Pitagora, care credea cã numerele sunt „singurele în stare sã se aproprie de legile naturii, pe care numai înåelegându-le le putem stãpâni!“, îi recunoaætem numãrului valoarea universalã, nu însã æi pe aceea de panaceu. Adresez æi pe aceastã cale vii mulåumiri doamnei prof. univ. dr. Afrodita Iorgulescu, matematician de prestigiu, pentru revizuirea textului æi pentru sugestii; doamnei dr. în filologie Viorica Prodan, pentru ideea elaborãrii acestei cãråi æi pentru generoasa stimulare a demersului nostru; domnului Mihai Niculescu, pentru excelenta „încãrcãturã“ documentarã pusã nouã la dispoziåie cu atâta solicitudine; pictorului Stelian Neicu, pentru rigoarea æi acurateåea desenelor æi, nu în ultimul rând, domnului dr. inginer Teodor Popa, pentru revizuirea indexului de termeni. Iulie 2008 AUTOAREA CONCURSUL „GALAXIA NUMERELOR“ Profesorul Matei Iorgulescu aduce la cunoætinåã elevilor din clasa a XI-a cã Asociaåia Olimpicilor organizeazã concursul „Galaxia Numerelor“, în Capitalã, la 15 aprilie a anului viitor. Doritorii se pot înscrie pânã la sfâræitul anului curent. Premiul cel mare va fi o excursie în Marea Britanie, åara lui Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898) – matematicianul æi scriitorul îndrãgit de copii, el fiind cel care a semnat, sub pseudonimul Carroll Lewis, fascinanta poveste Alice în Åara Minunilor. La cinã, Arina le împãrtãæeæte pãrinåilor intenåia ei de a se înscrie la concurs. Toatã lumea e de acord. Ionuå, frãåiorul Arinei, se lamenteazã cã nu are drept de participare, tocmai el, care este un fan al lui Lewis. Mai e mult pânã la concurs, dar æi foarte mult de învãåat, fiindcã numerele stãpânesc un teritoriu imens. Arina este æi ea agitatã. Trece de miezul nopåii æi încã nu adoarme. Îl ia în pat pe Pufi, cãåeluæul ei, care încearcã sã o liniæteascã. În sfâræit, Arina aåipeæte. În vis, îl vede pe Pufi. – Ce ar fi sã mergem sã vizitãm Åara Numerelor! – îi propune Pufi. – Cum sã mergem – îi replicã Arina –, când nu avem nici bani, nici bilete de cãlãtorie æi când am, zi de zi, æcoalã? Pufi insistã. Într-un târziu, o convinge æi cei doi poposesc în Åara Numerelor. CAMPANIE ELECTORALÃ LA TELEVIZIUNEA NUMERELOR Arina deschide televizorul. Este aidoma celui din camera ei. „De ieri, am intrat în campania electoralã pentru alegerile generale din aceastã toamnã“ – anunåã crainicul. Lupta se dã între Partidul Numerelor Naturale, Partidul Numerelor Fracåionare æi Partidul Numerelor Negative. Celelalte partide încã nu æi-au lansat platforma (Partidul Numerelor Iraåionale, Partidul Numerelor Transcendente, Partidul Numerelor Pitagorice æ.a.). Partidele fac multã zarvã electoralã. Se laudã cât pot æi aruncã în adversari cu noroi. Partidul Numerelor Naturale, având ca membri pe 1, 2, 3, 4, 5, … n…, de fapt cel mai vechi partid, este convins cã, fiind înzestrat de Divinitate sã fie cel mai apropiat de naturã, este æi cel mai bun, singurul capabil sã ofere siguranåã æi prosperitate. Partidul Numerelor Fracåionare se considerã mai dinamic, mai tânãr, mai deschis progresului. El dispreåuieæte Partidul Numerelor Naturale, pe care-l socoteæte mai primitiv, mai conservator, nu totdeauna capabil sã rezolve o împãråire în numere naturale. Un partid care nu se poate descurca nici la împãråirea lui 2 cu 3! Partidul Numerelor Negative se declarã, de asemenea, superior Partidului Numerelor Naturale, deoarece poate rezolva orice scãdere în numere întregi, chiar æi atunci când scãzãtorul depãæeæte valoarea descãzutului. Aripa Numerelor Negative Fracåionare clameazã, la rândul ei, virtuåile care o caracterizeazã în raport cu Partidul Numerelor Fracåionare (Pozitive). În aæteptarea platformelor celorlalte partide, care se autoproclamã elita, s-a trecut la formarea de alianåe. Se poartã tratative între Arina în Åara Numerelor 13 Partidul Numerelor Naturale æi Partidul Numerelor Întregi Negative, pentru o Alianåã a Numerelor Întregi. Se vorbeæte æi despre o alianåã care se va numi Coaliåia Numerelor Raåionale, formatã din toate numerele întregi æi din cele fracåionare. Pentru emisiunea urmãtoare, se promit informaåii proaspete despre celelalte formaåiuni politice, iar pentru a doua zi o emisiune specialã, în care vor fi prezentaåi candidaåii la Preæedinåie. Candidaåi cu æanse la preæedinåie Pentru funcåia de preæedinte candideazã mai multe numere. Potrivit ultimelor sondaje, æanse mai mari au numerele 3 æi 7. Numãrul 3 este preæedinte de mulåi ani, dar ar vrea sã fie în continuare. Numãrul 7, deæi frecvent nominalizat, nu a câætigat niciodatã preæedinåia æi viseazã la ea. În seara precedentã confruntãrii dintre candidaåi pe micul ecran, numerele 3 æi 7 æi-au definitivat pledoariile. Iatã cum au gândit: Numãrul 3 – simbolul Creaåiei „Eu am fost dintotdeauna în topul numerelor. Totul este supus ternarului, fie spaåiu, timp, naturã, materie, fie viaåã, om, hranã æi câte altele. Ætiinåa, morala, folclorul îmi sunt, la rândul lor, profund îndatorate. Nu mai insist cã atunci când vine vorba despre timp se spune trecut, prezent, viitor. Când se pomeneæte despre starea materiei, gândul ne duce la stãrile solidã, lichidã, gazoasã. Prin cei trei termeni: mineral, vegetal, animal, se evocã tot ce existã în naturã. Termenului existenåã i se asociazã termenii: naætere, creætere, 14 Eliza Roman moarte. Ca vârstã, omul nu poate fi decât de trei feluri: copil, adult sau bãtrân. Spaåiul în care trãim este tridimensional, camera în care copilul îæi face temele are lungime, lãåime, înãlåime. Sã conchid, apoi, cã la baza lucrurilor stau: materia, energia, informaåia. Toåi æcolarii ætiu cã între numere nu pot funcåiona decât trei tipuri de relaåii: mai mare (>), egal (=) æi mai mic (<), cã gramatica vorbeæte despre trei categorii de persoane (I, a II-a æi a III-a) æi de diatezele activã, pasivã, reflexivã. Investigãm trei niveluri semiotice: sintacticul, semanticul æi pragmaticul. Filosofia se foloseæte de: tezã, antitezã æi sintezã. Silogismul este format din: premisa majorã, premisa minorã æi concluzia. În sfâræit, potrivit medicului austriac Sigmund Freud (1856-1939) – fondatorul psihanalizei –, viaåa mentalã se bazeazã pe trei polaritãåi: subiect–obiect; plãcere–suferinåã; activ–pasiv. Toate acestea au fost pe larg înfãåiæate de ilustrul matematician român Solomon Marcus, cunoscut pentru ineditul æi subtilitatea contribuåiilor sale de lingvisticã matematicã æi semioticã. Sã mergem mai departe: în viziunea marelui filosof grec Aristotel (384-322 î.e.n.), denumit æi Stagiritul – dupã locul de naætere –, comunicarea publicã îndeplineæte trei funcåii: 1. politicã sau deliberativã; 2. forensicã sau juridicã; 3. epideicã sau demonstrativã. Tot Aristotel susåine cã, pentru a fi credibil, un orator trebuie sã posede: 1. bun-simå; 2. moralitate; 3. bunãvoinåã. Sã nu uitãm cã logicianul polonez Jan Lukasiewicz (1878-1956) a adãugat celor douã valori ale logicii lui Aristotel – adevãrat æi fals – o a treia, pe cea de îndoielnic. Modelarea algebricã a logicii trivalente a lui Lukasiewicz a condus la crearea de cãtre matematicianul român Grigore C. Moisil (1906-1973) a unei puternice æcoli naåionale æi internaåionale de algebrã a logicii. Trei componente are æi vestita tezã a filosofului æi matematicianului francez René Descartes (1596-1650), æi anume: 1. Dubito (Mã îndoiesc); 2. Ergo cogito (Deci cuget); 3. Cogito, ergo sum (Cuget, deci exist). Arina în Åara Numerelor 15 Universalitatea mea e recunoscutã în toate domeniile drept criteriu de clasificare. Iatã un exemplu din sociologie. Tipurile: 1. al resurselor; 2. al modalitãåii folosirii acestora; 3. al tehnologiilor utilizate caracterizeazã diferitele societãåi. Astfel, societatea preindustrialã se distingea prin: 1. materiile prime; 2. extragerea acestora; 3. munca intensivã; societatea industrialã se bazeazã pe: 1. energie; 2. fabricare; 3. capital intensiv; iar societatea postindustrialã este marcatã de: 1. informare; 2. transformare; 3. cunoaætere intensivã. Æi o ilustrare din istorie: unul dintre întemeietorii filosofiei istoriei, italianul Giambattista Vico (1668-1744), considerã cã toate popoarele trec prin trei stadii de dezvoltare, corespunzãtoare celor trei vârste ale omului: „vârsta zeilor“, în care domnesc religia æi preoåii; „vârsta eroilor“, în care apare statul aristocratic; æi „vârsta oamenilor“, adicã era raåiunii æi a statului democratic. Sã scot în evidenåã cã cele trei tipuri principale de axiomatizare a teoriilor sunt: 1. axiomatica intuitivã (de exemplu, cea a geometriei euclidiene); 2. axiomatica abstractã – cea folositã de matematicianul german David Hilbert (1862-1943), în care sensul termenilor este determinat exclusiv prin relaåiile lor din cadrul axiomelor; 3. axiomatica formalizatã (din matematicã, integral formalizatã). În comunicare, sunt esenåiale: 1. emiåãtorul; 2. receptorul; 3. mesajul. Codonul – unitate constitutivã a moleculei de ADN – are lungimea trei (este format, de obicei, din trei baze nucleice). Åinând seama cã natura codonului este chimicã, iar aminoacizii reprezintã unitãåile de bazã ale ereditãåii, se poate afirma cã trecerea de la chimie la nivelul genetic este guvernatã de numãrul 3. Dacã voi enumera toate domeniile în care David Hilbert sunt implicat, îi voi obosi pe alegãtori. O sã 16 Eliza Roman mai amintesc cã, în domeniul teoriei jocurilor strategice, trecerea de la jocurile cu douã persoane la cele cu trei persoane i-a deschis matematicianului american John Nash (n. 1928) drumul spre decernarea Premiului Nobel, în 1994. Aplicarea conceptului introdus de Nash a asigurat Statelor Unite mari succese economice æi, implicit, fabuloase câætiguri financiare. O spun cu toatã modestia cã, în ciuda duæmanilor mei, care sunt suporterii Numãrului 7, eu, Numãrul 3, reprezint desãvâræirea. Chinezii au recunoscut de mult aceastã virtute a mea! Mai trebuie sã observ cã 3 este primul numãr impar din æirul numerelor naturale, cã el se regãseæte pretutindeni în Univers, în Dumnezeu, ca æi în om. Triada: bine – adevãrat – frumos este permanent evocatã de cãtre oameni. Gingãæia æi feminitatea sunt legate de Numãrul 3. Cele Trei Graåii, cum le numeau romanii, sau Charite, în rostirea grecilor, erau seducãtoarele divinitãåi care o întovãrãæeau pe Zeiåa Dragostei. Sã atrag atenåia æi asupra perfecåiunii mele, cãci am æi început, æi mijloc, æi sfâræit; asupra frumuseåii mele etice: gândul bun, vorba bunã, fapta bunã stau la baza moralei – spuneau vechii persani. Fig. 1. Antonio Canova: Triada reprezintã marea obCele Trei Graåii (Charite) sesie a mitologiilor. În mitologiile mai vechi arabe se vorbeæte despre existenåa a trei Lumi de Dincolo: Paradisul, Infernul æi un fel de Purgatoriu. În concepåia brahmanã, sufletul Universului depinde de trei principii esenåiale: Arina în Åara Numerelor 17 reîncarnarea, karma æi datoria. Buddhismul evocã trinitatea divinã Trimurti (în sanscritã tri = trei, murti = divinitãåi). Brahmanismul admite triada supremã: Brahma, cel care guverneazã crearea Universului; Vishnu, principiu al conservãrii; Æiva, principiu al distrugerii – æi proclamã cã unirea omului cu Divinitatea se dobândeæte prin: acåiune, devotament æi meditaåie. Sã menåionez cã Buddha în sanscritã înseamnã atât de poetic: înflorit; trezit; iluminat. Pentru creætini, 3 reprezintã unitatea Dumnezeirii (Dumnezeu– Tatãl, Dumnezeu–Fiul æi Sfântul Duh). Sfânta Treime este esenåa divinã unicã în trei persoane. Existã trei religii monoteiste: iudaicã, creætinã, islamicã. În folclorul românesc, 3 este mult folosit: «Trei sute de oi; Cu trei ciobãnei; De trei zile încoace» (Mioriåa) sau «Cu trei femei de fecior; Cu trei funii de mãtase; De trei zile bea deplin; S-au bãut trei butoaie de vin; De trei palme lat în frunte/ Æi nu prea vorbeæte multe» (Gruia în Åarigrad) sau «Æi mergea, mergea/ Trei feciori cu ea/ La izvoare reci/ Trei feciori de greci» (Fata æi cucul). În poveætile cu Fãt-Frumos se zice «A mers trei zile æi trei nopåi»; «S-a luptat cu balaurul trei zile æi trei nopåi»“… Æi tot evocând argumente favorabile alegerii sale, Numãrul 3 adoarme… Numãrul 7 – dintotdeauna în top Numãrul 7 a meditat æi el, în acea noapte cam rãcoroasã de septembrie, la pledoaria sa: „Trei conduce de atâta amar de vreme treburile Åãrii Numerelor – spune el – æi n-a fãcut mare scofalã. Peste tot, lipsuri, dezordine, haos… E bãtrân æi depãæit de vremuri. Nu înåelege æi nu se poate adapta la orizontul mileniului al treilea. Åara are nevoie de schimbare. Schimbarea beneficã o pot oferi doar eu, Æapte. 18 Eliza Roman Numãrul 3 æi-a dat întotdeauna aere; eu n-am fãcut-o, deæi sunt tot atât de nobil ca æi el, poate chiar mai mult. Am o componenåã mai substanåialã. În vreme ce 3 este constituit din 1+2 sau 1+2x1, 7 este format din 1+2x1+2x2 sau 1+2+4 sau 20+21+22. Elegantã formulã! Totul atestã superioritatea mea faåã de 3! Nu sunt eu strãmoæul a douã ramuri deosebit de importante ale matematicii moderne? Problema celor 7 poduri din Königsberg, care cere sã se afle dacã un pieton poate traversa o datã æi numai o datã fiecare dintre cele æapte poduri din Königsberg în plimbarea sa, a fost rezolvatã prin negaåie de Euler æi a condus la crearea topologiei æi a teoriei grafurilor. Aåi auzit, sunt sigur, de piramida psihologului american Harold Abraham Maslov (1908-1970) privind nevoile omeneæti. Este alcãtuitã din 7 trepte: 1. nevoile fiziologice (hranã, adãpost, repaus, viaåã sexualã); 2. nevoia de securitate (echilibru emoåional în muncã, în viaåã etc.); 3. nevoile sociale (de ataæare æi apartenenåã la variate grupuri sociale); 4. nevoile psihosociale (respect de sine, prestigiu, consideraåie etc.); 5. nevoile cognitive; 6. nevoile estetice; 7. nevoia de autorealizare (în activitatea creativã). Cât priveæte comunicarea, aceasta se fundamenteazã pe 7 axiome; 1. este inevitabilã (non-comunicarea este imposibilã); 2. se desfãæoarã la douã niveluri: informaåional æi relaåional; 3. reprezintã un proces continuu, care nu poate fi tratat în termeni de cauzã æi efect sau stimul æi rãspuns; 4. îmbracã fie o formã digitalã, fie una analogicã; 5. este ireversibilã; 6. presupune raporturi de foråã æi implicã tranzacåii simetrice sau complementare; 7. presupune procese de ajustare æi de acomodare. Nimeni nu s-ar putea ridica împotriva universalitãåii mele. Sãptãmâna este formatã din 7 zile; culorile Curcubeului sunt 7. Cine n-a auzit de Cele 7 Minuni ale Lumii: Piramidele din Egipt, Grãdinile Suspendate ale Semiramidei de lângã Palatul lui Nabucodonosor Arina în Åara Numerelor 19 din Babilon, Statuia lui Zeus din Olimp, datoratã lui Phidias, Colosul din Rodos, Templul lui Artemis («Artemision») din Efes, Mausoleul satrapului Mausol din Halicarnas, Farul din Alexandria. Pe 7 îl întâlnim în toate mitologiile: în cea greacã, în cea islamicã, în cea buddhistã, dar æi în mitologiile precolumbiene, precum æi în folclorul multor popoare, în beletristicã, în poveæti æi în legende. E clar cã sunt o vedetã! Mitologiile mi-au recunoscut virtuåile, m-au considerat sacru, simbol al creaåiei, al desãvâræirii. Ele nu au negat niciodatã puterea mea magicã. Se spune cã Buddha, venind pe Lume, a mãsurat Universul fãcând câte 7 paæi în fiecare dintre cele patru direcåii. Patru dintre etapele esenåiale ale experienåei sale eliberatoare au corespuns unui popas de 7 zile sub 7 arbori. Allah, ca divinitate unicã æi universalã – spune teologia Islamului –, dispune de 7 atribute fundamentale, æi anume: 1. viaåa; 2. cunoaæterea; 3. foråa; 4. voinåa; 5. auzul; 6. vãzul; 7. cuvântul. Fiecare dintre acestea reprezintã un element energetic absolut. Potrivit Talmudului, 7 este simbolul totalitãåii umane; în Islam este un numãr fast, legat de fecunditate; la mayaæi, divinitatea agrarã era Zeul 7, acest arhetip al Omului Desãvâræit, care impunea familiei simbolul numeric 7. La dogonii din Africa, 7 era simbolul perfecåiunii: 4 – simbolul feminitãåii + 3 – simbolul bãrbatului. 7 este expresia Cuvântului Desãvâræit æi deci al unitãåii originare. 7 era numãrul zeilor la sumerieni, reprezentaåi pe frontispiciul Panteonului lor. Musulmanii sunt convinæi cã Paradisul este alcãtuit din 7 lãcaæuri: 1. Heruvimul lui Mahomed; 2. Huriile (fecioare deosebit de frumoase promise de Profet credincioæilor, în Paradis); 3. Tinerii Paradisului; 4. Cele 4 Flori; 5. Cele 4 Izvoare ale Paradisului; 6. Treptele Fericirii; 7. Sãrbãtorile æi ospeåele Paradisului. În viziunea lor, cele æapte faze ale Judecãåii de Apoi 20 Eliza Roman sunt: 1. apariåia în Cer a Coranului; 2. mãrturisirea celor fãptuite; 3. cântãrirea faptelor bune æi a celor rele; 4. puntea subåire ca firul de pãr, tãioasã ca lama sabiei; 5. peretele despãråitor dintre Cer æi Iad (un fel de Purgatoriu); 6. sacrificiul moråilor; 7. balaurul cel mare. În sfâræit, în Oceania se credea cã din perechea Cer – Pãmânt s-au nãscut cei 7 zei principali: 1. Hrana; 2. Vântul; 3. Luna; 4. Soarele; 5. Fructele æi Rãdãcinile; 6. Marea æi Peætii; 7. Rãzboiul æi Creaåia Omului. Numãrul 7 este frecvent folosit în Biblie. Se vorbeæte aici despre cele 7 Duhuri care sãlãæluiesc peste obâræia lui Iesel, despre cele 7 Ceruri, unde se aflã lãcaæul cetelor de îngeri. Se spune cã Solomon a zidit Templul din Ierusalim în 7 ani. Iar la asediul Ierihonului, 7 preoåi, cu 7 trâmbiåe, au ocolit în a 7-a zi de 7 ori cetatea, zidurile acesteia dãrâmându-se la glasul trâmbiåelor. În Vechiul Testament citim cã, la Potop, au fost salvate câte 7 animale curate din fiecare specie. Tot aici aflãm cum a tãlmãcit Iosif visul despre cele 7 vaci grase æi cele 7 vaci slabe. Este semnificativ, nu-i aæa, cã Vechiul Testament foloseæte de 77 de ori numãrul 7! În Apocalipsã, numãrul 7 figureazã de 40 de ori. Aici se pomeneæte despre cele 7 Duhuri care stau înaintea Scaunului «Celui ce este æi Celui ce era, Celui ce vine», despre cei 7 îngeri cu cele 7 cupe ale mâniei, cele 7 epistole trimise celor 7 Biserici care sunt în Asia, despre cele 7 trâmbiåe, cele 7 peceåi etc. E mai mult decât evidentã aprecierea de care mã bucur! Sfântul Augustin a admis cã 7 mãsoarã timpul în istorie, timp al peregrinãrii omului pe Pãmânt. Sã remarcãm cã pe 7 îl gãsim frecvent în folclorul românesc. De pildã, în Gruia în Åarigrad, întâlnim versuri precum: «Æapte ani sau împlinit; Æapte ani au æi trecut». El figureazã în multe basme, începând cu Albã ca Zãpada æi Cei 7 Pitici, Cei 7 Corbi, Croitoraæul cel Viteaz, care omoarã 7 dintr-o loviturã etc. Numãrul 7 s-a remarcat æi în literaturã. Cine n-a auzit de cele 7 Pleiade, de cele 7 fiice ale zeului Apollo sau ale Titanului Atlas æi Arina în Åara Numerelor 21 ale Nimfei Pleione urmãrite de îndrãgostitul Orion, pe care Zeus le-a strãmutat în Cer împreunã cu urmãritorul lor æi cu câinii lui æi i-a prefãcut în trei constelaåii: Pleiadele, Orion æi Câinii. Poezia a dat numele de Pleiadã celor 7 poeåi care au trãit sub Ptolemeu al II-lea Filadelful (309-246 î.e.n), rege al Egiptului, care æi-a legat numele de construirea Farului din Alexandria. Venind mai încoace, sã-l evocãm pe Dante Alighieri (1265-1321). Creatorul Divinei Comedii pomeneæte despre cele 7 sfere planetare, cãrora le corespund cele 7 arte liberale. Cele 7 prinåese ale poetului persan Nizami (c.1140-c.1202) împletesc simbolismul culorilor cu astrologia. În Jurnalul sãu, Liviu Rebreanu mãrturiseæte cã în romanul Adam æi Eva a recurs la teoria reîncarnãrii eroilor sãi pornind de la mitul platonician al împãråirii androginului în douã jumãtãåi (bãrbat æi femeie), care se cautã într-un ciclu de 7 vieåi terestre. Numãrul 7 i-a inspirat mereu æi pe muzicieni. Sunt sigur cã susåinãtorii mei au audiat oratoriul Cele 7 Poråi ale Ierusalimului, de compozitorul polonez Krzysztof Penderecki (n. 1933). Numãrul 7 este asociat, de asemenea, cu lampa roæie a societãåilor secrete chineze, care are 7 braåe, æi cu candelabrul cu 7 braåe al evreilor (menora). La încheierea celor schiåate pânã aici, o sã scot asul din mânecã: voi enumera cele 7 minuni ale lumii afacerilor: 1. cumpãrarea de cãtre S.U.A., în 1867, a peninsulei Alaska de la ruæi; 2. fondarea Intel (Integrated Electronics), în 1963, best-buy-ul secolului al XX-lea; 3. Coca-Cola, nãscutã acum mai bine de un secol, în 1896; 4. cumpãrarea de cãtre Microsoft a tehnologiei antivirus GECAD de la România; 5. industria pantofilor-sport Nike, apãrutã în 1972; 6. inventarea PET, adicã a banalei sticle de plastic; 7. impactul Internetului asupra lumii afacerilor. Aæadar, voi câætiga! Voi fi preæedinte!“. 22 Eliza Roman Φ – misteriosul Numãr de Aur Arina æi Gabriela, oaspeåii lui Cãtãlin, sunt vizibil conectaåi la tensiunea alegerilor prezidenåiale. Discuåia celor trei demareazã pe aceastã temã: Arina: Sunt propuæi æi candidaåi independenåi la preæedinåie? Are æanse vreunul sã-l învingã pe 3 sau pe 7? Cãtãlin: Da, Numãrul de Aur sau, dacã vreåi, misteriosul æi arogantul Φ . Dupã cum ætiåi, acest numãr face parte din clasa infinitã a numerelor iraåionale, mai rafinatã decât clasa numerelor naturale, cãreia îi aparåin 3 æi 7. Dar chiar æi în cadrul clasei numerelor iraåionale, Numãrul de Aur e mai cu moå printre confraåii lui. Abia a început discuåia, cã celor trei li se alãturã Andrei, un coleg al lui Cãtãlin. Dupã prezentãrile de rigoare, Cãtãlin îi explicã lui Andrei interesul oaspeåilor lui pentru Numãrul de Aur. Andrei intervine cu propriile lãmuriri: Andrei: Printre numerele iraåionale, Numãrul de Aur ocupã, într-adevãr, un loc privilegiat; e prezent constant în geometria decagonului æi a pentagonului. Arina: Mai întâi, spuneåi-mi ce este Numãrul de Aur? Cãtãlin: În termeni matematici, este acel numãr mai mic decât pãtratul sãu cu exact o unitate. Cu alte cuvinte, este soluåia ecuaåiei x2 - x - 1 = 0. Arina: Æi care-i originea lui? Cãtãlin: Originea Numãrului de Aur trimite la mecanismele corpurilor platonice. Gabriela: Au fost denumite æi numere pitagorice sau cosmice. Sunt cunoscute înaintea lui Platon (428-348/347 î.e.n.) de cãtre pitagoreici. Andrei: Mai precis, este vorba despre cele cinci poliedre regulate: Arina în Åara Numerelor 23 tetraedrul, cubul, octoedrul, dodecaedrul æi izocaedrul. Dacã-i aæa, atunci ceea ce numim mistica Numãrului de Aur se aflã în strânsã corelaåie cu mistica numerelor 5 æi 10. Gabriela: Lucrurile se leagã. Nu întâmplãtor, cei vechi puneau mare preå pe aceste numere. Relaåia dintre 10 æi primele 4 numere din æirul numerelor naturale: 10 = 1 + 2 + 3 + 4 o numeau tetradis. Termenul tetradis apare explicit în jurãmântul sacru al pitagoreicilor. Cãtãlin: La greci, 10 – decada – desemna Universul! Andrei: Existã o strânsã legãturã între Numãrul de Aur æi modul în care se taie diagonalele poligoanelor cu 5 æi cu 10 laturi, adicã pentagonul æi decagonul, precum æi între diagonala pentagonului æi latura lui. Cãtãlin: De fapt, Numãrul de Aur este însãæi cheia construcåiei pentagonului! Arina: Cine l-a descoperit? Gabriela: A fost cunoscut cu mult înaintea grecilor. Egiptenii l-au folosit la construcåia piramidelor. Arina: Ei l-au botezat aæa de pompos? Cãtãlin: Nu. O sã vezi puåin mai încolo. Nici chiar discipolii lui Pitagora (570-480 î.e.n.), care l-au folosit, nu i-au pus un nume! Arina: Æi pe urmã? Andrei: Numãrul de Aur a avut un impact deosebit în timpul Renaæterii. Astronomul german Johannes Kepler (1571-1630) spunea despre acest numãr cã este „o bijuterie“. Leonardo da Vinci (1452-1519) a descoperit Numãrul de Aur atunci când a studiat proporåiile dintre diferitele pãråi ale corpului omenesc. El l-a îndemnat pe matematicianul italian Luca Pacioli (1445-1510) sã scrie o carte despre acest Arina: 24 Eliza Roman Gabriela Arina: Cãtãlin: Arina: Cãtãlin: Arina: Cãtãlin: numãr. Pacioli a publicat, la Veneåia, în 1509, Divina proportione, bogat ilustratã de Leonardo da Vinci. Este cea dintâi expunere a proprietãåilor matematice ale Numãrului de Aur. Am citit undeva cã pictorul æi gravorul german Albrecht Dürer (14711528) a venit la Bologna sã se iniåieze în arta perspectivei de la Pacioli. De fapt, ce a descoperit Pacioli? Luca Pacioli a fost convins cã a dezvãluit o ætiLuca Pacioli inåã secretã. El considera cã Numãrul de Aur este asemenea Sfintei Treimi, fiindcã reprezintã o relaåie între trei numere, dintre care cel mai mare este suma celorlalte douã, astfel încât raportul celui mai mare faåã de cel mediu este egal cu raportul celui mediu faåã de cel mic. Am impresia cã ne învârtim în jurul cozii. Eu vreau sã ætiu concret ce este æi ce valoare are acest numãr, pe care nu faceåi altceva decât sã-l ridicaåi în slãvi. Valoarea lui este 1,618033… Iar expresia lui geometricã este legatã de problema împãråirii unui segment printr-un punct, respectând o anumitã condiåie, care asigurã armonia. Nu înåeleg nimic! Hai sã procedãm altfel. Sã luãm un segment AB æi sã fixãm pe el un punct C, care sã îndeplineascã urmãtoarea condiåie: sã fie astfel poziåionat încât segmentul mai mare AC sã fie media proporåionalã între întregul Arina în Åara Numerelor 25 segment AB æi partea rãmasã CB. Uite aici, pe hârtie; trebuie sã avem proporåia: A C B AB = AC A C C B Am spune, în limbaj modern, cã punctul C opereazã AC o secåiune de aur, iar raportul se numeæte CB Numãrul de Aur. Arina se agitã. Cãtãlin: Te rog, Arina, lasã-mã sã continui. Observi în aceastã figurã cã AB = AC + CB. Introduc aceastã sumã în proporåia de mai sus æi obåin: AC + CB AC = , AC CB expresie pe care o pot scrie: AC CB AC + = æi, în continuare, AC AC CB 1+ C = B A C A C C B Gabriela: Ei æi? Cãtãlin: Stai puåin, Gabi! Am spus, ceva mai înainte, cã AC raportul reprezintã Numãrul de Aur. Pentru virCB tuåile lui incontestabile, a fost botezat cu iniåiala numelui celebrului sculptor grec Fidias (Phidias) – Φ . 26 Eliza Roman În formula mea de mai sus, avem, aæadar: æi CB 1 , adicã inversul lui, este . Φ AC 1 Formula devine 1 + = F AC = Φ CB . F 2 Φ 1 Deci o ecuaåie pe care o pot scrie + = Φ Φ 2 – – 1 = 0. sau Cãtãlin: Exact. Iar aceastã ecuaåie o rezolvãm uæor. Ia æi tu pixul æi socoteæte. 2 – – 1= 0 se Arina (face calculele): Rãdãcinile ecuaåiei Arina: F F F F F F obåin prin metoda de rezolvare a ecuaåiilor de gradul − b ± b 2 − 4ac ; doi: ax + bx +c = 0, x1, 2 = 2a în cazul nostru a = 1, b = – 1, c = – 1. Obåinem cã 2 F Cãtãlin: Andrei: Cãtãlin: Arina: Andrei: are valoarea 1,618033988… Da. Dar nu vãd încã aura de misticism care-l înconjoarã pe Φ . Numãrul de Aur asigurã armonia. Mai este æi un alt motiv care a contribuit la sacralizarea Numãrului de Aur. Simplu, e raportul dintre douã numere consecutive din æirul lui Fibonacci. Cine mai e æi acest Fibonacci? Nimeni altul decât matematicianul Leonardo din Pisa (1180-1230). Era poreclit Fibonacci, adicã Arina în Åara Numerelor 27 feciorul lui Bonacci. El a transpus, printr-un æir de numere, o lege importantã referitoare la creæterea organicã. Pornind de la problema: câte perechi de iepuri de casã se nasc într-un an dintr-o singurã pereche de iepuri, Fibonacci a stabilit æirul urmãtor, care-i poartã numele: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ……. Acest æir se bucurã de urmãtoarea proprietate: fiecare termen al lui, începând cu cel de-al treilea, este egal cu suma celor doi termeni precedenåi (3 = 2 + 1; 5 = 3 + 2; 8 = 3 + 5; 13 = 5 + 8). Or, raporturile a doi termeni consecutivi din aceastã serie tind spre Φ . 8 5 Andrei: Cãtãlin: = 1,6; 1 3 8 = 1,625; 2 1 1 3 = 1,61…; 34 = 1,619 21 De-a lungul veacurilor, oamenii l-au venerat pe Fibonacci pentru aceastã descoperire. În prezent, Asociaåia Fibonacci, creatã în 1963, publicã o revistã consacratã acestui matematician italian, intitulatã „Fibonacci Quarterly“. E uæor de urmãrit pe Internet, la adresa: www.MSCS.dat.ca.Fibonacci. Æirul 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... tinde rapid spre o progresie geometricã ce are ca raåie Numãrul de Aur, dar Fibonacci nu ætia acest lucru. Luna tre- Leonardo din Pisa cutã, am avut norocul sã foi(Fibonacci) letez traducerea în limba englezã a volumului Liber Abaci – Cartea socotitului (1202), datoratã lui Laurence Siegler. Face parte din pregãtirea specialã pentru concurs. Practic, avem de-a 28 Eliza Roman face cu un manual de aritmeticã, în care întâlnim aspecte dintre cele mai diverse. El oferã criterii de divizibilitate, uæureazã adunarea fracåiilor cu ajutorul celui mai mic multiplu comun, introduce æirul numeric care poartã numele autorului. Æi tot aceastã carte pune bazele calculului comercial. Aæ observa însã cã, din cele 600 de pagini ale cãråii lui Fibonacci, doar o jumãtate de paginã trateazã problema iepurilor! Æi tot fãcând „sãpãturi“, am aflat cã problema nu era originalã! O fi ætiut, oare, Fibonacci cã un cãlugãr enciclopedist englez – Beda Venerabilul (c. 672/673735) –, cunoscut pentru faimoasa lui metodã de calcul cu degetele, a inclus, în aritmetica sa, problema iepurilor cu aproximativ 500 de ani înaintea lui? Gabriela: Pãi, caracteristicile acestea ne garanteazã puterea nemãsuratã pe care o pretinde Numãrul de Aur? Cãtãlin: Numãrul de Aur susåine cã are toate atuurile sã devinã preæedinte – ca independent – fiindcã, în fond, asigurã armonia atât în naturã, cât æi în artã. Pretutindeni æi întotdeauna se apeleazã la virtuåile lui pentru a se veni cu explicaåii satisfãcãtoare. Arina: Vreau exemple. Cãtãlin: De pildã, pe baza viziunii sale, au fost stabilite dimensiunile camerei regale din Marea Piramidã a lui Keops. Ombilicul împarte corpul omenesc conform Numãrului de Aur, asigurându-i armonia. Numãrul de Aur reprezintã canonul dupã care pot fi stabilite proporåiile diferitelor pãråi ale unei clãdiri. Arhitecåii au construit catedralele gotice folosind „tãietura de aur“. Mulåi artiæti æi esteticieni vãd în caracteristicile matematice ale Numãrului de Aur fundamentul virtuåilor estetice. Ei sunt de pãrere cã Arina în Åara Numerelor 29 acesta simbolizeazã perfecåiunea, oferind, în acelaæi timp, o explicaåie universalã a simåului estetic. Folosind aceste argumente, Numãrul de Aur ajunge la concluzia cã el reprezintã, de fapt, explicaåia unicã æi ultimã a Frumosului, cã este Divin! Gabriela: La noi se ætia ceva despre toate acestea? Cãtãlin: Am sã-åi spun un lucru care o sã-åi placã: Numãrul de Aur este profund îndatorat unui compatriot al nostru, Matila Ghyka (1881-1965), ale cãrui cercetãri de pionierat ilustreazã legãtura intimã dintre matematicã æi artã. Opera lui Matila Ghyka, creatã în deceniile II-III ale veacului trecut, este, dupã cum bine spune acad. Solomon Marcus, „prin excelenåã o operã deschisã care ne invitã mereu la o nouã lecturã, în funcåie nu numai de achiziåiile noi ale ætiinåei, ci de propria noastrã sensibilitate“ (Solomon Marcus, Arta æi ætiinåa, Bucureæti, Editura Eminescu, 1986). Andrei: Am preamãrit virtuåile Numãrului de Aur în artã, dar despre impactul lui în naturã n-am pomenit mai nimic. Frecvenåa cu care întâlnim Numãrul de Aur în naturã este impresionantã. Plantele, animalele æi omul se caracterizeazã prin raporturi care se apropie de acest numãr. Ætiaåi cã lista descendenåilor unei albine-mascul este reprezentatã prin æirul lui Fibonacci? La plante, amplasarea frunzelor în jurul tulpinii respectã Numãrul de Aur, care le asigurã maximum de luminã. Spiralele seminåelor de floarea-soarelui sunt dispuse în receptacul pe baza Numãrului de Aur. Mãsuraåi-vã din creætet pânã în tãlpi, apoi de la ombilic pânã la tãlpi æi veåi gãsi Numãrul de Aur prin împãråirea celor douã distanåe. Mãsuraåi lungimea braåului de la umãr la vârful 30 Eliza Roman Cãtãlin: Andrei: degetelor æi împãråiåi-o la distanåa dintre cot æi vârful degetelor æi veåi gãsi Numãrul de Aur! Eu am un tricou, la care åin mult, pentru cã reprezintã un foarte cunoscut desen al lui Leonardo da Vinci, botezat Omul Vitruvian, dupã numele celebrului inginer æi arhitect roman Marcus Pollio Vitruvius (secolul I î.e.n). Desenul este inclus în volumul acestuia De architectura; o sã vi-l arãt, fiindcã reprezintã ilustrarea optimã a Numãrului de Aur la om. Omul Vitruvian figureazã æi pe moneda de 1 euro. Eu sunt, pur æi simplu, uluit de posibilitatea acestui numãr de a fi reprezentat printr-o fracåie continuã infinitã, adicã: 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 + ...... Or, fracåiile continue aproximeazã cel mai bine un numãr iraåional. Arina: Pe mine mã impresioneazã perenitatea Numãrului de Aur. O ilustreazã absolut magnific arhitectul æi pictorul francez Charles Le Corbusier (1887-1965). El a creat un nou sistem al proporåiilor arhitecturale, brevetat în 1945, care se bazeazã pe Numãrul de Aur. Iar Dan Brown l-a evocat în romanul sãu Codul lui da Vinci. Andrei: Ar mai fi de spus cã, în locul „tãieturii de aur“, Le Corbusier a ales o scarã de proporåie care sã corespundã cerinåelor arhitecturii din timpul sãu. Acest etalon modern l-a denumit modular, având înåelesul din Antichitate æi Renaætere pentru „tãietura de aur“. Cãtãlin: Arina în Åara Numerelor 31 Buclucuri matematice Arina viseazã cã se aflã în parcul din Åara Numerelor æi citeæte cartea despre numere scrisã de Florica T. Câmpan, apãrutã în 1965. La un moment dat, se aæazã lângã ea un domn mai în vârstã, cu o înfãåiæare sobrã. Se simte de departe cã e un cãrturar, un profesor. Curios din fire, trage cu ochiul la cartea Arinei. Profesorul: Vã intereseazã numerele, domniæoarã? Arina: Foarte mult, domnule. Numerele pun ordine în viaåa omului. Profesorul: Dar pot provoca æi buclucuri. Arina: De ce? Profesorul: Sã vã explic. Ætiåi cã vin alegerile. Se spune cã nu poate exista scrutin perfect. Æi fiindcã nu-mi place sã fiu manipulat, m-am gândit sã mã documentez la o sursã sigurã: matematica electoralã. Arina: Existã aæa ceva?. Profesorul: Fireæte. Pãrintele matematicii electorale este cunoscutul marchiz de Condorcet (1743-1794), matematician, filosof, economist, dar æi om politic francez. Arina: Dupã alegeri, urmeazã ceva foarte dificil: repartizarea corectã a locurilor în parlament. Profesorul: Da, æi asta a produs dintotdeauna dureri de cap. Criteriul cel mai frecvent adoptat a fost acela al proporåionalitãåii. Chiar aplicat cu acurateåe, acest criteriu duce la încurcãturi, dacã nu la situaåii de-a dreptul ridicole. Folosindu-l, se poate ajunge la o repartiåie a locurilor de genul: 30,005; 84,9317; 24,598 etc., etc. Evident, numerele acestea le-am ales întâmplãtor, pentru a ilustra fenomenul. Deci legiuitorii sunt obligaåi, pe de o parte, sã rotunjeascã totalurile obåinute, iar pe de alta sã nu comitã ilegalitãåi. 32 Eliza Roman Or, chiar æi în matematica purã problema rotunjirilor devine una cumplitã. