Arina în Åara Numerelor

COLECÅIA INFOTECA 

ELIZA ROMAN 

Arina 

în 

Åara Numerelor 

Bucureæti 

2008

ELIZA ROMAN 

ARINA ÎN ÅARA NUMERELOR

CENTRUL EDITORIAL „CICERO E“ 

DIRECTOR FONDATOR AL EDITURII „SCRIPTA“ 

OCTAVIAN ÆTIREANU 

Descrierea CIP a Bibliotecii Naåionale a României 

ROMAN, ELIZA 

Arina în åara numerelor / Eliza Roman ; 

ed. îngrij. de conf. univ. dr. Nicolae Rauæ ; 

pref.: acad. Mircea Maliåa. - Bucureæti : Scripta, 2008 

Bibliogr. 

Index. 

ISBN 978-973-8238-23-7 

I. Rauæ, Nicolae (ed.) 

II. Maliåa, Mircea (pref.) 

51

ELIZA ROMAN 

ARINA 

ÎN 

ÅARA NUMERELOR 

Ediåie îngrijitã de 

conf. univ. dr. NICOLAE RAUÆ 

Prefaåã 

Acad. MIRCEA MALIÅA 

Bucureæti 

2008

Coordonator colecåie: dr. Nicolae Rauæ 

Redactor de carte: Dinu Moraru 

Tehnoredactare: CICERO GRUP 

Pre-press: ing. Adrian Antofe 

Reproducerea, transmiterea sau difuzarea, sub orice formã 

sau prin orice mijloace cunoscute sau viitoare, a textelor cuprinse 

în volumul de faåã sunt permise numai cu acordul scris 

al Editurii „Scripta“, care are toate drepturile rezervate. 

© Editura „Scripta“, 2008 

Calea Victoriei, nr. 39A 

Bucureæti 

ISBN 978-973-8238-23-7

CUPRINS 

Acad. Mircea Maliåa: Prefaåã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

„La început a fost numãrul“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 

Concursul „Galaxia Numerelor“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 

Campanie electoralã la Televiziunea Numerelor . . . . . . . . .12 

Candidaåi cu æanse la preæedinåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 

Numãrul 3 – simbolul Creaåiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 

Numãrul 7 – dintotdeauna în top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 

Φ – misteriosul Numãr de Aur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 

Buclucuri matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 

Secvenåe de istorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 

Ionuå aflã despre apariåia numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . .35 

Omul a numãrat înainte de a vorbi . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 

Prin cluburi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 

Asociaåia Iubitorilor Numãrului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 

La Clubul Primelor Zece Numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 

La Clubul Prieteniei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 

Elita numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 

Carismaticul π pe post de amfitrion . . . . . . . . . . . . . . . . .56 

În prelungirea discuåiei de la Club: Numãrul e . . . . . . . . .64 

Sisteme de numeraåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 

Cu æapte hieroglife egiptenii numãrau pânã la un milion . .67 

De la bobul de cacao la glifa aztecã . . . . . . . . . . . . . . . . .74 

Sistemul acrofonic grecesc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 

Cum numãrau strãmoæii romani? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 

Numeraåiile alfabetice – un imens pas în istorie . . . . . . . . . .84 

O asociere ingenioasã a literelor æi numerelor la evrei . . .85

6 Eliza Roman 

Impactul numeraåiei greceæti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 

Numeraåia arabã priveæte spre Europa . . . . . . . . . . . . . . . .90 

Numeraåiile de poziåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 

Începutul a fost în Sumer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 

Fantezia mayaæilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 

Dinamismul numeraåiei chineze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 

Indienii notau uæor numere mari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 

Itinerarul numeraåiei la români . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 

Numere remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 

Creaåia pitagoricã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 

Numere p-adice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 

Statutul de numãr se obåine greu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 

Existã numere iraåionale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 

Numere negative – numere fictive . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 

Numãrul i – „un amfibiu între existenåã æi neant“ . . . . . .151 

Numere transcendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 

Numãrul care nu-æi dezvãluie natura . . . . . . . . . . . . . . . .159 

Triumful lui zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160 

Interogaåii vechi æi noi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 

Numere prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 

Ipoteza lui Riemann – problema mileniului . . . . . . . . . .169 

Marea provocare a lui Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 

Legenda lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 

Conjecturi nãbãdãioase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 

Fiinåe matematice magice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 

Numerele prime æi criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 

Numere aproape prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 

Fiæierul problemelor celebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 

Pot, oare, numerele sã asigure onestitatea? . . . . . . . . . . .186 

Arina este fericitã! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193 

Index de termeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 

Bibliografie selectivã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

PREFAÅÃ 

Arina m-a luat cu ea în Åara Numerelor, dupã un cuvânt bun din 

partea autoarei. Mai fusesem acolo, dar sã nu subestimezi niciodatã 

un ghid tânãr din generaåia calculatoarelor. Am vãzut locuri 

noi æi am revãzut altele vechi. 

Într-o formaåie matematicã gãseæti rar un curs de teoria 

numerelor. Am dat odatã de un manual de teoria numerelor de pe 

timpul lui Haret, admirabil prin eleganåã æi rigoare, scris în mod 

evident pentru æcolile de fete. În facultãåi, disciplinele æi-au format 

arii proprii, expropriind terenul de obâræie al numerelor, regãsite 

vag în algebrã æi ascunse sub noi simboluri æi extensii, în toate 

domeniile matematicii æi ætiinåelor. 

Evident, „la început a fost numãrul“, nu cuvântul, cãci numãrul 

fãrã cuvânt s-a mulåumit cu niæte degete. Istoria lui este nu doar 

istoria matematicii, dar æi a gândirii abstracte æi, mai presus de 

toate, a civilizaåiei globale. Emanciparea lui abstractã este o istorie 

dramaticã. Dupã numerele întregi sacre æi armonioase, grecii au 

fost sfidaåi de pãtratul perfect, a cãrui diagonalã era un numãr ce 

nu avea sfâræit. „Se spune – scrie Proclus – cã cei care pentru 

prima datã au scos la ivealã iraåionalele din ascuns la vedere au 

pierit în naufragiu pânã la unul. Cãci inexprimabilul æi cel fãrã 

formã trebuie sã stea ascuns. Æi cei care au dezvãluit æi au atins 

aceastã imagine a lumii au fost distruæi subit æi vor rãmâne expuæi 

pentru vecie jocului eternelor valuri“. Era o adevãratã tragedie 

greceascã. Cuvintele au generat culturi, care s-au dezvoltat cu o 

altã familie de simboluri ce au permis comunicare umanã æi transmisiunea 

credinåelor æi valorilor de la o generaåie la alta. Culturile

8 Eliza Roman 

au stiluri proprii cu care definesc specificitatea æi identitatea 

localã. Cunoætinåele sunt exprimate acum în simboluri abstracte 

scoase din ascunziæuri, circulã liber, sunt transmisibile æi asimilabile 

în spaåiul universalitãåii. 

Înghesuite de discipline mari – algebrã, geometrie, analizã –, 

teoria æi istoria numãrului reintrã pe scenã. Stephen Hawking, 

fizicianul care ne-a fermecat cu cãråile lui, publicã lucrarea sa 

Dumnezeu a creat întregii pornind de la citatul lui Kronecker, 

care adaugã „restul este opera omului“. În peste 1 000 de pagini, 

începe cu Euclid æi cu Arhimede æi terminã cu giganåii secolului trecut, 

Gödel æi Turing, în total 17 matematicieni, cu biografiile æi 

lucrãrile lor. În subtitlu, scrie Deschiderile matematice care au 

schimbat istoria. De ce nu îl include æi pe Euler? – mã întreabã 

Arina. Pentru cã ea mã conduce la piatra pe care e sculptatã miraculoasa 

Ecuaåie a lui Euler: eiππ = –1, unde îæi dau întâlnire trei 

numere e, i æi ππ, tot atât de frumoasã æi compactã ca Ecuaåia lui 

Einstein: e = mc2 . Fãrã e, i æi ππ omul n-ar zbura în atmosferã, n-ar 

trimite rachete în spaåiu, n-ar construi poduri suspendate æi nici 

zgârie-nori. 

Locul numãrului în civilizaåie îmi trezeæte o idee: n-ar trebui, 

oare, sã punem puterea calculatorie a omului la un loc cu puterea 

de energie instalatã, în definirea capacitãåii unei societãåi de a fi 

parte din civilizaåia globalã? Arina mã corecteazã: pe lângã cã 

ideea îi desemneazã un rol nou, ea e atrasã de numãr pentru aura 

sa de mister ce trebuie lãmuritã. S-a inventat, oare, un joc mai 

fascinant æi mai captivant care sã dea emoåii egale cu ale poeziilor 

sau melodiilor celor mai extaziante? Ca æi ele, jocul numerelor are 

ceva miraculos, pasionant, irezistibil. Îi mulåumesc cu cãldurã ei, 

autoarei æi editorului pentru cãlãtoria inspiratã. 

Acad. MIRCEA MALIÅA

„LA ÎNCEPUT A FOST NUMÃRUL“ 

Înzestrat cu un mare potenåial de organizare a lumii, numãrul a 

fost asociat dintru început cu bogãåia æi cu puterea, iar pe de altã 

parte i-a fascinat atât pe gânditori, cât æi pe oamenii de rând. Mitul 

numãrului a cuprins, în Vechime, mai toate popoarele æi a dãinuit 

îndelung. În evoluåia lui, numãrul a cunoscut epoci de glorie æi de 

latenåã, însã a continuat sã fie permanent prezent în viaåa omului. 

Virtuåile lui explicã bogãåia de tipuri apãrute æi marea diversitate a 

categoriilor inventate. Numãrul suscitã interesul în ceea ce priveæte 

geneza æi tipologia lui, frãmântãrile pe care le-a iscat, cât æi impactul 

lui asupra vieåii cotidiene, a ætiinåei, tehnicii æi chiar a artei. 

Cãrticica de faåã nu-æi propune sã îmbrãåiæeze toate aspectele în 

care se implicã numãrul. Scopul ei este sã realizeze, într-o manierã 

accesibilã, un periplu în „Åara Numerelor“, fãcând apel la cunoætinåe 

de culturã generalã æi de matematicã elementarã. 

Cititorul va avea prilejul sã intre în contact cu numerele care se 

întâlnesc cel mai des, numere despre care vorbeæte Biblia, ca æi 

oamenii de afaceri, numere despre care se pomeneæte în mitologie, 

ca æi în tehnicã, numere folosite în manualele æcolare, ca æi în artã 

etc. El va afla povestea unor numere care i-au stârnit curiozitatea 

æi care i-au preocupat îndelung pe predecesorii noætri. Numãrul va 

fi martorul unor adevãrate drame generate de pasiunea celor care 

urmãreau gãsirea soluåiilor corecte, de obsesii, de aventuri celebre 

ce se întind pe sute, chiar pe mii de ani. 

Am expus, fireæte, mai pe larg sistemele de numeraåie la diferite 

popoare: sistemele primitive bazate pe juxtapunerea semnelor, 

sistemele contrase, contopite, sistemele alfabetice, precum æi cele

10 Eliza Roman 

de poziåie, mãrturie a ingeniozitãåii æi imaginaåiei oamenilor. În 

context, au fost menåionate probleme celebre æi probleme nerezolvate 

legate de numere. 

În final, am inclus, pentru uzul cititorului tânãr, un Index de termeni, 

care va uæura, credem, înåelegerea expunerii noastre. 

La distanåa a 2500 de ani faåã de Pitagora, care credea cã 

numerele sunt „singurele în stare sã se aproprie de legile naturii, 

pe care numai înåelegându-le le putem stãpâni!“, îi recunoaætem 

numãrului valoarea universalã, nu însã æi pe aceea de panaceu. 

Adresez æi pe aceastã cale vii mulåumiri doamnei prof. univ. dr. 

Afrodita Iorgulescu, matematician de prestigiu, pentru revizuirea 

textului æi pentru sugestii; doamnei dr. în filologie Viorica Prodan, 

pentru ideea elaborãrii acestei cãråi æi pentru generoasa stimulare 

a demersului nostru; domnului Mihai Niculescu, pentru excelenta 

„încãrcãturã“ documentarã pusã nouã la dispoziåie cu atâta solicitudine; 

pictorului Stelian Neicu, pentru rigoarea æi acurateåea 

desenelor æi, nu în ultimul rând, domnului dr. inginer Teodor Popa, 

pentru revizuirea indexului de termeni. 

Iulie 2008 

AUTOAREA

CONCURSUL 

„GALAXIA NUMERELOR“ 

Profesorul Matei Iorgulescu aduce la cunoætinåã elevilor din 

clasa a XI-a cã Asociaåia Olimpicilor organizeazã concursul 

„Galaxia Numerelor“, în Capitalã, la 15 aprilie a anului viitor. 

Doritorii se pot înscrie pânã la sfâræitul anului curent. Premiul cel 

mare va fi o excursie în Marea Britanie, åara lui Charles Lutwidge 

Dodgson (1832-1898) – matematicianul æi scriitorul îndrãgit de 

copii, el fiind cel care a semnat, sub pseudonimul Carroll Lewis, 

fascinanta poveste Alice în Åara Minunilor. 

La cinã, Arina le împãrtãæeæte pãrinåilor intenåia ei de a se înscrie 

la concurs. Toatã lumea e de acord. Ionuå, frãåiorul Arinei, se 

lamenteazã cã nu are drept de participare, tocmai el, care este un fan 

al lui Lewis. Mai e mult pânã la concurs, dar æi foarte mult de 

învãåat, fiindcã numerele stãpânesc un teritoriu imens. 

Arina este æi ea agitatã. Trece de miezul nopåii æi încã nu adoarme. 

Îl ia în pat pe Pufi, cãåeluæul ei, care încearcã sã o liniæteascã. În 

sfâræit, Arina aåipeæte. În vis, îl vede pe Pufi. 

– Ce ar fi sã mergem sã vizitãm Åara Numerelor! – îi propune 

Pufi. 

– Cum sã mergem – îi replicã Arina –, când nu avem nici bani, 

nici bilete de cãlãtorie æi când am, zi de zi, æcoalã? 

Pufi insistã. Într-un târziu, o convinge æi cei doi poposesc în Åara 

Numerelor.

CAMPANIE ELECTORALÃ 

LA TELEVIZIUNEA NUMERELOR 

Arina deschide televizorul. Este aidoma celui din camera ei. 

„De ieri, am intrat în campania electoralã pentru alegerile generale 

din aceastã toamnã“ – anunåã crainicul. 

Lupta se dã între Partidul Numerelor Naturale, Partidul Numerelor 

Fracåionare æi Partidul Numerelor Negative. Celelalte partide încã 

nu æi-au lansat platforma (Partidul Numerelor Iraåionale, Partidul 

Numerelor Transcendente, Partidul Numerelor Pitagorice æ.a.). 

Partidele fac multã zarvã electoralã. Se laudã cât pot æi aruncã în 

adversari cu noroi. 

Partidul Numerelor Naturale, având ca membri pe 1, 2, 3, 4, 5, … n…, 

de fapt cel mai vechi partid, este convins cã, fiind înzestrat de 

Divinitate sã fie cel mai apropiat de naturã, este æi cel mai bun, singurul 

capabil sã ofere siguranåã æi prosperitate. 

Partidul Numerelor Fracåionare se considerã mai dinamic, mai 

tânãr, mai deschis progresului. El dispreåuieæte Partidul Numerelor 

Naturale, pe care-l socoteæte mai primitiv, mai conservator, nu 

totdeauna capabil sã rezolve o împãråire în numere naturale. Un partid 

care nu se poate descurca nici la împãråirea lui 2 cu 3! 

Partidul Numerelor Negative se declarã, de asemenea, superior 

Partidului Numerelor Naturale, deoarece poate rezolva orice 

scãdere în numere întregi, chiar æi atunci când scãzãtorul depãæeæte 

valoarea descãzutului. Aripa Numerelor Negative Fracåionare 

clameazã, la rândul ei, virtuåile care o caracterizeazã în raport cu 

Partidul Numerelor Fracåionare (Pozitive). 

În aæteptarea platformelor celorlalte partide, care se autoproclamã 

elita, s-a trecut la formarea de alianåe. Se poartã tratative între

Arina în Åara Numerelor 13 

Partidul Numerelor Naturale æi Partidul Numerelor Întregi Negative, 

pentru o Alianåã a Numerelor Întregi. Se vorbeæte æi despre o alianåã 

care se va numi Coaliåia Numerelor Raåionale, formatã din toate 

numerele întregi æi din cele fracåionare. 

Pentru emisiunea urmãtoare, se promit informaåii proaspete 

despre celelalte formaåiuni politice, iar pentru a doua zi o emisiune 

specialã, în care vor fi prezentaåi candidaåii la Preæedinåie. 

Candidaåi cu æanse la preæedinåie 

Pentru funcåia de preæedinte candideazã mai multe numere. 

Potrivit ultimelor sondaje, æanse mai mari au numerele 3 æi 7. 

Numãrul 3 este preæedinte de mulåi ani, dar ar vrea sã fie în 

continuare. Numãrul 7, deæi frecvent nominalizat, nu a câætigat 

niciodatã preæedinåia æi viseazã la ea. 

În seara precedentã confruntãrii dintre candidaåi pe micul ecran, 

numerele 3 æi 7 æi-au definitivat pledoariile. 

Iatã cum au gândit: 

Numãrul 3 – simbolul Creaåiei 

„Eu am fost dintotdeauna în topul numerelor. Totul este supus 

ternarului, fie spaåiu, timp, naturã, materie, fie viaåã, om, hranã æi 

câte altele. Ætiinåa, morala, folclorul îmi sunt, la rândul lor, profund 

îndatorate. 

Nu mai insist cã atunci când vine vorba despre timp se spune trecut, 

prezent, viitor. Când se pomeneæte despre starea materiei, gândul 

ne duce la stãrile solidã, lichidã, gazoasã. Prin cei trei termeni: 

mineral, vegetal, animal, se evocã tot ce existã în naturã. 

Termenului existenåã i se asociazã termenii: naætere, creætere,


moarte. Ca vârstã, omul nu poate fi decât de trei feluri: copil, adult 

sau bãtrân. Spaåiul în care trãim este tridimensional, camera în 

care copilul îæi face temele are lungime, lãåime, înãlåime. 

Sã conchid, apoi, cã la baza lucrurilor stau: materia, energia, 

informaåia. Toåi æcolarii ætiu cã între numere nu pot funcåiona decât 

trei tipuri de relaåii: mai mare (>), egal (=) æi mai mic (


Universalitatea mea e recunoscutã în toate domeniile drept 

criteriu de clasificare. Iatã un exemplu din sociologie. Tipurile: 1. 

al resurselor; 2. al modalitãåii folosirii acestora; 3. al tehnologiilor 

utilizate caracterizeazã diferitele societãåi. Astfel, societatea preindustrialã 

se distingea prin: 1. materiile prime; 2. extragerea acestora; 

3. munca intensivã; societatea industrialã se bazeazã pe: 1. energie; 

2. fabricare; 3. capital intensiv; iar societatea postindustrialã este 

marcatã de: 1. informare; 2. transformare; 3. cunoaætere intensivã. 

Æi o ilustrare din istorie: unul dintre întemeietorii filosofiei istoriei, 

italianul Giambattista Vico (1668-1744), considerã cã toate 

popoarele trec prin trei stadii de dezvoltare, corespunzãtoare celor 

trei vârste ale omului: „vârsta zeilor“, în care domnesc religia æi 

preoåii; „vârsta eroilor“, în care apare statul aristocratic; æi „vârsta 

oamenilor“, adicã era raåiunii æi a statului democratic. 

Sã scot în evidenåã cã cele trei tipuri principale de axiomatizare 

a teoriilor sunt: 1. axiomatica intuitivã (de exemplu, cea a geometriei 

euclidiene); 2. axiomatica abstractã – cea folositã de matematicianul 

german David Hilbert (1862-1943), în care sensul termenilor 

este determinat exclusiv prin relaåiile lor din cadrul 

axiomelor; 3. axiomatica formalizatã (din matematicã, integral formalizatã). 

În comunicare, sunt esenåiale: 1. emiåãtorul; 

2. receptorul; 3. mesajul. 

Codonul – unitate constitutivã a moleculei 

de ADN – are lungimea trei (este format, 

de obicei, din trei baze nucleice). 

Åinând seama cã natura codonului este 

chimicã, iar aminoacizii reprezintã unitãåile 

de bazã ale ereditãåii, se poate afirma cã trecerea 

de la chimie la nivelul genetic este 

guvernatã de numãrul 3. 