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) – considerat de cãtre unii cel mai mare matematician al tuturor timpurilor – spunea cu umor cã unica soluåie pentru rotunjire este… tragerea la soråi! Arina: Democraåiile occidentale nu i-au dat de capãt? Profesorul: În S.U.A., mari personalitãåi ale ætiinåei au încercat sã rezolve aceastã problemã, dar n-au ajuns la soluåii satisfãcãtoare. Am aici numeroase exemple pe care le-am cules din literatura de specialitate. O sã-åi arãt douã. În primul caz, e vorba de cinci state federale, notate cu A, B, C, D, E, cãrora trebuia sã le fie repartizate 26 de locuri. Dupã metoda lui Alexander Hamilton (1757-1804), om de stat american, colaborator a lui George Washington æi fondator al partidului federalist, repartiåia urma sã fie fãcutã ca în tabelul pe care åi-l arãt acum: Statul Populaåia Numãrul real Prima rundã A doua rundã (sute al reprede de de mii) zentanåilor distribuire distribuire A 9.061 9,061 9 9 B 7.179 7,179 7 7 C 5.259 5,259 5 5 D 3.319 3,319 3 4 E 1.182 1,182 1 1 Total 26.000 26 25 26 Dupã cum se vede, domniæoarã, în prima rundã Hamilton a renunåat la partea zecimalã æi a ajuns la 25 de reprezentanåi. În cea de-a doua rundã, a repartizat statului D un loc în plus, deoarece partea zecimalã Arina în Åara Numerelor 33 a lui D este cea mai mare. Hamilton a încercat încã o îmbunãtãåire: a mãrit numãrul locurilor la 27 æi a propus urmãtoarea nouã repartiåie: A = 9 locuri; B = 8 ; C = 6; D = 3 æi E = 1. În acest caz, câætigã statele B æi C, dar pierde statul D. Aceastã manevrã subtilã este cunoscutã sub numele de Paradoxul Alabama. Arina: Aæa se ajunge la înfundãturã. Nu existã o altã cale? Profesorul: Ba da, existã o metodã celebrã de repartiåie, propusã de Thomas Jefferson (1743-1826), preæedinte al S.U.A. între 1801 æi 1809, adoptatã de George Washington (1732-1799). Este cunoscutã sub numele de metoda celor mai mari divizori. Pe când Hamilton a folosit ca divizor numãrul 1 000, Jefferson a recurs la numãrul 906,1. Alegerea lui 906,1 ca divizor îi dã lui Jefferson 10 locuri pentru statul A, 7 locuri pentru statul B, 5 locuri pentru statul C, 3 locuri pentru statul D æi 1 loc pentru statul E, deci un total de 26 de locuri. Cu metoda acestuia din urmã, statul cel mai populat a mai câætigat un reprezentant. Mult mai rar, e drept, se adoptã sisteme de reprezentare preferenåialã, în care caz buclucul e æi mai evident. Arina: Dupã câte constat, socotelile pot duce, oriunde în lume, la paradox. Profesorul: Nu la un paradox, ci la un numãr mare de paradoxuri, ale cãror mecanisme sunt detectate æi analizate de specialiæti cu ajutorul unor tehnici mai vechi sau chiar foarte noi ale matematicii, mai mult sau mai puåin sofisticate. Arina: Care ar fi cele mai „fioroase“ dintre aceste paradoxuri? Profesorul: Bunãoarã, Paradoxul lui Condorcet, potrivit cãruia preferinåele indivizilor exprimate prin vot sunt 34 Eliza Roman „intranzitive“, ceea ce înseamnã cã de multe ori opåiuni pertinente ale cetãåenilor sunt respinse de mari grupãri sociale ca fiind „iraåionale“. Dintre paradoxurile matematicii politice, celebru este cel al cunoscutului economist american Kenneth J. Arrow (n. 1921), care a admis cã din punct de vedere matematic idealul democraåiei perfecte este imposibil. Afirmaåia aceasta i-a nãucit æi pe matematicieni, æi pe economiæti, dar i-a asigurat autorului Premiul Nobel, în 1972! Arina: Dacã nu îndrãznesc prea mult, aæ dori sã-mi mai vorbiåi despre paradoxuri. Profesorul: Atunci sã mai abordãm un aspect: se ætie cã, în general, sistemul preferenåial conduce, prin transfer, la multe paradoxuri. Acest sistem face ca acela care, de fapt, are dreptul sã învingã, pânã la urmã sã fie învins. Un paradox important Kenneth J. Arrow este cel al amendamentului, care se preteazã la viclenii. Iatã, sã presupunem cã în Camera Reprezentanåilor se propune un amendament la o lege. Dacã acesta este acceptat, la al doilea scrutin se cere sã se aleagã între legea amendatã æi respingerea legii. În acest fel, de multe ori legi bune cad la al doilea scrutin, din pricina unor amendamente propuse în mod viclean. SECVENÅE DE ISTORIE Ionuå aflã despre apariåia numerelor Arina: Ionuå: Arina: Ionuå: Arina: Ionuå: Arina: De ce eæti îmbufnat, Ionuåe? Cum sã nu fiu! Tu te distrezi æi citeæti tot felul de poveæti despre numere, o sã participi la concurs, poate o sã pleci în Marea Britanie, iar eu învãå, fac æi desfac probleme. Am numai 10 la matematicã, dar n-am voie sã particip…, cicã sunt prea mic. Adevãrul e cã nu-s tare la istoria numerelor, n-am idee cum au apãrut ele. Câte ceva pot sã-åi spun eu. De exemplu, cum au început sã numere strãbunii noætri? Ionuåe, totul a plecat de la naturã. Ca sã mãsoare cantitãåi (cereale, piei de animale etc.), strãmoæul nostru se folosea fie de pietricele sau de scoici, fie de boabe de cereale sau de beåiæoare, care åineau loc de numãr. Lua, de pildã, un beåiæor æi o piele de animal, pe care le punea, sã zicem, în stânga pielea æi în dreapta beåiæorul; lua, în continuare, alt beåiæor æi cea de a doua piele; proceda la fel pentru a treia, a patra æ.a.m.d. Au existat æi alte modalitãåi pentru a avea o evidenåã a bunurilor? La babilonieni, stãpânul proceda într-un mod asemãnãtor atunci când încredinåa pãstorului turma sa. Pentru fiecare oaie predatã acestuia punea într-un bol de lut proaspãt frãmântat câte o pietricicã. Atunci 36 Eliza Roman Ionuå: Arina: Ionuå: Arina: Ionuå: Arina: Ionuå: Arina: când încheia predarea oilor, astupa bolul, care se solidifica. La revenirea turmei, se spãrgea bolul æi se proceda invers decât la predare. Pentru fiecare oaie recepåionatã se extrãgea din bol câte o pietricicã. Dacã rãmâneau pietricele în bol, ciobanul era obligat sã dea explicaåii stãpânului. Dacã, dimpotrivã, nu ajungeau pietricelele, însemna cã între timp oile s-au înmulåit. Dar la noi? La noi gospodarul æi pãstorul au folosit în acelaæi scop rãbojul, iar plutaæii încrustãrile pe cherestea. Ce este rãbojul? Pretenåios spus, este un instrument de evidenåã æi de control în tranzacåii comerciale, înregistrãri fiscale æ.a. Practic, este o bucatã de lemn, un beåiæor pe care se marcheazã linear, prin crestãturi, diverse cantitãåi (mãrfuri, sume de bani, numãr de animale etc.). Apoi acest suport de lemn se despicã în douã, fiecare parte rãmânând în posesia unei jumãtãåi de beåiæor. Acest obicei a fost pãstrat mai ales printre ciobani. Sã mai reåii, Ionuåe, cã, în vremuri de demult, oamenii îæi foloseau mâinile pentru a numãra. În clasa I socoteam pe degete! Cu ajutorul mâinilor strãbunii numãrau pânã la 10, iar pentru numere mai mari se serveau æi de degetele de la picioare. Oricum, Ionuåe, te felicit cã vrei sã æti cât mai multe despre numere. Nu trebuie sã fii trist cã nu participi la concurs. Peste câåiva ani o vei face cu brio. O sã câætig, ai sã vezi! Ætii cã mã pasioneazã æi numerele figurative. Precis cã ai pornit de la metoda grecilor, care Arina în Åara Numerelor 37 reprezentau numerele naturale prin construirea de figuri geometrice cu ajutorul pietricelelor. Cum ai ghicit? Tocmai mã gândeam la numerele triunghiulare, formate din mai multe pietricele aæezate în formã de triunghiuri echilaterale, apoi la numerele pãtratice, pentagonale, poligonale. Deseneazã-mi câteva. Ionuå: Arina: Ionuå deseneazã: • • • • • • • • • • • • • • • • • • 3 4 5 6 Ionuå: Arina: Ionuå: • Poftim. E simplu, numerele triunghiulare se obåin unul din altul, adaugându-se la baza triunghiului precedent un nou rând de pietricele având o unitate în plus (adicã o pietricicã în plus). Ele se obåin adãugând întregii consecutivi: 1; 1 + 2; 1 + 2 + 3; 1 + 2 + 3 + 4 æ.a.m.d. Ætiu cã æiruri de numere de genul acestora i-au preocupat nu numai pe greci, ci æi pe egipteni, pe babilonieni, pe hinduæi æi pe chinezi. Pe greci i-au delectat! Pe mine, la fel. Uite, aæ nota pe 1, 3, 6 æi 10 aæa: • • • • • • • • • • • • • 1 3 6 • • • • • 10 • 38 Eliza Roman Ionuå: Ionuå: Arina: Ionuå: Arina Ionuå: Aæ folosi pentru asta rubine. Pun întâi 1 rubin, apoi adaug 2 rubine æi îl obåin pe 3, dupã care pun încã 3 rubine æi îl obåin pe 6. Nu e frumos? Numerele pãtratice le-aæ face din safire. Aæa ar arãta 1, 4, 9, 16: • • • • • 1 4 • • • • • • • • • 9 • • • • • • • • • • • • • • • • 16 Numerele pãtratice se obåin prin adãugarea numerelor impare consecutive. Numerele pãtratice se pot obåine æi prin alãturarea a câte douã numere triunghiulare, Grecii deduceau numerele poligonale din numere triunghiulare, încã de acum 2300 de ani. Îåi fac eu un desen pentru numere pentagonale. Iatã-l: Ionuåe, eæti o contradicåie! La capitolul numere figurative devii sau ai æi devenit as. Mie îmi plac mult numerele figurative! Poveætile cu aceste numere le gãsesc cool! Pe tema asta o sã fac o expoziåie color la æcoalã. Arina în Åara Numerelor 39 Omul a numãrat înainte de a vorbi E mult de când a plecat Ionuå. Cufundatã în fotoliu, Arina se gândeæte la miracolul apariåiei numerelor. Se ætie – îæi spune ea – cã omul a inventat mai întâi numerele æi mai apoi literele. Dar ce ætim despre capacitatea omului de a recunoaæte æi de a mânui numerele? Cu jumãtate de secol în urmã, lingvistul american Noam Chomsky (n. 1928) a afirmat cã orice fiinåã umanã se naæte cu capacitatea vorbirii naturale. În prezent, specialiætii în ætiinåele neurologice susåin cã existã competenåe nonverbale care permit evaluarea cantitãåilor chiar înainte de stãpânirea limbajului. Mecanisme preexistente au fost detectate la nou-nãscuåi, care-i ajutã la evaluarea, compararea æi chiar operarea cu cantitãåi extrem de reduse. Începând de la æase luni, sugarul deosebeæte cantitãåile foarte mici, pe care le poate aduna sau scãdea prin mijloace nonverbale. Ulterior, pe la doi sau trei ani, copilul îæi foloseæte degetele în acelaæi scop. Mai târziu, el se va servi de un sistem bazat pe limbajul articulat, care-i va permite sã efectueze calculele în mod precis. Am citit cã imagineria cerebralã a permis descoperirea unei largi reåele de circuite neuronale în creier care asigurã calculul mental. Ele implicã multiple regiuni situate pe loburile frontal æi parietal æi variazã paråial potrivit tipului de operaåie efectuatã: comparaåie, adunare, scãdere sau înmulåire. Se vehiculeazã ipoteza cã în calculul mental sunt implicate douã sisteme cerebrale: unul nonverbal, bazat pe sensul numerelor æi pe manipularea cantitãåilor; celãlalt verbal, bazat pe memorizarea calculelor (adunãri simple æi înmulåiri). Sistemul nonverbal stã la baza capacitãåii aritmetice a copilului æi este legat de circumvoluåiunea intraparietalã. Trebuie sã mã mai gândesc... S-a fãcut miezul nopåii. PRIN CLUBURI Asociaåia Iubitorilor Numãrului Un grup de colegi de clasã ai Arinei discutã aprins, pe când ceilalåi danseazã æi scandeazã un soi de descântec: Sandra: Pieriåi pentagoane, hexagoane Æi alte goane, Cum pier negurile, Cum se sting vânturile. Valentin: Pieriåi ecuaåii plicticoase, Pieriåi matrici ticãloase, Cum se risipeæte roua la Soare, Cum dispare spuma de mare. Margareta: Fugiåi gânduri blestemate De ipoteze alambicate, Concluzii întortocheate Æi demonstraåii îmbârligate. În replicã, Arina le propune colegilor sã se organizeze într-o Asociaåie a Iubitorilor Numãrului. Propunerea este primitã cu aplauze. Arina este aleasã preæedinta Asociaåiei. Pentru început, ea va trebui sã creeze o bazã de date necesarã pregãtirii candidaåilor pentru concurs. Preæedinta îæi ia imediat rolul în primire æi distribuie sarcini fiecãrui membru al Asociaåiei: Sandra va studia matematica la egipteni; Valentin se va edifica asupra sistemului de numãrare al Arina în Åara Numerelor 41 aztecilor æi mayaæilor; Margareta va culege materiale despre matematica la sumerieni æi la babilonieni; Toma va aduce informaåii despre matematica la greci; Stela despre matematica la romani; Mihai, împreunã cu Nic, va cãuta informaåii despre sistemele alfabetice de numãrare; Cristi æi Rodica vor culege informaåii despre matematica la chinezi; iar Bogdan æi Ionuå, despre matematica la indieni. Æi, bineînåeles, fiecare va vizita clubul profilat. La Clubul Primelor Zece Numere Nopåile Arinei sunt populate de vise, cel mai adesea în legãturã cu numerele. Iatã unul dintre ele: se fãcea cã este invitatã la Clubul Primelor Zece Numere. Un portar stilat, semãnând mai degrabã cu un lord din veacuri trecute, o pofteæte înãuntru. O întâmpinã Numãrul 1, care-i adreseazã „Bun venit!“. Arina mulåumeæte æi încearcã sã-æi exprime dorinåa de a afla cât mai multe despre el æi despre confraåii lui. Domnule Unu, vã mãrturisesc cã sunt o admiratoare a Domniei Voastre æi ætiu multe despre prezenåa Numãrului 1 în lume. Numãrul 1: Sunt încântat sã aflu asta! Arina: Ætiu cã Numãrul 1 a fost reprezentat printr-o linie verticalã de cãtre sumerieni, babilonieni, egipteni, hinduæi, romani, arabi, chinezi (uneori), cu o linie orizontalã de cãtre japonezi æi chinezi, iar cu un punct de cãtre mayaæi. Evreii, fenicienii, arabii, grecii îl notau cu prima literã a alfabetului lor… Arina: În acel moment, intrã în salã trei tineri. Numãrul 1 face prezentãrile: Cristina æi Cabiria, studente la Psihologie, respectiv la Teologie, æi Sorin, doctorand în Filosofie. 42 Eliza Roman Discutam despre Numãrul 1. De aceea am æi venit aici. Admiraåia mea pentru Domnia Sa e imensã. unu reprezintã locul-simbol al fiinåei, centrul cosmic æi ontologic. Impactul lui este covâræitor. Dupã filosoful grec Xenofan (Xenophanes) (570-480 î.e.n.), unu semnificã pe Zeul Unic sau pe Zeul Cel Mare; este numãrul numerelor, simbolizând unitatea, absolutul. Sã ne reamintim monada matematicianului æi filosofului german Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): unu este cuvântul-cheie care stã la baza religiilor monoteiste. În povestirile legendare, cât æi în motivele folclorice, Dumnezeu Cel Unic este foarte frecvent simbolizat prin 1. Cristina: Iar dupã psihiatrul elveåian Carl Gustav Jung (18751961), unu este simbol unificator. Numãrul 1: Constat, cu respect, cã se ætiu multe despre mine æi sunt încântat sã vã prezint colegilor mei. Aæ începe cu cel mai apropiat: Numãrul 2. Obâræia lui este legatã de noåiunea de pereche. La început, a fost reprezentat prin repetarea lui 1, ulterior a devenit independent. Arina: Mi-aæ permite, Domnule 2, sã afirm cã impactul Domniei Voastre este, într-adevãr, remarcabil. Sunteåi cel dintâi numãr par æi cel dintâi numãr prim din æirul numerelor naturale. Numele Domniei Voastre este pomenit în toate limbile. Oamenii se împart în bãrbaåi æi femei, iar la baza moralei se aflã conceptul dual bine – rãu. Numãrul 2: Mã flataåi, domniæoarã. Cristina: Dupã filosofia zoroastricã, lumea a luat naætere din dedublarea timpului primordial, timpul infinit, care produce din sine însuæi dualitatea bine – rãu. Cabiria: Douã sunt principiile cosmogonice ale mitologiei chineze, vãzute ca primii zei nãscuåi din haosul Arina: Sorin: Arina în Åara Numerelor Arina: Sorin: Cabiria: Cristina: Sorin: Cristina: Sorin: 43 oceanului primordial: yin = principiul feminin; yang = principiul masculin. Sã revenim la discuåia noastrã æi sã constatãm cã viaåa de zi cu zi se exprimã prin elemente binare. Ne referim continuu la zi æi noapte, la individ æi societate, la Cer æi Pãmânt, la viaåã æi moarte. Suntem permanent preocupaåi de sãnãtate æi boalã, de sãrãcie æi bogãåie, de fericire æi nenorocire. În metafizica grecilor, regãsim frecvent ceea ce ei numeau Diada. Aristotel a întemeiat teoria categoriilor pornind de la ideea cuplurilor contrare. Mã gândesc la rolul antinomiei par–impar în filosofia pitagoreicilor. Gândirea noastrã se bazeazã pe folosirea dihotomiilor de tipul: întreg–parte, finit–infinit, cantitativ–calitativ, ordine–haos, simetrie–asimetrie, local–global, transformare–invariant. Aæ spune cã matematicienii sunt obsedaåi de ideea dualitãåii. Nu vã miraåi. E o formulã capabilã de douã înåelesuri, ambele adevãrate, unul obåinut din celãlalt prin simpla permutare reciprocã. Dar aria de operare a dualitãåii depãæeæte matematica, incluzând logica æi programarea la calculator. În chimie, avem numeroase substanåe formate din douã elemente, în gramaticã lucrãm cu singular æi plural, existã electricitate pozitivã æi electricitate negativã etc. Numai douã cuvinte, dacã tot a venit vorba despre doi: toatã lumea asociazã informaticii termenul binar. Numerele cu care lucreazã calculatorul aparåin sistemului cu baza 2, adicã 0 æi 1. Algebra pe care o foloseæte calculatorul lucreazã cu douã variabile, care pot lua valoare de adevãr sau de fals æi care sunt 44 Eliza Roman reprezentate în sistem binar prin 0 æi 1. Perechea 1–0 traduce circuitul electric deschis sau închis. Cristina: Pânã la urmã, binaritatea nu este, totuæi, o cunoscutã de datã modernã. Au descoperit-o cãutãtorii de aur din Africa. Baulii din Côte d’Ivoire l-au adoptat pe 2 ca bazã pentru sistemul lor de greutãåi. Sorin: Aæ vrea sã adaug cã, în subconætientul individual, coexistenåa a douã componente de „gen“, sub forma elementelor arhetipale animus æi anima, constituie una dintre descoperirile datorate lui Jung. Cabiria: Sã nu uitãm nici de liricã; metrica schemelor ritmice ale versului se bazeazã pe un sistem binar. Arina: Ai dreptate, Cabiria, limbile clasice au „operat“ cu silabe lungi æi scurte, iar cele moderne cu silabe accentuate æi neaccentuate. Cristina: Dupã Gioachimo da Fiore, cãlugãr benedictin calabrez (1135-1202), Istoria Sfântã æi Scriptura sunt dominate de numerele 2 æi 3. Cele 2 seminåii alese de Dumnezeu sunt evreii æi neamurile, iar cele 3 etape ale istoriei sunt: 1. Domnia Tatãlui, corespunzând fricii de Dumnezeu; 2. Domnia Fiului, corespunzând credinåei în Iubire; 3. Domnia Sfântului Duh, corespunzând Contemplaåiei. Numãrul 1: Aåi pomenit de Numãrul 3. Din pãcate, lipseæte. E foarte implicat în campania electoralã, ca æi Numãrul 7. De altfel, amândouã aceste numere s-au autoprezentat destul de amplu æi de tranæant pe micul ecran. Aæa încât vã fac cunoætinåã cu Numãrul 4. Arina: Sunt bucuroasã sã vã cunosc, Domnule 4. Sunteåi rudã cu Numãrul 2, doar 4 = 22. Cabiria: Grecii considerau cã Lumea este formatã din 4 elemente: apã, pãmânt, aer, foc; camera mea are 4 pereåi, anul are 4 anotimpuri, existã 4 puncte cardinale. Arina în Åara Numerelor 45 Îmi permiteåi, Domnule 1, sã argumentez personalitatea colegului Dv., Domnul 4? Numãrul 1: De ce nu? Sorin: Aristotel deosebea patru tipuri de cauze: materiale; formale; eficiente æi finale, iar Pitagora împãråea matematica în patru secåiuni (quadrivium): teoria numerelor absolute sau aritmetica; teoria numerelor aplicate sau muzica; teoria mãrimilor în stare staticã sau geometria æi teoria mãrimilor în stare de miæcare sau astronomia. Arina: Platon susåinea cã ideea de frumos se caracterizeazã prin: ordine, simetrie, armonie æi mãsurã. Cristina: Mitologiile sunt æi ele o mãrturie. De pildã, mitologiile Mesopotamiei cinstesc patru zei fundamentali, iar mitologia iranianã susåine cã lupta dintre bine æi rãu dureazã patru epoci. Buddha proclamã patru adevãruri esenåiale: existenåa suferinåei; cauzele ei; posibilitatea eliberãrii suferinåei; calea suprimãrii suferinåei. Cabiria: Subliniez cã patru este numãrul literelor care alcãtuiesc numele celui dintâi om, Adam! Cristina: Vreau sã adaug cã, pentru Platon indienii din America de Nord, patru reprezintã un principiu de organizare æi o foråã. În viziunea lor, spaåiul e împãråit în patru pãråi; timpul are patru mãsuri (ziua, noaptea, luna, anul); plantele sunt constituite din rãdãcinã, tulpinã, floare æi fruct; vârstele reprezintã: copilãria, tinereåea, maturitatea æi bãtrâneåea; patru sunt virtuåile fundamentale Sorin: 46 Eliza Roman ale bãrbatului: curajul, puterea de a îndura, generozitatea, fidelitatea, iar ale femeii: îndemânarea, ospitalitatea, loialitatea, fecunditatea. Arina: Aici e locul sã-l amintim pe vestitul medic grec Hipocrat (c.460-c.377 î.e.n.), care deosebea patru tipuri de temperament: sangvin, coleric, flegmatic, melancolic. Cristina: Lucrurile se leagã. Carl Gustav Jung admite cã procesele psihice se bazeazã pe patru funcåii fundamentale ale conætiinåei: gândirea, sentimentul, intuiåia, senzaåia. Sorin: Într-adevãr, acestea sunt înzestrãrile psihologice cu care ne naætem, dar cred cã ar trebui adãugat, tot în spiritul viziunii lui Jung, cã psihicul uman este construit dintr-un ansamblu de structuri arhetipale care cuprind: binele; eul; umbrele; complexul animus-anima. Numãrul 1: Æi acum sã vi-l prezint pe colegul 5. Cabiria: Aici sunt multe de comentat. La început de tot, oamenii numãrau pe degetele unei singure mâini. La origine, cuvântul sanscrit care-l desemneazã pe cinci, panca, înseamnã mânã sau, mai precis, întinde mâna. Limba românã l-a moætenit din latinescul quinque. Arina: Numãrul 5 reprezintã suma lui 2 æi 3, deci suma primului numãr par cu primul numãr impar sau suma primelor douã numere prime. Situat în centrul primelor nouã numere, el ilustreazã unirea, echilibrul, armonia. Cabiria: Arina, vreau sã remarc rolul Numãrului 5 ca principiu vital la hinduæi æi ca cifrã fastã în Islam. Cristina: Din câte ætiu, hinduæii considerau cã fiecare om este alcãtuit din cinci elemente: conætiinåã, reprezentãri, foråele karmei, simåuri, înveliæul material. Arina: Eu aæ aminti primele cinci cãråi ale Vechiului Testament, atribuite lui Moise: Pentateuhul (în limba Arina în Åara Numerelor 47 greacã, pente = 5, têukhos = carte), în denumirea ebraicã Tora = Legea, æi care cuprinde: Geneza, Exodul, Leviticul, Numerii, Deuteronom. Sorin: În America, sacralizarea numãrului 5 era legatã de procesul de germinare a porumbului, a cãrui primã frunzuliåã iese din pãmânt, de regulã, la cinci zile dupã însãmânåare, glifa lui 5 fiind, frecvent, o mânã. Iar la azteci, Zeul 5 (Zeul Porumbului Tânãr) era patronul atât al muzicii, cât æi al dansului. Cabiria: Apropo, chinezii foloseau în muzicã, încã din Vechime, scara pentatonicã, adicã cea care cuprinde doar cinci sunete în cadrul octavei. Sorin: Mie 5 îmi evocã trandafirul cu 5 petale, dar æi Steaua lui Venus, simbol al feminitãåii. Arina: N-o sã mã credeåi, pe 5 îl gãsim æi în sport. Pentatlonul (în greacã, pente = 5, athlon = luptã) reprezintã cele cinci exerciåii atletice ale Antichitãåii: lupte, alergãri, sãrituri, aruncarea discului æi aruncarea suliåei. Cristina: Sã pãrãsim sportul, pentru a menåiona cã existã cinci tipuri de comunicare: interpersonalã; interpersonalã diadicã; de grup; publicã æi de masã. Numãrul 1: Vecinul Numãrului 5 este Numãrul 6. Numele lui provine din sanscritã – æaæ –, care, cu mici modificãri fonetice, poate fi recunoscut în latinã – sex, în francezã – six, în slavonã – æesti, în românã – æase. E, oare, un simplu accident fonetic? Arina: Domnule 6, sunteåi, de fapt, un numãr perfect! Ce e mai mult decât adevãrul cã Lumea a fost creatã în æase zile! Sorin: Æase este numãrul hexametrului biblic, iar hexagonul stelat reprezintã pecetea lui David sau scutul lui Solomon (Hexagrama a fost simbolul secret al preoåilor astronomi, fiind, apoi, adoptat de regii israelieni). 48 Eliza Roman Convingerile musulmanilor se întemeiazã pe æase izvoare: Allah, Profetul Mahomed, Coranul, Angeologia, Cãråile (Tora lui Moise, Psalmii lui David, Evangheliile) æi Escatologia (credinåa în viaåa viitoare). Numãrul 1: Æi acum, graåiosul Numãr 8. Are æi el origine sanscritã, unde i se spunea aæto. Arina: Opt al nostru provine din latinescul octo. Sorin: Bun! Sã trecem la semnificaåii. Cabiria: Opt este numãrul petalelor de lotus! În muzicã, vorbim de octavã. Arina Opt e legat de Veænicie! Sfântul Augustin vorbeæte despre Ziua a Opta ca despre aceea care marcheazã Eternitatea. Numãrul 1: Ce vã spune Numãrul 9, pe care am plãcerea sã vi-l prezint acum? Sorin: Mie îmi evocã cele nouã muze ale Antichitãåii greceæti: Clio (muza istoriei), Euterpe (muza muzicii), Thalia (muza comediei), Melpomene (muza tragediei), Terpsichore (muza dansului), Erato (muza poeziei erotice), Polimnia (muza poeziei religioase), Urania (muza astronomiei), Caliope (muza poeziei epice, a elocinåei). Cred cã n-am omis pe nici una dintre cele nouã fiice ale lui Zeus. Cristina: Mie 9 îmi evocã cele 9 ceruri de care vorbeæte Dante Alighieri, în Infernul. Arina: Îmi amintesc cã bunicii mele îi plãcea sã spunã: „Peste nouã mãri æi nouã åãri æi peste nouã ape mari“ (Povestea lui Harap Alb), pentru a sugera o mare depãrtare. Numãrul 1: Am mai putea observa cã 9 este ultima æi cea mai mare dintre unitãåile exprimate printr-o singurã cifrã. Originea sanscritã nevan se simte în latinescul novem, de unde, în românã, nouã, în francezã neuf etc. Cabiria: Arina în Åara Numerelor 49 Despre ultimul membru al Clubului, Numãrul 10, ce putem afla? Numãrul 1: Domnul 10 are o poziåie privilegiatã. Încheie decada primelor numere æi reprezintã baza de numeraåie cel mai folositã. Arina: Deæi este cel din urmã numãr din grupul unitãåilor simple, spre deosebire de confraåii Domniei Voastre este notat prin douã cifre: 1 æi 0. Numãrul 1: Iatã denumirile lui zece în diferite limbi indoeuropene: în avestã – limba lui Zarathustra (Zoroastru) – se spunea desa; în greacã – deka; în latinã – decem, care în limba românã a devenit zece. Cabiria: Decem e înrudit fonetic cu digiti, degete. Omul are 10 degete. Numãrul 1: În germanã, Zehn = 10 se trage din Zehe, care înseamnã degetele de la picioare! Cristina: Chiar dacã e o parantezã în discuåia noastrã, aæ adãuga cã 10 este numãrul categoriilor lui Aristotel: esenåa, cantitatea, calitatea, relaåia, locul, timpul, situaåia, posesia, acåiunea, proprietatea. Sorin: Eu sunt fascinat de rolul Numãrului 10 în Cabalã. Arina: Ce legãturã au misterele, chestiile oculte cu un numãr atât de important ca 10? Æi ce este, de fapt, Cabala? Cabiria: Sã luãm, de exemplu, Lexiconul Herder al întâlnirii iudeo-creætine, apãrut la Editura Humanitas, în anul 2000. Aici, avem urmãtoarea definiåie: „Textual, Cabala înseamnã tradiåie, transmitere, prelucrare æi continuare. Prin ea se înåelege o miæcare cu caracter mistico-spiritual... a iudaismului...“ Cristina: Mie mi se pare mai potrivitã definiåia lui Alexandru Æafran, fostul æef-rabin al Cultului Mozaic din România æi preæedinte al Federaåiei Comunitãåilor Arina: 50 Eliza Roman Sorin: Arina: Cabiria: 1 alef 2 bet 3 ghimel 4 dalet 5 hé Evreieæti din România. Cartea sa, Înåelepciunea Cabalei, a fost tradusã în toatã lumea. La noi, a apãrut la Editura Hasefer, în anul 2000. „Cabala – spune Alexandru Æafran – este o tradiåie oralã elaboratã religios, spiritual æi intelectual de cãtre o elitã, care îl face pe om mai înåelept, îl ajutã sã pãtrundã în mister, în esenåã“. De fapt, ideea de bazã a Cabalei este aceea cã Biblia, mai exact Vechiul Testament, reprezintã un mesaj codificat, care poate fi înåeles numai prin aplicarea unor tehnici de decriptare ce leagã cuvintele de numere. Prima dintre aceste tehnici poartã numele de Gematria. Ea presupune însumarea numerelor corespunzãtoare literelor care alcãtuiesc un cuvânt, dupã care se cautã alte cuvinte caracterizate prin aceeaæi sumã a literelor, în ideea cã între ele trebuie sã subziste o legãturã tainicã æi cã prin înlocuirea unui termen cu altul se obåine sensul profund al textului. Parcã încep sã pricep. Sorin trebuia sã precizeze cã literele alfabetului ebraic au corespondenåã în numere. Prima literã a acestui alfabet, corespunzând lui a, se numeæte alef æi este egalã cu 1; cea de a doua literã, bet, este egalã cu 2; cea de a treia, ghimel, cu 3 æ.a.m.d. Iatã numerele ebraice æi denumirile lor: 6 waw 7 zain 8 het 9 tet 10 yod 20 kaf 30 lamed 40 mem 50 nun 60 samek 70 ašn 80 pe 90 æade 100 kof 200 reš 300 šin 400 taw Arina în Åara Numerelor Arina: Sorin: Arina: Sorin: Arina: Cabiria: Sorin: Arina: Cabiria: 51 Aæ vrea sã-mi spuneåi de unde vine cuvântul Cabalã. Etimologic, de la ebraicul qabbalah, care înseamnã tradiåie. Mie mi se pare fascinantã ipoteza cã are drept iniåialã litera kaf. Or, dupã cum se observã din tabelul pe care l-am prezentat, kaf este egalã cu 20, iar bet cu 2. Deci Cabala însumeazã pe 20 cu 2, obåinându-se 22. Particula la de la sfâræitul cuvântului Cabalã înseamnã în ebraicã putere. În consecinåã, înåelesul cuvântului Cabalã este puterea lui 22. Pânã la urmã, care este în Cabalã rolul lui 10? Biblia ne spune cã Legea i-a fost revelatã lui Moise pe Muntele Sinai prin Cele Zece Porunci. Adicã prin Decalog. În greacã, deka = zece, logos = cuvânt. Cabala menåioneazã, de la început, cã Domnul a creat Lumea prin 32 de cãi ale misterioasei sale înåelepciuni. Aceste 32 de cãi sunt compuse din cele 10 numere fundamentale – denumite sefiroturi – æi cele 22 de litere ale alfabetului ebraic. Sefirot înseamnã în ebraicã numãr? Ca sã înåelegi mai uæor, Arina, îåi precizez cã rãdãcina unui cuvânt ebraic se prezintã sub forma unui numãr mic de consoane, între care se insereazã vocale; acestea dau sensul cuvântului. Ansamblul consoanelor constituie scheletul consonantic, i-aæ zice partea cea mai rezistentã a cuvântului. Or, rãdãcina consonanticã sau scheletul consonantic al substantivului sefirot, ca æi al verbului safer, este sfr. Inserând vocale, cuvintele devin sefirot æi safer (numãr æi a numãra). De altfel, în arabã, înruditã cu ebraica, ambele fiind limbi semitice, scheletul consonantic sfr dã sifr (cifrã, zero). 52 Eliza Roman Sorin: Arina: Sorin: O micã precizare. Alexandru Æafran susåine cã sefirot vine de la verbul safer = a socoti, a numãra. Cum aratã cele zece sefiroturi, adicã primele zece numere? Am în agenda mea desenul lor. Aceste zece sefiroturi reprezintã: 1 3 2 5 4 6 7 8 9 1. Coroana 2. Înåelepciunea 3. Inteligenåa sau Spiritul 4. Mila 5. Rigoarea 6. Frumuseåea 7. Victoria 8. Gloria 9. Fundamentul 10. Regatul 10 Fig. 2. Cele zece sefiroturi Cabiria: Sorin: Practicanåii Cabalei fac asocieri incitante între numãr æi cuvânt. Alegând cuvinte frecvent folosite în Vechiul Testament, putem înåelege în ce fel procedau israeliåii pentru a obåine corespondenåe între nume æi numere. Sã luãm, de pildã, urmându-l pe orientalistul Oskar Fischer, strãlucit cercetãtor al mecanismului Gematriei (Der Ursprung des Judentums in Lichte alttestamentlicher Zahlensymbolik, Leipzig, Arina în Åara Numerelor 53 1917), numele proprii de cea mai mare importanåã din acest text, æi anume Iehova (Dumnezeu), Moise, Sinai, Tora, æi sã calculãm cãror numere le corespund: Numele proprii Iehova Moise Sinai Tora Valoarea literelor yod = 10; mem = 40; samek = 60; taw = 400; hé = 5; waw = 6; yod = 10; waw = 6; waw = 6; šin = 300; nun = 50; reš = 200; Total hé = 5 26 hé = 5 351 yod = 10 130 hé = 5 611 Descompunem sumele: 26 13 1 2 13 Cabiria: Sorin: 351 3 117 3 39 3 13 13 1 130 2 65 5 13 13 1 611 13 47 47 1 26 = 2 x 13 351 = 27 x 13 130 = 10 x 13 611 = 47 x 13 Observ cã numele lui Dumnezeu, al lui Moise, al locului unde Iehova i s-a arãtat acestuia – Muntele Sinai – æi Legea care i-a fost revelatã au în comun numãrul 13. Revenind la Vechiul Testament æi oprindu-ne la grupul patriarhilor lui Israel, tot dupã Oskar Fischer, se obåine: Total litere Ab-Hamon alef=1; bet = 2; hé = 5; mem = 40; waw = 6; nun = 50 104 (Abraham, Avram) Isaac yod = 10; sade = 90; het = 8; kof = 100 208 Iacob yod = 10; ain = 70; kof = 100; bet = 2 182 Israel yod = 10; šin = 300; reš = 200; hé = 5; alef = 1; lamed = 30 546 Iosif yod = 10; waw = 6; samek = 60; pé = 80 156 Numele Corespondentul numeric al literelor 54 Eliza Roman Sorin: Prin descompunerea numãrului total al literelor obåinute: 104, 208, 182, 546, 156, apare acelaæi factor comun 13. Oskar Fischer susåine cã 13 este numãrul lui Iehova! 104 2 208 2 182 2 52 2 104 2 91 7 26 2 52 2 13 13 13 13 26 2 1 1 13 13 1 546 2 273 3 91 7 13 13 1 156 2 104 = 2 x 13 78 3 208 = 16 x 13 39 3 182 = 14 x 13 13 13 546 = 42 x 13 1 156 = 12 x 13 La Clubul Prieteniei Înarmatã cu atâtea cunoætinåe noi, Arina se decide sã viziteze æi alte cluburi. Aæa ajunge la Clubul Prieteniei. În timp ce bea un suc de ananas, aude urmãtoarea conversaåie: Numãrul 1: Am aflat cã, ieri, Numãrul 28 a dat o petrecere a numerelor prietene. Fiindcã existã o Lege a prieteniei dintre numere. Numãrul 2: În ce constã aceastã lege? Numãrul 1: Douã numere sunt declarate prietene dacã, adunând factorii cu care se divide primul dintre ele, îl gãsim pe cel de al doilea æi, tot astfel, dacã adunãm factorii care divid pe cel de al doilea îl gãsim pe cel dintâi. Numãrul 2: Nostim! Când s-a observat asta? Numãrul 1: Încã din Vechime oamenii au sesizat aceastã proprietate la numerele 220 æi 284. Într-adevãr, prima pereche a fost descoperitã în anul 540 î.e.n. de cãtre Pitagora, unul dintre cei mai strãluciåi teoreticieni ai numerelor. Numãrul 2: Ia sã vãd dacã e adevãrat: 220 se divide cu 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Le adun æi avem 284. Sã fac aceeaæi operaåie æi pentru 284. Se divide cu 1, 2, 4, 71, 142. Le adun æi dã exact 220. Arina în Åara Numerelor 55 Numãrul 1: Oamenii au fost impresionaåi de aceastã proprietate, încât numerele prietene au pãtruns în magie, în astrologie, în vrãjitorie, au fost utilizate la stabilirea horoscoapelor. Nu mai spun câte amestecuri de poåiuni s-au fãcut pentru câætigarea dragostei æi câte afaceri cu fabricarea talismanelor! Numãrul 2: Æi cum a evoluat cunoaæterea „intimitãåii“ numerelor prietene? Numãrul 1: La 1636, matematicianul francez Pierre de Fermat (1601-1665) a descoperit a doua pereche de numere prietene: 17 296 æi 18 416. În secolele urmãtoare, au fost identificate câteva sute. Numãrul 2: Deci au trecut mai bine de douã milenii pânã la descoperirea celei de a doua perechi! Elita numerelor În autobuzul care o duce acasã, Arina surprinde o convorbire între douã tinere pe care le vãzuse la Club. Îæi spuneau pe nume: Elly æi Lidia. Lidia: Ce înåelegi tu prin „elita numerelor“? Elly: Simplu. Mulåimea numerelor perfecte. Lidia: Ætiu ce înseamnã numere prietene, dar n-am auzit de numere perfecte. Elly: Uite, de exemplu, 6 este un numãr perfect, întrucât dacã îi adunãm factorii dãm tot peste 6 (1 + 2 + 3). Lidia: Existã æi alte numere perfecte? Elly: Sigur. Încã în Antichitate, pe lângã 6 erau cunoscute alte trei numere perfecte: 28, 496 æi 8128. Lidia: Sã mã conving cu calculatorul meu: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 . Ai dreptate. Pentru 8 128 te cred pe cuvânt. 56 Eliza Roman Elly: Lidia: Elly: Lidia: Elly: Lidia: Elly: În Antichitate, s-a mai observat cã unitãåile simple cuprind un singur numãr perfect. Printre zeci, sute æi mii, de asemenea, se gãseæte doar câte un singur numãr perfect. Exceptând Antichitatea, au mai fost identificate æi alte numere perfecte? Da, dar sunt foarte lungi. Åin minte cã al æaptea numãr perfect descoperit în secolul al XVI-lea este de ordinul bilioanelor. Mi-ar plãcea sã calculez æi eu numere perfecte. Dã-mi formula magicã. Matematicianul grec Euclid (sec. III î.e.n.), cãruia îi datorãm prima expunere sistematicã a geometriei æi atâtea contribuåii în aritmeticã, a dat o foarte frumoasã teoremã. Åi-o spun în termenii moderni: Condiåia necesarã æi suficientã ca un numãr natural par n sã fie perfect este ca n sã fie de forma: n = 2t (2t+1 – 1) = 2t x p, unde t este un numãr natural, iar p un numãr prim. Existã formulã æi pentru numerele perfecte impare? Aici e aici. De la Euclid încoace, lumea se întreabã în zadar dacã existã numere perfecte impare, åinând cont cã nu s-a gãsit niciodatã vreunul æi nu s-a dovedit cã ar exista un astfel de specimen. Euclid Carismaticul π pe post de amfitrion Arina ajunge, în sfâræit, la un club select: Clubul Numerelor Mãiestre. Portarul îi refuzã accesul pe motiv cã nu este în åinutã de Arina în Åara Numerelor 57 searã. Dupã îndelungi parlamentãri, ea îl înduplecã spunând cã este o turistã venitã din depãrtãri, care nu cunoaæte criteriile de admitere în Club, æi cã doreæte sã stea de vorbã cu Maestrul π . Interiorul Clubului o impresioneazã: vitralii, lambriuri, picturi, mobilã stil. Într-un salon arab, îl zãreæte pe Numãrul i, traverseazã, apoi, un fel de galerie cu oglinzi – à la Versailles – æi ajunge în bibliotecã. Aici îi vede pe 2 , care mediteazã, æi pe Numãrul C, care studiazã un manuscris. Cãlãtoria ei se întrerupe atunci când, într-un salon Louis XV, dã cu ochii de Numãrul , care discutã cu Numãrul e. Portarul o avertizase cã Maestrul obiænuieæte sã-æi petreacã serile dialogând cu tânãrul sãu prieten. La nedumerirea Arinei, care gãseæte cã între cei doi e o diferenåã de vârstã enormã, de vreo opt secole, un tânãr se oferã sã-i dea lãmuririle de rigoare. Amiciåia aceasta se bazeazã pe faptul cã destinele acestor douã numere sunt strâns împletite. Când, în 1873, s-a descoperit identitatea lui e – adicã transcendenåa lui – matematicienii au intuit cã vor putea gãsi o cale pentru a decide asupra naturii lui . Æi, într-adevãr, nouã ani mai târziu, matematicianul german Herman Ferdinand von Lindemann (1852-1939) a realizat aceastã performanåã, folosind ingenios o formulã a matematicianului elveåian Leonhard Euler (1707-1783), bazatã pe virtuåile Numãrului e. Arina Transcendenåa lui æi e... Tânãrul: Numãrul care nu poate fi rãdãcina unei ecuaåii algebrice de forma: a0en + a1en-1 + a2en-2 + … + an-1 e + an = 0 cu coeficienåi raåionali e transcendent. Cred cã aåi citit cartea despre numere scrisã de Florica T. Câmpan. Se face acolo referire la strânsa relaåie dintre æi e æi se aratã cã cercul – cea mai perfectã curbã – nu poate exista fãrã π , iar spirala logaritmicã – singura curbã asemenea ei înseæi – nu poate existã fãrã e. p p p p p 58 Eliza Roman Arina æi tânãrul se aproprie de masa celor doi prieteni. Arina: Bunã seara! Vã rog sã-mi îngãduiåi sã mã prezint: sunt Arina Stoenescu, elevã la Liceul „Spiru Haret“ din Bucureæti. : Bine ai venit la noi! Arina: Maestre, din lecturile mele am aflat multe despre Dv. æi am dorit sã vã cunosc personal. : Ce ai mai dori sã ætii despre mine? Arina: Întâi, v-aæ ruga sã-mi spuneåi ce vã amintiåi din anii copilãriei. : Nu prea multe. Arina: Cui i-a venit ideea cã lungimea cercului se poate mãsura cu ajutorul diametrului sãu? : Probabil, mai multora. Or fi realizat cã lungimea unui cerc este cam de trei ori mai mare decât diametrul lui. Evident, nu se folosea termenul cerc sau diametru. Babilonienii pretindeau cã valoarea mea este egalã cu 3,125, iar egiptenii cã este egalã cu 3,160. Arina: Toate popoarele v-au evocat. Sunteåi pomenit pe tãbliåele de lut ale babilonienilor, în papirusurile egiptene, în scrierile hinduæilor, ca æi în cele din sudul Mexicului, din Honduras sau din Guatemala. Æi în Biblie se vorbeæte despre Dv. În Cartea a Treia a Regilor (7:23), se spune cã la construirea casei regale a lui Solomon a fost turnat în aramã un vas de 10 coåi de la o margine la cealaltã, rotund de jurîmprejur, înalt de cinci coåi æi gros cât îl cuprindea o sfoarã lungã de 30 de coåi. Ce v-a marcat viaåa? π: Cuadratura cercului!… Sã vã explic. Cuadratura cercului constã în construirea unui pãtrat având aceeaæi arie cu a unui cerc dat, numai cu ajutorul riglei æi al p p p p Arina în Åara Numerelor Arina: π: 59 compasului. Problema aceasta a trezit curiozitate, a preocupat timp îndelungat pe oamenii de ætiinåã æi pe amatori, a dezlãnåuit multe pasiuni. De care matematician vã simåiåi cel mai apropiat? Bineînåeles, de Arhimede (c. 287-212 î.e.n.). De la acest mare învãåat grec au rãmas, în lucrarea Mãsurarea cercului, urmãtoarele teoreme: – Aria unui cerc este egalã cu aria unui triunghi dreptunghic, care are drept catete raza æi lungimea cercului; – Raportul dintre aria cercului æi aria pãtratului circumscris lui are o valoare apropriatã de 1 1 1 ; 4 – Raportul dintre lungimea cercului æi diametrul sãu este cuprins între 1 0 3 7 Arina: 1 1 1 10 <π <3 . æi 3 , adicã 3 7 7 71 Sã reåinem cã Arhimede a lucrat cu un poligon de 96 de laturi æi a calculat primele douã zecimale exacte ale mele. Era de aæteptat! Carismaticul π se pretinde discipolul vestitului Arhimede, care a marcat aritmetica, geometria æi fizica æi care a fost un precursor al calculului integral. (Apoi, cu voce tare) Goana dupã identificarea unui numãr cât mai mare de zecimale exacte seamãnã cu urmãririle din filmele poliåiste. Am impresia cã matematicienii æi, mai ales, amatorii au fost cuprinæi de Arhimede o adevãratã nebunie mãrind 60 Eliza Roman p : necontenit numãrul laturilor poligoanelor, pentru a obåine un numãr cât mai mare de zecimale. Dacã, în secolul al III-lea e.n., chinezul Liu Huei a obåinut cinci zecimale exacte cu ajutorul unui poligon de 3 072 de laturi, Djemšed al Kaæi, nãscut în Iran, dar lucrând la Observatorul din Samarkand (Uzbekistan), a obåinut, în secolul al XV-lea, 17 zecimale exacte folosind un poligon cu peste opt sute de milioane de laturi. Europenii, rãmaæi în urmã, realizeazã progrese mult mai târziu, prin belgianul Adrianus Romanus (1561-1615), pe adevãratul sãu nume Adriaen Van Roomen, cel mai celebru dintre emulii matematicianului francez François Viète (1540-1603), care ne este cunoscut pentru paæii realizaåi spre simbolizarea în algebrã æi pentru determinarea a nouã zecimale ale lui . În 1590, el obåine 15 zecimale cu ajutorul unui poligon cu peste un miliard de laturi. Doar datoritã unui filolog de meserie – italianul Giuseppe Giusto Scaliger (1540-1609) – europenii îi depãæesc pe al Kaæi, identificând, mai întâi, 35 de zecimale pe un poligon cu 4 pentalioane de laturi. Cu cifrele astea astronomice mi se face rãu! Împãtimiåii, contaminaåi de „molima“ cuadraturii æi urmãrind obåinerea unei precizii sporite, ajung la 72 æi chiar la 100 de zecimale. Astronomul John Machin (1685-1715) a obåinut 100 de zecimale exacte. Matematicianul englez W. Jones (16751749) publicã, în 1706, calculele lui Machin æi foloseæte pentru prima oarã notaåia lui pentru raportul dintre lungimea cercului æi diametrul lui. El m-a botezat cu litera greacã π , de la cuvântul periphereia, care înseamnã circumferinåã (marginea cercului). p Arina: : p p Arina în Åara Numerelor Arina: p : Arina: p : 61 Dar notaåia, dupã câte ætim, a fost adoptatã 50 de ani mai târziu, când Euler a folosit-o în Mecanica sa. Corect. Nu mai spun cã goana dupã zecimale s-a înteåit. În 1719, matematicianul francez Thomas F. de Lagny (1660-1734) a calculat 127 de zecimale. Euler, desãvâræit calculator, a reuæit în 80 de ore sã ajungã la aceeaæi performanåã æi sã corecteze în acelaæi timp o eroare a lui Lagny. În sfâræit, în 1873, William Shanks (1812-1882) ajunge sã calculeze 707 zecimale, de data aceasta cu ajutorul logaritmilor. Drept omagiu pentru performanåa sa, cele 707 zecimale figureazã pe o frizã de la Palatul Descoperirilor din Paris. O datã cu apariåia calculatorului electronic, performanåele au crescut fantastic. În 2005, dupã informaåia inseratã de conferenåiarul francez Benoit Rittaud în revista „L’Histoire“, nr. 304, din decembrie 2005, s-a ajuns la peste o mie de miliarde de zecimale. Am citit cã, în toate timpurile, cuadratura cercului a exercitat un fel de vrajã universalã. Din China pânã în Anglia, din Iran pânã în Franåa, din India pânã în Egipt, în Antichitate, ca æi în epoca Renaæterii, pe timp de rãzboi sau de pace, pasionaåii cuadraturii cercului au lucrat fãrã rãgaz. În 1775, Academia Francezã a refuzat primirea memoriilor care tratau despre cuadratura cercului, deoarece amatorii nu mai pridideau sã trimitã lucrãri eronate, încredinåaåi de geniul lor. E adevãrat cã oamenii au ajuns sã parieze pe averea lor cã au descoperit soluåia? Sigur cã da. Un mare fabricant din Lyon, convins cã a dezlegat taina lui π , a pierdut la un pariu 8 000 de franci, iar cavalerul de Caussans a pus rãmãæag pe întreaga lui avere de 300 000 de franci! 62 Eliza Roman Arina: p : Arina: : p Arina: π: Arina: Dincolo de asta, încercãrile de a dezlega taina lui au ajutat, prin contribuåii colaterale, la dezvoltarea matematicii. Fireæte. Dacã celebrul geometru grec Hipocrat din Chios (secolul al V-lea î.e.n.) a realizat cã nu poate dovedi cuadratura cercului, a arãtat, în schimb, cã existã aæa-numitele lunule, care au arii egale cu unele pãtrate. De lunule n-am auzit. Lunulele sunt figuri plane mãrginite de douã arcuri de cerc cu concavitatea îndreptatã în acelaæi sens. Hipocrat din Chios a fãcut cuadratura lunulei având ca margine superioarã un semicerc æi ca margine inferioarã un arc de cerc. Arhimede a arãtat cã lunulele nu sunt singurele suprafeåe cuadrabile, cã existã æi alte cazuri, mai complicate. În tentativele de gãsire a cuadraturii au fost date la ivealã giuvaere matematice, ca în cazul matematicianului belgian Grégoire de Saint-Vincent (15841667). Dar marele câætig al matematicienilor a fost cã æi-au dat seama cã nu sunt de ajuns zeci de zecimale, cã ar trebui o mie sau, poate, mai multe mii, ca sã se lãmureascã natura lui . Matematicienii au înåeles cã eu nu semãn cu un numãr fracåionar, ci mai degrabã cu unul iraåional. Æi aæa am ajuns sã constitui un imbold al cãutãrilor, sã contribui la orientarea cercetãrilor matematice moderne. Dupã câte ætiu, chiar æi mai înainte, lucrãrile stimulate de cãutarea cuadraturii cercului au adus înnoiri în matematicã, variate încercãri ingenioase legate de metoda lui Arhimede, de pildã, metoda izoperimetrelor (adicã a poligoanelor cu acelaæi perimetru), folosirea produselor æi fracåiilor continue infinite. p p Arina în Åara Numerelor p : Arina: : p 63 Apariåii fermecãtoare, metodele analitice s-au dovedit a fi rodnice. Acum aæ întreba: a existat, la greci, o crizã provocatã de neînåelegerea iraåionalelor? A existat, dar au depãæit-o atunci când s-a ajuns la concluzia cã sunt mai multe feluri de numere iraåionale. Adicã æi , æi Numãrul de Aur. Vã semnalez ceva care i-a stupefiat pe matematicieni. Începând cu Newton (1642-1727) æi cu Euler, s-a observat cã unele serii infinite de numere fracåionare au o sumã care se explicã prin , æi aceasta pe bazã de calcule în care cercul nu-æi bagã de loc coada. S-a pus atunci întrebarea dacã geneza mea e pur geometricã. Mister! În plus, Georges Louis Leclerc, conte de Buffon (1707-1788), naturalist æi scriitor francez, unul dintre precursorii concepåiei evoluåioniste, a arãtat cã intervine în probabilitãåi. M-aæ grãbi sã adaug – mai mult ca sã mã confirmaåi – cã, în preocupãrile pentru decriptarea tainelor Numãrului , s-a implicat Johann Heinrich Lambert (1728-1777), fiziSir Isaac Newton cian, astronom, matematician æi filosof de origine germanã, care a demonstrat iraåionalitatea lui . Apoi, matematicianul german Ferdinand von Lindemann a stabilit riguros, în 1882, cã numãrul π este transcendent æi cã, deci, cuadratura cercului cu rigla æi compasul este imposibilã. El a dezvoltat metode de rezolvare a ecuaåiilor de orice grad, folosind funcåiile transcendente. p p p Arina: p p 64 Eliza Roman : Arina: p p : Arina: Vãd cã ætiåi multe despre viaåa mea. Viaåa Domniei Voastre ar putea face obiectul unui roman sau al unui serial TV. Apropo de literaturã, aflaåi cã Aristofan (445-386 î.e.n.) rãmâne primul care m-a imortalizat în beletristicã. El l-a ales ca protagonist pe Menton, pe care l-a înfãåiæat în Oraæul Pãsãrilor târându-æi cu greu compasul æi rigla sa enormã pentru a transforma cercul în pãtrat. Toate bune, dar nu ne-am liniætit cu interogaåiile privindu-l pe . Cu ajutorul calculatorului i se determinã tot mai multe zecimale. Da de unde! Dacã transcendenåa lui a fost un rezultat care i-a încântat pe matematicieni la sfâræitul secolului al XIX-lea, iatã cã la sfâræitul secolului al XX-lea ei au început sã considere acest rezultat ca prea abstract, fiindcã nu spune nimic despre chestiuneacheie a repartizãrii zecimalelor. S-au gãsit peste o mie de miliarde de zecimale; dar cum apar ele, sunt extrase la Loto? Deci se anunåa o nouã cursã. Poate o sã realizez eu un astfel de scenariu. Înainte de a-l scrie, voi consulta site-ul lui Bores Gourevich: æi lista aproximaåiilor exotice ale Numãrului . Trebuie sã-mi procur æi revista „La Recherche“ din 24 noiembrie 2005, care a consacrat un dosar lui . p p : Arina: p p p În prelungirea discuåiei de la Club: Numãrul e Dupã ce îi mulåumeæte Maestrului , Arina pleacã spre casã. În metrou, îl întâlneæte pe colegul ei Dorel. Dupã un scurt dialog protocolar, ea îl roagã sã-i spunã tot ce ætie despre legãtura dintre π æi e. p Arina în Åara Numerelor Dorel: Arina: Dorel: Arina: Dorel: 65 Pãi, sã începem, Arina: în 1873, matematicianul francez Charles Hermite (1822-1901) a demonstrat transcendenåa lui e. Æi cum s-a ajuns de aici la π ? Cinci ani mai târziu, Lindemann a avut ideea ingenioasã de a folosi formula stabilitã de Euler, æi anume: eiπ = – 1 æi de a åine seama cã ecuaåia pe care a gãsit-o prezintã o oarecare analogie cu ecuaåia pe care Hermite a scris-o pentru e, deæi mai complicatã. Bine, dar Numãrul e cum s-a nãscut? Geneza lui e legatã de apariåia logaritmilor. Pãrintele „mirificilor logaritmi“ este matematicianul scoåian John Napier (Neper) (1550-1617). I-au fost necesari 20 de ani pânã sã le vinã de hac. Etimologic, logaritm vine din grecescul logos = raport æi arithmos = numãr. Iar Napier a inventat logaritmul în dorinåa simplificãrii calculelor trigonometrice, atât de utile astronomilor, generalizând ideea mai veche a comparãrii progresiilor aritmetice cu cele geometrice. Se cunoaæte cã logaritmul reprezintã puterea la care trebuie ridicat un anumit numãr pozitiv, numit bazã, spre a obåine numãrul dat. Logaritmul unui numãr x în bazã a este y, dacã x = ay; avantajul apare lesne dacã baza folositã este 10. Ætim cã 102 =100, deci 2 este logaritmul lui 100 în baza 10 , iar 1010, adicã 10 000 000 000, are logaJohn Napier (Neper) ritmul 10. 66 Eliza Roman Arina: Dorel: Arina: Dorel: Arina: Dorel: Arina: Dorel: Æi ce are asta cu Numãrul e? Aici e cheia, pentru cã baza în care a lucrat Napier a fost e. Deci îl cunoætea pe e. Habar nu avea de existenåa lui. L-a dibuit pragmatic. A gãsit cã era cel mai convenabil, cel mai comod æi cel mai eficace numãr cu care se putea descurca. Nostim! Cam ce valoare are e? Valoarea Numãrului e aratã astfel; îåi dau numai æase zecimale: e = 2,718281… Dar logaritmul lui e? Isaac Newton a arãtat cã seria e = 1+ Arina: Dorel: 1 1 1 1 + + + .... + + ... are drept logaritm pe 1. 1! 2! 3! n! Îmi place! Iar Euler a notat prin „l“ logaritmii lui Neper cu baza e æi a calculat 23 de zecimale fãrã sã constate vreo urmã de periodicitate. Au fost calculaåi, apoi, æi logaritmii în baza 10. Noi, la æcoalã, lucrãm cu logaritmi zecimali. Tot Euler a exprimat, cu ajutorul lui e, cosinusul æi sinusul æi a descoperit surprinzãtoarea formulã care leagã Numãrul π de e, adicã eiπ = – 1. SISTEME DE NUMERAÅIE Arina îæi pune în ordine fiæele de studiu. Începe cu notele referitoare la sistemele de numeraåie primitive egiptean æi aztec æi continuã cu vechile tipuri de numeraåie la greci æi la romani, cu sistemele de numeraåie alfabeticã folosite de evrei, greci æi arabi, apoi cu cele care se referã la sistemele de numeraåie de poziåie: sumerian, babilonian æi mayaæ æi, în sfâræit, cu cele referitoare la sistemele de numeraåie chinez æi indian. Un capitol distinct al fiæierului cuprinde notele despre sistemul de numeraåie la români. Cu æapte hieroglife egiptenii numãrau pânã la un milion Încã din mileniul al III-lea î.e.n., egiptenii au stabilit un sistem de numeraåie zecimal. Acest sistem folosea semne speciale pentru unitãåi, zeci, sute, mii æi mergea pânã la un milion. Nodurile de ordin superior erau plasate înaintea celor de ordin inferior. Deæi pentru zero egiptenii nu au avut un semn special, l-au mânuit implicit, lãsând un loc gol acolo unde trebuia sã figureze. Sistemul era greoi, fapt care explicã numãrul ridicat de greæeli detectate în calculele egiptenilor. Din vremuri îndepãrtate, egiptenii înregistrau unitatea printr-o liniuåã verticalã (un beåiæor), doi cu douã liniuåe verticale æ.a.m.d. Pentru a nota un numãr ca 15, erau necesare 15 liniuåe, pentru 99 erau figurate 99 de liniuåe, iar pentru un milion ar fi trebuit 1 000 000 de liniuåe! Pentru a scrie numerele într-o manierã mai funcåionalã, mai economicoasã, egiptenii au fãcut urmãtoarele simplificãri: pentru 10 au folosit un cârlig ∩, pentru 100 spirala , pentru 1 000 frumoasa 68 Eliza Roman floare de lotus, pentru 10 000 un deget, pentru 100 000 un mormoloc, iar pentru un milion un zeu cu braåele ridicate. Reproducem, mai jos, modul în care egiptenii au conceput figurarea numerelor: Fig. 3. Numeraåia hieroglificã Observãm cã, în scopul economisirii spaåiului, zecile æi unitãåile erau aæezate pe douã linii, deci o evoluåie, de la o scriere liniarã s-a ajuns la una pe douã registre. Sã dãm un exemplu de numãr incizat pe monumente. Bunãoarã, numãrul 4 357 era reprezentat prin juxtapunere, în felul urmãtor: 1 000, 1 000, 1 000, 1 000, 100, 100, 100, 10, 10, 10, 10, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, adicã erau figurate 4 flori de lotus, 3 spirale, 5 cârlige æi 7 beåiæoare: Fig. 4. Reprezentarea numãrului 4 357 Fireæte cã aceastã modalitate – cum am mai spus – era destul de greoaie. Pentru numãrul 99 999 erau necesare 45 de semne, cât ne trebuie nouã astãzi pentru a nota un miliard de miliarde înmulåit cu un miliard de miliarde, adicã 10414. Cu vremea, egiptenii au încercat sã mai simplifice figurarea numerelor. Pentru numãrul 5 000 au utilizat cinci beåiæoare, iar Arina în Åara Numerelor 69 deasupra o floare de lotus (1 000); pentru 40 000 – patru beåe, iar deasupra un deget (10 000). S-a gãsit înregistrat numãrul 270 000 în modul urmãtor: 270 æi deasupra un mormoloc (100 000). Pentru numãrul 660 000 s-a recurs la douã rânduri de câte trei mormoloci æi douã rânduri de câte trei degete (2 x 300 000 + 2 x 30 000). Fig. 5. Reprezentarea numãrului 270 000 Fig. 6. Reprezentarea numãrului 660 000 Sensul de notare a numerelor era, la egipteni, de la dreapta la stânga. Cele mai mari numere din epigrafia (ætiinåa inscripåiilor) egipteanã au fost descoperite într-un document din Hierakonpolis, oraæ foarte vechi, situat pe malul stâng al Nilului, datând din mileniul al III-lea î.e.n. æi se referã la bilanåul unei prãzi de rãzboi: a. 400 000 de bovine; b. 1 422 000 de capre; c. 120 000 de prizonieri. Desluæirea inscripåiei – ne referim la planul inferior al acesteia – (vezi Fig. 7, p. 70) este la îndemânã, deoarece: a. boul care are dedesubtul lui 4 mormoloci (câte 2 pe un rând) înseamnã 400 000 de bovine; b. capra are la dreapta un zeu, care înseamnã un milion, æi dedesubt 4 mormoloci, care reprezintã numãrul 400 000, 2 degete, adicã 20 000, iar dedesubtul zeului 2 nuferi, echivalând cu 2 000. Însumând semnele, se obåine numãrul 1 422 000 de capre; c. prizonierul legat la mâini are dedesubt un mormoloc (100 000) æi 2 degete (2 x 10 000), adicã 120 000 de prizonieri. 70 Eliza Roman Fig. 7. Cel mai mare numãr vechi din epigrafia egipteanã (Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites. Paris, 1975, p. 65) Am vãzut, din exemplele de mai înainte, în ce fel au reuæit egiptenii sã mânuiascã, doar cu ajutorul a æapte semne, numerele pânã la un milion, folosind scrierea hieroglificã (în greacã hieros = sfânt, gliphein = a grava). Scrierea hieroglificã a fost modificatã de egipteni atunci când au realizat avantajele unui alt suport pentru informaåii, în locul pietrei. Noul suport a fost papirusul, planta care creæte din belæug în Delta Nilului. Din hieroglifica monumentelor, o scriere discontinuã impusã de piatrã, a derivat scrierea cursivã, mai simplificatã, numitã hieraticã. A fost inventatã æi folositã în Vechiul Imperiu (2278-2160 î.e.n.) La rândul ei, scrierea hieraticã a cunoscut un proces de simplificare. În secolul al VIII-lea î.e.n., a apãrut scrierea demoticã, Arina în Åara Numerelor 71 mult mai accesibilã æi, ca urmare, larg utilizatã de populaåie, precum æi în administraåie. Fig. 8. Scrierea primelor noduri la egipteni (hieroglifice, hieratice, demotice) (Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 59) demotice hieratice vechi æi noi hieroglifice Mii demotice hieratice hieroglifice demotice hieratice hieroglifice demotice hieratice hieroglifice Sute Zeci Unitãåi 72 Eliza Roman În tabloul precedent, observãm cã, de pildã, numerele 2, 3 æi 4 din scrierea hieraticã seamãnã cu corespondentele lor din scrierea hieroglificã, fiind obåinute prin juxtapunere, dar numerele 5, 7 æi 9 erau notate cu ajutorul unor simboluri originale noi; numerele 6 æi 8, deæi figurate cu ajutorul unor simboluri originale, pãstreazã ceva din faptul cã sunt pare. 60 æi 90 pãstreazã ceva de la 3, iar 80 ceva de la 4. Iar 1 000 reprezintã stilizarea florii de lotus æ.a.m.d. Tot în aceastã figurã se pot observa modificãrile survenite în cele trei tipuri de scriere pentru unitãåi, zeci, sute æi mii. Coloana I din cele patru compartimente reprezintã unitãåile, cea de a II-a zecile, a III-a sutele æi a IV-a miile. Adunarea a douã numere de tip hieroglific era foarte simplã: se numãrau simbolurile de aceaæi naturã æi se efectuau, apoi, reducerile necesare. Pentru înmulåire, egiptenii foloseau dublarea, ca æi cum înmulåitorul ar fi fost scris în baza 2. Un exemplu ne poate uæura înåelegerea. Fie 7 x 11. Se scria pe verticalã: 1 æi 7; 2 æi 7; 4 æi 7; 8 æi 7; 16 æi 7, în felul urmãtor: /1 7 /2 14 4 28 /8 56 16 112 adicã 1x7 = 7; 2 x 7= 14; 4 x 7 = 28; 8 x 7 = 56; 16 x 7 = 112. Mai întâi, se cerceta ce numere din coloana din stânga au ca sumã înmulåitorul 11. Aceste numere sunt: 1, 2 æi 8. Se reåineau, în coloana din stânga, doar aceste numere, marcându-se printr-o liniuåã oblicã. Apoi se cercetau corespondenåele numerelor 1, 2 æi 8 în coloana din dreapta – aceste numere fiind 7, 14 æi 56. Prin însumarea lor, se obåinea 77. Or, 77 reprezintã rezultatul înmulåirii 7x 11. Arina în Åara Numerelor 73 Ætim cã împãråirea este operaåia aritmeticã inversã înmulåirii. Åinând seama de acest fapt, pentru a împãråi, de pildã, numãrul 168 la 8, egiptenii aranjau operaåiile ca æi cum ar fi vrut sã facã o înmulåire cu 8: – 1 8 2 16 – 4 32 8 64 –16 128 Cercetând în coloana din dreapta (invers faåã de înmulåire, când se cerceta coloana din stânga), numerele care, adunate, dau deîmpãråitul 168, se reåineau numerele 8, 32 æi 128. În continuare, se notau numerele din coloana din stânga care corespundeau lui 8, 32 æi 128 æi se marcau cu o liniuåã orizontalã. Acestea erau 1, 4 æi 16, care, adunate între ele, reprezintã câtul împãråirii. Egiptenii operau doar cu fracåia având ca numãrãtor unitatea: , 1 2 , 1 3 , 1 4 1 5 ... Excepåie fãcea fracåia 2 . ... 3 Fracåia se nota folosindu-se semnul (bucatã). , care înseamnã parte Fig. 9. Fracåii egiptene având ca numãrãtor unitatea 74 Eliza Roman De la bobul de cacao la glifa aztecã Zona Americii Centrale, care cuprindea imperiul aztec æi popoarele maya, a cunoscut un sistem de numeraåie cu baza 20, în care numerele erau simbolizate cu ajutorul unor semne diferite pentru grupurile de numere 20, 202 æi 203. Graåie acestui sistem, au fost fãcute calcule foarte precise asupra timpului. Specialiætii susåin cã la precolumbieni datarea timpului începe din 12 august 3113 î.e.n. Cel mai vechi sistem de numeraåie aztec, având baza 20, folosea patru cifre. Un mic cerculeå, corelat, probabil, cu un bob de cacao, reprezenta unitatea. Un drapel îl reprezenta pe 20, un conifer pe 202 = 400, un sac cu tãmâie pe 203 = 8 000, aceasta fiind, de altfel, puterea cea mai mare pe care o utilizau. Numãrul 400, considerã cercetãtorii, ar fi fost reprezentat printr-un conifer, dar, de fapt – susåine G. Guitel –, era vorba de o coadã de pãr. Probabil cã, anterior, a avut sensul de „mult“. Pentru a nota numãrul 159 999 – cel mai mare numãr al aztecilor –, trebuiau juxtapuæi 19 saci cu tãmâie, 19 brazi, 19 drapele æi 19 cerculeåe. Deci era nevoie, în total, de 76 de semne! Cu vremea, au fost aduse o serie de simplificãri sistemului. Dacã un conifer, cu care notau numãrul 400, pierdea devenea numãrul 300. Dacã acelaæi conifer pierdea 1 din ramurile lui, 4 din ramuri, reprezenta numãrul 200. 1 2 Iar dacã pierdea 3 era echivalentul numãrului 100. 4 Înregistrãrile de naturã contabilã stau mãrturie acestui sistem de notare. Numeraåia aztecã a evoluat în strânsã legãturã cu dezvoltarea calendarului. Luna numãra 20 de zile, fixate într-o ordine imuabilã, fiecãrei zile asociindu-i-se o glifã, adicã un simbol gravat în piatrã. Iatã, reprezentate, cele 20 de zile ale calendarului aztec, corespunzând numerelor 1-20, potrivit glifelor sãpate pe pietre funerare: Arina în Åara Numerelor Nr. Denumirea Numele în aztec românã 1 Crocodil Cipactli 2 Vânt 3 Casã Templu 4 Æopârlã 5 Æarpe Coatl 6 Cap de mort 7 Glife Denumirea Denumirea în în francezã englezã Crocodile Weater beast the Earth Vent The Wind Maison A Temple Lézard Lizard Serpent Snake Miquiztli Tête de mort Death Cerb Mazatl Cerf Deer 8 Iepure Tochtli Lapin Rabbit 9 Apã Eau Water Chien Dog 10 Câine Ehecatl 75 Calli Quetzpalin Atl Itzcuintli (Continuare în pag. 76) Fig. 10. Cele 20 de zile ale anului religios aztec, cu glifele corespunzãtoare (Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 146-147) 76 Eliza Roman Nr. Denumirea în românã Numele aztec Glife Denumirea în francezã Denumirea în englezã (Continuare din pag. 75) 11 Maimuåã Ozomatli Singe Monkey 12 Iarbã Malinalli Herbe Grass used in penance 13 Trestie Acatl Roseau Reed used for arrow shafts 14 Jaguar Oceolotl Jaguar Ocelot 15 Vultur Quauhtli Aigle Eagle Vautour Vulture Mouvement Earth tremor 16 Uliu Cozcaquauhtli 17 Miæcare Olin 18 Cuåit de piatrã Tecpatl Couteau de pierre Stone knife 19 Ploaie Quiauitl Pluie Rain 20 Floare Xochitl Fleur Flower Fig. 10. Cele 20 de zile ale anului religios aztec, cu glifele corespunzãtoare (Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 146-147) Arina în Åara Numerelor 77 Pentru noi, care suntem obiænuiåi cu cele 7 zile ale sãptãmânii, legate exclusiv de Soare, Pãmânt æi planete, atâtea cât se cunoæteau în Antichitate, calendarul zilelor aztece este, într-adevãr, uluitor. Sistemul lor de numeraåie e strâns legat de calendarele utilizate. Or, aspectul cel mai frapant al calendarelor descoperite în Mexic æi în America Centralã constã în faptul cã ele opereazã cu douã unitãåi de timp: un an religios, conceput în mod artificial, æi un an solar, legat de ciclul anotimpurilor, care reprezenta anul civil. Plecând de la o definiåie matematicã, descoperitã, probabil, în mod empiric, aztecii au ales pentru anul religios ciclul de 260 de zile. De ce 260? Pentru cã rotirea celor 20 de zile – legate, incontestabil, de sistemul de numeraåie cu baza 20 – se producea dupã multiplicarea cu primele 13 numere întregi. De ce s-au oprit la 13? Probabil, din motive religioase. 260 este cel mai mic multiplu comun al lui 13 æi 20. Dar aztecii nu aveau cunoætinåe matematice æi au ales în mod empiric numãrul 260 ca duratã a anului religios. Cu siguranåã, suntem în faåa unei alegeri extraastronomice. Calendarul religios al aztecilor nu prezenta nici o utilitate în viaåa de zi cu zi a populaåiei, care se îndeletnicea, în principal, cu agricultura, dependentã de anotimpuri; de aceea, ei au adoptat un calendar solar civil în care anul avea 365 de zile, grupate în 18 luni a câte 20 de zile, plus 5 zile complementare. De la azteci au rãmas o serie de Codice, manuscrise extrem de interesante æi atractive prin originalitatea æi prin frumuseåea reprezentãrilor. În toate aceste manuscrise apar numere, într-o covâræitoare diversitate. Aceluiaæi numãr i se asociau simboluri diferite sau acelaæi numãr putea fi notat prin juxtapunerea de cerculeåe în diferite poziåii. Lipsa de unitate e de-a dreptul stupefiantã. Într-un codice, numãrul 1, notat printr-un bob de cacao, putea reprezenta, dupã caz, un câine, o casã, un cuåit, o trestie sau un iepure. Nici mãcar felul în care erau dispuse boabele de cacao nu asigura totdeauna unicitatea semnificaåiei numãrului. Astfel, 78 Eliza Roman numãrul 10 putea sã însemne ploaie în ipostaza A, iarbã în ipostaza B, trestie în ipostaza C. A B C • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ploaie • • • • • • • • • • Iarbã Trestie Atât cuåit, cât æi casã au o reprezentare identicã, fie • • • • • fie • • • • • • • • • • • • • • • Sistemul de numeraåie aztec, de purã concepåie primitivã, a servit la efectuarea adunãrilor æi la utilizarea calendarului. Valoarea lui este de palier în dezvoltarea aritmeticii elementare. Sistemul acrofonic grecesc Grecia a cunoscut douã sisteme de numeraåie, foarte diferite. În primul sistem, cel mai vechi, denumit acrofonic, numerele erau notate cu cea dintâi literã a cuvântului care le desemna. Åinând Arina în Åara Numerelor 79 seama cã akros în greacã înseamnã vârf, înåelegem lesne de ce sistemul a cãpãtat numele de acrofonic. Regula avea o singurã excepåie: numãrul 1 era notat cu o barã. Cel de-al doilea sistem de numeraåie, denumit savant, este, realmente, un sistem alfabetic (sistemul grec savant va fi prezentat în capitolul referitor la sistemele de numeraåie alfabetice). Aceste douã sisteme au coexistat îndelung. Cel acrofonic, foarte rudimentar, servea la notarea numerelor cardinale. A fost utilizat în metrologie æi a jucat un rol important în socotelile cu monede. La început, numerele erau notate prin transcrierea cuvântului în întregime. Cele æase cifre pe care le folosea sistemul acrofonic erau: 1, 5, 10, 100, 1 000 æi 10 000. 1 5 I Γ (forma veche a lui 10 100 1000 10000 Δ (iniåiala lui DEKA); H (iniåiala lui HEKATON); X (iniåiala lui XIΩIOI); M (iniåiala M γ PIOI) p , iniåiala lui π ENTE); Numãrul 50 era notat cu , adicã în semnul pentru cinci îl încorporau pe 10, ca æi cum l-ar înmulåi pe 5 cu 10. Urmând acelaæi procedeu, numãrul 500 era notat cu (încorporând în 5 pe 100 = 5 x 100); pentru 5 000 se utiliza semnul (5 încorporându-l pe 1 000), iar 50 000 era notat cu (5 încorporând simbolul pentru 10 000). Aceste semne apar æi pe Abacul din Salamida, descoperit în 1846, oarecum asemãnãtor computerului. 80 Eliza Roman Sã remarcãm cã grecii au construit un sistem satisfãcãtor pentru numãrarea banilor. Sã exemplificãm: 5 taleri 10 taleri 100 taleri 1000 taleri Cum numãrau strãmoæii romani? Din cele mai vechi timpuri, romanii au cunoscut un sistem de numeraåie asemãnãtor sistemului acrofonic grecesc, pe care îl folosim æi în zilele noastre: Cele 7 cifre ale acestui sistem sunt: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Pentru a scrie numerele mari, romanilor le-a trebuit multã ingeniozitate. Folosindu-æi imaginaåia, ei au întreprins multiple încercãri pentru a gãsi soluåii. În coloana din stânga a tabelului urmãtor, 3 observãm cã pentru a scrie numãrul 1 000 (10 ) au gãsit patru modalitãåi pe lângã „M“-ul pe care-l folosim æi noi, æi anume: o barã închisã între douã semicercuri; un fel de semn al înmulåirii aplatizat între douã semicercuri; semnul infinitului æi o barã verticalã sur4 5 montatã de una orizontalã. Pentru 10 000 (10 ) æi 100 000 (10 ) existau câte trei posibilitãåi. 10 000 era notat cu unul dintre semnele pe care romanii îl foloseau pentru 1 000, æi anume (I), pe care-l închideau între alte semicercuri, ceea ce însemna înzecirea numãrului. El arãta astfel: ((I)). Cea de-a doua modalitate de reprezentare pentru 10 000 era un X simbolizându-l pe 10, situat înaintea lui M, care înseamnã 1 000, deci era o multiplicare a lui 10 cu 1 000. Ultima modalitate pentru scrierea numãrului 10 000 era un 10 surmontat de o barã verticalã. Pentru 100 000, romanii foloseau fie pe 1 000, notat printr-o barã verticalã închisã cu trei rînduri de paranteze, adicã 10 000 ori 10, fie pe C = 100 urmat de un M = 1 000 (100 x 1 000), fie pe C = 100 surmontat de o barã orizontalã. Arina în Åara Numerelor 81 Milionul, adicã 106, se nota doar în douã feluri, unul fiind X 7 8 încadrat; 10 era exprimat prin C încadrat, iar 10 prin M încadrat (10 000 000 = 1 000 x 100 000; 100 000 000 = 1 000 x 100 000); încadrarea semnifica amplificarea cu 100 000. Fig. 11. Cifre romane (Reprodus dupã: Al. Toth. Apariåia æi rãspândirea cifrelor în Åãrile Române. Bucureæti, Editura Tehnicã, 1972, p. 13) Coloana din dreapta tabelului de mai sus reproduce semnele inventate de romani pentru a reprezenta numãrul 50 æi numãrul 500 multiplicat prin puterile lui 10. Urmãrind acest tabel, este lesne de înåeles cum au fost înregistrate numerele întregi pe Abacul de buzunar pãstrat la Cabinetul de Numismaticã al Bibliotecii Naåionale din Paris (vezi Fig. 12, p. 82). Romanii formau destul de uæor orice numãr inferior lui 500 000 000, cu numai nouã simboluri, æapte cifre, trãsãtura (bara orizontalã care surmonta numãrul) pentru 1 000 æi încadrarea (într-un dreptunghi fãrã bazã) pentru numerele superioare lui 100 000. Iatã, de exemplu, cum alcãtuiau numãrul: 123 456 789: sute de mii 1234 MCCXXXIV mii 56 LVI sute, zeci, unitãåi 789 DCCLXXXVIIII 82 Eliza Roman Fig. 12. Abacul de buzunar (Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 210) Este interesant de urmãrit cum pronunåau romanii numerele mari. Pentru puterile succesive ale numãrului 10, ei spuneau: 10 = decem 2 10 = centum 3 10 = mille 4 10 = decem milia (10 x 1000) 5 10 = centum milia (100 x 1000) 6 10 = decies centena milia (10 x 100 x 1000) 7 10 = centies centena milia (100 x 100 x 1000) 8 10 = milies centena milia (1000 x 100 x 1000) 9 10 = decies milies centena milia (10 x 1000 x 100 x 1000). Observãm aici douã praguri, unul pentru 1 000 æi altul pentru 100 000. Sã nu uitãm cã atestarea numerelor mari a fost târzie în toatã lumea. În Franåa, vocabula milion apare în anul 1359, importatã din Italia, unde millione însemna o mie mare, iar miliard e atestat în Arina în Åara Numerelor 83 1544. Cuvântul milion a fost inventat de Marco Polo (1254-1324), care, entuziasmat de mulåimea oamenilor æi a bogãåiilor pe care le-a vãzut în China, l-a folosit ca superlativ al cuvântului mille (o mie, în italianã). În Apusul Europei, la începutul Evului Mediu, a dominat numãrãtoarea cu cifre romane, cu fracåii romane, precum æi cu abacul, pe lângã numãrarea pe degete æi folosirea rãbojului. În bibliotecile din åara noastrã, se pãstreazã manuscrise æi cãråi vechi în care apar numere romane. Cel mai vechi dateazã din secolul al XI-lea æi aparåine fondului Bibliotecii Batthyaneum din Alba Iulia. Deæi numeraåia greacã acrofonicã æi numeraåia romanã prezintã aceeaæi concepåie, este puåin probabil cã una sã o fi influenåat pe alta æi cu atât mai puåin cã ar avea o origine comunã. Tot astfel, cine æi-ar putea imagina, bunãoarã, cã sistemul de numeraåie aztec a fost influenåat de sistemul de numeraåie egiptean? Fiecare dintre aceste douã popoare a avut aceeaæi idee! Situaåia este, însã, complet alta în cazul sistemelor de numeraåie pur alfabetice, aæa cum se va vedea în continuare. NUMERAÅIILE ALFABETICE – UN IMENS PAS ÎN ISTORIE Maria, Valeria æi Sandra trebuie sã redacteze un studiu despre sistemele de numeraåie alfabeticã. Ele æi-au împãråit atribuåiile. Maria aduce informaåii despre matematica la evrei, Valeria despre matematica la greci, iar Sandra despre matematica la arabi. Dupã o lunã, fetele se întâlnesc la Sandra acasã, ca sã discute rezultatele investigaåiei lor. Sandra: Valeria: Sandra: Sã începem aæa: numeraåia ebraicã, numeraåia greacã savantã æi primul sistem de numeraåie arabã îæi datoreazã apariåia alfabetului. Din alfabetul protosinaitic, consonantic, în care au fost scrise cãråile lui Moise, a rezultat cea mai veche numeraåie alfabeticã din istorie. Alfabetul fenician, la rândul lui consonatic, a jucat un rol asemãnãtor. Dupã cum se ætie, scrierea fenicianã numãra 22 de consoane. Grecii le-au preluat æi au adãugat vocalele, desãvâræind procesul de creare a scrierii alfabetice propriu-zise æi intrând în istorie ca autorii de fapt ai alfabetului. A fost o revoluåie a culturii europene. Iniåial, grecii au asociat celor 24 de litere (consoane æi vocale) ale alfabetului lor 24 de numere cardinale. Trebuie adãugat cã în timp ce alfabetul ebraic are 22 de consoane, cel grec numãrã 24 de consoane æi vocale, iar cel arab 28 de consoane. Toate aceste trei sisteme de numeraåie îl au ca bazã pe 10. Acum e rândul Mariei sã citeascã ce a redactat. Arina în Åara Numerelor 85 O asociere ingenioasã a literelor æi numerelor la evrei Maria: Reprezentarea numerelor la evrei a fost extrem de ingenioasã. Ei au început prin a asocia primele 9 numere întregi primelor 9 litere ale alfabetului lor. O caracteristicã remarcabilã a limbii ebraice i-a fãcut sã realizeze urmãtoarea asociere: numele zecilor de la 30 la 90 sunt pluralele numelor atribuite lui 3, 4, 5… 9. Numãrul 20 nu este însã asociat, în acelaæi chip ca celelalte noduri ale zecilor, cu numãrul întreg 2. Având la dispoziåie încã patru litere, acestea au fost atribuite primelor 4 sute. Numãrul 500 a fost reprezentat prin 400 + 100; 600 prin 400 + 200 æ.a.m.d. pânã la 900 = 400 + 400 + 100. Apoi, evreii au renunåat la acest sistem, æi pentru 500, 600, 700, 800 æi 900 au asociat litere care nu figurau în alfabetul lor uzual, deoarece acestea nu serveau decât ca terminale. Ei au folosit pentru 500 pe kaf final, pentru 600 pe mem final, pentru 700 pe nun final, pentru 800 pé final, iar pentru 900 pe æade final. Pentru a ajunge la un milion, ei au avut ideea de a pune deasupra fiecãrui numãr douã puncte, mãrindu-le în acest fel valoarea cu o mie. Scrierea numerelor la evrei era de la dreapta la stânga, începând cu unitãåile de ordinul cel mai mare. Bunãoarã, 1 005 se nota alef hé; nu exista ambiguitate la citirea numãrului (alef nu putea fi decât 1 sau 1 000; plasat înaintea lui hé era 1 000). Numãrul versetelor lui Massorah îl gãsim scris ca un numãr modern, dintr-o numeraåie de poziåie. Massorah înseamnã tradiåie æi reprezintã pe acei cãrturari evrei care, pentru a asigura acurateåea textului biblic, au marcat vocalele cu puncte. Textul biblic stabilit de ei numãrã 5 845 de 86 Eliza Roman Corespondentul numeric Denumirea literelor ebraice Sim- Litere Coresponbolul termi- dentul ebraic nale numeric Simbolul vechi Simbolul nou Fig 13. Literele ebraice æi corespondentul lor numeric (Reprodus