Dacã voi enumera toate domeniile în care 

David Hilbert 

sunt implicat, îi voi obosi pe alegãtori. O sã


mai amintesc cã, în domeniul teoriei jocurilor strategice, trecerea 

de la jocurile cu douã persoane la cele cu trei persoane i-a deschis 

matematicianului american John Nash (n. 1928) drumul spre 

decernarea Premiului Nobel, în 1994. Aplicarea conceptului introdus 

de Nash a asigurat Statelor Unite mari succese economice æi, 

implicit, fabuloase câætiguri financiare. 

O spun cu toatã modestia cã, în ciuda duæmanilor mei, care sunt 

suporterii Numãrului 7, eu, Numãrul 3, reprezint desãvâræirea. 

Chinezii au recunoscut de mult aceastã virtute a mea! 

Mai trebuie sã observ cã 3 este primul numãr impar din æirul 

numerelor naturale, cã el se regãseæte pretutindeni în Univers, în 

Dumnezeu, ca æi în om. 

Triada: bine – adevãrat – frumos 

este permanent evocatã de 

cãtre oameni. 

Gingãæia æi feminitatea sunt 

legate de Numãrul 3. Cele Trei 

Graåii, cum le numeau romanii, 

sau Charite, în rostirea grecilor, 

erau seducãtoarele divinitãåi care 

o întovãrãæeau pe Zeiåa Dragostei. 

Sã atrag atenåia æi asupra 

perfecåiunii mele, cãci am æi 

început, æi mijloc, æi sfâræit; 

asupra frumuseåii mele etice: 

gândul bun, vorba bunã, fapta 

bunã stau la baza moralei – 

Fig. 1. Antonio Canova: 

Cele Trei Graåii (Charite) 

spuneau vechii persani. 

Triada reprezintã marea obsesie 

a mitologiilor. În mitologi- 

ile mai vechi arabe se vorbeæte despre existenåa a trei Lumi de 

Dincolo: Paradisul, Infernul æi un fel de Purgatoriu. În concepåia 

brahmanã, sufletul Universului depinde de trei principii esenåiale:


reîncarnarea, karma æi datoria. Buddhismul evocã trinitatea divinã 

Trimurti (în sanscritã tri = trei, murti = divinitãåi). Brahmanismul 

admite triada supremã: Brahma, cel care guverneazã crearea 

Universului; Vishnu, principiu al conservãrii; Æiva, principiu al distrugerii 

– æi proclamã cã unirea omului cu Divinitatea se dobândeæte 

prin: acåiune, devotament æi meditaåie. Sã menåionez cã Buddha în 

sanscritã înseamnã atât de poetic: înflorit; trezit; iluminat. 

Pentru creætini, 3 reprezintã unitatea Dumnezeirii (Dumnezeu– 

Tatãl, Dumnezeu–Fiul æi Sfântul Duh). Sfânta Treime este esenåa 

divinã unicã în trei persoane. Existã trei religii monoteiste: iudaicã, 

creætinã, islamicã. 

În folclorul românesc, 3 este mult folosit: «Trei sute de oi; Cu 

trei ciobãnei; De trei zile încoace» (Mioriåa) sau «Cu trei femei de 

fecior; Cu trei funii de mãtase; De trei zile bea deplin; S-au bãut trei 

butoaie de vin; De trei palme lat în frunte/ Æi nu prea vorbeæte 

multe» (Gruia în Åarigrad) sau «Æi mergea, mergea/ Trei feciori cu 

ea/ La izvoare reci/ Trei feciori de greci» (Fata æi cucul). În poveætile 

cu Fãt-Frumos se zice «A mers trei zile æi trei nopåi»; «S-a luptat cu 

balaurul trei zile æi trei nopåi»“… 

Æi tot evocând argumente favorabile alegerii sale, Numãrul 3 

adoarme… 

Numãrul 7 – dintotdeauna în top 

Numãrul 7 a meditat æi el, în acea noapte cam rãcoroasã de septembrie, 

la pledoaria sa: 

„Trei conduce de atâta amar de vreme treburile Åãrii Numerelor – 

spune el – æi n-a fãcut mare scofalã. Peste tot, lipsuri, dezordine, 

haos… E bãtrân æi depãæit de vremuri. Nu înåelege æi nu se poate 

adapta la orizontul mileniului al treilea. Åara are nevoie de schimbare. 

Schimbarea beneficã o pot oferi doar eu, Æapte.


Numãrul 3 æi-a dat întotdeauna aere; eu n-am fãcut-o, deæi sunt 

tot atât de nobil ca æi el, poate chiar mai mult. Am o componenåã 

mai substanåialã. În vreme ce 3 este constituit din 1+2 sau 1+2x1, 

7 este format din 1+2x1+2x2 sau 1+2+4 sau 2 0 +2 1 +2 2 . Elegantã 

formulã! Totul atestã superioritatea mea faåã de 3! Nu sunt eu 

strãmoæul a douã ramuri deosebit de importante ale matematicii 

moderne? Problema celor 7 poduri din Königsberg, care cere sã se 

afle dacã un pieton poate traversa o datã æi numai o datã fiecare 

dintre cele æapte poduri din Königsberg în plimbarea sa, a fost 

rezolvatã prin negaåie de Euler æi a condus la crearea topologiei æi 

a teoriei grafurilor. 

Aåi auzit, sunt sigur, de piramida psihologului american Harold 

Abraham Maslov (1908-1970) privind nevoile omeneæti. Este alcãtuitã 

din 7 trepte: 1. nevoile fiziologice (hranã, adãpost, repaus, 

viaåã sexualã); 2. nevoia de securitate (echilibru emoåional în 

muncã, în viaåã etc.); 3. nevoile sociale (de ataæare æi apartenenåã 

la variate grupuri sociale); 4. nevoile psihosociale (respect de sine, 

prestigiu, consideraåie etc.); 5. nevoile cognitive; 6. nevoile estetice; 

7. nevoia de autorealizare (în activitatea creativã). 

Cât priveæte comunicarea, aceasta se fundamenteazã pe 7 axiome; 

1. este inevitabilã (non-comunicarea este imposibilã); 2. se desfãæoarã 

la douã niveluri: informaåional æi relaåional; 3. reprezintã un 

proces continuu, care nu poate fi tratat în termeni de cauzã æi efect 

sau stimul æi rãspuns; 4. îmbracã fie o formã digitalã, fie una analogicã; 

5. este ireversibilã; 6. presupune raporturi de foråã æi 

implicã tranzacåii simetrice sau complementare; 7. presupune procese 

de ajustare æi de acomodare. 

Nimeni nu s-ar putea ridica împotriva universalitãåii mele. Sãptãmâna 

este formatã din 7 zile; culorile Curcubeului sunt 7. Cine n-a 

auzit de Cele 7 Minuni ale Lumii: Piramidele din Egipt, Grãdinile 

Suspendate ale Semiramidei de lângã Palatul lui Nabucodonosor


din Babilon, Statuia lui Zeus din Olimp, datoratã lui Phidias, 

Colosul din Rodos, Templul lui Artemis («Artemision») din Efes, 

Mausoleul satrapului Mausol din Halicarnas, Farul din Alexandria. 

Pe 7 îl întâlnim în toate mitologiile: în cea greacã, în cea islamicã, 

în cea buddhistã, dar æi în mitologiile precolumbiene, precum æi în 

folclorul multor popoare, în beletristicã, în poveæti æi în legende. 

E clar cã sunt o vedetã! 

Mitologiile mi-au recunoscut virtuåile, m-au considerat sacru, 

simbol al creaåiei, al desãvâræirii. Ele nu au negat niciodatã puterea 

mea magicã. 

Se spune cã Buddha, venind pe Lume, a mãsurat Universul 

fãcând câte 7 paæi în fiecare dintre cele patru direcåii. Patru dintre 

etapele esenåiale ale experienåei sale eliberatoare au corespuns 

unui popas de 7 zile sub 7 arbori. 

Allah, ca divinitate unicã æi universalã – spune teologia 

Islamului –, dispune de 7 atribute fundamentale, æi anume: 1. viaåa; 

2. cunoaæterea; 3. foråa; 4. voinåa; 5. auzul; 6. vãzul; 7. cuvântul. 

Fiecare dintre acestea reprezintã un element energetic absolut. 

Potrivit Talmudului, 7 este simbolul totalitãåii umane; în Islam 

este un numãr fast, legat de fecunditate; la mayaæi, divinitatea 

agrarã era Zeul 7, acest arhetip al Omului Desãvâræit, care impunea 

familiei simbolul numeric 7. La dogonii din Africa, 7 era simbolul 

perfecåiunii: 4 – simbolul feminitãåii + 3 – simbolul bãrbatului. 7 este 

expresia Cuvântului Desãvâræit æi deci al unitãåii originare. 

7 era numãrul zeilor la sumerieni, reprezentaåi pe frontispiciul 

Panteonului lor. Musulmanii sunt convinæi cã Paradisul este alcãtuit 

din 7 lãcaæuri: 1. Heruvimul lui Mahomed; 2. Huriile (fecioare 

deosebit de frumoase promise de Profet credincioæilor, în Paradis); 

3. Tinerii Paradisului; 4. Cele 4 Flori; 5. Cele 4 Izvoare ale 

Paradisului; 6. Treptele Fericirii; 7. Sãrbãtorile æi ospeåele 

Paradisului. În viziunea lor, cele æapte faze ale Judecãåii de Apoi


sunt: 1. apariåia în Cer a Coranului; 2. mãrturisirea celor fãptuite; 

3. cântãrirea faptelor bune æi a celor rele; 4. puntea subåire ca firul 

de pãr, tãioasã ca lama sabiei; 5. peretele despãråitor dintre Cer æi 

Iad (un fel de Purgatoriu); 6. sacrificiul moråilor; 7. balaurul cel 

mare. În sfâræit, în Oceania se credea cã din perechea Cer – 

Pãmânt s-au nãscut cei 7 zei principali: 1. Hrana; 2. Vântul; 3. Luna; 

4. Soarele; 5. Fructele æi Rãdãcinile; 6. Marea æi Peætii; 7. Rãzboiul 

æi Creaåia Omului. 