dupã: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. I, London, The Open Court Publishing Company, 1928, p. 20-21) Arina în Åara Numerelor Valeria: Sandra: 87 versete. Cunoscând corespondenåele dintre 5, 8, 4, 5 æi litere, putem nota acest numãr în scrierea de poziåie de la dreapta la stânga, adicã: hé het dalet hé = 5, 8, 4, 5. Daåi-mi voie sã adaug cã, în Vechiul Israel, au convieåuit atât sistemul de numeraåie zecimal, cât æi cel sexagesimal. Primul dintre acestea era legat de socotitul cu ajutorul celor zece degete ale mâinilor, iar cel de-al doilea a fost împrumutat de la babilonieni. Urme ale utilizãrii sistemului sexagesimal se pot constata în Biblie, în reglementarea greutãåilor sau în uzul monedelor. Sã ne amintim cã numãrul 12 apare frecvent în literatura biblicã – cele 12 semiåii ale lui Israel, cele 12 poråi ale Ierusalimului etc. E rândul tãu, Valeria. Impactul numeraåiei greceæti Valeria: Grecii au început prin a simboliza primele 24 de numere apelând la cele 24 de litere ale alfabetului lor. Åinând seama cã aceste 24 de litere nu erau suficiente pentru a nota cele nouã unitãåi simple, cele nouã zeci æi cele nouã sute, ei au introdus trei semne suplimentare, æi anume: digamma (a æasea literã a alfabetului fenician, pentru 6), koppa (de origine semiticã pentru 90) æi sampi (de origine fenicianã, pentru 900). În aceste condiåii, puteau acoperi toate numerele pânã la 1 000, aæa cum vi le înfãåiæez în urmãtorul tabel. Primele opt litere ale alfabetului grec æi digamma corespund numerelor 1-9; urmãtoarele opt litere æi koppa indicã zecile (10-90); ultimele opt litere æi sampi indicã sutele (100-900). Miile (1 000-9 000) erau simbolizate cu ajutorul literelor care indicau unitãåile, 88 Eliza Roman dar precedate de o liniuåã, situatã ceva mai jos decât litera. Sandra: Ætiu cã, spre deosebire de evrei, grecii notau în sistem poziåional de la stânga la dreapta. Valeria: Corect. De exemplu, numãrul 4 837 îl notau astfel: litera delta pentru 4, precedatã de o liniuåã verticalã (care indica faptul cã e vorba de mii), urmatã de litera omega, care indica valoarea 800, pentru valoarea 30 puneau litera lambda æi, în sfâræit, litera dzeta pentru valoarea 7. Maria: Reiese cã pentru a nota numerele pânã la miriadã (10 000), numeraåia greacã a folosit aceleaæi procedee ca æi numeraåia ebraicã. Atunci cum se explicã impactul ei incomparabil mai mare decât al numeraåiei ebraice? Valeria: Impactul numeraåiei greceæti se datoreazã atât condiåiilor geografice æi istorice, cât æi Fig. 14. Denumirea calitãåilor ei intrinsece. numerelor la greci pe Unitatea imediat urmãtoare baza alfabetului (tranmiilor, miriada (10 000), era internaåionalã) notatã de greci în mai multe scriere Tabelul este completat de cãtre feluri. Se scria, de exemplu, autoare cu termenii semitici, menåionaåi în paranteze drepte. Arina în Åara Numerelor Maria: 89 litera M æi se punea în faåa sau deasupra ei cifra care indica de câte ori trebuie luatã miriada. De exemplu: 314 159 reprezenta 31 de miriade æi 4 159, deci se punea un M pentru miriadã æi deasupra sau în faåa ei lambda pentru 30 æi alfa pentru 1; în continuare, pentru 4 000 se punea delta (patru) precedatã de o liniuåã, ro pentru 100; niu pentru 50 æi, în sfâræit, theta pentru 9. Numãrul 314 159 în scrierea grecilor, arãta astfel: λαMlδρνθ. Marele matematician grec Diofant (325409) nu-l folosea pe M, ci despãråea miriadele cu un punct de unitãåile de rang inferior. În manuscrisele din epocile târzii ale civilizaåiei greceæti antice, miriada era reprezentatã prin douã puncte puse deasupra cifrelor. Æi pentru notarea numerelor mari cum se proceda? Pentru notarea numerelor mari, matematicienii greci au apelat la baze foarte mari. Astfel, astronomul æi matematicianul Apollonios din Perga (262-180 î.e.n.) a folosit baza 104. Acest sistem de numeraåie prezintã valoare speculativã, dar era total lipsit de utilitate practicã, nefiind rãspândit în rândurile matematicienilor. Imaginaåia lui Arhimede a depãæit-o pe aceea a lui Apollonios. El a considerat miriada miriadei o nouã unitate, ceea ce i-a permis sã ajungã la numere chiar superioare numãrului firelor de nisip pe care le-ar conåine o sferã având raza egalã cu distanåa de la Pãmânt la Soare. Arhimede credea cã diametrul acestei sfere este inferior miriadei de miriade. El a ajuns la un numãr format din unitate æi opt sute de milioane de zerouri. Sistemul de numeraåie grec a reuæit sã se adapteze uæor la notaåia sexagesimalã a babilonienilor, sporindu-i eficienåa. Marii matematicieni greci au perfecåionat acest instrument puåin cam greoi æi l-au fãcut apt pentru calcule foarte mari. 90 Eliza Roman Maria: Multe popoare care au resimåit influenåa greacã au creat pentru uzul lor sisteme de numeraåie alfabetice inspirate din sistemul de numeraåie savant al grecilor. Acum, Sandra. Numeraåia arabã priveæte spre Europa Sandra: Maria: Vã mãrturisesc cã n-am reuæit sã redactez un text prea coerent, am întâmpinat multe greutãåi, deoarece mã descurc greu cu alfabetul arab. Totuæi, vã rog sã mã ascultaåi (citeæte): Toate sistemele de numeraåie care se bazeazã pe alfabet respectã regula potrivit cãreia orice literã a alfabetului corespunde unui numãr æi numai unuia singur æi orice numãr corespunde unei litere æi numai unei singure litere. Arabii, care dispuneau de un alfabet alcãtuit din 28 de consoane, aveau posibilitatea sã noteze cu litere æi toate nodurile sutelor, ceea ce le-a permis sã reprezinte cu uæurinåã numere pânã la 1 000. Zece fiind baza sistemului de numeraåie, nouã se constituie în numãr fundamental, deoarece existã câte nouã noduri pentru unitãåi, zeci æi sute. Corespondenåa dintre literele alfabetului ebraic, respectiv ale celui grecesc, æi numere este ordonatã æi biunivocã. Surprinzãtor pentru noi, obiænuiåi cu acest tip de corespondenåã, în limba arabã corespondenåa biunivocã dintre literele alfabetului æi numere nu mai urmeazã æirul crescãtor al numerelor. Æirului crescãtor de 28 de litere ale alfabetului arab îi corespunde æirul numerelor 1, 2, 400, 500, 3, 8, 600, 4, 700, 200, 7, 60, 300, 90, 800, 9, 900, 70, 1000, 80, 100, 20, 30, 40, 50, 5, 6, 10. Ce dovedesc aceste observaåii? Ai tras vreo concluzie? Hai sã vedem ce ne mai spune Valeria. Arina în Åara Numerelor Valeria: 91 Cea mai bunã concluzie e sã vã prezint tabelul numerelor de la 1 la 1 000 000 folosite de arabi: Fig.15. Nodurile de la 1 la 1 000 000 în numeraåia alfabeticã arabã (Reprodus dupã: Florian Cajori, Op.cit., p. 29) Maria: Valeria: Sandra: Maria: Valeria: Maria: Vrei sã ne zãpãceæti de tot? Doamne fereæte! Mã uit la tabelul acesta. Cum sã descifrãm numerele mai mari de 4 000? Mai întâi, sã nu scãpãm din vedere cã arabii scriau numerele de la dreapta la stânga, iar noi le scriem de la stânga la dreapta. Pentru 3 000, noi notãm 3, apoi punem mia, iar arabii puneau mie trei, dar semnul pentru 3 000 nu corespunde cu semnul pentru 1 000 æi cu semnul pentru 3. Stai! Descopãr cã metoda åine pentru 4 000, 6 000 æi 7 000. Maria are dreptate, celelalte noduri ale miilor nu conåin numãrul 1 000, dar, în poziåie terminalã, toate prezintã acelaæi semn. Existã vreo justificare pentru aceastã constatare? 92 Eliza Roman În araba cursivã, aceeaæi literã poate lua forma: medianã, iniåialã, finalã, izolatã. Valeria: Dar literele alfabetului nu sunt izolate? Sandra: Literele alfabetului permit sã se scrie nodurile unitãåilor, zecilor, sutelor æi numãrul 1 000. Dar, atenåie, când scriem 3 000, numãrul mie se gãseæte în poziåie terminalã, deci trebuie folositã forma finalã, pe când pentru 3 folosim forma iniåialã a literei corespunzãtoare. Valeria: Cam complicat! Sandra: Dar 4 000, 6 000 æi 7 000 se prezintã prin simpla juxtapunere, deoarece 4, 6, 7 nu se leagã cu mia, astfel cã mia pãstreazã aparenåa de literã izolatã. Valeria: Æi semnul pentru milion? Sandra: Reprezentarea milionului se obåine prin juxtapunerea a douã semne pentru mie; cel din dreapta este semnul iniåial pentru mie, foarte mic, înghesuit, cu un punct diacritic, iar cel din stânga este semnul final pentru mie, care comportã æi el un punct diacritic. Maria: Cred cã åi-a fost foarte greu sã pricepi acest sistem de numeraåie. Valeria: Æi foarte greu sã-l expui succint. Sandra: Orice numãr scris în acest prim sistem de numeraåie arab trebuia sã fie considerat ca un cuvânt, iar reprezentarea lui sã respecte regulile scrierii cursive arabe. Valeria: Ce consecinåe au avut dificultãåile cu care s-a confruntat acest sistem de numeraåie arab? Sandra: Toate aceste dificultãåi au surghiunit primul sistem de numeraåie arab într-o întrebuinåare staticã. Ca urmare, specialiætii în gramatica arabã au inventat nume mnemotehnice pentru a facilita reåinerea succesiunii nodurilor unitãåilor, zecilor, sutelor. Toate complicaåiile care decurg din scrierea cursivã arabã i-au determinat Sandra: Arina în Åara Numerelor 93 sã adopte sistemul sexagesimal de poziåie babilonian, care a permis efectuarea eficientã de calcule. Valeria: Cam când s-a întâmplat asta? Sandra: Pe la începutul secolului al IX-lea. Savanåii din Bagdad au adoptat atunci sistemul de numeraåie zecimal de poziåie, care fusese introdus nu cu mult înainte în India æi care reprezenta perfecåionarea aritmeticii zecimale bazate pe principiul valorii simbolului. Covâræitorul merit al arabilor este acela de a fi rãspândit numeraåia poziåionalã indianã, pe care o cunoæteau încã din secolul al VIII-lea. De însemnãtate hotãrâtoare pentru cunoaæterea æi adoptarea cifrelor indiene æi a scrierii poziåionale în Europa a fost apariåia, începând din secolul al XII-lea, a traducerilor în limba latinã a cãråilor arabe de aritmeticã æi, îndeosebi, a manualului de aritmeticã al matematicianului arab Muhammad ibn Musa al Horezmi (c. 780-850). Impactul acestei lucrãri, care debuteazã cu descrierea detaliatã a sistemului indian de numeraåie, este covâræitor. El utilizeazã nouã „figuri“ – simbolurile numerelor 1, 2, 3, …, 9 – æi un „cerc mic“ – simbolul lui zero, cu care erau exprimate, fãrã dificultate, numere oricât de mari. Valeria: Totuæi, se foloseau, în continuare, æi vechile procedee de numeraåie. Maria: Am citit cã cel care a introdus cifrele arabe pe continentul nostru a fost Fibonacci. Sandra: Exact, æi o datã cu introducerea lui în viaåa economicã, noul sistem de numeraåie câætigã definitiv teren în Europa secolului al XV-lea. Este elocvent cã, pe monede, cifrele arabe au apãrut încã în secolul al XV-lea (1424, în Elveåia), iar pe monumentele funerare în secolul al XIV-lea (la Pforzheim, lângã Buda, în 1371). NUMERAÅIILE DE POZIÅIE Începutul a fost în Sumer Incontestabil cã cel mai vechi sistem de numeraåie care a reuæit sã devinã realmente un sistem de poziåie a fost cel al sumerienilor æi babilonienilor. Oamenii de ætiinåã au descoperit documente relative la acest sistem încã din mileniul al III-lea î.e.n. Zero nu a apãrut în cadrul sistemului decât târziu, æi anume în poziåie medianã (pentru a semnala lipsa unei cifre din interiorul unui numãr), iar zero operaåional nu a figurat niciodatã. Iniåiatorii au fost sumerienii, de la care l-au preluat babilonienii. Baza sistemului de numeraåie sumerian-babilonian a fost 60. Ne punem întrebarea de ce sumerienii æi babilonienii au ales o bazã mare de numeraåie. Istoricii æi matematicienii au emis mai multe ipoteze. Prima lua în considerare virtutea numãrului 60 de a avea mulåi divizori, ceea ce permite mânuirea lui comodã. Cel care a emis aceastã ipotezã a fost matematicianul æi astronomul grec Theon din Alexandria (sfâræitul secolului al IV-lea e.n.) – comentatorul lui Ptolemeu. În epoca modernã, matematicianul englez John Wallis (16161703) s-a oprit æi el la acest argument. Alåii au legat folosirea lui 60 de calendar, de anul rotunjit sau de cerc. La începutul secolului al XX-lea, astrologul german Kewitsch a sugerat ipoteza puåin fantezistã cã 60 a fost ales ca rezultantã a contopirii concepåiei a douã popoare mai vechi, din care unul ar fi adus sistemul zecimal, iar celãlalt un sistem de numãrare bazat pe numãrul 6. Matematiciana francezã Geneviève Guitel a cãutat sã argumenteze cã alegerea lui 60 ca rezultantã a încruciæãrii lui 6 cu 10 e raåionalã, fiindcã se leagã de Arina în Åara Numerelor 95 3 æi de 2, respectiv de 5, ca divizori ai bazei. Numãrul 3 nu joacã în metrologie un rol tot atât de important ca 2, dar are un rol esenåial în muzicã, stând la baza obåinerii de cvinte de o mare frumuseåe. Deæi majoritatea popoarelor au adoptat numãrul 10 ca bazã a numeraåiei, urmele folosirii bazei 60 se regãsesc æi astãzi pretutindeni în lume! Nu socotim timpul folosind ca bazã numãrul 60? Ora are 60 de minute æi minutul 60 de secunde. Dacã în Ajunul Crãciunului, la ora 18, 10 minute æi 2 secunde, copilul îæi întreabã tatãl cât mai e pânã vine Moæul cu daruri, tatãl va trebui sã facã urmãtoarea socotealã: 24h – 18h10’2’’ = (23h + 1h) – 18h10’2’’ = (23h60’) – 18h10’2’’ = [23h(59’ + 1’)] – 18h10’2’’ = (23h59’60’’) – 18h10’2’’ = 5h49’58’’. În acelaæi mod procedeazã æi æcolarii când fac operaåii de adunare, scãdere, înmulåire sau împãråire a unghiurilor etc. Principiul juxtapunerii a stat la baza tuturor celorlalte sisteme de numeraåie din Antichitate æi pe care l-am moætenit æi noi, folosind scrierea cu caractere latine. În sistemul poziåional, valoarea unui simbol numeric depinde de poziåia relativã a acestuia în secvenåa numãrului respectiv. Aceastã notaåie poziåionalã prezintã imensul avantaj cã simplificã operaåiile fundamentale, fãcându-le mecanice, cã permite, de asemenea, ca numere foarte mari, ca æi numere foarte mici sã se exprime la fel de uæor. Un exemplu ar fi potrivit pentru a ne edifica asupra caracterului unui sistem poziåional. Sã vedem ce reprezintã într-un asemenea sistem cifra 7 din numãrul 7 777: cifra 7 desemneazã cele 7 unitãåi de ordinul sau rangul întâi (care ocupã prima secvenåã din numãr); apoi cele 70 de unitãåi de rangul al doilea; cele 700 de unitãåi de rangul al treilea æi, în fine, cele 7 000 de unitãåi de rangul al patrulea. Elevii lucreazã cu numere într-un sistem poziåional cu baza 10. Ei ætiu, de exemplu, ce înseamnã numãrul 382: 382 = (3 x 100) + (8 x 10) + 2 sau (3 x 102) + (8 x 101)+ (2 x 100) (Toatã lumea cunoaæte cã orice numãr ridicat la puterea zero este egal cu 1). Numãrul 382 ne spune, deci, cã avem 3 unitãåi de rangul al treilea, 8 unitãåi de rangul al doilea æi 2 unitãåi de rangul 1. Prin 96 Eliza Roman urmare, valoarea unitãåilor de rangul 1 nu este afectatã de bazã, valoarea unitãåilor de rangul al doilea se înmulåeæte cu valoarea bazei 10, valoarea unitãåilor de rangul al treilea se înmulåeæte cu valoarea bazei ridicate la puterea a doua. Urmând acest principiu, realizãm uæor cã valoarea unitãåilor de rang n se va înmulåi cu valoarea bazei la puterea n – 1. Deoarece obiectul prezentului comentariu este legat de sistemul poziåional de numeraåie sumerianã, având ca bazã 60, sã încercãm sã urmãrim cum notau numerele sumerienii æi babilonienii. Prin analogie, valoarea unitãåilor de rangul întâi rãmâne neschimbatã, valoarea unitãåilor de rangul al doilea se înmulåeæte cu 60, iar valoarea unitãåilor de rangul al treilea se înmulåeæte cu 602 æ.a.m.d. Sã alegem la întâmplare un numãr. Fie acesta 7 523. Aplicând cele de mai sus, avem (7 x 603) + (5 x 602) + (2 x 601) + (3 x 600). Efectuãm înmulåirea. Numãrul este egal cu 1 540 123. Æi acum sã ne oprim puåin asupra numeraåiei orale a locuitorilor dintre Tigru æi Eufrat. O facem pentru cã aceasta constituie o mãrturie a arhitecturii numeraåiei lor scrise. Terminologia oralã ne aratã cã articulaåiile numeraåiei scrise sunt încorporate în limbaj. Numele primelor zece numere æi ale primelor noduri ale zecilor pãstreazã urme ale bazelor de numeraåie folosite anterior, adicã 5 æi 10. De altfel, aæa se întâmplã în cea mai mare parte a numeraåiilor, dar, în general, denumirile primelor numere sunt atât de vechi æi atât de deformate încât o întoarcere la originile limbajului este, adesea, imposibilã. Tabloul acestui sistem se prezintã astfel: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 geš (geš este acelaæi cuvânt pentru „mascul, bãrbat“) min (min este acelaæi cuvânt pentru „femeie“) eš (eš are sensul de pluralitate, este sufixul pluralului) limmu ia aš imin (imin este un nume compus din i[a]+ min deci 5 + 2) issu ilimmu (ilimmu este un nume compus din i[a]+ limmu = 5 + 4) Arina în Åara Numerelor 97 Dupã cum se poate observa, numerele 7 æi 9 sunt marcate de 5 (7 = 5 + 2, iar 9 = 5 + 4). Sã continuãm prezentarea tabloului: 10 u 20 niš 30 ušu (uš, în loc de eš, + u, adicã 3 x 10) 40 ninim sau nin (ninim este contracåia lui niš + min = 20 x 2) 50 ninnû sau nin’+ u (adicã 40 + 10) 60 geš sau gešta Începând cu al doilea prag al sistemului de numeraåie cu 60, numeraåia vorbitã este deosebit de coerentã: 60 geš 120 geš + min (60 x 2) 180 geš + eš (60 x 3) 600 era tratat ca o nouã unitate, deæi compus din 60 x 10, æi era denumit geš-u; el reprezintã al treilea prag al notaåiei. În acelaæi spirit, plecând de la: 600 geš + u 1 200 geš + u + min (600 x 2) 1 800 geš + u + eš (600 x 3) 3 600 era denumit šar, care înseamnã cerc, ansamblu, totalitate æi reprezenta cel de-al patrulea palier al numerotaåiei. Folosind aceeaæi tehnicã avem: 7 200 šar + min (3600 x 2) 36 000 šar + u (3 600 x 10). Æi tot aæa pânã la al cincilea prag: 216 000 = 603 = šar + gal, adicã marele šar. În ceea ce priveæte numeraåia scrisã a sumerienilor, ea a fost marcatã de instrumentele de scris. Cel dintâi instrument pentru notarea numerelor a fost tulpina de trestie, secåionatã circular, care, apãsatã 98 Eliza Roman perpendicular pe tãbliåa de lut, contura o formã foarte apropiatã de cerc, iar prin apãsarea oblicã se obåinea forma de semicerc. Cu 2000 de ani î.e.n., folosind tehnica realizãrii de semicercuri pe tãbliåele de argilã æi aliniind simbolurile pe una sau pe douã linii, sumerienii au notat numerele de la 1 la 9, aæa cum se vede în tabelul urmãtor: 1D un semicerc 2 DD douã semicercuri aæezate la rând 3 (a) trei semicercuri la rând DDD DD D (b) douã semicercuri aæezate liniar D D D æi al treilea sub primul (a) (b) (c) (c) douã semicercuri pe verticalã æi un al treilea între ele DD (a) patru semicercuri în linie 4 DDDD DD dreaptã (a) (b) (b) câte douã semicercuri aæezate pe douã rânduri 5 DDDDD DDD (a) cinci semicercuri în linie dreaptã DD (b) pe douã rânduri, pe rândul (a) (b) întâi trei semicercuri, pe rândul al doilea douã semicercuri (a) æase semicercuri în linie 6 DDDDDD DDD DDD dreaptã (a) (b) (b) pe douã rânduri câte trei semicercuri pe rândul întâi patru semicercuri, 7 DDDD DDD pe cel de-al doilea trei 8 DDDD câte patru semicercuri pe douã DDDD rânduri 9 DDDDD pe rândul întâi cinci semicercuri, DDDD pe rândul al doilea patru semicercuri Fig. 16. Notaåia sumerianã a numerelor 1-9 Arina în Åara Numerelor 99 Pentru numãrul zece, sumerienii au reprodus pe tãbliåa de lut forma cercului. Cu ajutorul a douã tulpini de trestie de mãrimi diferite, secåionate circular, se puteau obåine patru numere: 1 = D (un semicerc mic) 10 = (un cerc mic) D 60 = (un semicerc mare) 2 (un cerc mare) 60 = 3600 = Prin combinare, se obåinea, de exemplu: 600 = (în interiorul simbolului lui 60 se introducea simbolul pentru 10, care avea rol de operator, înmulåind pe 60 cu 10). 36 000 = (în interiorul simbolului lui 3 600, un cerc mare, se introducea simbolul lui 10, adicã un cerc mic, æi se obåinea 3600 x 10 = 36 000). Folosind pe 1, 10, 60, 600, 3 600 æi 36 000, puteau fi scrise toate numere inferioare lui 216 000 (adicã 603). Cu ajutorul acestor simboluri, locuitorii Mesopotamiei fãceau uæor calcule. Sã dãm un exemplu de înmulåire: 50 x 3. Vom nota de cinci ori semnul lui 10 æi de trei ori semnul lui unu: x DDD Ætim cã înmulåirea este o adunare repetatã. A înmulåi pe 50 cu 3 înseamnã a aduna pe 50 cu 50 æi cu 50. Vom nota, deci, trei rânduri a câte cinci cerculeåe: D Åinând seama cã lucrãm în baza 60, trebuie sã avem grupuri de câte æase cerculeåe. În acest scop, luãm douã cerculeåe din ultimul rând æi mutãm câte un cerculeå la primul æi la al doilea rând. Obåinem în acest fel douã rânduri de câte æase cerculeåe æi un al treilea rând de trei cerculeåe, adicã doi de 60 æi 30. 100 Eliza Roman sau DD Exemplul de mai sus se referã la o înmulåire comodã, dar locuitorii Mesopotamiei trebuiau sã facã æi înmulåiri mai complicate. Ca æi noi, în secolul al XXI-lea, ei foloseau tabla înmulåirii. Babilonienii, ca æi sumerienii, aveau la dispoziåie, pe plãcuåe de argilã table de înmulåire pentru numerele lor. Pentru a împãråi, sumerienii asociau împãråirea cu înmulåirea, procedând astfel: dacã aveau de împãråit un numãr cu 2, atunci îl înmulåeau mai întâi cu 30; åinând seama cã 2 x 30 = 60, le rãmânea sã împartã numãrul la 60 (baza lor de numeraåie), iar dacã trebuiau sã împartã numãrul la 3, îl înmulåeau mai întâi cu 20 æ.a.m.d. Înlocuirea tulpinii de trestie secåionate circular cu un calam obiænuit a determinat un alt mod de desenare a numerelor, înainte ca sistemul de numeraåie sã devinã poziåional. Astfel, 1 notat printr-un soi de semicerc devine un triunghi, care, apoi, se subåiazã æi îæi schimbã poziåia din orizontalã în verticalã. Numãrul 10 ia forma , iar 60 este metamorfozat în acelaæi „cui“ ca 1. Suntem în prezenåa a ceea ce e cunoscut drept scrierea cuneiformã. Cãtre anul 2000 î.e.n., numerele de la 1 la 9 se prezentau în noua scriere ca în figura de mai jos. În afarã de numãrul 3, ne gãsim în faåa unei grupãri diadice, care favorizeazã economia de spaåiu; totul este axat pe par æi impar. Fig. 17. Numerele 1-9 în prima scriere cuneiformã Dupã cum observãm, 2 æi 3 sunt obåinute prin alãturarea (adunarea) linearã a cuielor. Pentru economie de spaåiu, numerele Arina în Åara Numerelor 101 de la 4 la 9 sunt notate pe douã rânduri: 4 = 2 + 2; 5 = 3 + 2; 6 = 3 + 3; 7 = 4 + 3; 8 = 4 + 4; 9 = 5 + 4. În tabelul de mai jos, observãm preponderenåa grupãrii a câte trei cuie. E prima victorie a lui 3, primul preæedinte din Åara Numerelor Arinei! Fig. 18. Numerele 1-9 în cea de a doua scriere cuneiformã Tabelul urmãtor prezintã folosirea semnului special pentru 10, cu ajutorul cãruia sumerienii æi babilonienii scriau pe 11 (10 + 1); 12 (10 + 2); 20 (10 + 10); pentru 60 apare un semn nou, 70 = (60 + 10) æ.a.m.d. Zero era marcat de babilonieni printr-un spaåiu gol. Procedeul acesta îl gãsim atestat pe un document din vremea suveranului Hammurabi sau Hammurapi (1728-1686 î.e.n.), cel care a fost adevãratul fondator al Regatului Vechi babilonian. Iatã un exemplul extras din acest document (Fig. 20). Dupã cum vedem, pe rândul întâi e figurat numãrul 1, urmat de un spaåiu liber, apoi de reprezentarea numãrului 25; pe rânFig. 19. Semne speciale de la 10 la 100 dul al doilea apar: 1, 5 æi 25. Sistemul de numeraåie de poziåie sexagesimal a fost folosit pe întreg teritoriul Mesopotamiei æi avea sã se impunã, în mileniul al III-lea î.e.n., graåie Fig. 20. În loc de zero, spaåiu liber geniului sumerian, învingãtorilor 102 Eliza Roman akkadieni, care foloseau sistemul cu baza 10. Ulterior, în viaåa de zi cu zi, avea sã fie folosit, progresiv, sistemul de numeraåie cu baza 10, al akkadienilor, care supravieåuise. Sistemul de numeraåie de poziåie sexagesimalã a continuat sã se menåinã în comunitatea savantã æi sã progreseze prin adoptarea lui zero median. Este de reåinut cã numeraåia babilonianã a supravieåuit îndelung datoritã grecilor æi arabilor, care au adoptat sistemul sexagesimal, acesta fiind mai lesne de mânuit decât sistemele lor savante de numeraåie. Un exemplu ne va convinge cât de comod le era grecilor sã transcrie tãbliåele babiloniene. Fie 36o45’57’’ în scriere babilonianã: Grecii menåionau numãrul de grad notând în limba lor cuvântul grecesc grade, dupã care scriau numãrul echivalent pentru Fig. 21. Un numãr din scrierea babilonianã în 36 (30 = λ æi ς = 6); transpunerea greceascã numãrul minutelor 45 (40 = m æi e = 5) era urmat de un accent; iar pentru secunde scriau 57 (50 = v æi ζ =7), urmat de douã accente. Numãrul arãta astfel: λ ς μ ε ’ v ζ ” Remarcãm, de asemenea, utilizarea, de cãtre locuitorii Mesopotamiei, încã din timpuri foarte îndepãrtate, a numerelor fracåionare: 1 1 2 5 , , , . 2 3 3 6 Fantezia mayaæilor Mihaela o roagã pe Margareta sã-i sugereze câteva repere pentru finalizarea studiului pe care trebuie sã-l predea Arinei. Arina în Åara Numerelor 103 Am citit cu mult interes, chiar cu pasiune, despre sistemul de numeraåie al mayaæilor, dar mã simt sufocatã de informaåii æi mi-e teamã cã nu voi reuæi sã le prezint coerent. De aceea, apelez la tine. Ai experienåã, ai finalizat studiul despre numeraåia la sumerieni æi la babilonieni – sora mai mare a numeraåiei mayaæe. Margareta: Eu cred cã trebuie sã abordezi, pentru început, urmãtorul aspect: numeraåia mayaæilor, ca æi cea a sumerienilor æi babilonienilor, folosea un sistem poziåional, superior însã, fiindcã l-au cunoscut pe zero operator. Aratã-mi ce ai adunat în problema asta. Mihaela: Uite, aici, tabelul lui G. Silvanus Morney pentru primele 19 numere: Mihaela: Fig. 22. Numerele 1-19 în sistemul de notare mayaæ (Reprodus dupã: G. Silvanus Morney, The ancient maya,. 3rd edition, Stanford University Press, 1947, p. 278) 104 Eliza Roman Margareta: Æi ce observãm? Mihaela: Observãm cã primele patru numere sunt reprezentate prin adunarea punctelor, iar numãrul 5 printr-o barã orizontalã; de la 6 la 9, acestei bare orizontale desemnând numãrul 5 i se adaugã puncte; numãrul 10 apare ca suma a douã bare orizontale (5 + 5). Notarea numerelor de la 11 la 14 urmeazã un procedeu similar: se adunã 10 cu 1, 2, 3 æi 4, desenându-se douã bare, la care se adaugã puncte (11 = 10 + 1; 12 = 10 + 2; 13 = 10 + 3 æi 14 = 10 + 4). Ajungându-se la 15, se multiplicã numãrul barelor: 15 = 5 x 3, deci se traseazã trei bare orizontale. Margareta: Dar în privinåa denumirii numerelor? Mihaela: Constatãm cã primele 12 numere au nume complet deosebite; începând cu numãrul 12, denumirile traduc modul de compunere a numerelor. În denumirea numãrului 12 recunoaætem pe lah, contracåia lui lahun = 10 æi pe ca = 2. Compunerea denumirii numerelor de la 13 la 19 este riguros urmatã: 3 æi 10, 4 æi 10 æ.a.m.d. Margareta: De remarcat cã acest procedeu de formare a denumirii numerelor se va regãsi în limba francezã, unde pentru 17 se spune 10 æi 7; pentru 18 – 10 æi 8; pentru 19 – 10 æi 9, dar æi în spaniolã, atunci când se trece de la 16 la 17. Mihaela: În limba românã, compunerea numerele de la 11 la 19 este însã absolut regulatã (unsprezece…, nouãsprezece). Margareta: Aici este de adãugat cã, deæi baza sistemului de numeraåie al mayaæilor era 20, adicã suma degetelor de la mâinile æi picioarele omului – în concepåia lor însuæi omul –, reiese rolul pe care îl atribuiau numãrului 10 ca bazã auxiliarã æi numãrului 5, ca important divizor al lui 10. Bobul de cacao, atât de Arina în Åara Numerelor 105 prezent în viaåa mayaæilor, i-a inspirat, probabil, pe aceætia sã-l aleagã drept simbol al unitãåii, al numãrului 1. Sã mergem mai departe, Mihaela. Mihaela: M-aæ referi, apoi, la denumirile puterilor bazei, pentru cã e un aspect foarte semnificativ. Astfel, 20 = hun kal; 202 = 400 = hun bak, 203 = 8 000 = hun pic, iar 204 = 160 000 = hun cabal. Multiplii bazei, adicã 2 x 20 = 40; 3 x 20 = 60; ..., 10 x 20 = 200, erau botezaåi astfel: ca kal, ox kal, ..., lakun kal. Margareta: Observãm cã e vorba despre un sistem de numeraåie cu baza 20 de concepåie primitivã, care folosea adunarea, sistem în care 5 joacã un rol privilegiat ca divizor. Deci ai putea sã rezervi spaåiu prezentãrii sistemului mayaæ de numeraåie oralã, deoarece îl consideri de o coerenåã remarcabilã. Mihaela: De acord. Sã abordãm acum partea cea mai dificilã, dar æi cea mai interesantã æi mai incitantã din sistemul de numeraåie mayaæ – mecanismul de formare a numerelor de la 21 la 400. Referitor la numerele de la 21 la 40, sã alegem, la întâmplare, un numãr, sã zicem 27, care se exprimã prin uuc tu kal (unde uuc e 7, tu un prefix ordinal, „æi“ este subînåeles, kal e 20). Constatãm cã 27 e format din 7 (æi) primul 20. Noi spunem douãzeci, apoi æapte, mayaæii enunåã mai întâi unitãåile simple apoi zecile. Pentru numerele cuprinse între 41 æi 60, sã-l alegem pe 47 (uuc tu y ox kal, unde uuc este 7, tu prefixul ordinal, y o ligaturã, iar ox kal al treilea douãzeci, adicã 60); constatãm cã 47 este tradus ca æapte unitãåi din al treilea douãzeci sau æapte al treilea douãzeci. Margareta: Intervenåia neaæteptatã a celui de-al treilea douãzeci e, într-adevãr, curioasã; sã fie vorba de un arhaism? 106 Eliza Roman Surpriza a fost æi mai mare când am aflat din traducerea francezã a cãråii lui Edward B. Taylor, Civilizaåia primitivã, publicatã la Paris, în 1878, cã în Groenlanda pentru 53 se spunea de la al treilea om, trei pe primul picior, care s-ar putea tãlmãci ca trei degete de la primul picior al celui de al treilea om; la mayaæi, pentru 53 se spunea treisprezece din al treilea douãzeci, iar în unele dialecte treisprezece din al treilea om. Desãvâræitã analogie! Margareta: Vãd cã te referi la aæa-numita botezare a numãrului 47. De ce? Mihaela: Aici e o problemã de viziune a mayaæilor æi groenlandezilor în construirea numeraåiei. Dacã noi, românii, considerãm cã 47 este cuprins între 40 æi 50, baza noastrã de numeraåie fiind 10, pentru mayaæi – care aveau ca bazã pe 20 – numãrul 47 este cuprins între 40 æi 60, adicã de douã ori baza æi de trei ori baza. Preocupaåi sã boteze numãrul 47, mayaæii, conætienåi cã numãrul depãæise pe 40 (2 x 20), æi-au îndreptat privirea spre 60 (3 x 20). Pornind la atac, ei au început sã facã socoteli pe acest 60. Groenlandezii aveau o concepåie asemãnãtoare cu a mayaæilor: pentru 60 sau 3 x 20 (20 reprezentând un om), spuneau 3 oameni. Abordând în acest fel pe 60, groenlandezii au trebuit sã spunã „al treilea om“ referindu-se la 53, cuprins între 40 æi 60. Groenlandezii au numãrat pentru 5 degetele unei mâini, pentru 10 degetele celor 2 mâini, pentru 15 degetele ambelor mâini æi degetele unui picior. Margareta: Mihaela, n-ar trebui sã lipseascã din referatul tãu modalitatea de descifrare a sistemului mayaæ de numeraåie. Mihaela: Existã în domeniul acesta destul de multã informaåie. Totul atestã cã descifrarea s-a fãcut prin cercetarea Mihaela: Arina în Åara Numerelor 107 gravurilor incizate pe stele funerare sau pe alte monumente æi prin studiul codicelor mayaæe. Au supravieåuit pânã la noi trei dintre aceste izvoare: Codexul Trolortesianus – lucrare de antropologie, descoperit în a doua jumãtate a secolului al XIX-lea, în Spania, æi aflat în prezent la Paris; Codex Pereseanus – manuscris pãstrat la Biblioteca Naåionalã din Paris – æi celebrul Codex din Dresda. Etnografului irlandez Eduard K. Kingsborough (1795-1837) îi datorãm imagini superbe ale acestor trei documente, incluse în tratatul sãu în 9 volume, intitulat: The Antiquity of Mexico (Londra, 1830). Margareta: De ce e celebru Codexul din Dresda? Mihaela: Trebuie sã subliniez covâræitorul impact pe care l-a avut descoperirea lui pentru cunoaæterea sistemului de numeraåie mayaæ, dar æi pentru culturã, în general. În acest codex, numerele apar scrise într-un sistem poziåional, alãturi de un numãr impresionant de zerouri elegant desenate æi colorate totdeauna în roæu. Fig. 23. Codexul din Dresda 108 Eliza Roman Margareta: Unde a fost descoperit? Mihaela: La Viena, în 1739; apoi a fost achiziåionat d e Biblioteca Regalã din Dresda. În 1880, E. Forstemann a dat o ediåia ætiinåificã a Codexului. Descoperirea lui a fost de interes capital pentru studiul calendarului æi al sistemului de numeraåie mayaæ. Iar studiul arheologului britanic John Eric Thompson (1898-1975), Maya Arithmetic, publicat în Contribution to American Anthropology and History, VII (1942), nr. 36, a suscitat un viu interes. Recunoaætem imediat, din textul Codexului, cã este vorba despre o numeraåie de poziåie, datoratã grijii pentru înregistrarea economicoasã a numerelor. Menåionarea lui zero este absolut naturalã. Margareta: Într-adevãr, fascinante desene! Ai vorbit despre numere înregistrate pe suport de hârtie. Dar trebuie sã abordezi æi numerele înregistrate pe stele funerare, pe suport de piatrã. Mihaela: Pe stelele din cetãåile Copan æi Palenc (în sud-vestul Yucatanului), arheologii, istoricii, matematicienii au descifrat mii de numere scrise în sistem poziåional æi au putut urmãri evoluåia sistemului de notare mayaæ în decursul vremurilor, pânã la stabilirea unui sistem de scriere definitiv. Corespondenåa dintre numere æi simbolurile gravate pe piatrã diferã de cea despre care am vorbit pânã acum. Simbolurile folosite pentru a stabili corespondenåa cu diferite numere erau realizate prin desene incizate, adesea reprezentând animale sau zei. Margareta: La mayaæi, ca æi la azteci, este atestat cã efigia zeilor se putea substitui numerelor. Iartã-mã, Mihaela, dar poate cã ar fi momentul sã precizezi cã sistemul de Arina în Åara Numerelor 109 numãrare al mayaæilor reprezenta, de fapt, instrumentul calendarului lor. Calendarele au jucat în viaåa mayaæilor, ca æi în cea a aztecilor, un rol deosebit de important. Sã structurezi referatul åinând seama de asemenea repere. Trebuie sã subliniezi cã anul religios mayaæ, bazat pe aceeaæi concepåie ca æi la azteci, folosea 20 de numere divine æi introducea primele 13 numere. Durata anului era de 260 de zile, rezultat al produsului dintre cele 13 luni a câte 20 de zile (corespunzând bazei de numeraåie a precolumbienilor). În acest an religios, construit dintr-un ciclu arbitrar de 260 de zile, format din combinarea a 20 de semne æi 13 cifre, fiecare zi era determinatã de un semn æi de o cifrã. Se ajungea, în felul acesta, la o succesiune a zilelor de felul urmãtor: 1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 F 7 G 8 H 9 I 10 J 11 K 12 L 13 M 1 N 2 O 3 P 4 Q 5 R 6 S 7 T 8 A 9 B 10 C 11 D 12 E 13 F 1 G 2 H 3 I 4 J etc. Mihaela: Îåi mulåumesc, Margareta, pentru precizãrile tale. Æi eu îmi notasem cã mayaæii au inventat numeroase simboluri în vederea înregistrãrii timpului. Bunãoarã, existau la ei 13 zei ai zilelor: 1 – Caban; 2 – Ezmab; 3 – Canuac, 4 – Ahau; 5 – Imix; 6 – Ik; 7 – Akbal, 8 – Kan; 9 – Chicchan; 10 – Cimi; 11 – Manik; 12 – Lamat; 13 – Muluk. Ei erau în conexiune intimã cu primele 13 numere. Numãrul 13 a jucat un rol deosebit la precolumbieni. În America Centralã, o credinåã foarte rãspânditã evoca 13 Ceruri æi, prin urmare, 13 Zei ai Cerurilor. Aceæti zei erau plasaåi pe paliere succesive, doi de fiecare palier, iar al 13-lea, aæezat cel mai sus, domina ansamblul. Zeii aceætia guvernau succesiunea zilelor. 110 Eliza Roman Margareta: Din cercetarea Cabalei reiese cã numãrul 13 este numitor comun pentru numele lui Dumnezeu, al alesului Lui pentru a-L face cunoscut Lumii – Moise –, pentru locul unde i-a fost relevatã acestuia Legea, cât æi pentru numele primilor patriarhi. Mã întreb dacã existã vreo legãturã între impactul obsedant al numãrului 13 la israeliåi æi la populaåiile din America Centralã. Pe baza teoriei puåin cam uluitoare a lordului Eduard K. Kingsborough æi a unor erudiåi contemporani lui, se poate, oare, emite ipoteza cã indigenii din America ar fi fost supravieåuitori ai triburilor lui Israel? Mihaela: În figurarea numãrului 13 æi a celor æase numere care îi urmeazã, mayaæii ne oferã o nouã surprizã. Deja numãrul 13 poate fi transpus în douã reprezentãri, fie ca un zeu cu nas lung æi cu trompã, fie ca zeul lui 3, care în loc de bãrbie are un cap de mort. Începând cu numãrul 14, aceastã îmbinare între 10 (Zeul Cimi – cap de mort) æi numãrul unitãåilor simple devine regulã generalã. Pe fiecare faåã a unui zeu apare maxilarul unui cap de mort, care simbolizeazã numãrul 10. Ingeniozitatea mayaæilor în transpunerea numerelor era deosebitã. Astfel, pentru reprezentarea numãrului 16 au gravat o maimuåã åinând în lãbuåele ei Fig. 24. Reprezentarea ridicate capul Zeunumãrului 16 la mayaæi lui 6, în timp ce (Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 413) Arina în Åara Numerelor 111 capul Zeului Cimi se sprijinã pe membrele ei inferioare, dupã cum se vede în imaginea precedentã (Fig. 24). În alte cazuri, ei figurau doi zei unul lângã altul, a cãror valoare însumatã era numãrul cãutat. Totul atestã o evoluåie spre abstractizare æi mãreæte interesul cercetãtorilor pentru aceastã scriere figurativã. Uneori, identificãm juxtapunerea semnului numeric æi al Zeului Cimi; astfel, pentru a-l reprezenta pe 19, numãrul 9 a fost notat cu 4 cercuri mici æi o barã verticalã, totul precedându-l pe Cimi, cap de mort. Margareta: Ai procedat foarte bine precizând cã mayaæii, ca æi aztecii, au folosit, pe lângã calendarul religios, un calendar „civil“, cunoscut sub numele de calendar al anului vag. Anul vag, incluzând 365 de zile, era format din 18 luni a câte 20 de zile + 5 zile. Mihaela: Determinarea anului tropic de cãtre mayaæi este demnã de ætiinåa modernã (Anul tropic = durata dintre douã treceri consecutive ale Soarelui prin punctul vernal, respectiv prin punctul în care ecliptica, adicã orbita imaginarã descrisã de Soare în miæcarea lui anualã aparentã pe sfera cereascã, intersecteazã planul Ecuatorului, la echinocåiul de primãvarã. Anul tropic are 365 de zile, 5 ore, 46 minute æi 46 de secunde). Åinând seama cã 365 împãråit la 20 dã rest 5, combinarea celor douã caractere face ca numai 4 dintre cele 20 de semne ale zilelor sã poatã marca începutul anului. Deoarece 365 împãråit la 13 dã restul 1, rezultã cã oricare dintre cele 13 cifre putea marca începutul anului nou, iar fiecare zi era marcatã printr-o cifrã mai mare cu o unitate decât cifra care marca ziua corespunzãtoare din anul precedent. În consecinåã, repetarea unui an în care zilele erau notate cu aceeaæi cifrã sau cu acelaæi semn al unui an dat avea loc numai dupã un ciclu de 52 de ani. 112 Eliza Roman Margareta: Sã scrii neapãrat æi despre ingenioasa ideea a mayaæilor de a pune de acord cele douã tipuri de calendar, considerând simultan o zi determinatã de anul religios æi ziua corespunzãtoare a anului vag æi punând bazele a ceea ce savanåii numesc Calendarul rotund. Mihaela: Aæa cum remarcã æi Geneviève Guitel – pe care am amintit-o mai înainte –, „meritul mayaæilor rãmâne imens: au inventat o numeraåie de poziåie cu baza 20 folosind scrierea numãrului 5 ca bazã auxiliarã, au inventat un simbol pentru zero, au jonglat cu numere foarte mari, dar calculele lor s-au limitat la adunare æi scãdere. Folosirea exclusivã a numeraåiei lor pentru mãsurarea timpului a fost pãgubitoare pentru matematicã, împiedicându-i sã realizeze clar importanåa lui zero operator æi sã inventeze operaåiile-cheie: înmulåirea æi împãråirea. Mayaæii nu cunoæteau decât numerele întregi; ideea de fracåie le era total strãinã, doar ideea de jumãtate – katun – le era familiarã. În plus, trebuie subliniat cã s-au jucat în mod magistral cu numerele întregi, cã au introdus divizorii privilegiaåi æi multipli ai numerelor fundamentale, rezolvând cu ajutorul tabelelor, elaborate inteligent, probleme de analizã nedeterminatã“. Dinamismul numeraåiei chineze Chinezii au folosit numerele încã din preistorie. Sistemul lor de numeraåie a fost conceput în baza 10. Limba chinezã a utilizat denumiri monosilabice distincte atât pentru primele zece numere, cât æi pentru urmãtoarele trei puteri ale numãrului 10. Cele mai vechi urme de numeraåie scrisã la chinezi le aflãm în textele de ghicit gravate pe oase (1400-1100 î.e.n.) sau pe monede. Arina în Åara Numerelor 113 Rolul pe care l-au jucat la romani pietricelele a fost deåinut în China de beåiæoare. Pentru scrierea unui numãr, chinezii aranjau beåiæoarele pe o tablã liniatã sau pe un caroiaj (reåea de pãtrãåele asemãnãtoare cu cea din caietele æcolare de aritmeticã). Analiza zecimalã a numãrului era datã de însuæi enunåul lui în limba chinezã, aæa încât se aæeza în coloana din dreapta un numãr egal cu numãrul de unitãåi, iar în coloana din stânga lui un numãr de bastonaæe egal cu numãrul zecilor æ.a.m.d. Aæa cum atestã o seamã de inscripåii din secolele XV-XIV î.e.n., chinezii foloseau un sistem zecimal cu 13 caractere numerice fundamentale, primele nouã numere æi primele patru puteri ale lui 10, ceea ce permitea reprezentarea oricãrui numãr pânã la 100 000 000. Deci, folosind exclusiv cuvintele care desemneazã primele nouã numere întregi æi numerele zece, o sutã, o mie, zece mii, chinezii au putut scrie în întregime orice numãr inferior lui 100 000. Transpunerea în cuvinte a numerelor o mai folosim æi noi atunci când completãm acte bancare, de teama fraudelor. A fost triumful traducerii unei numeraåii scrise datorate cuvântului la chinezii din Antichitate. Ordinea cuvintelor într-un enunå fiind un element fundamental pentru înåelegerea unui numãr, era uæor de înåeles cã zece doi înseamnã 12, 4 pe când doi zece înseamnã 20. Pentru puteri mai mari decât 10 , au fost necesare simboluri noi. Chinezii utilizau unitãåi de ordin superior, pentru 5 6 7 8 10 , 10 , 10 sau 10 etc., ca nu cumva sã aparã vreodatã, în expresia unui numãr, douã caractere numerice identice juxtapuse. Cea mai veche formã de numeraåie scrisã chinezã apare în textele de ghicit. Unitatea e reprezentatã printr-o liniuåã orizontalã, iar numerele 2, 3, 4 prin douã, trei, patru liniuåe orizontale juxtapuse. Cu numãrul 5, apare o schimbare, forma acestuia fiind a majusculei X închisã jos æi sus; numãrul 6 era reprezentat printr-un fel de micã pagodã; 7 – printr-o cruce; 8 – prin curbe care semãnau cu paranteze plasate spate în spate; numãrul 9 avea un caracter mai complex: un fel de S stilizat având deasupra un mic unghi. Numerele urmãtoare 114 Eliza Roman prezentau o configuraåie mai simplã. 10 se nota ca o liniuåã verticalã, 20, 30, 40 se înrudeau ca aspect cu 10, ilustrând de câte ori a fost repetat 10, cu ajutorul unei ligaturi. Semnele pentru 50, 60, 80 foloseau simbolurile lui 5, 6, 8 surmontate de o foarte micã liniuåã verticalã, care desemna rolul numãrului 10. Numãrul 100 era reprezentat printr-un semn în întregime nou, care prin adãugarea unei liniuåe orizontale devenea numãrul 200, iar prin adãugarea a douã astfel de liniuåe devenea 300. Semnul pentru 100 surmontat de numãrul 5 îl reprezenta pe 500, surmontat de 6, pe 600. Semnul pentru 1 000 pare destul de complex, seamãnã puåin cu 7 al nostru. Dacã acest semn este marcat de numerele 3, 4 sau 5, devine 3 000, 4 000 sau 5 000. În timp ce pentru numerele 1-4 æi 10-40 mecanismul de formare era aditiv, pentru 5-9 se recurgea la semne independente. Sutele æi miile par a fi fost supuse mecanismului multiplicativ. Numerele acestea au fost descoperite pe mii de texte de ghicit, lesne de citit, fiind gravate, adesea, pe oasele omoplatului. Reproducem, mai jos, un tabel al numerelor înregistrate pe textele de ghicit: Fig. 25. Numeraåia din textele de ghicit chineze (Reprodus dupã: J. Needham, Science and Civilisation in China, vol III, Cambridge, 1959) Arina în Åara Numerelor 115 Acest tabel prezintã goluri. Constãm cã lipsesc semne pentru numerele 70, 90, 400, 700, 800, 900, 2 000, 8 000, 9 000. Din pãcate, chiar æi pentru numere mai mici nu au fost descoperite reprezentãri, încât nu se ætie în ce fel notau chinezii numerele 16, 17, 18 æi 19. Dupã cum se poate observa în tabelul din Fig. 26, chinezii notau în textele de ghicit pe 56 ca sumã a lui 50 æi 6, pe 88 ca suma lui 80 æi 8, pe 162 ca sumã a lui 100 æi 60 æi 2 æ.a.m.d.. Numerele erau scrise de sus în jos, pe verticalã, în Fig. 26. Reprezentarea ordinea descrescãtoare a nodurilor, numerelor 56, 88 æi 162 în întâi zecile, apoi unitãåile simple (56 = textele de ghicit chineze 50 + 6; 88 = 80 + 8; 162 = 100 + 60 + 2). (Reprodus dupã: J. Needham, Din investigaåiile istoricilor æi mateO p.cit., 1959). maticienilor aflãm cã unul æi acelaæi numãr a fost transpus în mai multe modalitãåi. Potrivit lui J. Needham, iniåial numãrul 88 era notat cu: )l( )( În secolul I e.n., modul de scriere a numerelor se schimbã. Dacã în primã fazã 88 se scria pe orizontalã, în cea de-a doua era reprezentat pe verticalã: )l( )( Dupã 12 secole, se pãstrezã verticalitatea, dar parantezele care figureazã numãrul se înjumãtãåesc grafic æi apare între ele o cruce: )l( + )( În faåa eleganåei grafiei chinezeæti a numerelor, trasate cu pensula, simt nevoia sã reproduc o paginã mai mult decât reprezentativã sub acest aspect: 116 Eliza Roman Fig. 27. Exemplu de grafie chinezeascã a numerelor (Reprodus dupã: Ore Oystein, Number Theory and History,. New York, McGraw – Hill Book Company, 1948) Coloana întâi figureazã numerele de la 1 la 10, cea de a doua numerele 100, 1 000, 10 000, 100 000 000. Urmãtoarele trei coloane reprezintã trei exemple de transcriere, respectiv a numerelor 3 468, 15 702 æi 860 531. E uæor de citit numãrul 3 468; parcurgând de sus în jos coloana a treia, recunoaætem semnele: 3; 1 000; 4; 100; 6; 10; 8 (3 x 1000; 4 x 100; 6 x 10; 8). Al treilea exemplu e mai greu de citit, fiindcã absenåa unui simbol original pentru 105 duce la presupunerea cã 104 reprezenta un palier, încât numãrul se descompune în 86 x 104 + 531. Arina în Åara Numerelor 117 Chinezii au reuæit sã depãæeascã pragul sistemului de numeraåie prezentat de Ore Oystein (104). Numeraåia oralã elucideazã modul în care a fost depãæit acest prag pentru numere mari, mergând pânã la 108, æi anume prin folosirea cuvintelor compuse. Astfel, dupã cum aratã Karl Menninger, istoric german al ætiinåei, chinezii notau: 105 106 107 108 shih wan pai wan chhien wan wan wan Iatã cum îl notau chinezii pe 500 000, adicã 5 x 100 000 = 5 x 105. Ætim cã 5 se pronunåa wu. Deci putem scrie wu shih wan. Încã un exemplu: pentru 500 000 000 (5 x 108) se scria wu wan wan. Trebuie sã menåionãm cã folosirea lui zero sub forma unui cerc a apãrut în scrierea numeraåiei chineze de-abia în secolul al VIII-lea. Fiindcã π este un numãr important, care a suscitat mii de ani interesul matematicienilor æi al amatorilor, transpunem în vocabule chineze valoarea lui, adicã 3,1415927 = 3 chang, 1 chhih, 4 tshun, 1 fên, 5 li, 9 hao, 2 miao, 7 hu. Am aflat în acest fel cã termenii: chhih, tshun, fên… desemneazã fracåii zecimale. Pentru cititorul dornic de aprofundãri, reproducem un tabel care ilustreazã pronunåarea veche æi cea modernã a numerelor chineze (vezi Fig. 28, p. 118). Cu ajutorul fiæelor de calcul (rod-numerals), chinezii au construit un sistem de numeraåie la origine figurativã, având ca suport un fel de eæichier, de care s-au dispensat ulterior, reuæind sã punã bazele unui sistem de numeraåie de poziåie. Bastonaæele de fildeæ sau de bambus cu care operau au oferit sistemului de numeraåie o reprezentare geometricã. Iatã cum erau grupate fiæele de calcul: pentru numãrul 5 æi pentru cele inferioare acestuia se aliniau atâtea fiæe câte reprezenta numãrul; pentru 6, o fiæã era surmontatã de o altã fiæã; în cazul numãrului 7 (2 + 5), se puneau douã fiæe verticale æi o fiæã orizontalã æ.a.m.d. Numerele de la 2 la 5 se obåineau deci prin repetarea lui 1 (liniuåã verticalã), iar numerele de la 6 la 9 se construiau dintr-o liniuåã orizontalã în loc de 5 æi din adãugarea de 118 Eliza Roman Fig. 28. Cifrele chineze (Reprodus dupã: Istoria generalã a ætiinåei, Bucureæti, 1970, p. 188) Arina în Åara Numerelor 119 liniuåe verticale, adicã o liniuåã pentru 6 …, 4 liniuåe pentru 9, ceea ce putea duce la grave erori. Iatã primele nouã numere întregi în rod-numerals: Pentru evitarea confuziilor, chinezii au trecut la folosirea fiæelor atât în poziåie verticalã, cât æi în poziåie orizontalã. Zecile se notau în felul urmãtor: 10 printr-o barã orizontalã; 20, 30, 40 æi 50 prin 2, 3, 4 sau 5 bare orizontale paralele; 60 era alcãtuit dintr-o barã verticalã, având valoarea 50, æi o barã orizontalã, având valoarea 10; 70, 80, 90 însumau pe 50 cu 20, 30 æi 40, dupã cum se vede mai jos: Zecile, sutele, miile æi miliardele erau notate de la stânga la dreapta, aproximativ cum se proceda pe coloanele abacului. Au fost descoperite, în texte foarte vechi, numerele 12, 25, 46, 69 æi 99, în reprezentare poziåionalã, în felul urmãtor: 12: I II (10 + 2); 25 II IIIII (20+5); 46 IIII T (40 + 6); 69 T IIII (60 + 9); 99 IIII IIII (90 + 9). De remarcat cã, în timpul dinastiei Han (206 î.e.n.-220 e.n.), chinezii ætiau sã efectueze pe suportul de socotit înmulåiri, împãråiri æi extragerea rãdãcinilor. 120 Eliza Roman Indienii notau uæor numere mari Din anii 1500-1000 î.e.n. ai epocii vedice, nu ne-au parvenit texte de matematicã. Limba în care au fost scrise Vedele, o sanscritã arhaicã, atestã utilizarea de numere foarte mari. Ea poseda denumiri 8 speciale pentru toate puterile lui 10 pânã la 10 . Sistemul de numeraåie a fost dezvoltat, de altfel, prin introducerea, începând din secolul al V-lea î.e.n., în sanscrita clasicã, a unor denumiri pentru toate puterile lui 10 pânã la 1023. Nu avem informaåii despre existenåa, în acele timpuri, a unor notaåii bazate pe cifre. Cele mai vechi urme de numeraåie scrisã sunt atestate în India începând de la mijlocul secolului al III-lea î.e.n. æi sunt conåinute în Inscripåiile lui Asoka (Asoka a domnit între 269 æi 232 î.e.n. æi a fost unul dintre cei mai vestiåi suverani ai Indiei; el a unificat întreaga Indie æi a stabilit relaåii cu statele elenistice). Inscripåiile au fost redactate în douã limbi: kharosti (folositã în extremul vestic al Indiei), în jurul anului 250 î.e.n., æi brahmi, limbã vorbitã în tot restul Indiei pânã la începuturile Creætinismului. Acest tip de numeraåie, care a dãinuit în forme similare pânã la începutul erei noastre, æi, în unele pãråi ale Indiei, chiar æi mai târziu, folosea simboluri distincte nu numai pentru fiecare unitate, ci æi pentru toåi zecii æi toate sutele. Astfel, numerele 3, 30, 300, 3 000 erau notate, fiecare, cu un simbol propriu. Cât despre scrierea kharosti, aceasta este o transpunere a vechii scrieri fonetice indiene cu caractere ale alfabetului aramaic, modificate æi îmbogãåite cu semne complementare. Numeraåia legatã de aceastã scriere este unica din India în care se scrie de la dreapta la stânga, ceea ce ne îndreptãåeæte sã credem cã este de origine strãinã. Arina în Åara Numerelor 121 Tabloul de mai jos ilustreazã modalitatea în care erau notate numerele în scrierea kharosti: Fig. 29. Numeraåia în scrierea kharosti (Reprodus dupã: Karl Menninger, Zahlwort und Ziffer Eine Kulturgeschichte der Zahl, ediåia a 2-a, vol. I, Vandenhoeck und Ruprecht, Gõttingen, 1958) Numerele de la 2 la 5 erau reprezentate prin repetarea numãrului 1; pentru numerele 6-9 se folosea semnul X, care îl simboliza pe 4 æi la care era adãugat numãrul sau numerele dorite. Astfel, se nota 4 + 2 pentru 6; 4 + 3 pentru 7; 4 + 4 pentru 8; 4 + 4 + 1 pentru 9. Nodurile zecilor de la 30 la 90 erau scrise prin repetarea semnelor reprezentându-i pe 10 æi 20. Numãrul 10 avea un simbol propriu. Semnul pentru 20 nu era cel pentru 10 dublat, ci, probabil, o ligaturã; el semãna cu trei al nostru. Zecile de la 30 la 90 se obåineau, deci, prin repetarea acestor semne: 30 = 20 + 10; 40 = 20 + 20; 50 = 10 + 20 + 20; 60 = 20 + 20 + 20; 70 = 10 + 20 + 20 + 20; 80 = 20 + 20 + 20 + 20; 90 = 10 + 20 + 20 + 20 + 20. Notarea sutelor era limitatã, apãrea un semn nou pentru 100. Numerele scrise în vechea modalitate vor evolua pe parcursul secolelor: Fig. 30. Cifre indiene din secolele I æi II e.n. 122 Eliza Roman Observãm astfel folosirea pentru numerele 1, 2, 3 a unor notaåii mai speciale, un nou semn pentru unitate funcåiona alãturi de liniuåe. În ceea ce priveæte grafia lui 100, ea este complet diferitã în secolul al II-lea al erei noastre faåã de cea din secolul al II-lea î.e.n. Fig. 31. Numere în scrierea brahmi Numeraåia legatã de scrierea brahmi a avut, ulterior, un impact deosebit în crearea sistemului zecimal poziåional. La origine, ea nota numerele 1, 2 æi 3 cu liniuåe verticale, pe 4 cu ajutorul unei cruci, iar pe 6, 50, 200 prin semne speciale, dupã cum se vede din figura de mai jos. Avem prilejul aici sã urmãrim æi modul cum se putea nota cu ajutorul acestor semne numãrul 256: Fig. 32. Numãrul 256 în notaåia brahmi În timp ce scrierea kharosti constituia un sistem zecimal nepoziåional, având semne distincte pentru 1, 4, 10, 20 æi 100, scrierea brahmi va prezenta semne distincte pentru primele nouã numere æi pentru zeci, sute æi mii; sutele æi multiplii miilor se obåineau pe baza principiului multiplicativ. Se distinge în numeraåia brahmi noåiunea de rang superior lui 10. Suntem în faåa unei treceri spre o scriere poziåionalã. Poziåia sau rangul este indicatã cu ajutorul unui semn. Arina în Åara Numerelor 123 În jurul anilor 600, a apãrut o scriere care utiliza numai primele nouã semne ale scrierii brahmi, numerele fiind transpuse nu dupã vechea metodã brahmi, ci în sistemul scrierii poziåionale. Fig. 33. Scriere brahmi care transpune numerele în sistemul notaåiei poziåionale Numeraåia grotelor. Descoperirile fãcute în grote atestã o mare diversitate de notare a numerelor. În grotele de la Nana Ghat, care pãstreazã inscripåionãri fãcute cu douã secole înaintea erei noastre, sunt atestate semne pentru numerele 1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 20, 60, 80, 100-200, 400, 700, 1 000, 4 000, 6 000, 10 000, 20 000. Formarea nodurilor sutelor æi miilor atrage atenåia; cifrele pentru 100 æi 1 000 reapar în regula de formare a celorlalte numere. În numeraåia din grotele de la Nasik, care conservã înregistrãri din secolul al II-lea al erei noastre, numerele se prezintã atât sub formã de semn, cât æi de cuvânt. Deæi putem constata similitudini cu numeraåia chinezã a textelor de ghicit, numeraåia indianã este superioarã celei din sistemul chinez. Sunt atestate semne pentru numerele 1-10, 20, 40, 70, 100, 200, 500, 1 000-4 000, 8 000 æi 70 000. Cele mai vechi inscripåii ale numeraåiei tamul provin din secolul I al erei noastre æi au fost descifrate de pe vase de lut. Tamul (tamil) este cea mai veche limbã din familia idiomurilor dravidiene, vorbite în sudul Indiei æi în Sri Lanka. Numeraåia tamul are baza 10 æi opereazã cu nouã simboluri pentru unitãåi æi cu trei simboluri pentru 10, 100 æi 1 000. Aæa-numita numeraåie singalezã, folositã pânã azi în India, se situeazã din punctul de vedere al concepåiei între numeraåia grotelor æi cea tamul, dar este mai apropiatã de aceasta din urmã. Cifrele singaleze ale locuitorilor din Sri Lanka emigraåi din India fac parte din categoria semnelor contrase, contopite. 124 Eliza Roman Inscripåiile indiene din primele secole ale erei noastre atestã notarea de semne deosebite pentru numere în diferite regiuni, unele fiind obåinute prin repetare, altele prin multiplicare. De exemplu, 4 000 este notat prin semnul lui 1 000 având la dreapta semnul numãrului 4. Inscripåii din respectiva perioadã relevã folosirea acestui mod de reprezentare a numerelor pânã la 70 000, dupã cum se poate vedea mai jos: 1 2 3 4 200 5 6 7 8 9 10 20 40 70 80 100 500 1000 2000 3000 4000 8000 70000 Fig. 34. O reprezentare indianã a numerelor 1-70 000 (Reprodus dupã: Istoria generalã a ætiinåei, vol. II, p. 173) Mai vechi sau mai noi, toate tipurile de numeraåie utilizate în India l-au avut ca bazã pe 10. Aceastã bazã este superioarã bazei 5, prea micã, æi, de asemenea, bazelor 20 æi 60, prea mari pentru memoria omului. Am vãzut cã pânã la apariåia sistemului zecimal poziåional, în India au fost utilizate o mulåime de sisteme de numeraåie æi de cifre. Tentativele de optimizare a sistemului au fãcut ca aceastã varietate de sisteme sã se apropie, în diferite regiuni ale Indiei, de sistemul poziåional. În inscripåiile din secolul al VII-lea din Cambodgia æi Indonezia se folosea æi semnul 0, sub formã de punct sau de cerculeå. Scrierea zecimalã poziåionalã apãrutã în secolul al VII-lea se desãvâræeæte la începutul secolului al IX-lea. Zero era notat, pe atunci, printr-un punct. Aceastã scriere s-a propagat mai târziu în toatã lumea, datoritã arabilor. Nu se ætie însã exact când a fost inventatã de indieni, fiindcã nu a fost folositã imediat dupã apariåie, æi nu în întreaga Indie. S-ar putea ca ea sã nu fi fost semnalatã în Arina în Åara Numerelor 125 documente imediat dupã apariåie sau ca documentele în care a fost semnalatã sã se fi pierdut. Cea mai importantã atestare a sistemului de numeraåie indian este inscripåia de la Gwalior (o localitate situatã la aproximativ 300 de km sud de New Delhi). Inscripåia este datatã 933, dar, în realitate, corespunde anului 876. Ea consemneazã, în sfâræit, apariåia numeraåiei scrise de poziåie æi pe zero operator, care figureazã de douã ori. Dupã cum susåine D.E. Smith (History of Mathematics, vol. II, New York. p. 70), cifrele atestate pe inscripåie sunt 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, iar 0, 4 æi 6 lipsesc, aæa cum se vede mai jos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Fig. 35. Cifre atestate pe inscripåia de la Gwalior (Reprodus dupã: David Eugene Smith, History of Mathematic, vol. II, New York, Dover Publications, 1958, p. 70) Karl Menninger a completat æirul acestor numere cu 0, 4 æi 6, dupã cum aratã Geneviève Guitel. El a folosit în acest scop gravurile de cupru contemporane epocii. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Fig. 36. Cifre prezentate de Karl Menninger (Reprodus dupã: Zahlwort und Ziffer Eine Kulturgeschichte der Zahl, ediåia a II-a Göttingen, Vandenhoeck und Ruprecht, 1958, p. 233) Dupã cum se observã din acest tablou, zero operator figureazã clar æi seamãnã cu zeroul median, care fusese atestat cu douã secole mai înainte în India. Primele trei numere sunt prezentate prin semne originale, care au pierdut orice urmã figurativã. Ne aflãm, într-adevãr, în faåa unui progres semnificativ legat de apariåia numeraåiei scrise 126 Eliza Roman de poziåie. Sã nu uitãm cã scrierea din China vecinã, deæi de poziåie, a rãmas tot figurativã. Interesante sunt, de asemenea, douã inscripåii gravate pe un mic templu situat pe drumul care duce la Gwalior. În prima inscripåie, redactatã în sanscritã æi datatã 932, numãrul este simbolizat doar cu litere. Cea de a doua inscripåie, în sanscritã, dateazã din anul 933. Anul este marcat atât cu litere, cât æi cu cifre, care seamãnã foarte mult cu cele pe care le folosim în zilele noastre. Este vorba despre o donaåie fãcutã unei grãdini de flori æi în care sunt menåionate: o suprafaåã de pãmânt de 270 de hasta lungime æi 187 de hasta lãåime; 50 reprezintã contribuåia zilnicã pe care corporaåia grãdinarilor urma s-o dea templului, adicã 50 de ghirlande de flori de sezon. Reproducem, mai jos, aceste numere: Fig. 37. Cele patru numere gravate pe micul templu din apropierea Gwaliorului (Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 620) Numeraåia indianã s-a rãspândit în timp, mai întâi în aria Eufratului. În anul 720, apare, în China, un text de numeraåie indianã de poziåie, în care figureazã æi zero operaåional. La sfâræitul secolului al VIII-lea, numeraåia poziåionalã indianã era cunoscutã la Bagdad, iar învãåaåii arabi aplicau cu succes acest sistem. În Europa, pãtrunderea numeraåiei indiene a început prin intermediul arabilor, în Peninsula Ibericã. Un rol remarcabil în rãspândirea ei l-a avut eruditul francez Gerbert d’Aurillac (938-1003), devenit Papa Silvestru al II-lea (999-1003), autorul volumului Regula abaco computi. Impactul hotãrâtor în rãspândirea cifrelor indiene æi a scrierii poziåionale a numerelor se datoreazã traducerilor în limba latinã a Arina în Åara Numerelor 127 aritmeticilor arabe, îndeosebi a aritmeticii lui al Horezmi. În secolul al XV-lea, algoriætii, adepåii noilor metode de calcul, obåin o victorie definitivã asupra abaciætilor, adepåi ai vechilor metode. Cel mai târziu în secolul al X-lea, varianta apuseanã a noii scrieri, numitã gubar (nisip, praf), ajunge în Spania maurã æi este folositã în calculele comerciale efectuate pe abacul acoperit cu nisip. Fig. 38. Varianta gubar Indienii s-au preocupat de folosirea numerelor æi în poezie. În poemele cu adresã didacticã, numerele erau prezentate cu ajutorul cuvintelor-simbol. În celebrul poem Sürya Siddhânta, întâlnim cuvintele vid pentru 0, cuplu pentru 2, foc pentru 3, ocean pentru 4, æarpe pentru 8. Remarcãm, apoi, interesanta notare a numerelor cu ajutorul silabelor, datoratã lui Aryabhaåa, unul dintre cei mai originali autori ai ætiinåei indiene (nãscut, probabil, în 476). Aryabhaåa a folosit pentru tabelele numerice o notaåie foarte concisã a numerelor mari, care atribuie silabelor valori numerice convenåionale. Dupã o analizã fonologicã profundã a vechilor gramatici indiene, celor 25 de ocluzive pronunåate împreunã cu vocala a æi clasate în guturale, palatale, etc. li s-au atribuit valori de la 1 la 25, iar semivocalele, siflantele æi aspiranta ha au primit valori de zeci, de la 30 la 100. Când vocalele æi diftongii înlocuiau vocala a în aceleaæi silabe, numãrul exprimat se înmulåea cu un factor de la 102 pânã la 1016. De exemplu: ga = 3, gi = 300, gu = 30 000 = 3x10 4, gr =3x10 6, gl = 3x108 etc. (orice deplasare în æirul vocalelor æi al diftongilor reprezenta o amplificare cu 102). 128 Eliza Roman Numeraåia inventatã de Aryabhaåa este marcatã de influenåa silabelor arabe. Acestea sunt responsabile de incoerenåa notaåiei numerelor de la 1 la 100 æi, de asemenea, de nefericita introducere a lui 100 ca bazã auxiliarã, dar, datoritã vocalizãrii silabelor, Aryabhaåa reuæeæte sã noteze numerele foarte mari cu o extremã uæurinåã. Itinerarul numeraåiei la români Dupã cum o spune însuæi titlul de mai sus, adoptarea sistemului de numeraåie pe care-l folosim astãzi are antecedente diverse æi de veche sorginte, indicînd implicarea numãrului în viaåa socialã, în economie æi în culturã. La noi, ca de altfel peste tot în lume, suporturile iniåiale pentru înregistrarea informaåiei numerice au fost cele din naturã, în mod preponderent lemnul, piatra æi, mai târziu, hârtia. Ca urmare, strãmoæii noætri au recurs æi ei, în mod obiænuit, la aceste mijloace, care se constituie în atestãri palpabile ale istoriei scrisului pe aceste meleaguri. Au fost, mai întâi, suporturile sã le spunem „ancestrale“, respectiv rãbojul æi încrustãrile pe cherestea, pe pietrele tombale, pe clopotele de bisericã, iar într-o etapã ulterioarã o gamã variatã de tipuri de documente scrise având ca suport hârtia. Identificãm, astfel, numere având pentru început transcripåii diferite în abecedarele mai vechi (bucoavne) sau mai noi, ca æi în manualele æcolare sau în tratatele ætiinåifice, în calendare, ca æi în cãråile bisericeæti (ceasloave, catehisme), în documentele administrative de tot felul, în pravile (culegeri de legi laice æi bisericeæti), în registrele mai vechi (catastife) sau mai noi, dar æi în documente comerciale, în evidenåele de vamã, în actele privind dãrile sau daniile æ.a. Secole la rând, pentru înregistrarea informaåiilor locuitorii de pe meleagurile noastre au folosit rãbojul. Practic, rãbojul este o stinghie de lemn (rabdos în greacã înseamnã bãå, baston, vergea) pe care erau marcate cantitãåi (numãr de animale, sume de bani, mãrfuri etc.). Arina în Åara Numerelor 129 Dupã încrustarea cantitãåilor, vergeaua era despicatã în douã, fiecare parte interesatã rãmânând în posesia unei înregistrãri identice cu cealaltã parte. Se realizau, în acest fel, o evidenåã æi un control numerice corecte. Una dintre pãråi i se dãdea – sã spunem – ciobanului, lucrãtorului, cumpãrãtorului sau celui impozitat, cealaltã parte stãpânului de oi, feudalului, negustorului, perceptorului. La lichidarea tranzacåiei, înregistrarea se dovedea corectã dacã încrustãrile celor douã pãråi ale rãbojului se îmbinau perfect. De fapt, populaåia sãteascã a Europei a recurs pe tot parcursul Evului Mediu la aceastã modalitate de înregistrare numericã. Cronicarul maghiar Kézai Simon scria, în 1283, cã secuii, care vieåuiau tradiåional împreunã cu valahii, au împrumutat de la aceætia scrierea pe rãboj („Revista pentru istorie, arheologie æi filologie“, Bucureæti, an. I, nr. II, 1882, p. 207). Pe rãbojuri, numerele erau reprezentate, cel mai adesea, dupã cum urmeazã: pentru 1 – o liniuåã verticalã, pentru 2 – douã liniuåe, pentru 3 – trei liniuåe, pentru 4 – patru liniuåe, pentru 5 – simbolul V, pentru 10 – simbolul X, pentru 15 un X urmat în partea superioarã de un V minuscul. Numãrul 100 se nota printr-un X majusculã traversat la mijloc de o liniuåã orizontalã. Pârcãlabii (conducãtori de judeåe sau de åinuturi având sarcini administrative æi militare) notau cu o crestãturã latã suma de 5 lei, aceeaæi crestãturã tãiatã cu o linie oblicã indica suma de 10 lei, iar cu o tãieturã verticalã simplã se realiza semnul pentru 5 bani. Muncitorii din saline æi plutaæii au folosit æi un sistem propriu primitiv de notare a sumelor pe care urmau sã le încaseze, folosind crestãturile pe cherestea, procedeu care va continua pânã în secolul al XIX-lea. Teodor T. Burada ne-a lãsat un studiu valoros Despre crestãturile plutaæilor pe cherestele æi alte semne doveditoare de proprietãåi la români (Iaæi, 1880). Crestãturile erau fãcute cu toporul sau cu barda æi continuate cu fierul înroæit, pentru a se realiza aæa-numita „danga“. 130 Eliza Roman Pe drumul spre adaptarea æi impunerea numeraåiei de poziåie cu cifre arabe, pe care o folosim æi astãzi, pe teritoriul åãrii noastre au fost în uz: sistemul de numeraåie latin, sistemul de numeraåie alfabetic chirilic æi sistemul de numeraåie grecesc. Cele mai vechi urme de numeraåie scrisã sunt de expresie latinã æi le identificãm în cartea epocii daco-romane sau strãromâne. O piatrã tombalã descoperitã la Romita (azi, jud. Sãlaj) æi pãstratã la Muzeul de Istorie din Cluj, atestã folosirea numeraåiei latine în epoca Daciei Romane. Dupã cum se ætie, vestiåi cãrturari æi teologi din veacurile IV-VII, cei mai mulåi din Scythia Minor (Dobrogea), cum au fost Ioan Casian Romanul (Ioannes Cassianus), Niceta de Remesiana, Dionysus Exiguus, Ioan de Tomis æ.a., s-au remarcat prin conceperea de scrieri care aparåin curentului de continuitate în diversitate a culturii de extracåie romanicã, o culturã de limbã latinã, care, vreme de 13 veacuri – de la Vergiliu la Dante –, avea sã fie limba de culturã a continentului nostru. Prin urmare, înainte de a fi, aici, cultura æi cartea în înveliæ slavon, cel mai adesea, însã, de extracåie bizantinã, am avut o cãrturãrime æi o culturã de mai veche tradiåie, proprii epocii daco-romane sau strãromâne, care au rodit cãråi cunoscute æi preåuite în Europa timpului. Literele æi numerele latine vor fi folosite, în continuare, concomitent cu alte sisteme de scriere æi de numeraåie. Începând din secolul al XI-lea, latina devine limbã de cult în Transilvania, iar din secolul al XII-lea æi limbã de culturã. Apoi, în secolele XVI-XIX, va fi un fenomen distinct cartea în limba latinã, mai exact în latina medievalã (târzie), fenomen marcat de opera unor învãåaåi cum sunt Nicolaus Olahus, Samuil Micu, Gheorghe Æincai, Petru Maior, Dimitrie Cantemir. Vor fi elaborate gramatici, dicåionare, lucrãri filosofice, istorice, scrieri în versuri, toate purtând numeraåie latinã. Mai mult sau mai puåin sporadic, alfabetul æi numeraåia latinã au pãtruns în cancelarii, apoi, în viaåa economicã æi comercialã (acte contabile, registre de socoteli ale unor moæii, registre administrative, vamale, Arina în Åara Numerelor 131 fiscale æ.a.). Existã atestãri ale fenomenului încã din secolele XIIXIII. Prima inscripåie cu adresare publicã dateazã din secolul al XIV-lea æi figureazã pe clopotul bisericii din Leghia (jud. Cluj). Un fenomen de pregnanåã este asimilarea sistemului de numeraåie chirilic. Literele-cifre prezintã valori numerice identice cu cele ale semnelor greceæti corespunzãtoare. Pentru notarea miilor, baza cifrei era precedatã de o codiåã cu una sau mai multe liniuåe. Potrivit atestãrilor istorice, începând din secolul al X-lea, datarea actelor oficiale se fãcea cu ajutorul acestui sistem. Urme de numeraåie chirilicã aflãm de pildã într-o inscripåie din localitatea Mircea-Vodã (Dobrogea), notatã 6451, adicã 943 („Inscripåia slavã din anul 943“, în „Studii“, an IV, nr. 3 (1953), nr. 3, p. 123-134) sau în cea de la biserica rupestrã de la Basarabi (Dobrogea), datatã 6451, adicã 942 (I. Barnea æi V. Bilciurescu, „Æantierul arheologic Basarabi, în: „Materiale æi cercetãri arheologice“, an. VI, 1959, p. 541-566). Amintim, apoi, manuscrisul slavon nr. 20 pãstrat la Biblioteca Academiei Române, un Apostol, care provine din secolul al XIII-lea æi care conåine multe numere transcrise în sistemul chirilic. Pentru istoria matematicii, deosebit de importante sunt, la rândul lor, calendarele întocmite în vederea stabilirii datei Paætelui, denumite Pascalii. Începând din secolul al XIV-lea, numerele reprezentate cu ajutorul simbolurilor chirilice se regãsesc, frecvent, pe monede, în inscripåii din biserici æi în cele tombale, ca æi în manualele æcolare dupã care au învãåat strãmoæii noætri. Pentru ilustrarea numeraåiei chirilice în viaåa economicã, menåionãm manuscrisul Catastih de cisle de åirani de toate åinuturile, de curtiani æi vãtaji æi neamæi æi popi (datat 20 februarie 1591), cuprinzând pe cei care plãteau dãri din 23 de åinuturi ale Moldovei. El demonstreazã atât cunoaæterea cifrelor, cât æi a operaåiei de adunare a numerelor. Interesantã este folosirea termenului cislã, care înseamnã cota-parte ce revenea persoanelor în cauzã dintr-o sumã plãtitã în comun. Termenul provine din slavã, unde înseamnã 132 Eliza Roman numãr. Remarcãm, de asemenea, Catastih amintitor de câte æi-au cumpãrat casapii (mãcelarii) din åarã, cu asprii lor; æi-au pecetluit ca sã treacã prin schelea de la Isaccea æi prin Focæani, ca sã ætie, din 15 mai 1591, unde avem æi o operaåie de înmulåire (Documente privind istoria României. Veacul XVI, vol. IV, 1952, p. 26-27). Fig. 39. Litere-cifre chirilice (Reprodus dupã: Al. Toth, Op. cit.) Tot secolul al XIV-lea, locuitorii de pe meleagurile noastre intrã în contact cu alte douã sisteme de numeraåie: cel grecesc æi cel arab. Primul are o influenåã din ce în ce mai pronunåatã în Åãrile Române, datoritã mai cu seamã contactelor diplomatice sau ale clerului cu lumea Bizanåului. O atestã numeroase inscripåii, printre care una din vremea lui Mircea cel Bãtrân, respectiv din 1407, numeroase pietre funerare (începând din 1480), precum æi o suitã de manuscrise greceæti cu caracter didactic. Cifre greceæti întâlnim æi în Transilvania, Arina în Åara Numerelor 133 de aceastã datã în secolul al XVI-lea. Johannes Honterus (14981549) publicã, la Braæov, lucrãri aparåinând lui Aristotel, Platon, Hesiod, în care numerele sunt notate în sistemul grecesc. Numeraåia greacã a pãtruns æi în texte cu caracter economic. În arhivele organismelor comerciale transilvãnene din secolul al XVI-lea se gãsesc corespondenåe, registre comerciale, procese-verbale æi alte acte care conåin informaåii notate în acest sistem de numeraåie. Biblioteca Academiei pãstreazã o Codicã a companiei greceæti din Sibiu din anii 1639-1777, 1705-1814, 1723-1786 etc. (manuscrisele greceæti purtând numerele 975, 977 æi 978), ca æi documente provenind de la visteria statului din Åara Româneascã æi Moldova, ilustrative sub acest raport. Sistemul de numeraåie de poziåie cu cifre arabe a apãrut pe meleagurile noastre începând din secolul al XV-lea (deæi documentele evocã folosirea sporadicã în Transilvania a numeraåiei arabe încã din secolul al XIV-lea, nu au fost identificate pânã în prezent urme ale fenomenului la acea epocã). O atestã o gamã largã de mãrturii: manuscrise, liste de preåuri, socoteli comerciale, monede, pietre funerare, clopote de bisericã. Cea mai veche inscripåie cu cifre arabe dateazã din anul 1407 (biserica din Vãleni, judeåul Cluj). Fireæte, procesul de pãtrundere æi de generalizare a numeraåiei de poziåie arabe a fost unul de duratã. Mai întâi, noul sistem apare în textele oficiale administrative. Descoperim numere arabe chiar æi în textele greceæti, precum în Socoteala pentru goætina [dare] a oilor din Moldova cu lista cumpãrãtorilor (manuscris grecesc aflat în Arhivele Naåionale ale României æi reprodus în volumul I al Colecåiei de documente Hurmuzaki) sau în Catastiful vãmilor Moldovei, din 1765. În sfâræit, în samile (dãri în bani pe care trebuiau sã le achite contribuabilii în comun), se întâlnesc, deseori, cifre scrise în sistemul de numeraåie arab. De subliniat cã toate cursurile de matematicã de înalt nivel åinute în secolele XVII-XVIII la Academiile din Iaæi æi Bucureæti au folosit cifre arabe. 