Numãrul 7 este frecvent folosit în Biblie. Se vorbeæte aici despre 

cele 7 Duhuri care sãlãæluiesc peste obâræia lui Iesel, despre cele 

7 Ceruri, unde se aflã lãcaæul cetelor de îngeri. Se spune cã 

Solomon a zidit Templul din Ierusalim în 7 ani. Iar la asediul 

Ierihonului, 7 preoåi, cu 7 trâmbiåe, au ocolit în a 7-a zi de 7 ori 

cetatea, zidurile acesteia dãrâmându-se la glasul trâmbiåelor. În 

Vechiul Testament citim cã, la Potop, au fost salvate câte 7 animale 

curate din fiecare specie. Tot aici aflãm cum a tãlmãcit Iosif visul 

despre cele 7 vaci grase æi cele 7 vaci slabe. 

Este semnificativ, nu-i aæa, cã Vechiul Testament foloseæte de 77 

de ori numãrul 7! În Apocalipsã, numãrul 7 figureazã de 40 de ori. 

Aici se pomeneæte despre cele 7 Duhuri care stau înaintea 

Scaunului «Celui ce este æi Celui ce era, Celui ce vine», despre cei 

7 îngeri cu cele 7 cupe ale mâniei, cele 7 epistole trimise celor 

7 Biserici care sunt în Asia, despre cele 7 trâmbiåe, cele 7 peceåi etc. 

E mai mult decât evidentã aprecierea de care mã bucur! Sfântul 

Augustin a admis cã 7 mãsoarã timpul în istorie, timp al peregrinãrii 

omului pe Pãmânt. 

Sã remarcãm cã pe 7 îl gãsim frecvent în folclorul românesc. De 

pildã, în Gruia în Åarigrad, întâlnim versuri precum: «Æapte ani sau 

împlinit; Æapte ani au æi trecut». El figureazã în multe basme, 

începând cu Albã ca Zãpada æi Cei 7 Pitici, Cei 7 Corbi, Croitoraæul 

cel Viteaz, care omoarã 7 dintr-o loviturã etc. 

Numãrul 7 s-a remarcat æi în literaturã. Cine n-a auzit de cele 

7 Pleiade, de cele 7 fiice ale zeului Apollo sau ale Titanului Atlas æi


ale Nimfei Pleione urmãrite de îndrãgostitul Orion, pe care Zeus le-a 

strãmutat în Cer împreunã cu urmãritorul lor æi cu câinii lui æi i-a 

prefãcut în trei constelaåii: Pleiadele, Orion æi Câinii. Poezia a dat 

numele de Pleiadã celor 7 poeåi care au trãit sub Ptolemeu al II-lea 

Filadelful (309-246 î.e.n), rege al Egiptului, care æi-a legat numele 

de construirea Farului din Alexandria. Venind mai încoace, sã-l 

evocãm pe Dante Alighieri (1265-1321). Creatorul Divinei 

Comedii pomeneæte despre cele 7 sfere planetare, cãrora le corespund 

cele 7 arte liberale. Cele 7 prinåese ale poetului persan Nizami 

(c.1140-c.1202) împletesc simbolismul culorilor cu astrologia. În 

Jurnalul sãu, Liviu Rebreanu mãrturiseæte cã în romanul Adam æi 

Eva a recurs la teoria reîncarnãrii eroilor sãi pornind de la mitul 

platonician al împãråirii androginului în douã jumãtãåi (bãrbat æi 

femeie), care se cautã într-un ciclu de 7 vieåi terestre. 

Numãrul 7 i-a inspirat mereu æi pe muzicieni. Sunt sigur cã 

susåinãtorii mei au audiat oratoriul Cele 7 Poråi ale Ierusalimului, 

de compozitorul polonez Krzysztof Penderecki (n. 1933). 

Numãrul 7 este asociat, de asemenea, cu lampa roæie a societãåilor 

secrete chineze, care are 7 braåe, æi cu candelabrul cu 7 braåe 

al evreilor (menora). 

La încheierea celor schiåate pânã aici, o sã scot asul din 

mânecã: voi enumera cele 7 minuni ale lumii afacerilor: 1. cumpãrarea 

de cãtre S.U.A., în 1867, a peninsulei Alaska de la ruæi; 

2. fondarea Intel (Integrated Electronics), în 1963, best-buy-ul secolului 

al XX-lea; 3. Coca-Cola, nãscutã acum mai bine de un secol, 

în 1896; 4. cumpãrarea de cãtre Microsoft a tehnologiei antivirus 

GECAD de la România; 5. industria pantofilor-sport Nike, apãrutã 

în 1972; 6. inventarea PET, adicã a banalei sticle de plastic; 7. impactul 

Internetului asupra lumii afacerilor. 

Aæadar, voi câætiga! Voi fi preæedinte!“.


Φ – misteriosul Numãr de Aur 

Arina æi Gabriela, oaspeåii lui Cãtãlin, sunt vizibil conectaåi la 

tensiunea alegerilor prezidenåiale. Discuåia celor trei demareazã pe 

aceastã temã: 

Arina: Sunt propuæi æi candidaåi independenåi la preæedinåie? 

Are æanse vreunul sã-l învingã pe 3 sau pe 7? 

Cãtãlin: Da, Numãrul de Aur sau, dacã vreåi, misteriosul æi 

arogantul . Dupã cum ætiåi, acest numãr face parte 

din clasa infinitã a numerelor iraåionale, mai rafinatã 

decât clasa numerelor naturale, cãreia îi aparåin 3 æi 

7. Dar chiar æi în cadrul clasei numerelor iraåionale, 

Numãrul de Aur e mai cu moå printre confraåii lui. 

Abia a început discuåia, cã celor trei li se alãturã Andrei, un coleg 

al lui Cãtãlin. Dupã prezentãrile de rigoare, Cãtãlin îi explicã lui 

Andrei interesul oaspeåilor lui pentru Numãrul de Aur. Andrei intervine 

cu propriile lãmuriri: 

Andrei: Printre numerele iraåionale, Numãrul de Aur ocupã, 

într-adevãr, un loc privilegiat; e prezent constant în 

geometria decagonului æi a pentagonului. 

Arina: Mai întâi, spuneåi-mi ce este Numãrul de Aur? 

Cãtãlin: În termeni matematici, este acel numãr mai mic 

decât pãtratul sãu cu exact o unitate. Cu alte cuvinte, 

este soluåia ecuaåiei x2 Φ 

- x - 1 = 0. 

Arina: Æi care-i originea lui? 

Cãtãlin: Originea Numãrului de Aur trimite la mecanismele 

corpurilor platonice. 

Gabriela: Au fost denumite æi numere pitagorice sau cosmice. 

Sunt cunoscute înaintea lui Platon (428-348/347 

î.e.n.) de cãtre pitagoreici. 

Andrei: Mai precis, este vorba despre cele cinci poliedre regulate:


tetraedrul, cubul, octoedrul, dodecaedrul æi izocaedrul. 

Arina: Dacã-i aæa, atunci ceea ce numim mistica Numãrului 

de Aur se aflã în strânsã corelaåie cu mistica 

numerelor 5 æi 10. 

Gabriela: Lucrurile se leagã. Nu întâmplãtor, cei vechi puneau 

mare preå pe aceste numere. Relaåia dintre 10 æi 

primele 4 numere din æirul numerelor naturale: 

10 = 1 + 2 + 3 + 4 o numeau tetradis. Termenul 

tetradis apare explicit în jurãmântul sacru al pitagoreicilor. 

Cãtãlin: La greci, 10 – decada – desemna Universul! 

Andrei: Existã o strânsã legãturã între Numãrul de Aur æi 

modul în care se taie diagonalele poligoanelor cu 5 æi 

cu 10 laturi, adicã pentagonul æi decagonul, precum 

æi între diagonala pentagonului æi latura lui. 

Cãtãlin: De fapt, Numãrul de Aur este însãæi cheia construcåiei 

pentagonului! 

Arina: Cine l-a descoperit? 

Gabriela: A fost cunoscut cu mult înaintea grecilor. Egiptenii 

l-au folosit la construcåia piramidelor. 

Arina: Ei l-au botezat aæa de pompos? 

Cãtãlin: Nu. O sã vezi puåin mai încolo. Nici chiar discipolii 

lui Pitagora (570-480 î.e.n.), care l-au folosit, nu i-au 

pus un nume! 

Arina: Æi pe urmã? 

Andrei: Numãrul de Aur a avut un impact deosebit în timpul 

Renaæterii. Astronomul german Johannes Kepler 

(1571-1630) spunea despre acest numãr cã este 

„o bijuterie“. Leonardo da Vinci (1452-1519) a 

descoperit Numãrul de Aur atunci când a studiat proporåiile 

dintre diferitele pãråi ale corpului omenesc. 

El l-a îndemnat pe matematicianul italian Luca 

Pacioli (1445-1510) sã scrie o carte despre acest


numãr. Pacioli a publicat, la Veneåia, în 1509, Divina 

proportione, bogat ilustratã de Leonardo da Vinci. 

Este cea dintâi expunere a proprietãåilor matematice 

ale Numãrului de Aur. 

Gabriela Am citit undeva cã pictorul 

æi gravorul german 

Albrecht Dürer (1471- 

1528) a venit la Bologna 

sã se iniåieze în arta perspectivei 

de la Pacioli. 

Arina: De fapt, ce a descoperit 

Pacioli? 

Cãtãlin: Luca Pacioli a fost con- 

vins cã a dezvãluit o ætiinåã 

secretã. El considera 

cã Numãrul de Aur este 

Luca Pacioli 

asemenea Sfintei Treimi, fiindcã reprezintã o relaåie 

între trei numere, dintre care cel mai mare este suma 

celorlalte douã, astfel încât raportul celui mai mare 

faåã de cel mediu este egal cu raportul celui mediu 

faåã de cel mic. 

Arina: Am impresia cã ne învârtim în jurul cozii. Eu vreau 

sã ætiu concret ce este æi ce valoare are acest numãr, 

pe care nu faceåi altceva decât sã-l ridicaåi în slãvi. 

Cãtãlin: Valoarea lui este 1,618033… Iar expresia lui geometricã 

este legatã de problema împãråirii unui segment 

printr-un punct, respectând o anumitã condiåie, 

care asigurã armonia. 

Arina: Nu înåeleg nimic! 