134 Eliza Roman Secolul al XVIII-lea atestã extinderea în toate compartimentele societãåii a sistemului de numeraåie arab. Astfel, prima aritmeticã, din anul 1777, redactatã în limbile românã æi germanã æi intitulatã Ducere de mânã (cãtre aritmeticã) sau socoteala pentru trabã pruncilor româneæti celor ne[uniåi lor] ce se învaåã la æcolele cele [mici], Beci (Viena), foloseæte exclusiv cifre arabe. Ea cuprinde numere foarte mari, care merg pânã la milioane æi biliuoane, milioanele fiin notate cu o virgulã în locul exponentului, iar bilionul cu dpouã virgule, de pildã 54 321‘ sau 644 321“ sau 54 321“. Avem apoi, Introducere cãtre [Aritmeticã]. Întâia parte. În Blaj, 1785, a lui Gheorghe Æincai, care se încheie cu un tabel comparativ al numerelor illuriceæti [chirilice] æi åifre hãrãpeæti [arabe], æi Elemente matematiceæti fireæti, Iaæi, 1798, a lui Amfilohie Hotiniul, care foloseæte, la rându-i, noul sistem de numeraåie. Pe teritoriul åãrii noastre au circulat, sporadic, æi aæa-numitele cifre arabe de est (variantã folositã în Turcia). Monede, inscripåii, texte turceæti æi sigilii reprezintã documentele moætenite din relaåiile Åãrilor Române cu hanatele (state conduse de hani) æi cu Imperiul Otoman. Am putea exemplifica folosind Condica moldoveneascã a lui Alexandru Ipsilanti (1786-1787), redactatã în turco-osmanã, apoi Ceaslovul grecesc æi arãbesc tipãrit de Antim Ivireanul, publicat la Bucureæti, în 1702, æi traducerea Aritmeticii lui Manuil Glyzonios din Hios (Biblioteca Academiei Române, ms. 1316). De subliniat cã Aritmetica lui Glyzonios dã un tabel al numerelor de la 1 la 10 în slove româneæti, italieneæti æi turceæti. Fig. 40. Cifre arabe de est Este de reåinut cã, vreme îndelungatã, evoluåia numeraåiei la români nu a însemnat utilizarea æi dezvoltarea unui singur sistem de Arina în Åara Numerelor 135 înregistrare numericã. În unele perioade, au funcåionat, în paralel, pe tot teritoriul åãrii noastre sau în unele zone, toate cele patru sisteme de numeraåie prezentate aici, pânã sã se impunã numeraåia de poziåie arabã, în secolul al XV-lea. De pildã, numeraåia chirilicã apare la noi pe fondul antecedentelor de numeraåie latinã æi coexistã cu aceasta vreme îndelungatã. O ilustreazã æi faptul cã, pe parcursul secolului al XV-lea, în Transilvania cifrele arabe erau utilizate fie de sine stãtãtor, fie împreunã cu cifrele latine, pentru ca la sfâræitul aceluiaæi secol sã devinã preponderente, cu precizarea cã în actele de facturã economicã aveau sã predomine cifrele chirilice æi în secolul al XVII-lea, æi la începutul secolului urmãtor. De fapt, noi numãrãm la fel ca francezii æi englezii în privinåa unitãåilor simple 1, …, 9 æi 0. Potrivit profesorului ieæean Ilie Popa, care a întreprins un studiu comparativ al formãrii numerelor în limba românã în raport cu alte limbi (publicat în volumul Bibliografia matematicii româneæti, de Eliza Roman, Editura Academiei, 1972), numerele 11-19 se compun în limba românã prin mecanismul diferenåial. Modul de pronunåare a numerelor dintre 11 (unsprezece) æi 19 (nouãsprezece), adicã unitatea spre cifrã, ne aratã cã ne aflãm în faåa unei combinaåii aditive diferite de combinaåia aditivã cea mai obiænuitã, care utilizeazã conjuncåia æi pentru a realiza adunarea. Mecanismul acesta se numeæte diferenåial. El se deosebeæte de cel din latinã æi din limbile romanice, unde aceste numere se obåin prin mecanismul aditiv, pe când mecanismul diferenåial se întâlneæte în limbile slave, germanice, în albanezã æi în lituanianã. În timp ce în limba românã, ca æi în celelalte idiomuri romanice, denumirile pentru 21,...29,...,91,...99 se compun prin mecanismul aditiv de forma 20 + 1..., 90 + 9, în limbile slave se foloseæte mecanismul aditiv de forma 1(20) æi 20(1) – în care se omite particula de legãturã. Denumirile o sutã, o mie – observã Ilie Popa – nu apar nici în latinã, nici în vreo limbã romanicã, dar ar putea fi identificatã aici o înrudire cu greaca. NUMERE REMARCABILE Creaåia pitagoricã Pasionatã de tot ce se referã la numãr, Arina este invitatã de colegii ei Ætefan æi Marius la o „seratã matematicã“, în care materialul didactic va fi înregistrarea unei discuåii a celor doi pe tema numerelor pitagorice. Bineînåeles, Arina acceptã, æi întâlnirea debuteazã într-o ambianåã de „sobrietate ætiinåificã“. Pentru a destinde puåin atmosfera, Ætefan îi fredoneazã Arinei o melodie în care cuvintele încearcã sã se adecveze subiectului: De la Pitagora încoace, Bieåii copilaæi n-au pace. Dã-i cu teoreme, leme Æi-o mulåime de probleme! Pe acest fond, urmeazã ascultarea benzii. Marius: Ai dreptate, mi-a mâncat sufletul teorema asta a lui Pitagora. Æi mai pretind unii cã reprezintã prototipul teoremelor, cã este teorema arhetip a matematicii. Ætefan: Ar fi trebuit stârpitã pacostea asta din faæã, încã în Grecia anticã. Dacã s-ar fi pus la vot, toåi oamenii cu cap ar fi votat împotrivã. Grigore C. Moisil, celebrul matematician român æi pionier al informaticii mondiale, æi-a imaginat cum ar fi decurs votarea teoremei lui Pitagora acum vreo 2 500 de ani. În Atena æi Boeåia, voturile favorabile ar fi fost de 40% æi, respectiv, de Arina în Åara Numerelor 137 50%, iar în Samos, provincia de baætinã a lui Pitagora, de numai trei voturi. Marius: Chiar aæa? Ætefan: În Samos, lumea îl cunoætea pe Pitagora. Cele trei voturi favorabile puteau veni doar din partea lui, a tatãlui æi a fratelui. Fiul lui, contestatar, ar fi votat împotrivã. Vezi, Doamne, a fãcut æi el o teoremã. Mare scofalã! Apoi, cine ætie dacã e a lui. Se zvoneæte cã ar fi „împrumutat-o“ din Egipt. Æi, în definitiv, teorema asta la ce serveæte? E adevãratã? A mãsurat Pitagora toate triunghiurile dreptunghice? Marius: Dar nu s-a pus la vot, æi teorema rezistã de douã milenii æi jumãtate. Ætefan: Teorema lui Pitagora reprezintã, de fapt, cazul general al funiei cu 12 noduri de care se foloseau arhitecåii din Antichitate pentru a trage linii perpendiculare, adicã pentru a desena unghiuri drepte pe terenurile pe care urma sã fie ridicate construcåii. Ei mânuiau doar un caz particular al triunghiurilor dreptunghice, acela în care laturile triunghiului sunt egale cu 3, 4 æi 5, cãci 32 + 42 = 52. Marius: Este drept cã teorema lui Pitagora, care spune cã în orice triunghi dreptunghic suma pãtratelor catetelor este egalã cu pãtratul ipotenuzei, a fost cunoscutã pentru cazuri numerice particulare de cãtre sumerieni cu douã milenii înainte de Hristos. Din secolul al XVIII-lea î.e.n., s-a pãstrat o impresionantã serie de asemenea relaåii, consemnate pe Pitagora celebra tãbliåã babilonianã 138 Eliza Roman Plimpton 322, care a servit la rezolvarea unor probleme de geometrie æi de algebrã. Textele vechi indiene æi cele de ritual, precum æi aforismele despre sfoara zidarului cuprindeau, de asemenea, reguli tehnice de construcåie bazate pe teorema lui Pitagora. Scrieri ale chinezilor menåioneazã, la rândul lor, utilitatea æi valoarea acestei teoreme. La sfâræitul secolului al II-lea e.n., Dya Chou Pei Suan Åing (Zhou Bei Suan Jing), în Tratatul matematic despre gnomon, pomeneæte despre un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4 æi 5, iar Ciao Åiung Åing (Zhao Jun Jing) dã o demonstraåie originalã a teoremei lui Pitagora. Ætefan: Dacã se cunoæteau atâtea lucruri înainte de Pitagora, înseamnã cã el nu a avut nici un merit! A fost un plagiator! Marius: Nu, Ætefane! Trebuie sã recunoaætem cã Pitagora æi discipolii sãi – adicã cei care au demonstrat pentru prima oarã o teoremã – au fost geniali. Sã åinem seama cã o teoremã, o propoziåie sau un enunå odatã demonstrate au valoare eternã. Nu mai trebuie sã mãsurãm toate triunghiurile dreptunghice din lume pentru a ne convinge de adevãrul relaåiei afirmate. Demonstrarea teoremei lui Pitagora aratã foråa gândirii omeneæti faåã de experienåã, uæureazã efortul intelectual, economiseæte timpul, ne fereæte de erori. Întorcându-se acasã, Arina mediteazã. E drept cã Pitagora a asimiliat din cultura egipteanã æi din cea babilonianã æi cã a pus bazele unei confrerii secrete, dar lui îi datorãm demonstraåia matematicã. A exagerat adorând numãrul natural æi susåinând cã „orice lucru“, chiar æi „Dumnezeu“, este numãr! Ce sfâræit cumplit a avut! A murit mistuit de flãcãrile propriei æcoli, incendiate de fanatici politici æi religioæi, care ridicaserã mulåimile împotriva învãåãturii propovãduite de matematicianul filosof. Aceætia i-au distrus fiinåa fizicã, dar Arina în Åara Numerelor 139 geniul sãu matematic a dãinuit. Îi datorãm lui Pitagora æi æcolii lui cristalizarea unei geometrii raåionale æi demonstrative, a unei aritmetici teoretice având ca obiect proprietãåile generale ale numerelor, a unei astronomii diferite foarte puåin de o geometrie speculativã, în sfâræit a unei muzici care trateazã la modul abstract æi matematic intervalele æi acordurile. Numere p-adice Arina consultã, la bibliotecã, ultimele noutãåi editoriale despre numerele p-adice. Gabi, colega ei, rãsfoieæte, miratã, titlurile de pe masã. Arina: Aflã, dragã, cã numerele p-adice ocupã astãzi un loc important în universul numerelor! Gabi: Ce reprezintã aceastã vocabulã, despre care n-a auzit mai nimeni æi care sunã cam barbar? Arina: Numerele p-adice sunt o categorie de numere abstracte, greu de reprezentat, descoperite pe la începutul secolului trecut de cãtre matematicianul german Kurt Hensen (1861-1941). Mult mai tinere decât celelalte categorii de numere cu care elevii s-au deprins, numerele p-adice sunt entitãåi care au darul sã-i ajute pe cei ce se îndeletnicesc cu teoria numerelor sã construiascã instrumente de lucru foarte puternice æi chiar sã alimenteze speculaåiile unor fizicieni asupra naturii spaåiului æi timpului. Gabi: Ce statut au aceste numere în matematicã? Arina: Cu toate cã nu sunt deloc intuitive, numerele p-adice au dobândit un statut central în mai multe ramuri ale matematicii, ca, de pildã, în teoria algebricã a numerelor (studiul rãdãcinilor polinoamelor cu coeficienåi raåionali) æi în geometria algebricã (studiul soluåiilor ecuaåiilor polinomiale cu mai multe variabile). Æi încã ceva: din 140 Gabi: Arina: Eliza Roman raåiuni de comoditate, rigoare, coerenåã etc., matematicienii doreau sã completeze corpul numerelor raåionale în aæa fel încât sã includã numere care sã fie, asemenea numerelor iraåionale, limitele unor æiruri de numere raåionale. Ia-o mai încet. Explicã-mi ce e cu diferitele tipuri de numere. S-o luãm cu numerele raåionale. Ele sunt de forma m ± , unde m æi n sunt numere naturale (1, 2, 3…), iar n n este diferit de zero. Numerele raåionale pot fi scrise æi ca numere zecimale. Astfel, 2 = 0,555…., = 0,66 … etc. 3 7 = 0,77777…, 9 5 9 Numãrul iraåional (pozitiv sau negativ) poate fi reprezentat cu ajutorul unei fracåii zecimale neperiodice formate dintr-o infinitate de cifre care nu se repetã periodic; de exemplu, π = 3,14159265…. sau Gabi: Arina: 2 = 1,4142… Asta ætiam æi eu. Stai sã vezi. Distanåa dintre douã numere, cum sunt cele pe care le mânuim în mod curent, se exprimã cu ajutorul diferenåei dintre valorile absolute ale punctelor care au drept coordonate numerele respective. Dacã A este egal cu 2 æi B este egal cu 5, distanåa AB = 5 – 2 = 3; dacã ieri au fost –7° æi azi sunt +3°, distanåa de temperaturã este de 10°C. Adicã, pentru înåelegerea numerelor se foloseæte noåiunea de distanåã. Æi acum surpriza, Gabi dragã. Când e vorba de numere p-adice, se pot defini mai multe distanåe faåã de aceleaæi punct. Arina în Åara Numerelor Gabi: Arina: Gabi: Arina: Gabi: Arina: Gabi: Arina: 141 Cum adicã? În lumea acestor numere nu mai funcåioneazã distanåa cu care lumea este obiænuitã, distanåa geometricã intuitivã. Asta trebuie sã-mi ilustrezi. Pentru noåiunea de distanåã a numerelor p-adice se foloseæte un arbore genealogic, în care se defineæte distanåa dintre doi veriæori ca fiind numãrul ramurilor ce trebuie parcurse pentru a se ajunge de la unul la celãlalt, trecând printr-un strãmoæ comun. În aceste condiåii, este uæor de constatat cã distanåa dintre doi veriæori din aceeaæi generaåie este cel mult egalã cu cea mai mare distanåã care îi separã pe cei doi veriæori de un al treilea, aparåinând aceleaæi generaåii cu cei doi. Totuæi, nu-mi dau seama cum se ajunge la aceste numere. Nu e uæor de realizat acest lucru, dar pot fi încercate unele analogii. Analogii? Numerele p-adice au fost obåinute de Hensel cu ajutorul unor dezvoltãri oarecum asemãnãtoare celor pe care le facem noi pe numere obiænuite. Îåi dau un exemplu: sã luãm un numãr oarecare æi sã ne jucãm cu el. Atenåie, e un joc, nu o joacã. Luãm: 12 548,29 = 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 5 x 100 + 2 9 + 4 x 10 + 8 + = 1 x 104 + 2 x 103 + 5 x 102+ 10 100 4 x 10 + 8 x 100 + 2 x 10-1 + 9 x 10-2. În acest mod, numerele p-adice pot arãta în felul urmãtor: anpn + an-1pn-1 + Gabi: Arina: …+ a0+b1p-1 + +b2p-2+ …, unde n este un numãr oarecare cuprins între 0 æi p. Dã-mi o imagine mai „umanizatã“, Arina dragã. Uite, ne putem imagina numerele p-adice ca pe frunzele unui arbore ale cãrui crengi se ramificã la infinit. 142 Gabi: Arina: Gabi: Arina: Gabi: Arina: Gabi: Arina: Eliza Roman Æi la ce servesc numerele astea? În primul rând, de pe urma lor profitã matematicienii. Numerele p-adice pot fi folosite fie considerând o singurã distanåã, fie fãcând sã intervinã simultan toate distanåele care se pot defini pe numere naturale (atât distanåele p-adice, cât æi distanåele clasice). Combinând aceste douã moduri de abordare, pot fi obåinute rezultate care se exprimã în manierã clasicã, adicã al cãror enunå nu face sã intervinã numerele p-adice. Numerele acestea au fãcut senzaåie în matematicã atunci când æi-au arãtat utilitatea în demonstrarea celebrei teoreme a lui Fermat, cãreia nu i se gãsise rezolvarea, în ciuda a peste trei secole de eforturi. Æi cine a fãcut isprava asta? Andrew Wiles. El a folosit numerele p-adice în mai multe pãråi ale raåionamentului sãu, cu toate cã enunåul teoremei se referã numai la numere întregi obiænuite. Ecuaåia lui Fermat face parte din categoria ecuaåiilor diofantice. Îåi spun imediat ce sunt aceste ecuaåii. Se vorbeæte de adnotãrile lui Fermat la opera lui Diofant Matematicianul grec Diofant avea pasiunea de a rezolva în numere întregi ecuaåii al cãror prim membru erau polinoame cu coeficienåi întregi. Dã-mi, te rog, un exemplu. Cele mai simple dintre aceste ecuaåii, ecuaåiile de gradul I, sunt de forma ax + by = c, unde a, b æi c sunt întregi cunoscuåi, iar x, y întregi care trebuie sã fie determinaåi. S-a demonstrat cã pentru ca o ecuaåie diofanticã sã aibã o soluåie întreagã este necesar, dar nu æi suficient, ca ea sã aibã o soluåie p-adicã, în anumite condiåii. Folosirea numerelor p-adice a fost extinsã, de asemenea, la funcåii. STATUTUL DE NUMÃR SE OBÅINE GREU Existã numere iraåionale? Dupã ore, Arina æi Oana pleacã spre librãrie. Fãrã sã ætie când, discuåia lor alunecã pe terenul numerelor. Oana: Arina: Oana: Arina: Am urmãrit confruntarea diferitelor categorii de numere pentru obåinerea statutului de numãr. Æi aici e nevoie de confruntare? Æi încã ce nevoie. Dacã numerelor naturale li s-a recunoscut dintotdeauna identitatea, nu acelaæi lucru s-a întâmplat cu celelalte tipuri de numere. Atât Thales, cât æi Pitagora, atât Platon, cât æi Aristotel, toåi învãåaåii greci atribuiau calitatea de numãr doar numerelor naturale. Nici mãcar numerelor fracåionare nu le acordau statut de numãr. Acestea reprezentau pentru ei mãsura lungimii unui segment construit cu rigla æi compasul, cu ajutorul unui alt segment–unitate, cele douã segmente fiind comensurabile între ele. De aceea, li se spunea æi numere comensurabile. Pentru ei, numerele fracåionare erau doar mãrimi. Or, multe popoare din Vechime, precum hinduæii sau chinezii, au operat æi cu alte tipuri de numere, atunci când le erau necesare în rezolvarea unor probleme, fãrã sã se preocupe de natura numerelor. Într-adevãr, grecii nu recunoæteau statutul de numãr decât numerelor întregi pozitive, de fapt numerelor 144 Oana: Arina: Oana: Arina: Eliza Roman naturale finite. Pentru pitagoricieni ele constituiau „principiul adevãrului“, capabil sã dezvãluie realitatea. Observând cã numerele care caracterizeazã figurile intrinsece armonioase, cum este, de exemplu, cubul, apar æi în acordurile muzicale, au construit scenariul armoniei universale. Cubul are toate laturile æi toate feåele egale, e frumos, dar nu-mi produce aceeaæi emoåie ca o simfonie… Douã sunt elementele care concurã la plãcerea de a face matematicã: esteticul æi ludicul. Uite cum gândeau pitagoricienii. Spune-mi, Oana, câte muchii, feåe æi vârfuri are cubul? 12 muchii, 6 feåe æi 8 vârfuri. Media armonicã a numerelor 12 æi 6 este 8. Ætii definiåia? Media armonicã a mai multor numere este reprezentatã prin numãrul al cãrui invers este egal cu media aritmeticã a inverselor numerelor date. Sã aplici formula când ajungi acasã æi o sã vezi cã 8 e media armonicã a lui 12 æi 6. Media armonicã a mãrimilor a æi b este: 1 2ab = 1⎛1 1⎞ a + b ⎜ + ⎟ 2⎝ a b⎠ Oana: Media aritmeticã a lui a æi b este a + b; inversul lui a este 1 ; iar inversul lui b este 1 ; a 2 b media aritmeticã a acestor douã numere 1 æi 1 a este egalã cu suma lor împãråitã la 2 b 1 1 + a b ). (cãci am de-a face cu douã numere, deci 2 Arina în Åara Numerelor 145 Sã facem împãråirea: ⎛1 1⎞ 2 ⎛1 1⎞ 1 1 ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ + ⎟ : 2 = ⎜ + ⎟: = ⎜ + ⎟ × = ⎜ + ⎟ ⎝a b⎠ 1 ⎝a b⎠ 2 2 ⎝a b⎠ ⎝a b⎠ . Acum, åinând seama de definiåie, sã scriu inversul acestui ultim numãr, adicã 1 supra acest numãr. Obåin: 1 , deci ceea ce indicã definiåia mediei 1 ⎛1 1⎞ ⎜ + ⎟ armonice. 2 ⎝a b⎠ Dacã numerele sunt 12 æi 6, sã facem calculele pentru obåinerea mediei lor armonice: 1 1 1 1 1 1 1 = = = = 1: = × = 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 + 2 ⎞ 1 . 3 1. 1 1 8 1 • • ⎟ ⎜ ⎜ + ⎟ 2 ⎝ 12 6 ⎠ 2 ⎝ 12 ⎠ 2 12 2 4 8 Arina: Oana: Am gãsit, deci, cã media armonicã este 8. Impactul acestor trei numere – 12, 6 æi 8 – apare clar æi în muzicã. Dacã facem sã-i corespundã numãrul 6 în loc de 1 primei note a octavei, 8 va corespunde cvartei, iar 12 octavei. Fermecaåi de aceastã corespondenåã dintre numere æi sunete, pitagoricienii au tras concluzia cã armonia geometricã æi cea muzicalã sunt impuse de aceleaæi legi ale armoniei. Euforici, au extrapolat descoperirea lor la existenåa „armoniei universale“, lege care regizeazã cu titlu egal æi uneæte într-o sintezã omogenã diferite ordine ale realitãåii de o aæa simplicitate încât e adaptabilã æi spiritului. „Armonia universalã“, care se reflectã æi în armonia ideilor, a dominat multã vreme gândirea filosofilor. Dar sã revin la întrebarea ta. Æi grecii au aflat despre alte categorii de numere, însã pentru ei erau doar mãrimi sau simboluri. 146 Arina: Oana: Arina: Eliza Roman Æi ce scandal a fost la apariåia numãrului iraåional. Criza aritmeticii greceæti a constat în incapacitatea ei de a explica valoarea diagonalei unui pãtrat cu latura 1. Oricine ætie cã dacã a æi b sunt numere obiænuite (naturale), fracåia a este un numãr raåional, iar dacã nu b existã numere întregi m, n astfel încât un numãr N sã poatã fi exprimat prin m , atunci se spune cã N este n iraåional. 2, 3 , 6 sunt numere iraåionale. Dacã vrem sã exprimãm un numãr iraåional în numeraåia zecimalã, cifrele de dupã virgulã se vor succeda fãrã nici o regularitate. Nu va apãrea aici o perioadã care sã se repete, ca în reprezentarea zecimalã a numerelor raåionale (de exemplu 13 se reprezintã prin 11 1,181818..., Oana: unde perioada 18 se repetã la infinit). În aceste condiåii, dacã reprezentarea nu urmeazã nici o lege, cum putem defini zecimalele iraåionalelor, cum putem opera cu ele? Scandalul a pornit de la valoarea diagonalei unui pãtrat cu laturã 1, adicã de la . Diagonala împarte pãtratul în douã triunghiuri dreptunghice egale cu laturile 1. Or, potrivit teoremei lui Pitagora, pãtratul diagonalei (ipotenuzei) este egal cu suma pãtratelor celor douã catete, adicã a celor douã laturi, 12+12 = 2, iar diagonala este egalã cu 2 . Grecii puteau gãsi diagonala cu ajutorul riglei æi al compasului, dar aceastã cantitate nu corespundea concepåiei lor despre numãr; de aceea, au denumit iraåionalele alogon, adicã fãrã raåiunea de a 2 Arina în Åara Numerelor Arina: Oana: Arina: Oana: Arina: Oana: 147 exista, care nu pot fi formulate, ne-logice (arreton). Grecii chiar se ruæinau cu aceste entitãåi lipsite de raåiunea de a exista; de aceea, pitagoricienii, care au descoperit aceastã proprietate a diagonalei, au încercat s-o ascundã de ochii lumii. În zadar! S-a aflat æi a ieæit vorba: „Cine nu ætie cã diagonala unui pãtrat este incomensurabilã cu latura lui nu e demn de numele de om“. Îmi permiåi sã-åi spun câte ceva despre matematicianul german Richard Dedekind (1831-1916), care a jucat un rol de seamã în viaåa numerelor iraåionale. Încã nu, deoarece trebuie sã adaug câte ceva despre preocupãrile grecilor pentru iraåionale. Te ascult. Potrivit lui Platon (427-348/347 î.e.n), matematicianul grec Theodoros din Cirene (sec. V-IV î.e.n), luând ca exemplu numerele 1, 2, 3..., 17, a demonstrat cã radicalii din 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 reprezintã numere iraåionale, iar radicalii din 4, 9 æi 16 reprezintã numere raåionale, 4, 9 æi 16 fiind pãtrate perfecte (4 = 22, 9 = 32, 16 = 42). Deci, încã pe vremea lui Platon se fãcea distincåie între douã grupuri de numere, cele ai cãror radicali sunt numere raåionale æi cele ai cãror radicali sunt numere iraåionale. Platon a acordat o deosebitã atenåie acestei probleme, incitat de caracterul enigmatic al naturii iraåionalului matematic, care putea fi util în detectarea mecanismului cunoaæterii. Stârneæte interes dialogul lui Platon intitulat Theaitetos, care argumenteazã valoarea de model a cercetãrii iraåionalelor în vederea atingerii esenåei cunoaæterii. Mã surprinzi, Oana, ai început sã citeæti filosofie? Da, æi trebuie sã-åi mãrturisesc cã o fac cu multã plãcere. În acest dialog, Theaitetos, elevul lui Theodoros, 148 Arina: Oana: Arina: Eliza Roman are rolul de a expune, a explica æi a generaliza rezultatele maestrului sãu. De altfel, unele dintre sursele de inspiraåie ale lui Euclid în clasificarea iraåionalelor le datoreazã discipolului lui Theodoros. Mai tânãrul contemporan al lui Platon, astronomul æi matematicianul grec Eudoxos din Knidos (c. 406-c. 355 î.e.n.) a contribuit substanåial la înåelegerea iraåionalelor. Æi ce a fãcut Eudoxos pentru iraåionale? Îåi citez definiåia datã de el raporturilor egale, definiåie care a permis matematicienilor sã foloseascã numerele iraåionale cu egalã precizie faåã de numerele raåionale: „Se zice cã prima dintre patru mãrimi are acelaæi raport cu cea de a doua, cea de a treia cu cea de a patra, când, luând orice alåi multipli ai primei æi ai celei de-a treia, multiplul primei este superior, egal sau inferior multiplului celei de a doua, dupã cum multiplul celei de a treia este superior, egal sau inferior multiplului celei de a patra“ (Reprodus dupã: E.T. Bell, Les grands mathématiciens, Paris, Payot, 1950, p. 139). De fapt, Eudoxos a fixat punctul de plecare al unei teorii moderne a iraåionalelor. Practic, definiåia lui Dedekind – a egalitãåii a douã numere raåionale sau iraåionale – e identicã cu cea a lui Eudoxos. Dedekind s-a strãduit sã precizeze noåiunea de numãr iraåional. Esenåialã în teoria lui este ideea de tãieturã care separã toate numerele raåionale în douã clase, una superioarã æi alta inferioarã, în aæa fel încât orice numãr dintr-o clasã inferioarã este mai mic decât orice numãr dintr-o clasã superioarã. 2 este definit prin tãietura a cãrei clasã superioarã conåine toate numerele raåionale pozitive ale cãror pãtrate sunt mai mari decât 2 æi a cãrei clasã inferioarã conåine toate celelalte numere raåionale ale cãror pãtrate sunt mai Arina în Åara Numerelor 149 mici decât 2. Numere negative – numere fictive Oana: Arina: Oana: Arina: Crezi cã soarta numerelor negative a fost mai fericitã? Æi ele au avut de înfruntat prejudecãåile gândirii greceæti în privinåa statuãrii lor ca numãr. Multã vreme, matematicienii s-au codit sã le recunoascã drept cetãåeni cu drepturi depline în familia numerelor. De pildã, Gerolamo Cardano (1501-1576), cunoscut matematician, medic æi filosof italian din epoca Renaæterii, de numele cãruia se leagã rezolvarea ecuaåiilor algebrice de gradul III (care-i poartã numele), considera numerele negative drept numere fictive æi le-a botezat numere cu minus. La rândul lui, matematicianul francez François Viète le-a negat existenåa. Nu mã aæteptam ca Viète, care este unul dintre fondatorii algebrei moderne, cel care a introdus literele pentru a simboliza cantitãåile necunoscute, tocmai acest matematician luminat sã fie aæa de încuiat. Asta-i istoria! Numãrul negativ a înregistrat o victorie datoritã unui matematician subtil, olandezul Albert Girard (1595-1632). În 1629, el a publicat, la Amsterdam, Invenåia nouã în algebrã, arãtând cã negativul în geometrie înseamnã mersul înapoi, iar pozitivul, mersul înainte. Cu René Descartes, numerele negative æi-au dobândit pe deplin statutul de numere. Orice æcolar ætie cã pe o dreaptã orientatã poåi figura, pornind din origine într-un sens, numerele pozitive, iar în sens 150 Oana: Eliza Roman contrar numerele negative. Numerele negative l-au preocupat æi pe Immanuel Kant (1724-1804). În 1763, filosoful german a publicat un Eseu asupra numerelor negative, în care arãta cã, dacã noi considerãm o serie de mãrimi ce descresc plecând de la o cantitate pozitivã oarecare, obåinem mãrimea negativã printr-un demers linear al spiritului sau, cum va spune în 1791, printr-o simplã degradare a luminii. Dar noi nu aveam atunci decât o reprezentare staticã a mãrimii negative. Or, dacã mãrimile negative intervin într-un calcul pentru a modifica rezultatul total, înseamnã cã ele reprezintã altceva decât o absenåã de mãrime pozitivã, înseamnã cã ele au o eficacitate de opoziåie, cã exercitã o acåiune pozitivã, dupã cum un ecran este un obstacol pozitiv în transmiterea luminii. Immanuel Kant mai subliniazã cã este ridicol sã se asimileze diferenåa dintre creditor æi debitor ca o simplã opoziåie logicã, deoarece, în realitate, este vorba despre conflictul a douã realitãåi concrete, care acåioneazã în sens contrar, precum o fac atracåia æi respingerea. În acest fel, Kant aratã cã aritmetica nu Immanuel Kant mai este ætiinåa numerelor ca obiecte ideale, ci ætiinåa lucrurilor numãrate æi tocmai natura relaåiilor dintre lucrurile înseæi decide relaåia dintre numere. Arina în Åara Numerelor 151 Numãrul i – „un amfibiu între existenåã æi neant“ Dupã ce rãsfoiesc noutãåile din librãrie, Oana æi Arina se întorc acasã. Pe drum, iau în vizor peripeåiile prin care a trecut celebrul i pentru a se impune ca numãr. Arina: Când a apãrut i pe scenã? Oana: Am citit cã Bhaskara Acaria (c.1114-c.1178), mate- Arina: Oana: Arina: Oana: matician indian de renume, vorbeæte de − 1 . Cu toate cã lucra cu rãdãcina pãtratã a unui numãr negativ, el nu credea în existenåa acestuia, fiind convins cã „un numãr negativ nu poate fi niciodatã un pãtrat perfect“. Pentru Cardano, despre care am mai vorbit, numerele complexe aveau doar valoare formalã. Speriat de apariåia rãdãcinilor din numere negative, Cardano le-a botezat imposibile sau sofisticate, fiindcã nu au o existenåã realã, åinând seama cã pãtratele tuturor numerelor sunt numere pozitive. Cam multã patimã în jurul lui i. Cu timpul, patimile s-au mai domolit. Matematicienii care i-au urmat lui Cardano nu s-au mai lãsat torturaåi de numerele complexe æi le-au utilizat. Care anume? Au fost mai mulåi. De exemplu, italianul Raffaele Bombelli (1526-1572) priveæte rãdãcina pãtratã din –1 ca pe „un numãr care ascultã de regulile de operaåii ale numerelor adevãrate“. Bombelli a fost cel care a expus regulile adunãrii æi înmulåirii numerelor complexe. Lui Albert Girard îi datorãm introducerea simbolului − 1 æi, în ge- Arina: Oana: neral, radicalul oricãrui numãr negativ, − n (n = 1, 2, 3 …). Cine l-a denumit pe i „imaginar“? Descartes. Atunci când a determinat punctele de intersecåie ale unei parabole cu un cerc, cãrora le-a zis 152 Arina: Oana: Arina: Eliza Roman imaginare. Mai târziu, matematicianul englez John Wallis le-a dat o interpretare vectorialã. Ei, æi acum intrã în scenã Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), un mare filosof æi un mare matematician. Visul lui de o viaåã a fost construirea unei „caracteristici universale“, un fel de algebrã logicã ce ar fi permis înlocuirea tuturor raåionamentelor prin calcule, æi elaborarea unei enciclopedii demonstrative, în care toate adevãrurile cunoscute sã fie grupate potrivit înlãnåuirii lor deductive. Leibniz este un precursor al logicii matematice æi al calculatorului, iar alãturi de Newton unul dintre creatorii calculului diferenåial æi integral. Definiåiile æi simbolurile introduse de Leibniz se utilizeazã æi azi în matematicã. Ce înseamnã cã Leibniz l-a privit pe i ca pe „un amfibiu între existenåã æi neant“? Ætiu aproape pe de rost ceea ce a spus Leibniz. Ascultã: Din gelozie pe minunata lor multiplicitate, natura lucrurilor, mama multiplicitãåilor veænice sau mai degrabã spiritul divin, n-ar admite ca totul sã fie subsumat unei singure specii. De aceea, el a gãsit un refugiu rafinat æi miraculos, acea minune a analizei, în monstrul lumii ideale, care este aproape ca un amfibiu între existenåã æi neant, numit de noi rãdãcinã imaginarã. Referitor la numãrul i, Abraham de Moivre (16671754), matematician britanic de origine francezã, a arãtat cã orice numãr real are n rãdãcini de ordinul 1, dintre care cel puåin douã sunt reale, iar restul – complexe. D’Alembert s-a implicat æi el în impunerea numerelor complexe. Da. Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783), matematician æi filosof francez, a elaborat teorema fundamentalã a Arina în Åara Numerelor Oana: Arina: Oana: 153 algebrei (Teorema lui d’Alembert), teoria ecuaåiilor, æi a dat primul exemplu de funcåie de variabilã complexã. O sã-åi bag o micã strâmbã. Nu te încrunta! În legãturã cu teorema fundamentalã a algebrei, îåi precizez cã Albert Girard a afirmat, înaintea lui d’Alembert, cã orice ecuaåie algebricã de gradul n admite n rãdãcini reale sau aparente, înåelegând prin aparente numerele complexe de forma a + b −1 . Cunosc afirmaåia lui Girard; i-a Jean Le Rond chinuit douã secole pe matematid’Alembert cienii pânã la d’Alembert. Sã nu uitãm cã d’Alembert, în lucrarea sa Réflexions sur la cause générale des vents, publicatã în 1747, a fãcut un pas hotãrâtor pentru înåelegerea naturii lui i, afirmând cã orice funcåie de unul sau mai multe numere poate fi pusã totdeauna sub forma a + ib. În acest fel, a stimulat interesul lumii matematicienilor pentru stabilirea acestei categorii de numere æi a justificat legitimitatea operaåiilor cu numere complexe. Aici trebuie subliniat impactul matematicianului elveåian Leonhard Euler. Deæi nevãzãtor încã din 1735, a lucrat pânã în ultima clipã a vieåii. Prin amploarea æi prin importanåa operei sale (900 de lucrãri), Euler rãmâne, incontestabil, cel mai fecund autor al secolului al XVIII-lea în domeniul ætiinåelor matematice. Deæi a folosit numerele imaginare sau complexe, el nu le-a acordat statut de numãr. În cartea sa de algebrã din 1770 avea sã scrie cã „Toate expresiile de forma 154 Eliza Roman − 2 nu sunt nici nimic, nici mai mari æi nici mai mici decât nimic, sunt imaginare æi imposibile“. Începând din 1777, Euler cerceteazã funcåiile de variabilã complexã æi înlocuieæte prin i (iniåiala cuvântului imaginar) simbolul − 1 folosit de Leibniz. Observ cã i are o istorie îndelungatã. Stai sã vezi. Douãzeci de ani mai târziu, în 1797, matematicianul danez Gaspar Wessel (1745-1818) constatã cã numerele complexe pot fi privite ca vectori situaåi în planul complex. În acest fel, a fost stabilitã identitatea dintre vectorul i æi vectorul obåinut prin rotirea vectorului unitate, în sens direct (invers decât mersul acelor de ceasornic), în jurul originii 0 de un unghi 2 egal cu 90. Æi astfel relaåia i = – 1 a dobândit un sens geometric. Presimt cã ajungi la Gauss. Ai ghicit. O datã cu apariåia teoriei resturilor bipãtratice a lui Carl Friedrich Gauss, existenåa numerelor complexe nu a mai fost pusã la îndoialã. Acest gigant al matematicii a conceput aproape toate descoperirile sale fundamentale din domeniul matematicii între 14 æi 17 ani. La 16 ani, descoperea o altã geometrie – cea neeuclidianã, hiperbolicã –, iar la 17 ani se lansa în hãåiæul numerelor, pe care avea sã-l transforme în noua teorie a numerelor. Cercetãrile matematicianului german în domeniul aritmeticii superioare, începute în timp ce urma gimnaziul, l-au fãcut nemuritor. Prin capacitatea sa de calcul, Gauss a transformat numerele în piese de laborator, descoperind cu ajutorul inducåiei teoreme generale a cãror demonstrare cere mari eforturi. Adicã? Printre bijuteriile gândirii sale matematice, se include theorema aureum, la care Euler ajunsese prin inducåie −1, Arina: Oana: Arina: Oana: Arina: Oana: Arina în Åara Numerelor 155 æi care este cunoscutã sub numele de legea de reciprocitate. Gauss a pornit de la întrebarea: câte cifre sunt în perioada unei fracåii periodice? Pentru a se dumiri, a 1 , ,... 1 . 