Cãtãlin: Hai sã procedãm altfel. Sã luãm un segment AB æi sã 

fixãm pe el un punct C, care sã îndeplineascã urmãtoarea 

condiåie: sã fie astfel poziåionat încât segmentul 

mai mare AC sã fie media proporåionalã între întregul


A C 

C B 

segment AB æi partea rãmasã CB. Uite aici, pe hârtie; 

trebuie sã avem proporåia: 

AB 

= 

AC 

A C B 

Am spune, în limbaj modern, cã punctul C opereazã 

AC 

o secåiune de aur, iar raportul 

Numãrul de Aur. 

CB 

se numeæte 

Arina se agitã. 

Cãtãlin: Te rog, Arina, lasã-mã sã continui. Observi în 

aceastã figurã cã AB = AC + CB. Introduc aceastã 

sumã în proporåia de mai sus æi obåin: 

AC + CB AC 

= , 

AC CB 

expresie pe care o pot scrie: 

AC 

AC 

1 + 

+ 

C B 

A C 

CB 

AC 

= 

= 

A C 

C B 

AC 

CB 

æi, în continuare, 

Gabriela: Ei æi? 

Cãtãlin: Stai puåin, Gabi! Am spus, ceva mai înainte, cã 

AC 

raportul reprezintã Numãrul de Aur. Pentru vir- 

CB tuåile lui incontestabile, a fost botezat 

cu iniåiala numelui celebrului sculptor grec Fidias 

(Phidias) – Φ .


AC 

În formula mea de mai sus, avem, aæadar: = Φ 

CB 

CB 

1 

æi , adicã inversul lui, este . 

AC 

Φ 

1 

Formula devine 1 + = F . 

F 

F 

F 

F 

F 

F 

Arina: 

Φ 1 

Deci o ecuaåie pe care o pot scrie + = 

2 Φ Φ 

sau – – 1 = 0. 

2 

Cãtãlin: Exact. Iar aceastã ecuaåie o rezolvãm uæor. Ia æi tu 

pixul æi socoteæte. 

Arina (face calculele): Rãdãcinile ecuaåiei 

2 

– – 1= 0 se 

obåin prin metoda de rezolvare a ecuaåiilor de gradul 

doi: ax 2 2 

− b ± b − 4ac 

+ bx +c = 0, x = ; 

1, 2 2a 

în cazul nostru a = 1, b = – 1, c = – 1. Obåinem cã 

F are valoarea 1,618033988… 

Da. Dar nu vãd încã aura de misticism care-l înconjoarã 

pe Φ . 

Cãtãlin: Numãrul de Aur asigurã armonia. 

Andrei: Mai este æi un alt motiv care a contribuit la 

sacralizarea Numãrului de Aur. 

Cãtãlin: Simplu, e raportul dintre douã numere consecutive 

din æirul lui Fibonacci. 

Arina: Cine mai e æi acest Fibonacci? 

Andrei: Nimeni altul decât matematicianul Leonardo din 

Pisa (1180-1230). Era poreclit Fibonacci, adicã 

F


feciorul lui Bonacci. El a transpus, printr-un æir de 

numere, o lege importantã referitoare la creæterea 

organicã. Pornind de la problema: câte perechi de 

iepuri de casã se nasc într-un an dintr-o singurã 

pereche de iepuri, Fibonacci a stabilit æirul urmãtor, 

care-i poartã numele: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ……. Acest 

æir se bucurã de urmãtoarea proprietate: fiecare termen 

al lui, începând cu cel de-al treilea, este egal cu 

suma celor doi termeni precedenåi (3 = 2 + 1; 5 = 3 + 2; 

8 = 3 + 5; 13 = 5 + 8). Or, raporturile a doi termeni 

consecutivi din aceastã serie tind spre Φ . 

8 

1 3 

2 1 

34 

= 1,6; = 1,625; = 1,61…; = 1,619 

5 

8 

1 3 

21 

Andrei: De-a lungul veacurilor, oamenii l-au venerat pe Fibonacci 

pentru aceastã descoperire. În prezent, 

Asociaåia Fibonacci, creatã în 

1963, publicã o revistã consacratã 

acestui matematician 

italian, intitulatã „Fibonacci 

Quarterly“. E uæor de urmãrit 

pe Internet, la adresa: 

www.MSCS.dat.ca.Fibonacci. 

Cãtãlin: Æirul 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... 

tinde rapid spre o progresie 

geometricã ce are ca raåie 

Numãrul de Aur, dar Fibonacci 

nu ætia acest lucru. Luna tre- Leonardo din Pisa 

cutã, am avut norocul sã foi- (Fibonacci) 

letez traducerea în limba 

englezã a volumului Liber Abaci – Cartea socotitului 

(1202), datoratã lui Laurence Siegler. Face parte din 

pregãtirea specialã pentru concurs. Practic, avem de-a


face cu un manual de aritmeticã, în care întâlnim 

aspecte dintre cele mai diverse. El oferã criterii de 

divizibilitate, uæureazã adunarea fracåiilor cu ajutorul 

celui mai mic multiplu comun, introduce æirul 

numeric care poartã numele autorului. Æi tot aceastã 

carte pune bazele calculului comercial. Aæ observa 

însã cã, din cele 600 de pagini ale cãråii lui Fibonacci, 

doar o jumãtate de paginã trateazã problema iepurilor! 

Æi tot fãcând „sãpãturi“, am aflat cã problema nu era 

originalã! O fi ætiut, oare, Fibonacci cã un cãlugãr 

enciclopedist englez – Beda Venerabilul (c. 672/673- 

735) –, cunoscut pentru faimoasa lui metodã de calcul 

cu degetele, a inclus, în aritmetica sa, problema 

iepurilor cu aproximativ 500 de ani înaintea lui? 

Gabriela: Pãi, caracteristicile acestea ne garanteazã puterea 

nemãsuratã pe care o pretinde Numãrul de Aur? 

Cãtãlin: Numãrul de Aur susåine cã are toate atuurile sã devinã 

preæedinte – ca independent – fiindcã, în fond, asigurã 

armonia atât în naturã, cât æi în artã. Pretutindeni æi 

întotdeauna se apeleazã la virtuåile lui pentru a se 

veni cu explicaåii satisfãcãtoare. 

Arina: Vreau exemple. 

Cãtãlin: De pildã, pe baza viziunii sale, au fost stabilite 

dimensiunile camerei regale din Marea Piramidã a 

lui Keops. Ombilicul împarte corpul omenesc conform 

Numãrului de Aur, asigurându-i armonia. 

Numãrul de Aur reprezintã canonul dupã care pot fi 

stabilite proporåiile diferitelor pãråi ale unei clãdiri. 

Arhitecåii au construit catedralele gotice folosind 

„tãietura de aur“. Mulåi artiæti æi esteticieni vãd în 

caracteristicile matematice ale Numãrului de Aur 

fundamentul virtuåilor estetice. Ei sunt de pãrere cã


acesta simbolizeazã perfecåiunea, oferind, în acelaæi 

timp, o explicaåie universalã a simåului estetic. 

Folosind aceste argumente, Numãrul de Aur ajunge 

la concluzia cã el reprezintã, de fapt, explicaåia unicã 

æi ultimã a Frumosului, cã este Divin! 

Gabriela: La noi se ætia ceva despre toate acestea? 

Cãtãlin: Am sã-åi spun un lucru care o sã-åi placã: Numãrul 

de Aur este profund îndatorat unui compatriot al nostru, 

Matila Ghyka (1881-1965), ale cãrui cercetãri de 

pionierat ilustreazã legãtura intimã dintre matematicã 

æi artã. Opera lui Matila Ghyka, creatã în deceniile 

II-III ale veacului trecut, este, dupã cum bine spune 

acad. Solomon Marcus, „prin excelenåã o operã 

deschisã care ne invitã mereu la o nouã lecturã, în 

funcåie nu numai de achiziåiile noi ale ætiinåei, ci de 

propria noastrã sensibilitate“ (Solomon Marcus, 

Arta æi ætiinåa, Bucureæti, Editura Eminescu, 1986). 

Andrei: Am preamãrit virtuåile Numãrului de Aur în artã, dar 

despre impactul lui în naturã n-am pomenit mai 

nimic. Frecvenåa cu care întâlnim Numãrul de Aur în 

naturã este impresionantã. Plantele, animalele æi 

omul se caracterizeazã prin raporturi care se apropie 

de acest numãr. Ætiaåi cã lista descendenåilor unei 

albine-mascul este reprezentatã prin æirul lui 

Fibonacci? La plante, amplasarea frunzelor în jurul 

tulpinii respectã Numãrul de Aur, care le asigurã 

maximum de luminã. Spiralele seminåelor de 

floarea-soarelui sunt dispuse în receptacul pe baza 

Numãrului de Aur. Mãsuraåi-vã din creætet pânã în 

tãlpi, apoi de la ombilic pânã la tãlpi æi veåi gãsi 

Numãrul de Aur prin împãråirea celor douã distanåe. 

Mãsuraåi lungimea braåului de la umãr la vârful


degetelor æi împãråiåi-o la distanåa dintre cot æi vârful 

degetelor æi veåi gãsi Numãrul de Aur! 

Cãtãlin: Eu am un tricou, la care åin mult, pentru cã reprezintã 

un foarte cunoscut desen al lui Leonardo da Vinci, 

botezat Omul Vitruvian, dupã numele celebrului 

inginer æi arhitect roman Marcus Pollio Vitruvius 

(secolul I î.e.n). Desenul este inclus în volumul acestuia 

De architectura; o sã vi-l arãt, fiindcã reprezintã 

ilustrarea optimã a Numãrului de Aur la om. Omul 

Vitruvian figureazã æi pe moneda de 1 euro. 

Andrei: Eu sunt, pur æi simplu, uluit de posibilitatea acestui 

numãr de a fi reprezentat printr-o fracåie continuã 

infinitã, adicã: 

1 

1 + 

1 

1+ 

1 

1+ 

1+ 

...... 

Cãtãlin: Or, fracåiile continue aproximeazã cel mai bine un 

numãr iraåional. 

Arina: Pe mine mã impresioneazã perenitatea Numãrului de 

Aur. O ilustreazã absolut magnific arhitectul æi pictorul 

francez Charles Le Corbusier (1887-1965). El a 

creat un nou sistem al proporåiilor arhitecturale, 

brevetat în 1945, care se bazeazã pe Numãrul de 

Aur. Iar Dan Brown l-a evocat în romanul sãu Codul 

lui da Vinci. 