2 1000 Nu a aflat rãspunsul, dar a descoperit ceva mult mai important, aæa-numita lege a reciprocitãåii resturilor pãtratice, potrivit cãreia douã numere dau acelaæi rest dacã sunt împãråite prin acelaæi numãr sau modul. La 19 ani, reuæeæte sã demonstreze, acolo unde Euler æi Lagrange eæuaserã, cã existã reciprocitate între perechile de congruenåe x2 = q (mod p ) æi x2 = p (mod q) atunci când p æi q sunt numere prime. De altfel, lui Gauss i se datoreazã ideea de congruenåã. Se ætie cã dacã a – b sau b – a se divid cu m (a, b, m fiind numere), atunci se poate scrie cã a = b (mod m) (a este congruent cu b modulo m). Cu trecerea anilor, Gauss a dat încã æase demonstraåii acestei teoreme, pe care o considera „o bijuterie matematicã“ æi pe care a denumit-o theorema aureum. Lucrarea Disquisitiones mathematicae, apãrutã în 1801 – capodopera „Prinåului matematicii“, cum este denumit Gauss – îl impune ca maestru al teoriei numerelor, cãreia îi deschide o nouã erã. La un moment dat, Gauss evocã o aæa-numitã „obscuritate misterioasã“. Despre ce poate fi vorba? Ca sã lãmurim chestiunea asta trebuie sã o iau cam de departe. Deocamdatã, îåi reproduc într-o traducere liberã pledoaria lui Gauss din 1831, pe care îmi face plãcere sã cred cã o åin bine minte: „Transpunerea teoriei resturilor bipãtratice în domeniul numerelor complexe ar putea sã parã unora, familiarizaåi cu natura calculat mai întâi toate fracåiile 1 1 Arina: Oana: , 1 3 156 Arina: Oana: Arina: Oana: Eliza Roman mãrimilor imaginare æi care au idei false despre acestea, nepotrivitã æi nenaturalã“. Nimic n-ar fi mai neîntemeiat. Din contrã, aritmetica numerelor complexe este capabilã de cea mai mare intuitivitate. Ce argumente aduce Gauss pentru a convinge asupra intuitivitãåii numerelor complexe? Gauss susåine cã, aæa cum pentru reprezentarea numerelor negative este de ajuns prelungirea nelimitatã a æirului numerelor întregi absolute (pozitive) în partea opusã punctului iniåial, tot asemenea, într-un plan, se poate imagina un sistem de puncte egal distanåate între ele, care împart planul în pãtrate egale æi servesc la reprezentarea Carl Friedrich Gauss numerelor complexe. Gauss vrea sã ne explice cã numerele complexe reprezintã o extindere în materie de numere. El aratã cã, iniåial, pornindu-se de la conceptul numerelor întregi absolute, s-au adãugat numerele fracåionare; apoi s-au adãugat, la cele raåionale, cele iraåionale; la cele pozitive, cele negative; la cele reale, cele imaginare. Aceastã extindere – subliniazã Gauss – s-a fãcut, la început cu paæi plini de ezitare. Primii algebriæti numeau false rãdãcinile negative ale ecuaåiilor æi ele erau chiar false atunci când problema la care se referã apãrea astfel formulatã încât specificul mãrimii cãutate nu admitea ceva opus. Însã pe cât de puåin criticabilã este admiterea numerelor fracåionare în aritmetica Arina în Åara Numerelor 157 generalã, deæi existã multe lucruri numãrabile în care numãrul fracåionar nu are sens, tot aæa de puåin se pot contesta numerelor negative drepturi egale cu cele pozitive pe motivul cã nenumãrate lucruri nu admit un opus. Realitatea numerelor negative e suficient de justificatã, pentru cã ele gãsesc un substrat adecvat în nenumãrate alte cazuri. În aceastã privinåã – susåine Gauss –, suntem de multã vreme lãmuriåi: însã numerele imaginare, opuse celor reale – numite impropriu odinioarã, pe ici, pe colo, dar æi acum, imposibile, apar mai mult ca un joc de semne golit de conåinut în sine, cãruia i se contestã total un substrat inteligibil. Fãrã a voi, totuæi, sã se dispreåuiascã bogatul tribut pe care-l plãteæte pânã la urmã acest joc de semne tezaurului mãrimilor reale. Dacã pânã acum acest obiect a fost considerat dintr-un punct de vedere fals æi s-a gãsit aici o obscuritate misterioasã, acest lucru trebuie atribuit în cea mai mare mãsurã denumirii puåin convenabile. Dacã +1, –1, − 1 nu s-ar fi numit unitate pozitivã, negativã, imaginarã (sau chiar imposibilã), ci, de pildã, unitate directã, inversã, lateralã, cu greu s-ar mai fi putut vorbi de o astfel de obscuritate. Numere transcendente Arina: Oana: Æi despre numerele transcendente ce se cunoaæte? Cât priveæte atestarea numerelor transcendente, aflãm din cartea doamnei Câmpan, Povestea numãrului , o informaåie revelatoare despre modul în care au fost recunoscute primele numere transcendente, e æi π . p 158 Arina: Oana: Eliza Roman Matematicianul francez Joseph Liouville (1809-1882) a pus în evidenåã pentru prima oarã aceste numere æi a arãtat cã ele sunt în numãr infinit, iar matematicianul german Georg Cantor (1845-1918) – unul dintre creatorii teoriei mulåimilor – a observat cã aceastã categorie de numere este cu mult mai mare decât a numerelor algebrice. Pentru multe numere remarcabile nu se ætie cum trebuie demonstratã transcendenåa lor (de exemplu: e + π, πe, C etc.). Numãrul transcendent cel mai uæor de memorat este cel al lui Kurt Mahler: 0,1234567891011121314... Ulterior, în 1934, matematicianul rus A.O. Gelfond (1906-1968) a prezentat un procedeu comod de construire a numerelor transcendente, demonstrând, concomitent, o propoziåie enunåatã încã de Euler (Teorema lui Gelfond-Schneider). Care anume? Este vorba despre cea de a 7-a problemã din celebra listã a lui Hilbert din 1900, æi anume: pentru orice numãr algebric α diferit de 0 æi 1 æi orice numãr trans2 cendental β, cel puåin una dintre expresiile αβ, αβ , 3 αβ este transcendentalã. Acest rezultat este valabil pentru orice β iraåional având în vedere teorema Gelfond-Schneider. Teorema aratã, de asemenea, cã pentru orice β real iraåional funcåia xβ nu poate asuma valori algebrice la mai mult decât douã valori integrale consecutive pentru x ≥ 2. Metodele de determinare a transcendenåei numerelor sunt extrem de tehnice: demonstraåii prin absurd, majorãri æi micæorãri. Gãsim astfel de metode atât în volumul Transcendental and Algebric Numbers, al lui A.O. Gelfond, apãrut la New York, în 1960, cât æi Arina în Åara Numerelor 159 în cel al lui A. Baker, apãrut cinci ani mai târziu, la Cambridge University Press, intitulat: Transcendental Number Theory. Numãrul care nu-æi dezvãluie natura A doua zi, Oana o viziteazã pe Arina. Oana: Arina: Oana: Arina: Oana: Arina: Oana: Am venit cu o surprizã. Una dulce? Åi-am adus informaåii despre un numãr care nu este nici raåional, nici iraåional, nici transcendent æi despre natura cãruia nu se ætie nimic. Un numãr care îi terorizeazã pe cercetãtori. Toate demonstraåiile propuse pentru identificarea lui s-au dovedit a fi false. Hai, spune o datã despre ce numãr e vorba! Despre Numãrul C, respectiv despre Constanta lui Euler. Deci o constantã paræivã. În 1734, matematicienii au fost surprinæi citind un articol a lui Euler în care se demonstra cã, deæi seria armonicã 1+ 1 1 1 1 1 + + + .... + + … este divergentã, adicã 1 2 3 4 n tinde spre infinit, totuæi diferenåa dintre suma ei paråialã 1 + Arina: Oana: 1 1 1 1 + + + .... + cu logaritmul natural al 1 2 3 n acesteia notat ln n are o limitã finitã când n tinde spre infinit, æi anume numãrul botezat C, în cinstea lui Euler. De ce tocmai C æi nu E, de la Euler? C este o prescurtare de alint pentru Constanta lui Euler. E clar cã sumele paråiale ale seriei armonice cresc în 160 Eliza Roman aceeaæi mãsurã ca æi logaritmii naturali corespunzãtori numerelor respective, ceea ce face ca diferenåa lor sã rãmânã constantã. În ciuda calculelor a zeci æi sute de zecimale, constanta nu-æi dezvãluie natura, rezistând eroic la atacul matematicienilor. S-au implicat în aceastã cursã atât Gauss, cât æi Shanks, ca æi alåi matematicieni: J.C. Adams Leonhard Euler (1819-1892), E Catalan (18141894), P.L. Cebîæev (1821-1894), Paul Appell (1855-1930), deci matematicieni de diferite naåiuni, germani, englezi, belgieni, ruæi, francezi... Totul degeaba. Triumful lui zero Arina: Oana: Arina: Oana: Oana, hai sã vorbim puåin despre celebrul zero. Când a fost recunoscut ca numãr? Târziu. O fi semn, o fi numãr? – s-au întrebat oamenii, multã vreme. Mai întâi, s-a optat pentru zero ca simbol fãrã valoare numericã intrinsecã, având doar calitãåi operatorii. Fãrã a-æi face o idee clarã despre zero, scribii egipteni lãsau un spaåiu liber acolo unde acesta ar fi trebuit sã figureze. Æi cum a fost suplinitã lipsa lui zero? A fost suplinitã prin procedee deosebit de ingenioase, aæa încât se vorbeæte despre numeroæii lui precursori. Îåi aminteæti, Arina, cã romanii, pentru a amplifica un numãr cu 1 000 îl surmontau cu o barã orizontalã, iar pentru a-l înmulåi cu 100 000, îl încadrau într-un dreptunghi Arina în Åara Numerelor 161 fãrã bazã? Iar grecii, pentru a mãri un numãr de o mie de ori, îl precedau cu o barã verticalã. În acelaæi scop, în scrierea ebraicã se obiænuia sã se punã douã puncte deasupra numãrului. Punctele au fost magistral folosite în locul lui zero de cãtre cãlugãrul bizantin Neophitos (sec. XII), care punea peste numãr atâtea puncte câte zerouri am pune noi. O barã verticalã surmontatã de un punct îl simboliza pe 10, de douã puncte pe 100, de trei puncte pe 1 000 æ.a.m.d. Astfel, 3207 se nota: &3&& &2& 7 . Arina: Oana: Arina: Oana: În Antichitate, egiptenii, al cãror sistem de numeraåie nu avea ca cifre decât unitatea, baza 10 æi puterile bazei, ætiau sã înmulåeascã un numãr cu 10: era suficient sã avanseze cu un rând, în ierarhia puterilor fiecãrei cifre folosite, pentru scrierea numãrului. Babilonienii trebuie sã-l fi folosit pe zero cu mult timp în urmã. Dimpotrivã, nu l-au folosit decât târziu æi exclusiv în poziåie medianã, sub forma semnului de separare între cuvinte. Ei erau conætienåi cã sistemul lor abstract cu baza 60 le îngãduia sã treacã de la o putere a bazei la puterea urmãtoare, cu singura condiåie sã dilate, sã mãreascã semnul care simboliza unitãåile simple. Zero operator când a început sã fie folosit? Ætiu cã un operator este un simbol matematic care indicã o operaåie ce trebuie realizatã. Pentru a vorbi de zero conceput ca operator, trebuie sã realizezi cã adãugarea lui zero cifrei care reprezintã unitãåile simple multiplicã automat numãrul în întregime cu baza de numãrare. Mayaæii au folosit zero terminal æi pe zero operator. Eruditul francez Girard Raphael, în Le popol-Vuh (în mayaæã popo = casa obætei, vuh = carte). Histoire culturelle des mayas – 162 Arina: Oana: Arina: Oana: Arina: Oana: Arina: Eliza Roman Quinché, Paris, 1954, susåine cã „Mayaæii au descoperit conceptul de zero æi utilizarea lui cu cel puåin 1 000 de ani înainte ca vreo naåiune similarã sã-l fi cunoscut æi folosit“. Zero era reprezentat printr-o scoicã sau printr-un melc (simbol al regenerãrii). În mitologia mayaæilor, zero corespunde momentului sacrificiului Zeului Erou al Porumbului, care se scufundã în râu pentru a reînvia, a se înãlåa la Cer æi a deveni Soare. În procesul de germinare a porumbului, acest moment marcheazã dezintegrarea seminåei în pãmânt, înainte ca viaåa sã se manifeste iar, dând la ivealã frageda tulpinã a porumbului. În gliptica (arta gravãrii) maya, zero era reprezentat printr-o spiralã, infinutul închis prin infinitul deschis, dupã cum susåine Eric J. Thompson, în Maya Hieroglyphic writing, University of Oklahoma, 1960. Concepåia mayaæilor despre zero operator nu era, însã, prea clarã. La alte popoare când a apãrut zero? La chinezi, zero a apãrut în secolul al VIII-lea. În scrierea poziåionalã, ei au utilizat atât pe zero median, cât æi pe cel operativ. La indieni, ambele tipuri de zero au o formã unicã, desãvâræitã: aceea pe care o folosim æi noi. Termenul sunya, care înseamnã gol, reprezenta cifra zero la indieni. Arabii l-au tradus prin aæ-æifr, care îl evocã pe românescul cifrã, provenit din italianã – cifra; în latinã – cifra; în francezã – chiffre. Dar în Europa? Zero a fost cunoscut în Europa încã din secolul al XII-lea, o datã cu introducerea sistemului poziåional de scriere a numerelor, dar va fi recunoscut ca numãr abia în secolul al XVII-lea. De ce aæa de târziu? Din cauza mentalitãåii! Vidul era mai greu de perceput. Mi-ai vorbit cândva despre introducerea cifrelor arabe în Occident, implicit a lui zero. Arina în Åara Numerelor Oana: Arina: Oana: 163 Am noutãåi în problema asta. Ieri, tocmai am citit din cartea lui Marc-Alain Ouaknin, Mystères des chiffres, apãrutã la Paris, în 2004, æi mi-a atras atenåia o idee a autorului în legãturã cu introducerea cifrelor arabe în Occident în mod indirect, prin impactul Cruciadelor, care au influenåat mentalitatea occidentalã sã-l accepte pe zero. Cum adicã? M.A. Ouaknin susåine cã vidul a devenit posibil de a fi gândit æi a fi acceptat dupã ce cruciaåii au înåeles cã Sfântul Mormânt era gol dupã înãlåarea lui Iisus. Iatã ce scria, în 1950, cunoscutul psiholog elveåian Jean Piaget (1896-1980) în Introduction à l’épistémologie génétique. Tome I: La pensée mathématique. Îåi citez din memorie: Numãrul zero ne dã prototipul în acelaæi timp al unei conætientizãri tardive æi al unei imposibile abstracåii plecând de la obiect. Într-adevãr, este una dintre marile descoperiri ale istoriei matematicii cã a fãcut din zero un numãr, cãci dacã zero logic („nici unul“) este, fãrã îndoialã, tot atât de vechi ca æi limbajul (æi poate chiar cã „nu“ a precedat totdeauna pe „da“), au trebuit deci învinse aceleaæi dificultãåi pentru a conætientiza pe zero aritmetic ca æi pentru numãrul negativ. Or, raåiunea acestor dificultãåi apare aici foarte clar; dacã conætientizarea se ridicã de la periferie la centru, ultima dintre etapele sale va consta cu siguranåã în a realiza cã absenåa unei operaåii este încã o operaåie. Atâta timp cât se cautã numãrul în obiect, æirul numerelor începe în consecinåã cu 1. A vedea în zero pe cel dintâi dintre numere înseamnã, dimpotrivã, a face abstracåie de obiect (zero logic fiind suficient pentru a exprima absenåa lui) æi a-l extrage doar din operaåii unice, orice operaåie aditivã compusã cu inversul ei ajungând atunci la aceastã operaåie fundamentalã care este absenåa operaåiei, adicã „operaåia identicã“ 0. INTEROGAÅII VECHI ÆI NOI Numere prime E duminicã æi Arina acceptã, pânã la urmã, o plimbare cu Georgel, în parc. Dar e cam absentã æi morocãnoasã, cu toate desfãæurãrile verbale ale colegului. Georgel: Ce åi s-a întâmplat, Arina? Arina: Mai sunt douã luni pânã la concurs æi am atâtea lacune… Georgel: Pãi, vãd cã tot umbli prin biblioteci æi scoåi informaåii. Arina: Mã chinuie numerele prime. Sunt aæa de imprevizibile. Ce mai, sunt diabolice! Georgel: Nu te enerva, Arina. O sã-åi împrumut Elementele lui Euclid æi o sã gãseæti, în Cartea a VII-a, o teorie a numerelor prime între ele æi a numerelor prime absolute, iar în Cartea a IX-a câteva teoreme foarte subtile æi deosebit de frumoase, printre ele pe acelea care stabilesc existenåa unei infinitãåi de numere prime. Vom avea atunci prilejul sã le discutãm. Mai e, apoi, matematicianul, astronomul æi filosoful grec Eratostene (284-192 î.e.n), care a descoperit un procedeu de aflare a numerelor prime. Ciurul lui Eratostene este un procedeu elementar pentru aflarea numerelor naturale prime mai mici decât un numãr dat. Arina: În ce constã procedeul? Georgel: Constã în a scrie æirul numerelor naturale 1, 2, 3…, dupã care se eliminã mai întâi numerele pare, exceptându-l pe 2, care este numãr prim, apoi multiplii lui 3, Arina în Åara Numerelor 165 exceptând pe 3 æ.a.m.d. Dacã numãrul final al æirului este A, operaåia continuã pânã se ajunge la un numãr prim B, al cãrui pãtrat este superior lui A. Numerele neeliminate sunt numerele prime cãutate. Matematicienii se chinuiesc de peste douã milenii sã detecteze cât mai multe numere prime, numãrul lor fiind infinit de mare. Arina: Apropo de numerele prime, ce e cu numerele lui Fermat æi cu numerele lui Mersenne (1588-1648)? Georgel: Numerele lui Fermat, de forma 22n + 1, intervin în diviziunea cercului. Pierre de Fermat le-a calculat pe primele patru dintre ele æi a constatat cã sunt numere prime; atunci a susåinut cã toate numerele de acest tip sunt prime! Dar a greæit! Euler, care l-a calculat pe cel de al cincelea numãr, a constatat cã nu e prim, întrucât se divide cu 641! Pentru 5 < n < 16 au fost verificate toate numerele lui Fermat æi nu sunt prime. Dar matematicienii au perseverat în cãutãrile lor, ajungând la numere de lungime astronomicã. În 1945, un astfel de numãr avea aproximativ 10582 de cifre. Æi matematicienii se tot întreabã dacã o fi existând un numãr infinit de numere prime Fermat ori nu? Fermat s-a înæelat, cãci multe dintre numerele sale nu sunt prime. Dar s-a înæelat æi în alte cazuri. Arina: Adicã? Georgel: Pãi, prin 1641, a enunåat trei teoreme greæite relative la numerele prime. Cea dintâi: Nici unul dintre numerele prime de forma 12k + 1 nu este divizorul vreunuia dintre n numerele 3 + 1. A doua: Nici unul dintre numerele prime de forma 10k + 1 nu este divizorul vreunuia dintre n numerele 5 + 1. A treia: Nici unul dintre numerele prime de forma 10k – 1 nu este divizorul vreunuia dintre n numerele de forma 5 + 1. 166 Eliza Roman Æi numerele celebrului cãlugãr æi învãåat francez Marin Mersenne? Georgel: Numerele lui Mersenne de forma 2n – 1(n = 1, 2, 3...) prezintã interes deoarece cu ajutorul lor putem afla aæa-numitele numere pare perfecte. Al n-lea numãr al lui Mersenne se poate defini, de asemenea, ca suma primilor n termeni ai progresiei geometrice 1, 2, 22, 23, 24 .... Avem M1 = 1; Arina: M2 = 3; M3 = 7; M4 = 15; M5 = 31, cãci M1 = 2 1– 1; M2 = 22 – 1 = 4 – 1; M3 = 23 – 1 = 8 – 1; M4 = 24 – 1 = Marin Mersenne 16 – 1; M5 = 25 – 1 = 32 – 1. Arina: Pânã acum, care e cel mai mare numãr prim depistat? Georgel: Recordul a fost înregistrat în anul 2004, cu numãrul 2824036583, un numãr care conåine 7 235 233 de cifre. Se observã cã este un numãr al lui Mersenne, æi anume al 41-lea numãr al lui. Arina: Problema repartiåiei numerelor prime îi chinuie mult pe matematicieni. Georgel: Cei care s-au ocupat de aritmeticã, de la Euclid la Euler, s-au strãduit sã reducã, progresiv, imprevizibilitatea apariåiei numerelor prime. Arina: Æi n-au reuæit. Georgel: Au atacat problema din mai multe pãråi. Au cãutat sã determine a priori pentru oricare n care era al n-lea numãr prim: intervalul ce separã douã numere prime consecutive, cum se repartizau numerele prime în cadrul diferitelor progresii aritmetice de raåie k, în Arina în Åara Numerelor 167 sfâræit, care era numãrul numerelor prime mai mici decât un numãr dat. Æi aæa, de-a lungul timpului, au fost demonstrate o seamã de supoziåii celebre, dar au rãmas încã multe chestiuni neelucidate. În 1974, Jones P. James a dat un polinom cu 26 de nedeterminate, cu coeficienåi întregi a cãror mulåime a valorilor pozitive este exact mulåimea numerelor prime. Numerele acestea nu figureazã, însã, în ordine æi fiecare dintre ele apare de o infinitate de ori. Arina: Interesant! Georgel: Interesantã e æi afirmaåia cã pentru orice întreg n > 1 existã cel puåin un numãr prim cuprins între n æi 2n. Conjecturatã de Joseph Louis François Bernard (18221900), afirmaåia a fost demonstratã în 1851 de Pafnuti Livovici Cebîæev (1821–1894). Arina: Am citit despre aæa-zisa lege asimptoticã a numerelor prime. Gauss æi confratele sãu francez Adrien Marie Le Gendre (1752-1833) au presupus acum mai bine de 200 de ani cã dacã π reprezintã numãrul numerelor prime mai mari sau egale cu x, atunci x log x În 1896, matematicianul francez Jacques Hadamard (1865-1963), membru de onoare al Academiei Române, æi matematicianul belgian Charles-Jean Gustave Nicolas de la Valée Poussin (1866-1962) au dat o primã demonstraåie a acestei legi. Existã æi o demonstraåie mai recentã, datoratã unui compatriot al nostru, Mihnea Moroianu, pe care o dezvoltã în studiul Teoria numerelor prime, din volumul Analiza complexã. Aspecte clasice æi moderne, apãrut în 1988, π ( x) ≅ Arina: 168 Eliza Roman la Editura Ætiinåificã æi Enciclopedicã. În demonstraåia analiticã a legii asimptotice, Mihnea Moroianu utilizeazã proprietãåile funcåiei zeta a lui Riemann, ∞ definitã pentru Re z > 1 prin relaåia: ζ (z ) = ∑ n =1 1 n2 Georgel: Sunt o mulåime de descoperiri pe care le-au fãcut matematicienii æi care, cu siguranåã, te vor interesa. Bunãoarã, existã æiruri de numere prime care conåin progresii aritmetice. Arina: De exemplu? Georgel: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089, progresie de zece termeni de raåie 210. În anii ’90 ai secolului trecut, matematicienii au emis ipoteza unor progresii aritmetice lungi formate din numere prime. Arina: Æi ce e cu numerele prime gemene, de felul: p æi p + 2, unde p este un numãr prim? Georgel: Întrebarea este dacã aceste numere sunt infinit de multe. Ipoteza care afirmã infinitatea unor astfel de cupluri nu a fost demonstratã. Frecventele demonstraåii propuse sunt repede invalidate. Totuæi, existã o consolare: în 1989, matematicianul budapestan Antal Balog a obåinut un rezultat satisfãcãtor în cazul câtorva æiruri, printre care (p, p + 2, p + 6), un fel de „bãnuialã generalizatã“. Îåi mai semnalez un fapt: în 1885, Viggo Brun a afirmat cã seria: 1 1 1 1 1 1 1 1 ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) +, 17 19 11 13 5 7 3 5 în care numitorii parcurg mulåimea numerelor gemene, este convergentã, pe când seria 1 1 1 + + + .... este divergentã atunci când numitorii 3 5 7 parcurg numerele prime. Arina în Åara Numerelor 169 Ipoteza lui Riemann – problema mileniului Georgel: Problema obsedantã a imperiului numerelor prime este aceea a repartiåiei lor. Dupã cum se ætie, ea dateazã din Antichitate. În 1859, folosind o funcåie denumitã ζ (zeta), matematicianul german Bernhard Riemann (1826-1866) a propus o repartiåie pentru numerele prime. De aproape un secol æi jumãtate aceastã ipotezã focalizeazã interesul celor mai mulåi matematicieni. Aceasta pare sã fie cea mai importantã teoremã a teoriei numerelor. Ætim cã ζ (s) = 1 + 1s + 1s + 1s +… 1 2 3 4 Arina: Cunosc formula lui Riemann. Georgel: Sã vedem ce reprezintã aceastã funcåie ζ. Profit de faptul cã am agenda la mine æi o sã-åi notez ceea ce îåi spun. Propun sã intrãm în parc æi sã stãm pe o bancã. Deci: fie k corpul numerelor raåionale. Pe acest corp, ∞ 1 s , unde n parcurge n =1 n toåi întregii mai mari decât 0 din k æi unde s este o variabilã complexã, a cãrei parte realã este totdeauna mai mare decât 1. Aceastã funcåie mai admite o reprezentare sub formã de produs: Riemann a definit funcåia: f (ζ ) = ∑ ζ (s ) = π 1 1− 1 ps , unde p parcurge toate numerele prime din k. Deci, existã o legãturã strânsã care uneæte funcåia ζ (s ) de repartiåia numerelor prime p din corpul k. 170 Eliza Roman În acest fel, Riemann a putut construi o funcåie F(x), care dã numãrul numerelor prime inferioare unui numãr pozitiv arbitrar. Arina: Æi, evident, formula lui Riemann n-a fost demonstratã. Georgel: Ea se bazeazã pe ipoteza foarte precisã privind amplasarea zerourilor acestei funcåii. Frecvent, apar pe siteurile Internetului ecourile unor posibile demonstraåii care, foarte curând, se dovedesc a fi eronate. Dar aura de senzaåional a problemei centrale din câmpul teoriei numerelor este fascinantã. Deæi n-a putut fi demonstratã, teorema constituie o inepuizabilã sursã de inspiraåie pentru cercetare. Rezultatele colaterale, neaæteptate, apar continuu, în ciuda permanentului eæec al demonstraåiei ei. Arina: Acum câteva zile, am citit despre un rezultat interesant de acest fel. Este vorba despre bãnuiala matematicianului chinez Jincrut Chen (1933-1996), cã existã o infinitate de numere prime, astfel ca p+2 sã fie sau prim sau produsul a douã numere prime. Teorema a fost demonstratã cu ajutorul funcåiei ζ de cãtre matematicianul rus P.I. Cebîæev. De altfel, funcåia ζ este prototipul unei familii foarte generale de funcåii, care intervine în teoria numerelor. Georgel: Ipoteza lui Riemann a fost testatã pentru valori numerice din ce în ce mai mari pe calculator, dar degeaba, tot nedemonstratã a rãmas. Bernhard Riemann Arina: Îåi mãrturisesc, Georgele, cã eu sunt fascinatã de personalitatea lui Riemann. A fost cel mai romantic dintre marii matematicieni! Pasiunea Arina în Åara Numerelor 171 cunoaæterii æi genialitatea l-au fãcut, în ciuda unei constituåii fizice fragile, sã reuæeascã performanåe revoluåionare, sã creeze geometria care îi poartã numele, folositã de Einstein în teoria relativitãåii, sã se numere printre fondatorii topologiei moderne, sã aducã strãlucite contribuåii la analiza matematicã æi la teoria numerelor. Marea provocare a lui Gödel Pentru moment, discuåia se opreæte aici. Numai pentru moment, fiindcã Arina îi propune, curtenitor, lui Georgel, o nouã întâlnire, eventual la sfâræit de sãptãmânã. Pânã atunci, va consulta noi titluri æi va medita pe îndelete asupra atâtor chestiuni în suspensie. Duminicã dupã-amiazã, cei doi prieteni reiau dialogul. Georgel: Bunã, Arina, te-ai mai clarificat? Arina: Încerc sã mã documentez cât mai amãnunåit, la bibliotecã. Georgel: Apropo, uitându-mã prin biblioteca mea, am gãsit un raport al lui David Hilbert despre teoria numerelor algebrice – numere care sunt rãdãcinile unui polinom cu coeficienåi raåionali. Matematicianul german l-a întocmit la cererea Societãåii de Matematicã din Germania, în 1897. Raportul este o prezentare magnificã a problemei æi o sursã de inspiraåie pentru specialiæti. Aflã cã Hilbert stabileæte axiomatizarea completã a geometriei æi susåine cã necontradicåia axiomelor geometriei se bazeazã pe necontradicåia aritmeticii, în care avea o credinåã oarbã. Era sigur cã formalizarea completã a matematicii „va înlãtura definitiv orice îndoialã asupra perfectei siguranåe a raåionamentului matematic“. 172 Arina: Georgel: Arina: Georgel: Arina: Georgel: Arina: Georgel: Eliza Roman Hilbert a încercat sã demonstreze cã matematica ar putea fi fundamentatã definitiv dacã, operându-se cu simboluri matematice, n-ar apãrea contradicåii formale. Ca de pildã 0 = 1! A aplicat ideea la geometria euclidianã, reducând contradicåia geometricã la cea a aritmeticii. Evident cã a fost un eæec, fiindcã necontradicåia s-a arãtat cã nu poate fi demonstratã nici pentru aritmeticã. De fapt, matematicienii – de la greci pânã la Hilbert – fuseserã ferm convinæi cã: a. problemele aritmeticii au un rãspuns adevãrat æi unul singur, restul fiind obligatoriu fals; b. trebuie sã existe o cale sigurã pentru a descoperi aceste adevãruri; c. aceste rãspunsuri, o datã gãsite, trebuie sã fie compatibile între ele æi sã formeze un tot. Iluzii! Ambiåios, Hilbert declara: „Noi vom æti! Noi trebuie sã ætim!“. Ce naiv! Genialul Kurt Gödel (1906-1978), logician æi matematician american de origine austriacã, a scos în evidenåã, prin teoremele sale de incompletitudine, caracterul deschis al cunoaæterii matematice. Gödel a arãtat cã, dacã se stabilesc regulile de inferenåã æi un numãr finit de axiome, existã aseråiuni precis formulate pentru care nu se poate demonstra nici cã sunt adevãrate, nici cã sunt false. Ne confruntãm cu ceea ce se numeæte indecidabilitate! Kurt Gödel Realizãm cã nu este posibil sã dobândim toate adevãrurile despre adunare, înmulåire, æirul numerelor întregi deducându-le din cele câteva axiome pe care se bazeazã aritmetica. Arina în Åara Numerelor 173 Am citit despre faimoasele teoreme de incompletitudine enunåate acum 75 de ani, care au produs marea crizã a fundamentelor matematicii. Prima teoremã de incompletitudine a lui Gödel legatã de incompletitudinea sistemelor formale afirmã cã un sistem suficient de bogat æi corect este incomplet. Cea de a doua teoremã de incompletitudine, legatã de imposibilitatea demonstrãrii necontracåiei sistemului formal prin mijloacele sistemului însuæi, afirmã cã dacã T este un sistem suficient de bogat æi consistent, atunci formula care afirmã consistenåa lui T este nedemonstrabilã în T. Chiar æi problema opririi unui program în informaticã este una indecidabilã! Georgel: Kurt Gödel a arãtat, pe de o parte, cã oricãrei axiomatici i se poate ataæa o ecuaåie pentru care este imposibil sã se decidã dacã are sau nu soluåie în cadrul sistemului de axiome alese æi, pe de altã parte, cã alt sistem de axiome permite sã se decidã dacã o astfel de soluåie existã sau nu. Deci axiomaticele sunt incomplete. De aici, o interesantã idee a matematicianului de origine argentiniano-americanã Gregory Chaitin (n. 1947), pe care am reåinut-o din revista „La Recherche“, apãrutã la Paris, în decembrie 2003. Acesta sugereazã cã numãrul axiomelor aritmeticii ar putea creæte mult. „E posibil, de exemplu – scrie Chaitin –, ca vechi probleme nerezolvate, precum aceea de a æti dacã existã o infinitate de numere prime gemene (numere impare separate de un numãr par), sã fie numãrate printre axiome. În acest caz, existenåa unei infinitãåi de numere prime gemene este adevãratã æi nedemonstrabilã. Poate cã ipotezele mult mai complexe, precum aceea a lui Riemann, vor trebui sã fie considerate axiome“. Arina: 174 Eliza Roman Arina: Sã nu fim nedrepåi cu Hilbert. Æi giganåii mai greæesc! Georgel: Într-adevãr, rolul lui Hilbert în orientarea cercetãrii matematice a fost covâræitor. La Congresul Internaåional de Matematicã åinut la Paris în anul 1900, el a propus 23 de probleme cruciale în orientarea cercetãrilor matematice. Era încã posibil ca un singur om sã îmbrãåiæeze ansamblul matematicii. Evident cã nu toate problemele acestea au acelaæi statut. Unele pot fi calificate „probleme mari“, altele particulare. Astfel, problema a X-a, care priveæte rezolvarea ecuaåiilor în numere întregi, conåine, de fapt, toate chestiunile matematice a cãror formulare poate fi adusã la o ecuaåie algebricã, aæa cum a arãtat I. Matiasevici, în anul 1970. Arina: O sã te minunezi cã mi-am extras date în problema asta. Îmi amintesc enunåul lui Hilbert. Sã åi-l citesc: „Se ætie cã o ecuaåie diofanticã este o ecuaåie algebricã cu coeficienåi întregi, pentru care se cautã rãdãcini numai numere întregi. Dintre acestea, cea mai des întâlnitã este ecuaåia xn + yn = zn, despre care P. Fermat a afirmat cã nu are rãdãcini întregi pentru n ≥ 3 “. Este celebra teoremã a lui Fermat, enunåatã în 1637, care a fost rezolvatã în 1993 de matematicianul englez Andrew Wiles (n. 1953). Cea de a X-a teoremã a lui Hilbert a fost rezolvatã mult mai rapid, doar dupã 70 de ani. În 1970, Matiasevici a arãtat, în mod neaæteptat, cã nu existã un astfel de algoritm, ecuaåiile diofantice constituind o clasã nedecidabilã (pentru care nu se poate arãta nici dacã sunt adevãrate, nici dacã sunt false). Rezultatul acesta are consecinåe curioase æi profunde, multe probleme putând fi reduse la determinarea rezolvãrii sau nerezolvãrii unor ecuaåii diofantice. Arina în Åara Numerelor 175 Georgel: Vãd cã åi-a priit biblioteca. Arina: Am extras æi eu problemele privind numerele din lista lui Hilbert. Unele au fost rezolvate, ca, de pildã, problema a X-a sau problema a VII-a, care cerea stabilirea transcendenåei unor numere. Altele, însã, sunt în aæteptare, cum este cazul problemei a VIII-a, care cere sã se studieze distribuåia numerelor prime æi, în particular, sã se demonstreze ipoteza lui Riemann. Legenda lui Fermat Arina: Pierre de Fermat – botezat „Prinåul amatorilor de matematicã“ – a reprezentat, întradevãr, o legendã în istoria matematicii. Contribuåiile lui, fãrã finalitate lucrativã, reprezentau „distracåiile“ lui, profunda lui dragoste pentru matematicã. Opera sa a exercitat o atracåie irezistibilã timp de secole, pânã în zilele noastre, æi l-a inclus printre marii matematicieni ai lumii. În teoria numerelor, „teoremele sale de aritmeticã“ sunt importante, Pierre de Fermat printre altele, deoarece sugereazã cercetãri în aritmeticã æi, în general, în matematicã æi pentru cã se dovedesc universale din mai multe puncte de vedere. Fermat a enunåat foarte multe teoreme despre numerele prime, obiænuind sã le noteze pe marginea cãråii lui Diofant, fãrã a da demonstraåia acestora. De o extremã simplitate æi frumuseåe, ele au incitat spiritele matematicienilor, care s-au chinuit sute de ani sã le demonstreze. 176 Eliza Roman Georgel: Acum sã-åi spun æi eu, Arina: la timpul sãu, Fermat a susåinut cã rãdãcinile ecuaåiei xn + yn = zn, unde n este un numãr natural egal sau mai mare decât 3, nu pot fi numere întregi. Au urmat trei secole æi jumãtate de încercãri zadarnice pentru a se ajunge la demonstraåia acestei supoziåii. Arina: Totuæi, în decursul vremurilor, au fost rezolvate cazuri particulare. Fermat a demonstrat teorema pentru n = 4, Leonhard Euler pentru n = 3, Adrien Marie Le Gendre æi germanul Gustav Lejeune Dirichlet pentru n = 5, inginerul francez Gabriel Lamé pentru n = 7, Ernest Eduard Kummer pentru toate puterile pânã la 100, excepåie fãcând 37, 59 æi 67, performanåã pentru care a primit Marele Premiu al Academiei Franceze. Georgel: Au fost enunåate æi rezolvate, în paralel, alte probleme matematice, ca, de pildã, de cãtre matematiciana francezã Sophie Germain (1776-1831). De numele ei se leagã demonstrarea imposibilitãåii rezolvãrii teoremei lui Fermat dacã x, y æi z nu sunt divizibili printr-un numãr prim impar. Tot ea i-a furnizat lui Le Gendre, pentru cea de a doua ediåie a Teoriei numerelor (1825), multe teoreme interesante. Un rezultat paralel mai recent se datoreazã lui G. Falting, care, în 1983, arãta cã ecuaåia lui Fermat nu are pentru p > 5 decât un numãr finit de soluåii fãrã divizori comuni. Arina: Æi mai recent, în iunie 1993, Andrew Wiles, cercetãtor britanic, care lucra la Universitatea Princeton din S.U.A., a anunåat demonstrarea unei ipoteze centrale a matematicii contemporane numite Shimura-Taniyama. Se ætia, încã din 1986, cã aceastã ipotezã antreneazã demonstrarea teoremei lui Fermat. În timp, s-au adunat numeroase rezultate care veneau în sprijinul lui Arina în Åara Numerelor 177 Wiles. El citeazã, în studiul sãu, peste 60 de lucrãri. La colocviul de la Cambridge din 1993, unde avea sã prezinte pentru prima oarã propriile sale cercetãri, Wiles a precizat „cele trei tipuri de obiecte ale sale: curbele eliptice, formele modulare æi reprezentãrile galoise“. Evident, evenimentul a provocat mare vâlvã. Lui Wiles i-au mai trebuit câåiva ani pentru ælefuirea teoremei. E foarte greu de urmãrit, æi eu nu am suficiente cunoætinåe matematice, îmi trebuie o pregãtire specialã ca sã înåeleg cele trei tipuri de obiecte pe care le-am menåionat. Deocamdatã, mã resemnez sã iau aceæti termeni ca pe niæte „fiinåe matematice“ importante. Georgel: Nici o problemã, Arina, peste câåiva ani, când o sã devii studentã, o sã înåelegi terminologia æi demonstraåia. Conjecturi nãbãdãioase Trebuie sã-åi mãrturisesc, Georgele, cã mã incitã aæanumita conjecturã a lui Goldbach. Georgel: Conjectura lui Goldbach! Termenul conjecturã, atât de frecvent folosit de matematicieni, provoacã iritare printre nematematicieni. „Conjectura“ seamãnã, ca sonoritate, cu „conjunctura“, dar e cu totul altceva. Conjectura reprezintã termenul îndrãgit de matematicieni pentru a desemna bãnuiala. Se pomenesc conjecturile lui Fermat, Gauss, Le Gendre, Chen æ.a. De fapt, bãnuielile constituie un ferment eficient al descoperirilor matematice. Un mare matematician contemporan, francezul de origine germanã Alexander Grothendieck (n. 1928), ale cãrui rezultate, noåiuni, metode constituie o etapã decisivã în dezvoltarea matematicii contemporane, Arina: 178 Eliza Roman datoritã profunzimii ideilor sale, ingeniozitãåii tehnicilor utilizate æi nivelului ridicat de generalizare a abordãrilor, spunea aæa de frumos: „Simplul fapt de a descrie intuiåii aluzive sau simple bãnuieli are putere de transcendere“. Dar ce pare aæa de incitant în întrebarea lui Christian Goldbach (1690-1767) dacã este posibil sã scriem „orice numãr par ca rezultat al adunãrii a douã numere prime? “. Arina: Pãi, interesantã este cursa ameåitoare a matematicienilor pentru aflarea adevãrului. Cursã care o aminteæte pe cea desfãæuratã pentru obåinerea unui numãr cât mai mare de zecimale ale lui π . Georgel: Conjectura aceasta semnalatã lui Euler de cãtre Goldbach, într-o scrisoare din 7 iunie 1742, i-a adus acestuia din urmã celebritatea. Arina: Æi de atunci conjectura nu a fost încã demonstratã. Nu e greu de gãsit cupluri de numere prime care sã constituie o partiåie Goldbach a unui numãr par. De exemplu (5, 7) æi 12 sau (11, 13) æi 24, fiindcã 12 = 5 + 7, iar 24 = 11 + 13. Aæa au început încercãrile. În 1855, matematicianul francez A. Deboves a condus o cercetare exhaustivã pe 10 000 de numere prime. Iar începând din 1940, cu ajutorul calculatorului, au fost testate din ce în ce mai multe numere. Milionul a fost depãæit în anul 1964, iar miliardul în 1989. În octombrie 2003, Thomas Oliveiro e Silva, cu echipa lui de la Universitatea Alveino (Portugalia), a bãtut ultimul record, mergând mult mai departe, pentru 6x1016 (6 urmat de 16 zero)!! Æi se zvonea cã se pregãteæte analiza a 1018 numere! Apropo, despre ipoteza lui Ghilbrealh ai auzit? Arina în Åara Numerelor 179 Georgel: Am auzit câte ceva. N. Ghilbrealh a emis, în 1958, urmãtoarea ipotezã: Dacã scriem æirul numerelor prime consecutive, apoi, dedesubt, în primul rând, æirul diferenåelor consecutive dintre numerele prime, în rândul urmãtor æirul valorilor absolute ale diferenåelor dintre termenii consecutivi din rândul al doilea æ.a.m.d., atunci primul termen din fiecare rând va fi 1. Am la mine schema. Fig. 41. Conjectura lui N. Ghilbrealh (Reprodus dupã: W. Sierpinski, Ce ætim æi ce nu ætim despre numerele prime, Bucureæti, Editura Ætiinåificã, 1966, p. 31) Georgel: Ipoteza a fost verificatã, în 1959, pentru primele 63 418 rânduri de cãtre R.B. Killgrove æi K.E. Ralston. Dar W. Serpinski susåinea cã nu existã încã o demonstraåie a acestei ipoteze. Fiinåe matematice magice Dupã douã zile de studiu æi clarificãri, Arina æi Georgel se revãd. Georgel: Cum te-ai distrat ieri, Arina? 180 Eliza Roman M-am distrat cu pãtrate magice formate din numere prime. Ætii ce sunt pãtratele magice? Georgel: Uite cã nu prea. Arina: Un pãtrat magic este un tablou pãtrat compus din n2 numere naturale diferite, aæezate în n linii æi n coloane, iar sumele numerelor care se obåin de pe orice linie, coloanã sau diagonalã sunt egale între ele. Georgel: Fascinant! De când sunt cunoscute? Arina: Încã din Antichitate. Astrologii din China, Japonia, India æi din åãrile învecinate acestora le considerau binefãcãtoare. De unde moda de a le imprima pe tãbliåe de metal, pentru a fi purtate ca amulete. Aæa se explicã originea numelui lor. Ulterior, au început sã-i intereseze æi pe matematicieni, stârnindu-le spiritul ludic. Georgel: Dã-mi un exemplu de astfel de pãtrat. Arina: Unul „mititel“, format din nouã numere prime: Arina: 67 13 31 1 37 73 43 61 7 Georgel: Stai sã verific. 