Andrei: Ar mai fi de spus cã, în locul „tãieturii de aur“, Le 

Corbusier a ales o scarã de proporåie care sã corespundã 

cerinåelor arhitecturii din timpul sãu. Acest etalon 

modern l-a denumit modular, având înåelesul din 

Antichitate æi Renaætere pentru „tãietura de aur“.


Buclucuri matematice 

Arina viseazã cã se aflã în parcul din Åara Numerelor æi citeæte 

cartea despre numere scrisã de Florica T. Câmpan, apãrutã în 1965. 

La un moment dat, se aæazã lângã ea un domn mai în vârstã, cu o 

înfãåiæare sobrã. Se simte de departe cã e un cãrturar, un profesor. 

Curios din fire, trage cu ochiul la cartea Arinei. 

Profesorul: Vã intereseazã numerele, domniæoarã? 

Arina: Foarte mult, domnule. Numerele pun ordine în viaåa 

omului. 

Profesorul: Dar pot provoca æi buclucuri. 

Arina: De ce? 

Profesorul: Sã vã explic. Ætiåi cã vin alegerile. Se spune cã nu 

poate exista scrutin perfect. Æi fiindcã nu-mi place sã 

fiu manipulat, m-am gândit sã mã documentez la o 

sursã sigurã: matematica electoralã. 

Arina: Existã aæa ceva?. 

Profesorul: Fireæte. Pãrintele matematicii electorale este cunoscutul 

marchiz de Condorcet (1743-1794), matematician, 

filosof, economist, dar æi om politic francez. 

Arina: Dupã alegeri, urmeazã ceva foarte dificil: repartizarea 

corectã a locurilor în parlament. 

Profesorul: Da, æi asta a produs dintotdeauna dureri de cap. 

Criteriul cel mai frecvent adoptat a fost acela al proporåionalitãåii. 

Chiar aplicat cu acurateåe, acest criteriu 

duce la încurcãturi, dacã nu la situaåii de-a 

dreptul ridicole. Folosindu-l, se poate ajunge la o 

repartiåie a locurilor de genul: 30,005; 84,9317; 

24,598 etc., etc. Evident, numerele acestea le-am ales 

întâmplãtor, pentru a ilustra fenomenul. Deci legiuitorii 

sunt obligaåi, pe de o parte, sã rotunjeascã 

totalurile obåinute, iar pe de alta sã nu comitã ilegalitãåi.


Or, chiar æi în matematica purã problema rotunjirilor 

devine una cumplitã. Carl Friedrich Gauss 

(1777-1855) – considerat de cãtre unii cel mai mare 

matematician al tuturor timpurilor – spunea cu umor 

cã unica soluåie pentru rotunjire este… tragerea la 

soråi! 

Arina: Democraåiile occidentale nu i-au dat de capãt? 

Profesorul: În S.U.A., mari personalitãåi ale ætiinåei au încercat 

sã rezolve aceastã problemã, dar n-au ajuns la soluåii 

satisfãcãtoare. Am aici numeroase exemple pe care 

le-am cules din literatura de specialitate. O sã-åi arãt 

douã. În primul caz, e vorba de cinci state federale, 

notate cu A, B, C, D, E, cãrora trebuia sã le fie repartizate 

26 de locuri. Dupã metoda lui Alexander 

Hamilton (1757-1804), om de stat american, colaborator 

a lui George Washington æi fondator al partidului 

federalist, repartiåia urma sã fie fãcutã ca în tabelul 

pe care åi-l arãt acum: 

Statul Populaåia Numãrul real Prima rundã A doua rundã 

(sute al repre- de de 

de mii) zentanåilor distribuire distribuire 

A 9.061 9,061 9 9 

B 7.179 7,179 7 7 

C 5.259 5,259 5 5 

D 3.319 3,319 3 4 

E 1.182 1,182 1 1 

Total 26.000 26 25 26 

Dupã cum se vede, domniæoarã, în prima rundã 

Hamilton a renunåat la partea zecimalã æi a ajuns la 

25 de reprezentanåi. În cea de-a doua rundã, a repartizat 

statului D un loc în plus, deoarece partea zecimalã


a lui D este cea mai mare. Hamilton a încercat încã o 

îmbunãtãåire: a mãrit numãrul locurilor la 27 æi a 

propus urmãtoarea nouã repartiåie: A = 9 locuri; B = 

8 ; C = 6; D = 3 æi E = 1. În acest caz, câætigã statele 

B æi C, dar pierde statul D. Aceastã manevrã subtilã 

este cunoscutã sub numele de Paradoxul Alabama. 

Arina: Aæa se ajunge la înfundãturã. Nu existã o altã cale? 

Profesorul: Ba da, existã o metodã celebrã de repartiåie, propusã 

de Thomas Jefferson (1743-1826), preæedinte al 

S.U.A. între 1801 æi 1809, adoptatã de George 

Washington (1732-1799). Este cunoscutã sub 

numele de metoda celor mai mari divizori. Pe când 

Hamilton a folosit ca divizor numãrul 1 000, 

Jefferson a recurs la numãrul 906,1. Alegerea lui 

906,1 ca divizor îi dã lui Jefferson 10 locuri pentru 

statul A, 7 locuri pentru statul B, 5 locuri pentru statul C, 

3 locuri pentru statul D æi 1 loc pentru statul E, deci 

un total de 26 de locuri. Cu metoda acestuia din 

urmã, statul cel mai populat a mai câætigat un 

reprezentant. Mult mai rar, e drept, se adoptã sisteme 

de reprezentare preferenåialã, în care caz buclucul e 

æi mai evident. 

Arina: Dupã câte constat, socotelile pot duce, oriunde în 

lume, la paradox. 

Profesorul: Nu la un paradox, ci la un numãr mare de paradoxuri, 

ale cãror mecanisme sunt detectate æi analizate 

de specialiæti cu ajutorul unor tehnici mai vechi sau 

chiar foarte noi ale matematicii, mai mult sau mai 

puåin sofisticate. 

Arina: Care ar fi cele mai „fioroase“ dintre aceste paradoxuri? 

Profesorul: Bunãoarã, Paradoxul lui Condorcet, potrivit cãruia 

preferinåele indivizilor exprimate prin vot sunt


„intranzitive“, ceea ce înseamnã cã de multe ori opåiuni 

pertinente ale cetãåenilor sunt respinse de mari 

grupãri sociale ca fiind „iraåionale“. Dintre paradoxurile 

matematicii politice, celebru este cel al cunoscutului 

economist american Kenneth J. Arrow (n. 

1921), care a admis cã din punct de vedere matematic 

idealul democraåiei perfecte este imposibil. 

Afirmaåia aceasta i-a nãucit æi pe matematicieni, æi 

pe economiæti, dar i-a asigurat autorului Premiul 

Nobel, în 1972! 

Arina: Dacã nu îndrãznesc prea mult, 

aæ dori sã-mi mai vorbiåi 

despre paradoxuri. 

Profesorul: Atunci sã mai abordãm un 

aspect: se ætie cã, în general, 

sistemul preferenåial conduce, 

prin transfer, la multe paradoxuri. 

Acest sistem face ca 

acela care, de fapt, are dreptul 

sã învingã, pânã la urmã sã fie 

învins. Un paradox important 

este cel al amendamentului, 

Kenneth J. Arrow 

care se preteazã la viclenii. Iatã, sã presupunem cã în 

Camera Reprezentanåilor se propune un amendament 

la o lege. Dacã acesta este acceptat, la al doilea 

scrutin se cere sã se aleagã între legea amendatã æi 

respingerea legii. În acest fel, de multe ori legi bune 

cad la al doilea scrutin, din pricina unor amendamente 

propuse în mod viclean.

SECVENÅE DE ISTORIE 

Ionuå aflã despre apariåia numerelor 

Arina: De ce eæti îmbufnat, Ionuåe? 

Ionuå: Cum sã nu fiu! Tu te distrezi æi citeæti tot felul de 

poveæti despre numere, o sã participi la concurs, 

poate o sã pleci în Marea Britanie, iar eu învãå, fac æi 

desfac probleme. Am numai 10 la matematicã, dar 

n-am voie sã particip…, cicã sunt prea mic. 

Adevãrul e cã nu-s tare la istoria numerelor, n-am 

idee cum au apãrut ele. 

Arina: Câte ceva pot sã-åi spun eu. 

Ionuå: De exemplu, cum au început sã numere strãbunii 

noætri? 

Arina: Ionuåe, totul a plecat de la naturã. Ca sã mãsoare cantitãåi 

(cereale, piei de animale etc.), strãmoæul nostru 

se folosea fie de pietricele sau de scoici, fie de boabe 

de cereale sau de beåiæoare, care åineau loc de numãr. 

Lua, de pildã, un beåiæor æi o piele de animal, pe care 

le punea, sã zicem, în stânga pielea æi în dreapta 

beåiæorul; lua, în continuare, alt beåiæor æi cea de a 

doua piele; proceda la fel pentru a treia, a patra 

æ.a.m.d. 

Ionuå: Au existat æi alte modalitãåi pentru a avea o evidenåã 

a bunurilor? 

Arina: La babilonieni, stãpânul proceda într-un mod 

asemãnãtor atunci când încredinåa pãstorului turma 

sa. Pentru fiecare oaie predatã acestuia punea într-un 

bol de lut proaspãt frãmântat câte o pietricicã. Atunci


când încheia predarea oilor, astupa bolul, care se 

solidifica. La revenirea turmei, se spãrgea bolul æi se 

proceda invers decât la predare. Pentru fiecare oaie 

recepåionatã se extrãgea din bol câte o pietricicã. 

Dacã rãmâneau pietricele în bol, ciobanul era obligat 

sã dea explicaåii stãpânului. Dacã, dimpotrivã, nu 

ajungeau pietricelele, însemna cã între timp oile s-au 

înmulåit. 

Ionuå: Dar la noi? 

Arina: La noi gospodarul æi pãstorul au folosit în acelaæi 

scop rãbojul, iar plutaæii încrustãrile pe cherestea. 

Ionuå: Ce este rãbojul? 

Arina: Pretenåios spus, este un instrument de evidenåã æi de 

control în tranzacåii comerciale, înregistrãri fiscale 

æ.a. Practic, este o bucatã de lemn, un beåiæor pe care 

se marcheazã linear, prin crestãturi, diverse cantitãåi 

(mãrfuri, sume de bani, numãr de animale etc.). Apoi 

acest suport de lemn se despicã în douã, fiecare parte 

rãmânând în posesia unei jumãtãåi de beåiæor. Acest 

obicei a fost pãstrat mai ales printre ciobani. Sã mai 

reåii, Ionuåe, cã, în vremuri de demult, oamenii îæi 

foloseau mâinile pentru a numãra. 

Ionuå: În clasa I socoteam pe degete! 

Arina: Cu ajutorul mâinilor strãbunii numãrau pânã la 10, 

iar pentru numere mai mari se serveau æi de degetele 

de la picioare. Oricum, Ionuåe, te felicit cã vrei sã æti 

cât mai multe despre numere. Nu trebuie sã fii trist 

cã nu participi la concurs. Peste câåiva ani o vei face 

cu brio. 

Ionuå: O sã câætig, ai sã vezi! Ætii cã mã pasioneazã æi 

numerele figurative. 

Arina: Precis cã ai pornit de la metoda grecilor, care


reprezentau numerele naturale prin construirea de 

figuri geometrice cu ajutorul pietricelelor. 

Ionuå: Cum ai ghicit? Tocmai mã gândeam la numerele 

triunghiulare, formate din mai multe pietricele 

aæezate în formã de triunghiuri echilaterale, apoi la 

numerele pãtratice, pentagonale, poligonale. 

Arina: Deseneazã-mi câteva. 

Ionuå deseneazã: 

• • • • • • • 

• • • • • • • • 

• • • 

3 4 5 6 

Ionuå: Poftim. E simplu, numerele triunghiulare se obåin 

unul din altul, adaugându-se la baza triunghiului 

precedent un nou rând de pietricele având o unitate 

în plus (adicã o pietricicã în plus). Ele se obåin 

adãugând întregii consecutivi: 1; 1 + 2; 1 + 2 + 3; 

1 + 2 + 3 + 4 æ.a.m.d. 

Arina: Ætiu cã æiruri de numere de genul acestora i-au preocupat 

nu numai pe greci, ci æi pe egipteni, pe 

babilonieni, pe hinduæi æi pe chinezi. 

Ionuå: Pe greci i-au delectat! Pe mine, la fel. Uite, aæ nota 

pe 1, 3, 6 æi 10 aæa: 

• • • • 

• • • • • • 

• • • • • • 

• • • • 

1 3 6 10


Ionuå: Aæ folosi pentru asta rubine. Pun întâi 1 rubin, apoi 

adaug 2 rubine æi îl obåin pe 3, dupã care pun încã 3 

rubine æi îl obåin pe 6. Nu e frumos? Numerele 

pãtratice le-aæ face din safire. Aæa ar arãta 1, 4, 9, 16: 

• • • • • • • • • • 

• • • • • • • • • 

• • • • • • • 

• • • • 

1 4 9 16 

Ionuå: Numerele pãtratice se obåin prin adãugarea numerelor 

impare consecutive. 

Arina: Numerele pãtratice se pot obåine æi prin alãturarea a 

câte douã numere triunghiulare, 

Ionuå: Grecii deduceau numerele poligonale din numere 

triunghiulare, încã de acum 2300 de ani. Îåi fac eu un 

desen pentru numere pentagonale. Iatã-l: 

Arina Ionuåe, eæti o contradicåie! La capitolul numere figurative 

devii sau ai æi devenit as. 

Ionuå: Mie îmi plac mult numerele figurative! Poveætile cu 

aceste numere le gãsesc cool! Pe tema asta o sã fac o 

expoziåie color la æcoalã.


Omul a numãrat înainte de a vorbi 

E mult de când a plecat Ionuå. Cufundatã în fotoliu, Arina se 

gândeæte la miracolul apariåiei numerelor. Se ætie – îæi spune ea – cã 

omul a inventat mai întâi numerele æi mai apoi literele. Dar ce ætim 

despre capacitatea omului de a recunoaæte æi de a mânui numerele? 

Cu jumãtate de secol în urmã, lingvistul american Noam Chomsky 

(n. 1928) a afirmat cã orice fiinåã umanã se naæte cu capacitatea vorbirii 

naturale. În prezent, specialiætii în ætiinåele neurologice susåin 

cã existã competenåe nonverbale care permit evaluarea cantitãåilor 

chiar înainte de stãpânirea limbajului. Mecanisme preexistente au 

fost detectate la nou-nãscuåi, care-i ajutã la evaluarea, compararea æi 

chiar operarea cu cantitãåi extrem de reduse. Începând de la æase 

luni, sugarul deosebeæte cantitãåile foarte mici, pe care le poate 

aduna sau scãdea prin mijloace nonverbale. Ulterior, pe la doi sau 

trei ani, copilul îæi foloseæte degetele în acelaæi scop. Mai târziu, el 

se va servi de un sistem bazat pe limbajul articulat, care-i va permite 

sã efectueze calculele în mod precis. 

Am citit cã imagineria cerebralã a permis descoperirea unei largi 

reåele de circuite neuronale în creier care asigurã calculul mental. 

Ele implicã multiple regiuni situate pe loburile frontal æi parietal æi 

variazã paråial potrivit tipului de operaåie efectuatã: comparaåie, 

adunare, scãdere sau înmulåire. Se vehiculeazã ipoteza cã în calculul 

mental sunt implicate douã sisteme cerebrale: unul nonverbal, bazat 

pe sensul numerelor æi pe manipularea cantitãåilor; celãlalt verbal, 

bazat pe memorizarea calculelor (adunãri simple æi înmulåiri). 

Sistemul nonverbal stã la baza capacitãåii aritmetice a copilului æi 

este legat de circumvoluåiunea intraparietalã. Trebuie sã mã mai 

gândesc... S-a fãcut miezul nopåii.

PRIN CLUBURI 

Asociaåia Iubitorilor Numãrului 

Un grup de colegi de clasã ai Arinei discutã aprins, pe când 

ceilalåi danseazã æi scandeazã un soi de descântec: 

Sandra: Pieriåi pentagoane, hexagoane 

Æi alte goane, 

Cum pier negurile, 

Cum se sting vânturile. 

Valentin: Pieriåi ecuaåii plicticoase, 

Pieriåi matrici ticãloase, 

Cum se risipeæte roua la Soare, 

Cum dispare spuma de mare. 

Margareta: Fugiåi gânduri blestemate 

De ipoteze alambicate, 

Concluzii întortocheate 

Æi demonstraåii îmbârligate. 

În replicã, Arina le propune colegilor sã se organizeze într-o 

Asociaåie a Iubitorilor Numãrului. Propunerea este primitã cu 

aplauze. Arina este aleasã preæedinta Asociaåiei. Pentru început, ea 

va trebui sã creeze o bazã de date necesarã pregãtirii candidaåilor 

pentru concurs. 

Preæedinta îæi ia imediat rolul în primire æi distribuie sarcini 

fiecãrui membru al Asociaåiei: Sandra va studia matematica la 

egipteni; Valentin se va edifica asupra sistemului de numãrare al


aztecilor æi mayaæilor; Margareta va culege materiale despre 

matematica la sumerieni æi la babilonieni; Toma va aduce informaåii 

despre matematica la greci; Stela despre matematica la romani; 

Mihai, împreunã cu Nic, va cãuta informaåii despre sistemele alfabetice 

de numãrare; Cristi æi Rodica vor culege informaåii despre 

matematica la chinezi; iar Bogdan æi Ionuå, despre matematica la 

indieni. Æi, bineînåeles, fiecare va vizita clubul profilat. 

La Clubul Primelor Zece Numere 

Nopåile Arinei sunt populate de vise, cel mai adesea în legãturã 

cu numerele. Iatã unul dintre ele: se fãcea cã este invitatã la Clubul 

Primelor Zece Numere. Un portar stilat, semãnând mai degrabã cu 

un lord din veacuri trecute, o pofteæte înãuntru. O întâmpinã 

Numãrul 1, care-i adreseazã „Bun venit!“. Arina mulåumeæte æi 

încearcã sã-æi exprime dorinåa de a afla cât mai multe despre el æi 

despre confraåii lui. 

Arina: Domnule Unu, vã mãrturisesc cã sunt o admiratoare 

a Domniei Voastre æi ætiu multe despre prezenåa 

Numãrului 1 în lume. 

Numãrul 1: Sunt încântat sã aflu asta! 

Arina: Ætiu cã Numãrul 1 a fost reprezentat printr-o linie 

verticalã de cãtre sumerieni, babilonieni, egipteni, 

hinduæi, romani, arabi, chinezi (uneori), cu o linie 

orizontalã de cãtre japonezi æi chinezi, iar cu un 

punct de cãtre mayaæi. Evreii, fenicienii, arabii, 

grecii îl notau cu prima literã a alfabetului lor… 

În acel moment, intrã în salã trei tineri. Numãrul 1 face prezentãrile: 

Cristina æi Cabiria, studente la Psihologie, respectiv la 

Teologie, æi Sorin, doctorand în Filosofie.


Arina: Discutam despre Numãrul 1. 

Sorin: De aceea am æi venit aici. Admiraåia mea pentru 

Domnia Sa e imensã. unu reprezintã locul-simbol al 

fiinåei, centrul cosmic æi ontologic. Impactul lui este 

covâræitor. Dupã filosoful grec Xenofan (Xenophanes) 

(570-480 î.e.n.), unu semnificã pe Zeul Unic sau pe 

Zeul Cel Mare; este numãrul numerelor, simbolizând 

unitatea, absolutul. Sã ne reamintim monada matematicianului 

æi filosofului german Gottfried Wilhelm 

Leibniz (1646-1716): unu este cuvântul-cheie care 

stã la baza religiilor monoteiste. În povestirile legendare, 

cât æi în motivele folclorice, Dumnezeu Cel 

Unic este foarte frecvent simbolizat prin 1. 

Cristina: Iar dupã psihiatrul elveåian Carl Gustav Jung (1875- 

1961), unu este simbol unificator. 

Numãrul 1: Constat, cu respect, cã se ætiu multe despre mine æi 

sunt încântat sã vã prezint colegilor mei. Aæ începe 

cu cel mai apropiat: Numãrul 2. Obâræia lui este legatã 

de noåiunea de pereche. La început, a fost reprezentat 

prin repetarea lui 1, ulterior a devenit independent. 

Arina: Mi-aæ permite, Domnule 2, sã afirm cã impactul 

Domniei Voastre este, într-adevãr, remarcabil. Sunteåi 

cel dintâi numãr par æi cel dintâi numãr prim din æirul 

numerelor naturale. Numele Domniei Voastre este 

pomenit în toate limbile. Oamenii se împart în bãrbaåi 

æi femei, iar la baza moralei se aflã conceptul dual 

bine – rãu. 