67+1+43 =111; 13+37+61=111; 31+73+7=111 67+13+31=111 1+37+73=111 43+61+7 =111 67+37+ 7=111 43+37+31=111 Da. Peste tot, aceeaæi sumã: 111. Arina: Sã-åi mai dau un exemplu de pãtrat magic, tot cu 9 numere prime. Iatã-l: 569 239 269 59 359 659 449 479 149 Arina în Åara Numerelor 181 Georgel: Facem æi aici verificarea: 569+ 59 + 449 = 1077 239+359+ 479 = 1077 269+ 659+ 149 = 1077 569+ 239+269 = 1077 59+359+ 659 = 1077 449+ 479+ 149 = 1077 569+ 359+149 = 1077 449+359+ 269 = 1077 E perfect! Arina: Nu e greu de calculat un pãtrat magic, ci doar de construit. Fermat a avut o adevãratã pasiune pentru pãtratele magice. La moartea lui, s-au gãsit 14 caiete æi multe foi volante pline cu pãtrate magice. De altfel, într-o scrisoare cãtre Mersenne, a mãrturisit cã nu cunoaæte „nimic mai frumos în Aritmeticã decât aceste numere, pe care unii le numesc «planetarios», iar alåii «magicos»“. Georgel: Æi sunt multe pãtrate magice? Arina: A fost emisã ipoteza cã pentru orice numãr natural n > 3 existã o infinitate de pãtrate magice, care sunt formate din n2 numere prime diferite. Nu ætiu dacã s-o fi demonstrat ipoteza. Æi, ca sã-mi etalez „erudiåia“, o sã-åi spun câte ceva æi despre cuburile magice. Georgel: Æi cuburile magice se cunosc din vremurile de demult? Arina: Cuburile magice îi pasioneazã pe matematicieni doar de vreo trei secole æi ceva. Pentru prima oarã, Fermat abordeazã subiectul în 1640, într-o scrisoare cãtre Mersenne. În secolul al XVIII-lea, Leibniz se intereseazã, la rândul lui, de cuburile magice. Fiecare propunea o definiåie. Georgel: Æi care e definiåia acceptatã în prezent? Arina: Un cub magic de ordinul n reprezintã o stivuire de n pãtrate de ordinul n, care conåine toåi întregii de la 1 la n3, astfel încât suma numerelor oricãrei coloane, linii orizontale, linii verticale sau marea diagonalã este totdeauna aceeaæi. Atunci, însã, când diagonala pãtratelor paralele feåelor 182 Eliza Roman cubului dau, de asemenea, suma magicã a liniilor, coloanelor, coloanelor verticale æi a marilor diagonale, cubul se numeæte cub magic perfect. În prezent, matematicienii se joacã cu aceste cuburi magice perfecte. Numerele prime æi criptografia Georgel: Eu unul m-am amuzat citind despre criptografie. Arina: Te preocupã descifrarea secretelor, spionajul, trecerea prin zid? Georgel: Nu râde, Arina. Azi, metoda cheilor secrete e la îndemânã. Procedeele moderne cele mai eficace se bazeazã pe criptografia matematicã. Æi, ironia soråii, pe folosirea numerelor întregi æi, în particular, a numerelor prime! Arina: Glumeæti, Georgele! Georgel: Absolut deloc. Aæa-numita metodã a cheilor publice se bazeazã, în esenåã, pe urmãtoarea problemã: fiind date douã numere p æi q destul de mari (de exemplu, având în jur de 100 de cifre fiecare), produsul lor pq poate fi uæor calculat cu computerul. În schimb, nu se cunoaæte metoda care sã permitã regãsirea lui p æi q pornind de la pq. Deoarece nu se cunoaæte metoda de aflare a numerelor prime care compun un produs de numere prime, se pare cã tocmai aceastã lipsã asigurã securizarea tranzacåiilor pe Internet. Iatã cheia! Numere aproape prime Georgel: Dar despre numerele aproape prime ai citit, Arina? Arina: Din pãcate, nu! Georgel: Un numãr aproape prim este un numãr compus pentru Arina în Åara Numerelor 183 care suma exponenåilor numerelor prime ce-l alcãtuiesc are o limitã superioarã mãrginitã. Dacã aceastã limitã este 1, numãrul este prim. Au fost obåinute douã teoreme: a. Existã o infinitate de perechi formate dintr-un numãr prim æi un numãr aproape prim a cãror diferenåã este 2; b. Orice numãr prim suficient de mare este suma unui numãr prim æi a unui numãr aproape prim. Arina: Sã revenim la numerele prime. Au fost descoperite multe proprietãåi ale acestora: orice numãr impar este suma a trei numere prime, orice numãr întreg se poate obåine prin adunarea unor numere prime al cãror numãr e mãrginit etc., etc. Dar mai sunt atâtea rãmase fãrã rãspuns. Georgel: Æi împãtimiåii cautã armoniile din spatele haosului numerelor prime – temelia puternicã a tuturor numerelor. Jincrut Chen a susåinut cã orice numãr întreg suficient de mare este suma unui numãr prim æi a unui numãr aproape prim. Rezultatul acesta este foarte învecinat cu Conjectura lui Goldbach, iar Iwaniec æi Richert au afirmat cã existã o infinitate de întregi n, astfel încât n2 + 1 sã fie aproape prim. Arina: Oare a avut dreptate matematicianul maghiar Paul Erdös (1913-1996) – cunoscut pentru numeroasele lui idei strãlucite – când a spus, înainte de a muri: „Va trebui sã mai aæteptãm un milion de ani înainte de a înåelege numerele prime“? Georgel: Teoria numerelor prime este, în principal, o creaåie a secolului al XIX-lea. De fapt, ea debuteazã cu aplicarea metodelor de analizã matematicã la problemele din teoria numerelor. În 1737, Euler a dat o nouã demonstraåie, în urma lui Euclid, a infinitãåii numerelor prime. Era cea dintâi încercare de apropiere a aritmeticii 184 Arina: Eliza Roman (studiul cantitãåilor discontinue) de analiza matematicã (studiul cantitãåilor continue). Prima demonstraåie a teoriei fundamentale a aritmeticii: Orice întreg pozitiv poate fi scris ca produsul a douã numere prime, a apãrut la începutul secolului al XIX-lea în Disquisitiones Mathematical, datoratã lui Gauss. Contribuåiile din anii 1837-1839, ale matematicianului german Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), în care se aplicã analiza matematicã la teoria numerelor, au marcat o adevãratã revoluåie în teoria numerelor prime. În sfâræit, descoperirile ulterioare, din secolele al XIX-lea æi al XX-lea, au impulsionat mult dezvoltarea teoriei numerelor prime. Dupã concurs, când voi avea mai mult rãgaz, va trebui sã mã pun la punct cu toate aceste contribuåii. Deocamdatã, m-am ales cu o concluzie importantã. Acum mi s-a fãcut foame. Hai la masã. Fiæierul problemelor celebre Georgel: Eæti o veritabilã documentaristã, Arina. Åi-ai fãcut un fiæier de invidiat al problemelor celebre. Arina: Al problemelor celebre din teoria numerelor. Georgel: Æi cum l-ai organizat? Arina: Dupã criteriul alfabetic. Am fiæe pentru Teorema lui Dirichlet a progresiilor aritmetice æi pentru Marea teoremã a lui Fermat, ca æi pentru Legea asimptoticã a numerelor, de Gauss æi Le Gendre. Am scos note despre Teorema lui Gauss a celor 3 pãtrate. Adicã un numãr natural m se poate scrie ca sumã a 3 pãtrate de Arina în Åara Numerelor 185 numere naturale dacã æi numai dacã m ≠ 4a(8n + 7), pentru a, n ∈ N ) – teoremã care a fost demonstratã. Georgel: Despre Riemann, nimic? Arina: Despre ipoteza lui Riemann am chiar foarte mult material, cules în ultimul an. Am fãcut fiæe pentru Teorema lui H.F. Scherk (existã o alegere a semnelor „+“ „–“, astfel încât sã aibã loc urmãtoarele egalitãåi: p2n = 1 ± p1 ± p2 ± p3 ± … ± p2n-2 ± p2n-1 p2n+1 = 1 ± p1 ± p2 ± p3 ± … ± p2n-1 ± p2n, pentru n ∈ N*, unde pn semnificã al n-lea numãr prim. Acest rezultat, conjecturat de Scherk în 1830 æi a fost demonstrat în 1928 de cãtre S.S. Pillar). Apoi, fiæe pentru Teorema lui Schnirelman (Existã un numãr natural s, astfel încât orice numãr natural mai mare sau egal cu 2 se scrie ca suma a cel mult s numere prime, nu neapãrat distincte. Teorema a fost demonstratã în anul 1933). În sfâræit, am redactat fiæe pentru Teorema lui Waring. Georgel: Adicã? Arina: Matematicianul englez Eduard Waring (1734-1798) a formulat, în anul 1770, urmãtoarea conjecturã: Orice numãr este suma a cel mult 4 numere pãtratice, a cel mult 9 numere cubice, a cel mult 19 numere bipãtratice etc. Au fost necesari 200 de ani pentru a se demonstra aceastã conjecturã. Descompunerea în numere la puterea a doua (exemplu: 7 = 22 + 12 + 12 + 12 = 4 + 1 + 1 + 1) a fost demonstratã în 1770 de cãtre matematicianul francez Louis Lagrange (1736-1813), iar descompunerea în numere la puterea a treia a fost demonstratã de matematicianul german Weiferich, în 1909. Georgel: Æi pentru puteri mai mari? Arina: Fapt curios, pentru puterile mai mari demonstraåiile au fost mai uæoare. Datoritã, bunãoarã, contribuåiilor lui 186 Eliza Roman David Hilbert, precum æi ale matematicienilor englezi Geodfrey Harold Hardy (1877-1947) æi George Edenson Littlewood (1885-1977), descompunerile numerelor la puteri egale sau superioare lui 6 au putut fi demonstrate în epoca interbelicã. Cazul referitor la puterea lui 5 a fost dovedit de cãtre Jincrut Chen în anii ’60. Rãmânea doar descompunerea în numere bipãtratice de felul 79 = 24 + 24 + 24 + 24 + 14 + 14 + 14 + ……. +14 = 16 x 4 + 1 x 15 = 64 + 15, unde numerele puteau fi descompuse în 19 numere bipãtratice. Folosind calculatorul, J.J. Deshouillers æi Fr. Dress au demonstrat teorema în 1986, la Universitatea din Bordeaux. Pot, oare, numerele sã asigure onestitatea? Gabriel: Alo, Arina? Am un text care mi se pare deosebit de interesant; ceva legat de numere. Pot sã vin sã åi-l arãt? Arina: Sigur. Sunt curioasã sã-l vãd. Dupã o orã, cei doi se întâlnesc. Gabriel: Este vorba despre textul unei comunicãri prezentate la Congresul Internaåional al Matematicienilor de la Beijing, pe 22 august 2002, de cãtre Mary Poovey, director la Institute for the History of the Production of Knowledge de la Universitatea din New York. Arina: Æi care e titlul comunicãrii? Gabriel: E, pur æi simplu, incitant: Pot, oare, numerele sã asigure onestitatea? Aæteptãri nerealiste æi scandalul bilanåului S.U.A. Arina: Sunã tare! Gabriel: Mary Poovey subliniazã impactul noii axe de putere. Arina în Åara Numerelor Arina: Gabriel: Arina: Gabriel: Arina: Gabriel: Arina: Gabriel: Arina: Gabriel: Arina: 187 Evident, este vorba despre axa puterii financiare. Aceastã axã are multe dimensiuni, multe cauze æi efecte. Autoarea se mulåumeæte, în eseul sãu, sã discute doar ceea ce analiætii numesc finanåializare, cãreia îi spune culturã financiarã. Detaliazã, te rog! Mary Poovey abordeazã câteva dintre procedeele numerice æi matematice pe care le foloseæte cultura financiarã în scopul reorganizãrii relaåiei dintre valoare æi temporalitate. Valoare æi temporalitate! Marfã! Transpunând în numere æi ecuaåii concepte precum riscul, aceastã culturã genereazã o nouã formã a valorii, care produce uriaæe profituri celor ce stãpânesc regulile jocului æi uriaæe pierderi celor nepricepuåi. Care este punctul de pornire a lui Mary Poovey? O observaåie obiectivã de naturã istoricã, æi anume: cultura emergentã a finanåei diferã faåã de economia de producåie. În ce sens? În sensul cã finanåele genereazã profituri primare prin investiåie, prin miæcarea æi comeråul cu valuta, precum æi prin stabilirea de pariuri complexe în ceea ce priveæte creæterea sau scãderea preåurilor. Este evidentã deosebirea faåã de economia de producåie, care genereazã profituri prin transformarea puterii de lucru în produse, iar acestea au preåuri æi sunt schimbate la piaåã. Într-adevãr, contrastul pare viguros. Dar economia de producåie este puternicã în foarte multe state. Se observã, însã, schimbãri în direcåia noii situaåii. De pildã, în S.U.A., dupã anul 2000, profiturile financiare au depãæit profiturile obåinute de manufacturã. Pe ce instrumente pune accentul Mary Poovey? 188 Eliza Roman Gabriel: Pe reprezentãri æi pe configuraåiile bilanåului. Arina: Eu ætiu ce pondere mare au reprezentãrile în sociologie, dar în finanåe? Gabriel: Reprezentãrile propulseazã dinamica operaåiilor financiare. Uneori, ele înlocuiesc schimbul, iar alteori o reprezentare de moment constituie ceea ce conteazã în schimbul însuæi. Combinaåia reprezentãrii cu schimbul produce tot felul de efecte materiale, fiindcã atunci când reprezentarea poate influenåa sau chiar poate lua locul schimbului, valorile mizei devin, de asemenea, noåionale, iar profitul creæte exponenåial sau poate intra în colaps la o loviturã abilã. Arina: Iatã-ne pe un teritoriu cu tendinåe abstracte! Gabriel: De aceea, poate intra în joc matematica. Ea e cea care va duce abstractizarea la o cotã mai ridicatã. Pentru a descrie schimbul cu ajutorul numerelor, trebuie sã fie abstractizate unele trãsãturi care pot fi cuantificate æi, la rândul lor, marginalizate altele care nu pot fi cuantificate. Acesta este momentul în care ecuaåiile rulate pe calculator de cãtre programe software devin mai importante decât schimburile, care s-ar fi putut realiza în alte condiåii în timp æi spaåiu. Calculele sunt cele care stabilesc valoarea. Arina: Aceastã valoare e noåionalã. Æi are calitatea cã poate fi oricât de mare. Poate depãæi chiar toatã valuta existentã!! Gabriel: Întreaga analizã pe care o face Mary Poovey se bazeazã pe date culese din S.U.A. Ea se referã la: comeråul zilnic, opåiunile stocului, marcarea bilanåului de pe piaåã, ajustarea rezervei de datorii pãgubitoare, derivativele æi caracteristicile lor adiåionale. Arina: Nu înåeleg nimic. Gabriel: Ascultã-mã cu rãbdare. O iau pe felii: Arina în Åara Numerelor 189 1. Comeråul zilnic – Un investitor îæi creeazã o imagine pur noåionalã asupra viitorului sãu, pentru a se îmbogãåi pe moment. În aceastã situaåie, cumpãrãtorii de acåiuni lucreazã printr-o companie on-line, stârnindu-i pe alåi investitori sã cumpere din stoc, în mod anonim sau prin Internet. Cum manevra lor dã roade, alåi investitori cumpãrã, iar preåul creæte. Atunci, primul începe sã vândã. Continuând vânzarea æi antrenându-i æi pe alåii sã vândã, preåul scade. În acel moment, el se decide sã cumpere. Practica aceasta este veche, dar ceea ce caracterizeazã contemporaneitatea este viteza deciziilor; orele æi chiar minutele sunt esenåiale. 2. Opåiunile stocului – Salariaåii companiilor sunt recompensaåi æi stimulaåi sã facã opåiuni de stoc pentru a-æi suplimenta venitul. Ce înseamnã asta? Compania le propune sã achiziåioneze din stoc un numãr de acåiuni la o cotã scãzutã, adicã sub preåul pieåei. Când acåiunile respective capãtã o valoare mai mare, salariatul poate decide sã le vândã cu profit. Companiile stimuleazã creæterea preåului printr-o combinaåie de sugestii pertinente fãcute public, prin declaraåii æi rapoarte bazate pe analiza unor specialiæti care mânuiesc cu dexteritate numere æi modele matematice. Arina: Am auzit cã sofisticãrile astea au dus, uneori, æi la haos. Gabriel: Da, atunci când s-a operat necinstit. Dar, te rog, Arina, lasã-mã sã continui. Am ajuns la... Arina: ...3. Marcarea bilanåului de pe piaåã. Gabriel: Exact. Aici e de spus urmãtorul lucru: companiile fac predicåii, iar rapoartele pe care le întocmesc se bazeazã pe interpretãri, ipoteze æi ajustãri, pentru a aduce la un numitor comun predicåia cu raportul. E o practicã ce le permite sã obåinã profituri înainte de realizarea lor 190 Arina: Gabriel: Arina: Gabriel: Arina: Gabriel: Arina: Gabriel: Eliza Roman efectivã. Pe baza acestei practici, constituie parteneriate, fac achiziåii, semneazã tot soiul de contracte folosind profiturile anticipate ca pe profituri prezente. Æi ce e cu: 4. Ajustarea la rezerva datoriei pãguboase? E o altã manevrã a companiilor. În aceastã nouã manevrã, în loc de înregistrarea viitoarelor profituri drept semne pentru bilanåurile de piaåã, se cautã metode de deghizare a cãderilor pe termen scurt ale companiilor, pe baza clauzelor, ceea ce permite acoperirea deficitului în caz cã un creditor este în dificultate, folosind o parte din rezerva fondului. Æi fain-frumuæel – am auzit eu – companiile mutã suma respectivã care le lipseæte din coloana rezervei în coloana profiturilor! Îmi permiåi sã continui? Daa! Punctul 5. Derivativele. De regulã, oamenii sunt încredinåaåi cã numerele întruchipeazã obiectivitatea, chiar dacã nu pricep în ce fel au fost ele generate. Principiile matematice folosite de companii pentru a aranja lucrurile în favoarea lor sunt invizibile pentru cei mai mulåi dintre investitori. Iar ecuaåiile matematice devin cele dintâi miæcãri ale valorii, deoarece, în momentul de faåã, piaåa ascultã de reguli matematice. Instrumentele care întruchipeazã aceastã credinåã sunt opåiunile viitoare sau derivativele. Te rog, focalizeazã puåin derivativele. Eu ætiu despre derivate de la analiza matematicã, dar despre derivative n-am auzit. În termenii cei mai simpli, Arina, derivativele sunt contracte cu datã de expirare fixã, al cãror preå este determinat de valoarea unor bogãåii ascunse, precum Arina în Åara Numerelor 191 preåul valutei sau al megawattului/orã. Posesorul unui astfel de contract îl poate vinde înainte de data expirãrii; decizia lui nu provine din investigarea pieåei, ci din evaluarea probabilitãåii matematice cã preåul va creæte sau cã va scãdea. E un fel de pariu. Totul se negociazã în secret, pe cale electronicã. Avântul luat de derivative este remarcabil. Deja în anul 2001 – aratã Mary Poovey – valoarea totalã a contractelor derivative ale afaceriætilor se apropia de 1 000 de trilioane de dolari, egalã cu valoarea totalã aproximativã a producåiei globale a manufacturilor din ultimul mileniu. Arina: Vrei sã mã faci praf cu valoarea asta cosmicã! Mi se pare cã invenåia asta nu e opera ultimelor decenii ale secolului trecut. Am citit undeva cã încã în secolul al XVII-lea japonezii o practicau. Gabriel: Da, dar ce importanåã are. Compari un purice cu un elefant? Derivativele moderne articuleazã o multitudine de ecuaåii matematice, calculate electronic, care implicã æi problema riscului. Arina: Operând cu numere oricât de mari, oamenii se conving cã puterea lor e realã, atât în speculaåii, cât æi în dominare, sau æi în unele, æi în altele. Gabriel: Ca æi alte instrumente de afaceri, derivativele æi opåiunile viitoare reprezintã îmbinãri ale reprezentãrii æi schimbului, atât în ceea ce priveæte timpul, cât æi riscul implicit. În acest fel, se creeazã în afaceri un mediu ambiant pur noåional, care existã doar din punct de vedere electronic. În ciuda acestei situaåii, afacerile electronice produc efecte foarte palpabile. Când toate instrumentele financiare sunt folosite concomitent, aæa cum se practicã în instituåiile sofisticate din punct de vedere financiar, ele conving atât asupra obiectivitãåii, cât æi asupra veridicitãåii numerelor æi a încrederii cã piaåa funcåioneazã dupã legile matematice. 192 Eliza Roman O clipã! Lãmureæte-mã, te rog, asupra corelaåiei dintre axa financiarã æi aceastã nouã culturã. Gabriel: Se restructureazã relaåia dintre temporalitate æi valoare, se redefinesc noåiunea de muncã, relaåiile dintre instituåii, ponderea responsabilitãåii. Marea putere de organizare cu care a fost înzestrat numãrul cu multe milenii în urmã nu se dezice nici azi, fiindcã, în prezent, ca æi oricând altãdatã, numãrul e asociat cu bogãåia æi cu puterea. Arina: Dar ce pãrere ai despre valoarea lui moralã? Gabriel: Sã citez ceea ce a spus la sfâræitul secolului al V-lea î.e.n. Philoceus din Farent: „Numãrul, ca æi armonia, nu admite falsitatea, aceasta le este lor cu totul strãinã …, adevãrul este înnãscut æi specific naturii numãrului“. Arina: O fi aæa numãrul, dar eu mã uit la oameni! Arina: ARINA ESTE FERICITÃ! Arina a câætigat concursul æi va pleca, luna viitoare, în åara lui Carroll Lewis æi a lui Isaac Newton. Au fost æase luni de efort, de frãmântãri æi, fireæte, de satisfacåii. A citit atâtea lucrãri fascinante, a disecat atâtea probleme aparent insolubile, æi-a pus nenumãrate întrebãri æi a înåeles multe despre matematicieni æi despre mentalitatea lor. Acum aæteaptã cu nerãbdare sã ajungã la British Museum ca sã vadã æi alte comori ale matematicii. Viseazã sã gãseascã mai multe informaåii inedite despre matematicianul britanic Alan Mathison Turing (1912-1954), magician al descifrãrii codurilor æi creator al inteligenåei artificiale. E convinsã cã acest concurs i-a marcat în mod fericit destinul, cã va face studii aprofundate de matematicã superioarã, care-i vor permite sã abordeze unele dintre cele mai nepãtrunse taine ale acestei ætiinåe date omului pentru a întreprinde, a se minuna æi a atinge sublimul. INDEX DE TERMENI A Abac (< fr. abaque; < lat. abacus) – dispozitiv pentru calcule aritmetice, format dintr-un cadru prevãzut cu vergele orizontale, fiecare vergea având zece bile culisante. Absurd – sinonim, în matematicã, pentru contradictoriu, fals din punct de vedere logic. Demonstraåia unei propoziåii P prin reducere la absurd, admiåând ca adevãratã propoziåia contrarã (non-P), constã în obåinerea unui rezultat care neagã una dintre ipoteze. În concluzie, propoziåia non-P nu este adevãratã, iar propoziåia P este adevãratã. Vezi æi: Terå exclus. Algoritm (< fr. algorithme, dupã numele matematicianului arab al-Kharezmi) – æir finit de reguli care rezolvã o clasã de probleme guvernate de aceleaæi prescripåii æi deosebindu-se între ele numai prin datele iniåiale. În sensul curent al acestui termen, o formulã este un algoritm (de exemplu, formula soluåiilor ecuaåiei de gradul doi). Analizã matematicã – parte a matematicii care cuprinde teoria funcåiilor relativã la structuri æi la calcule legate de noåiunile de limitã æi continuitate. Vezi æi: Calcul infinitezimal. B Bazã de numeraåie a unui sistem – numãrul de simboluri folosite într-un sistem de numeraåie: 2, 8, 10, 16, 20, 60 etc. 196 Eliza Roman C Calcul diferenåial – parte a matematicii care trateazã proprietãåile locale ale funcåiilor, comportarea lor la variaåii infinit mici ale variabilelor. Vezi æi: Ecuaåie cu derivate paråiale; Ecuaåie diferenåialã. Calcul infinitezimal – parte a matematicii care cuprinde, în principal, calculul diferenåial æi calculul integral, bazatã pe studiul infinitelor mici æi al limitelor. Vezi æi: Calcul diferenåial; Calcul integral. Calcul integral – ansamblul metodelor æi algoritmilor de calcul al primitivelor, al integralelor æi de rezolvare a ecuaåiilor diferenåiale. Ciur – algoritm prin care se obåine lista unor numere având o proprietate precisã (Ciurul lui Eratostene, pentru numere prime). Completitudine – proprietate generalã a unui sistem axiomatic potrivit cãreia din axiomele respectivului sistem pot fi deduse, cu ajutorul regulilor de deducåie, toate teoremele sistemului. În sens strict, completitudinea presupune existenåa în cadrul sistemului axiomatic a unui procedeu formal de respingere din sistem a oricãrei expresii care nu este axiomã sau teoremã a sa. Congruenåã – relaåia dintre douã numere întregi, a æi b, care dau acelaæi rest la împãråirea cu acelaæi numãr întreg dat n, numit modul: a ≡ b(n) Exemplu: 22 ≡ 4(3). Conjecturã – ipotezã privind exactitatea sau inexactitatea unui enunå cãruia i se ignorã demonstraåia. Consistenåã – calitate a unui sistem axiomatic de a nu conåine o formulã oarecare în acelaæi timp cu negaåia ei. Vezi æi: Contradictoriu; Completitudine. Contradictoriu – teorie matematicã ale cãrei axiome permit sã se demonstreze o teoremã, precum æi negaåia ei. . æir sau o serie care tinde spre o limitã finitã Convergent – un când variabila tinde spre infinit. Arina în Åara Numerelor 197 E Ecuaåie algebricã – ecuaåie de forma P(x)=0, unde P desemneazã un polinom. Ecuaåie cu derivate paråiale – ecuaåie în care necunoscuta este o funcåie de mai multe variabile care intervine prin derivatele ei paråiale de ordin oarecare. Ecuaåie diferenåialã – ecuaåie de tipul F(x, y, y’,... yn) = 0, în care necunoscuta y este o funcåie diferenåialã. Ecuaåie diofanticã – ecuaåie de forma P(x, y, z, ...) = 0, unde P este un polinom cu coeficienåi în Z sau Q, cãruia i se cautã soluåii în Z sau Q. Ecuaåie trigonometricã – ecuaåie în care necunoscutele figureazã prin funcåii trigonometrice (sin x, cos x, tg x etc.). Expresii inconsistente – „negaåii“ ale expresiilor valide; sunt excluse din alcãtuirea unui sistem axiomatic. F Formalism – sistem de reguli æi propoziåii matematice potrivit cãruia toate formele permise ale raåionamentului matematic dintr-un domeniu specific, care includ æi apeleazã la raåionamente asupra mulåimilor infinite, trebuie sã poatã fi descrise univoc. Vezi æi: Sistem formal. Funcåie – corespondenåa dintre elementele unei mulåimi X æi elementele unei mulåimi Y. Dacã se noteazã legea de corespondenåã prin f, iar prin x un element din X, elementul din Y, care corespunde prin aceastã lege lui x, se noteazã f(x); f(x) reprezintã valoarea funcåiei pentru elementul x, care se numeæte variabilã independentã. 198 Eliza Roman G Geometrie algebricã – ramurã a geometriei care se ocupã de varietãåi definite prin ecuaåii algebrice; studiazã curbe algebrice, suprafeåe algebrice, transferuri algebrice æ.a. Vezi æi: Varietate. Geometria lui Riemann – geometrie fundamentatã pe un sistem de axiome în care postulatul paralelelor lui Euclid este înlocuit printro axiomã care cere ca printr-un punct exterior la o dreaptã sã nu se poatã duce nici o paralelã la aceastã dreaptã. Un model de geometrie a lui Riemann îl constituie geometria suprafeåei sferei pe care cercurile mari sunt considerate drepte. I Inducåie matematicã – procedeu de demonstrare a propoziåiilor generale în matematicã printr-un raåionament generalizator în maniera ætiinåelor experimentale, care a dus, adesea, la concluzii greæite. Raåionamentul prin recurenåã, denumit în mod impropriu inductiv, este însã valabil, fiind, de fapt, o deducåie. Infinit mare – funcåia numericã de valoare realã, notatã f(x), definitã în vecinãtatea valorii x0 a variabilei independente, astfel cã atunci când aceasta tinde spre x0 valoarea absolutã a lui f(x) tinde spre infinit. Infinit mic – funcåia numericã de variabilã realã, notatã f(x), definitã în vecinãtatea lui x0, astfel cã dacã x tinde spre x0, f(x) tinde spre zero. Integralã definitã a unei funcåii f(x) definitã pe intervalul [a, b] – limita sumei elementelor infinitezimale f(xn)dx cuprinse între curba reprezentativã a funcåiei, abscisã æi ordonatele punctelor a æi Arina în Åara Numerelor 199 b de pe abscisã. Numãrul obåinut la limitã este aria mãrginitã de mãrimile geometrice menåionate. Integralã nedefinitã (primitivã) – funcåia integralã g(x) a x care limita superioarã de integrare, b, este înlocuitã funcåiei f(x) în g ( x ) = independentã f (t ) • d (t )x: cu variabila ∫ a L Limitã a unui æir – numãrul a (finit sau infinit) care are proprietatea cã în afara oricãrei vecinãtãåi a lui se aflã cel mult un numãr finit de termeni ai æirului an. Logaritmul unui numãr dat – puterea la care trebuie sã fie ridicat un numãr pozitiv numit bazã pentru a se obåine numãrul dat. Lunulã (< fr. lunule) – figurã geometricã formatã din douã arce de cerc, de diametre diferite, care au aceleaæi extremitãåi æi a cãror convexitate este situatã de aceeaæi parte a centrelor respective. M Medie armonicã – reciproca mediei aritmetice a reciprocelor mãrimilor pozitive considerate. Medie axiomaticã – metodã ætiinåificã de expunere care, pornind de la propoziåii prime (axiome), deduce din acestea, pe bazã de reguli formulate explicit, noi propoziåii, numite teoreme. Se numeæte formalã atunci când termenii nedefiniåi sunt încã neinterpretaåi, trecerea de la axiome la teoreme realizându-se prin simpla aplicare a procedeelor de calcul. Medie geometricã – este egalã cu rãdãcina de ordinul n din produsul celor n mãrimi pozitive considerate. 200 Eliza Roman Mulåime – totalitatea obiectelor numite elemente, datã fie prin indicarea acestora, fie prin enunåarea unei caracteristici comune lor. Poate fi: O finitã – conåine un numãr finit de elemente; O infinitã – conåine un numãr infinit de elemente; O numãrabilã – elementele ei pot fi puse în corespondenåã biunivocã cu elementele mulåimii numerelor naturale (1, 2, 3...); O vidã – nu conåine nici un element. N Numãrabil – Mulåime echivalentã cu o parte a mulåimii numerelor naturale N. Numãr algebric – rãdãcinã a unei ecuaåii algebrice care are drept coeficienåi numere raåionale. Numãr cardinal – numãr din æirul numerelor naturale 1, 2, ... care precizeazã din câte unitãåi este compus numãrul, poziåia lui în æir, numãrul lui de ordine (numãrul ordinal). 1+ 5 Numãr de Aur (Divina Proporåie) – numãr egal cu , aproxi2 mativ 1,618, corespunzând unei proporåii cu deosebire estetice. Numãr perfect – numãrul egal cu suma factorilor în care se descompune. Numãr prim – numãr natural diferit de 0 care admite ca divizori numai pe 1 æi pe sine însuæi. Numãr transcendent – numãr iraåional care nu este rãdãcina nici unei ecuaåii algebrice cu coeficienåi raåionali. Numeraåie – sistem de reguli pentru exprimarea vorbitã æi scrisã a numerelor întregi. Numere inverse (reciproce) – douã numere al cãror produs este egal cu unitatea (de exemplu: x æi 1/x). Arina în Åara Numerelor 201 Numere pitagorice – trei numere naturale, prime între ele, care satisfac teorema lui Pitagora (a2 + b2 = c2). Triunghiul construit din laturi proporåionale cu numere pitagorice este dreptunghic. Numere prime gemene – cuplu (p, q) de numere prime, astfel cã q = p + 2. Nu se ætie, în prezent, dacã mulåimea lor este finitã (a opta problemã a lui Hilbert). Se cunoaæte, însã (teorema lui V. Brum) 1/ p cã seria ∑ , în care p descrie mulåimea numerelor prime gemene, este convergentã. P Perioadã – cel mai mic numãr T > 0, cu proprietatea f(x + T) = f(x). Dacã existã un T cu aceastã proprietate, funcåia f(x) se numeæte periodicã de perioadã T. De exemplu: sin x este periodicã de perioadã 2π, fiindcã sin (x + 2π) = sin x. a b Proporåie – douã rapoarte egale = formeazã o propoziåie. c d Într-o proporåie, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: bc = ad. S Secåiune de Aur – mod de împãråire a unui segment de dreaptã AB printr-un punct M, astfel încât AM2= AB.MB. Denumirea anterioarã a acestei proporåii a fost medie æi extremã raåie. Serie – æir infinit de elemente legate între ele prin semnul plus, u1 + u2 + ... + un + ... Elementele u1, u2, ... un,... se numesc termenii seriei, care pot fi numere reale sau complexe, funcåii, vectori, matrice etc. Sn = u1 + u2 + ... + un se numeæte suma paråialã a seriei. 202 Eliza Roman {S n }∞n =1 Seria pentru care æirul sumelor paråiale este convergent se numeæte o serie convergentã. Limita æirului sumelor paråiale este suma seriei. Seria pentru care æirul numerelor paråiale nu are limitã 1 1 sau limita este ± ∞ (de exemplu, seria armonicã 1 + + ........ + ) n 2 este o serie divergentã. Serie alternatã – serie în care doi termeni consecutivi oarecare sunt de semne contrarii. Seria de funcåii – serie ai cãrei termeni un sunt funcåii fn(x) definite pe un domeniu A. Serie trigonometricã – serie de funcåii de forma: a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1 Sistem formal – sistem de semne æi expresii construite în conformitate cu anumite reguli de formare æi de derivare, în care se face abstracåie de orice interpretare a semnelor (dimensiunea semanticã) æi de raporturile acestora cu subiecåii ce le folosesc (dimensiunea pragmaticã). Sistem sexagesimal – sistem de numeraåie cu baza 60. Se foloseæte, de exemplu, pentru mãsurarea unghiurilor æi arcelor. T Terå exclus – principiu fundamental al gândirii, care impune distincåia netã între adevãr æi fals. Strâns legate de legea teråului exclus sunt legea dublei negaåii – deoarece a nega unul dintre termenii disjuncåiei (termenul afectat de negaåie) înseamnã a reveni la celãlalt termen – æi demonstraåia prin absurd, deoarece æi aceasta presupune cã, prin negarea falsului, revenim în mod necesar la adevãr. Arina în Åara Numerelor 203 Topologie – ramurã a matematicii care studiazã proprietãåile mulåimilor de puncte ce sunt invariante faåã de transformãrile biunivoce æi bicontinue (topologice). Dacã mulåimea de puncte A este imaginea mulåimii B printr-o aplicaåie topologicã, spunem cã A æi B sunt mulåimi topologice echivalente sau homeomorfe. De exemplu, cercul, elipsa, pãtratul pot fi deformate una într-alta în mod continuu. V Variabilã – simbol indicând un element oarecare din domeniul de definiåie al unei funcåii. Când studiem o funcåie f(x1,... xn), spunem cã xi sunt variabile ale funcåiei f. Varietate – generalizarea în mai multe domenii ale matematicii a noåiunilor de curbe, suprafeåe sau volume. BIBLIOGRAFIE SELECTIVÃ ANDREI, NICULAE. Dicåionar etimologic de termeni ætiinåifici. Bucureæti, Editura Ætiinåificã æi Enciclopedicã, 1987. ARNOLDEZ, R.; MASSIGNON, L.; JUSKEVICI, A.P. Aritmetica la arabi. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, Bucureæti, Editura Ætiinåificã, 1970, p. 476-482. BABELON, JEAN. Mayas d’hier et d’aujourd’hui, Paris, 1967. BARROIS, A.G. Manuel d’archéologie biblique, vol. II, Paris, Picard, 1953. p. 316-339. BINDEL, E. Les éléments spirituels des nombres, Paris, Payot, 1960. BURADA, TEODOR T. Despre crestãturile plutaæilor pe cherestele æi alte semne doveditoare de proprietãåi la români, Iaæi, 1880. CAJORI, FLORIANA. History of mathematical notations, vol. I-II, Chicago, London, The Open Court Publishing Company, 1928. CÂMPAN, FLORICA T. Din istoria câtorva numere de seamã, Bucureæti, Editura Albatros, 1973. CÂMPAN, FLORICA T. Povestea numãrului π , ediåia a II-a, Bucureæti, Editura Albatros, 1977. CÂMPAN, FLORICA T. Poveæti despre numerele mãiestre, Bucureæti, Editura Albatros, 1981. CHAMBORCHE, FRANÇOIS–XAVIER. Vie et mystique des nombres, Paris, 1976. CHEVALIER, JEAN; GEENBRANT, ALAIN. Dicåionar de simboluri, vol. I-III, Bucureæti, Editura Artemis, 1995. DINU, MIHAI. Comunicarea. Repere fundamentale, Bucureæti, Editura Ætiinåificã, 1997. 206 Eliza Roman ELIADE, MIRCEA. Istoria credinåelor æi ideilor religioase, ediåia a II-a, vol. I-III, Bucureæti, Editura Ætiinåificã, 1991. FILLIOZAT, J. Matematica [indianã]. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 170-175 GHYKA, MATHILA. G. Le nombre d’or, vol. I-II, Paris, Gallimard, 1931. GHYKA, MATHILA G. Philosophie et mystique des nombres, Paris, 1952. GUITEL, GENEVIÈVE. Histoire comparée des numérations écrites, Paris, Payot, 1975. IDEL, MOSHE. Cabala. Noi perspective, Bucureæti, Editura Nemira, 2000. LABAT, R; BRUENS, E.M. Aritmetica [în Mesopotania]. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 108-144. LAUTMAN, ALBERT. La répartition des nombres premiers et la mesure de la croissance à infini. În: Essai sur l’unité des mathématiques, Paris, Union Générale d’Éditions, p. 221-225. LOI, MAURICE. Le nombre d’or. În: Mathématiques et art, Paris, Hermann, 1995, p. 11-14. MARCUS, SOLOMON. Three. In: Semiotics around the world Synthesis in Diversity Proceedings of the Fifth Congress of the International Association for Semiotic Studies, Berkley, Berlin, New York, Marton de Gruyer, 1994, p. 773-776. MICHEL, P.H; MUGLER, CH. Aritmetica æi geometria [la greci]. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 230-236. MOISIL, GRIGORE C. Teorema lui Pitagora. În: Grigore C. Moisil. Un profesor ca oricare altul, Bucureæti, Editura Tehnicã, 1998, p. 61-63. NEVEUX, MARGUERITE. Le nombre d’or chez Seurat? În: Mathématiques et art, Paris, Hermann, 1995, p. 187-196. Arina în Åara Numerelor 207 OYSTEIN, ORE. Number Theory and History, New York, Mc. Graw – Hill Book Company, 1948. POPA, ILIE. Începuturile matematicii româneæti, În: Eliza Roman. Bibliografia matematicii româneæti. Bucureæti, Editura Academiei, 1972, p. XLI-LXII. ROMAN, ELIZA. Bãtrânul numãr, veænic tânãr. În: „Contemporanul“, 27 august 1997, p. 1, 11. ROMAN, ELIZA. Buclucuri matematice. În: „Contemporanul“, 10 aprilie 1996, p.1, 11. ROMAN, ELIZA. Din istoricul manualului românesc de matematicã în secolele 17-19. În: „Gazeta matematicã“. Bucureæti, I (1980), p. 169-173; II (1981), p. 30-39. ROMAN, ELIZA. Impactul unui numãr. În: „Contemporanul“, 8 octombrie 2001, p. 15. ROMAN, ELIZA. Numãrul între mitologie æi realitãåile contemporane. În: „Contemporanul“, 1 ianuarie 1983, p. 4. ROMAN, ELIZA. Æi giganåii greæesc. În: „Contemporanul“, 21 noiembrie 1996, p. 1, 11. SMITH, DAVID EUGENE. History of Matematics, vol. I-II, New York, Dover Publications, 1958. STRESNER, PEAN, G. Numeraåia æi astronomia la precolumbieni. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 432-441. ÆAFRAN, ALEXANDRU. Înåelepciunea Cabalei. Bucureæti, Editura Hasefer, 2000. TOTH, ALEXANDRU. Apariåia æi rãspândirea cifrelor în Åãrile Române. Bucureæti, Editura Tehnicã, 1972. VERCOUTLER. J. Aritmetica egipteanã. În: Istoria generalã a ætiinåei,.vol. I, Bucureæti, 1970, p. 30-43 VIROLLERAUD, CH.; SCAHEFFER Cl. FA. Matematica ebraicã veche. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 144-153.