Numãrul 2: Mã flataåi, domniæoarã. 

Cristina: Dupã filosofia zoroastricã, lumea a luat naætere din 

dedublarea timpului primordial, timpul infinit, care 

produce din sine însuæi dualitatea bine – rãu. 

Cabiria: Douã sunt principiile cosmogonice ale mitologiei 

chineze, vãzute ca primii zei nãscuåi din haosul


oceanului primordial: yin = principiul feminin; yang = 

principiul masculin. 

Arina: Sã revenim la discuåia noastrã æi sã constatãm cã 

viaåa de zi cu zi se exprimã prin elemente binare. Ne 

referim continuu la zi æi noapte, la individ æi societate, 

la Cer æi Pãmânt, la viaåã æi moarte. Suntem 

permanent preocupaåi de sãnãtate æi boalã, de sãrãcie 

æi bogãåie, de fericire æi nenorocire. 

Sorin: În metafizica grecilor, regãsim frecvent ceea ce ei 

numeau Diada. Aristotel a întemeiat teoria categoriilor 

pornind de la ideea cuplurilor contrare. 

Cabiria: Mã gândesc la rolul antinomiei par–impar în 

filosofia pitagoreicilor. 

Cristina: Gândirea noastrã se bazeazã pe folosirea dihotomiilor 

de tipul: întreg–parte, finit–infinit, cantitativ–calitativ, 

ordine–haos, simetrie–asimetrie, local–global, 

transformare–invariant. 

Sorin: Aæ spune cã matematicienii sunt obsedaåi de ideea 

dualitãåii. Nu vã miraåi. E o formulã capabilã de douã 

înåelesuri, ambele adevãrate, unul obåinut din celãlalt 

prin simpla permutare reciprocã. Dar aria de operare 

a dualitãåii depãæeæte matematica, incluzând logica æi 

programarea la calculator. 

Cristina: În chimie, avem numeroase substanåe formate din douã 

elemente, în gramaticã lucrãm cu singular æi plural, 

existã electricitate pozitivã æi electricitate negativã etc. 

Sorin: Numai douã cuvinte, dacã tot a venit vorba despre doi: 

toatã lumea asociazã informaticii termenul binar. 

Numerele cu care lucreazã calculatorul aparåin sistemului 

cu baza 2, adicã 0 æi 1. Algebra pe care o 

foloseæte calculatorul lucreazã cu douã variabile, 

care pot lua valoare de adevãr sau de fals æi care sunt


reprezentate în sistem binar prin 0 æi 1. Perechea 1–0 

traduce circuitul electric deschis sau închis. 

Cristina: Pânã la urmã, binaritatea nu este, totuæi, o cunoscutã 

de datã modernã. Au descoperit-o cãutãtorii de aur 

din Africa. Baulii din Côte d’Ivoire l-au adoptat pe 2 

ca bazã pentru sistemul lor de greutãåi. 

Sorin: Aæ vrea sã adaug cã, în subconætientul individual, 

coexistenåa a douã componente de „gen“, sub forma 

elementelor arhetipale animus æi anima, constituie 

una dintre descoperirile datorate lui Jung. 

Cabiria: Sã nu uitãm nici de liricã; metrica schemelor ritmice 

ale versului se bazeazã pe un sistem binar. 

Arina: Ai dreptate, Cabiria, limbile clasice au „operat“ cu 

silabe lungi æi scurte, iar cele moderne cu silabe 

accentuate æi neaccentuate. 

Cristina: Dupã Gioachimo da Fiore, cãlugãr benedictin calabrez 

(1135-1202), Istoria Sfântã æi Scriptura sunt dominate 

de numerele 2 æi 3. Cele 2 seminåii alese de 

Dumnezeu sunt evreii æi neamurile, iar cele 3 etape 

ale istoriei sunt: 1. Domnia Tatãlui, corespunzând 

fricii de Dumnezeu; 2. Domnia Fiului, corespunzând 

credinåei în Iubire; 3. Domnia Sfântului Duh, corespunzând 

Contemplaåiei. 

Numãrul 1: Aåi pomenit de Numãrul 3. Din pãcate, lipseæte. 

E foarte implicat în campania electoralã, ca æi Numãrul 

7. De altfel, amândouã aceste numere s-au autoprezentat 

destul de amplu æi de tranæant pe micul 

ecran. Aæa încât vã fac cunoætinåã cu Numãrul 4. 

Arina: Sunt bucuroasã sã vã cunosc, Domnule 4. Sunteåi 

rudã cu Numãrul 2, doar 4 = 2 2 . 

Cabiria: Grecii considerau cã Lumea este formatã din 4 elemente: 

apã, pãmânt, aer, foc; camera mea are 4 pereåi, 

anul are 4 anotimpuri, existã 4 puncte cardinale.


Sorin: Îmi permiteåi, Domnule 1, sã argumentez personalitatea 

colegului Dv., Domnul 4? 

Numãrul 1: De ce nu? 

Sorin: Aristotel deosebea patru tipuri de cauze: materiale; 

formale; eficiente æi finale, iar Pitagora împãråea 

matematica în patru secåiuni (quadrivium): teoria 

numerelor absolute sau aritmetica; teoria numerelor 

aplicate sau muzica; teoria mãrimilor în stare staticã 

sau geometria æi teoria mãrimilor în stare de miæcare 

sau astronomia. 

Arina: Platon susåinea cã ideea de frumos se caracterizeazã 

prin: ordine, simetrie, armonie æi mãsurã. 

Cristina: Mitologiile sunt æi ele o mãrturie. De pildã, mitologiile 

Mesopotamiei cinstesc patru 

zei fundamentali, iar mitologia 

iranianã susåine cã lupta 

dintre bine æi rãu dureazã patru 

epoci. Buddha proclamã patru 

adevãruri esenåiale: existenåa 

suferinåei; cauzele ei; posibilitatea 

eliberãrii suferinåei; 

calea suprimãrii suferinåei. 

Cabiria: Subliniez cã patru este numãrul 

literelor care alcãtuiesc numele 

celui dintâi om, Adam! 

Cristina: Vreau sã adaug cã, pentru 

indienii din America de Nord, 

Platon 

patru reprezintã un principiu de organizare æi o foråã. 

În viziunea lor, spaåiul e împãråit în patru pãråi; timpul 

are patru mãsuri (ziua, noaptea, luna, anul); plantele 

sunt constituite din rãdãcinã, tulpinã, floare æi fruct; 

vârstele reprezintã: copilãria, tinereåea, maturitatea 

æi bãtrâneåea; patru sunt virtuåile fundamentale


ale bãrbatului: curajul, puterea de a îndura, generozitatea, 

fidelitatea, iar ale femeii: îndemânarea, ospitalitatea, 

loialitatea, fecunditatea. 

Arina: Aici e locul sã-l amintim pe vestitul medic grec 

Hipocrat (c.460-c.377 î.e.n.), care deosebea patru tipuri 

de temperament: sangvin, coleric, flegmatic, melancolic. 

Cristina: Lucrurile se leagã. Carl Gustav Jung admite cã procesele 

psihice se bazeazã pe patru funcåii fundamentale 

ale conætiinåei: gândirea, sentimentul, intuiåia, senzaåia. 

Sorin: Într-adevãr, acestea sunt înzestrãrile psihologice cu 

care ne naætem, dar cred cã ar trebui adãugat, tot în 

spiritul viziunii lui Jung, cã psihicul uman este construit 

dintr-un ansamblu de structuri arhetipale care cuprind: 

binele; eul; umbrele; complexul animus-anima. 

Numãrul 1: Æi acum sã vi-l prezint pe colegul 5. 

Cabiria: Aici sunt multe de comentat. La început de tot, 

oamenii numãrau pe degetele unei singure mâini. La 

origine, cuvântul sanscrit care-l desemneazã pe 

cinci, panca, înseamnã mânã sau, mai precis, întinde 

mâna. Limba românã l-a moætenit din latinescul quinque. 

Arina: Numãrul 5 reprezintã suma lui 2 æi 3, deci suma 

primului numãr par cu primul numãr impar sau suma 

primelor douã numere prime. Situat în centrul 

primelor nouã numere, el ilustreazã unirea, echilibrul, 

armonia. 

Cabiria: Arina, vreau sã remarc rolul Numãrului 5 ca principiu 

vital la hinduæi æi ca cifrã fastã în Islam. 

Cristina: Din câte ætiu, hinduæii considerau cã fiecare om este 

alcãtuit din cinci elemente: conætiinåã, reprezentãri, 

foråele karmei, simåuri, înveliæul material. 

Arina: Eu aæ aminti primele cinci cãråi ale Vechiului Testament, 

atribuite lui Moise: Pentateuhul (în limba


greacã, pente = 5, têukhos = carte), în denumirea 

ebraicã Tora = Legea, æi care cuprinde: Geneza, 

Exodul, Leviticul, Numerii, Deuteronom. 

Sorin: În America, sacralizarea numãrului 5 era legatã de 

procesul de germinare a porumbului, a cãrui primã 

frunzuliåã iese din pãmânt, de regulã, la cinci zile 

dupã însãmânåare, glifa lui 5 fiind, frecvent, o mânã. 

Iar la azteci, Zeul 5 (Zeul Porumbului Tânãr) era 

patronul atât al muzicii, cât æi al dansului. 

Cabiria: Apropo, chinezii foloseau în muzicã, încã din 

Vechime, scara pentatonicã, adicã cea care cuprinde 

doar cinci sunete în cadrul octavei. 

Sorin: Mie 5 îmi evocã trandafirul cu 5 petale, dar æi Steaua 

lui Venus, simbol al feminitãåii. 

Arina: N-o sã mã credeåi, pe 5 îl gãsim æi în sport. Pentatlonul 

(în greacã, pente = 5, athlon = luptã) reprezintã cele 

cinci exerciåii atletice ale Antichitãåii: lupte, alergãri, 

sãrituri, aruncarea discului æi aruncarea suliåei. 

Cristina: Sã pãrãsim sportul, pentru a menåiona cã existã cinci 

tipuri de comunicare: interpersonalã; interpersonalã 

diadicã; de grup; publicã æi de masã. 

Numãrul 1: Vecinul Numãrului 5 este Numãrul 6. Numele lui 

provine din sanscritã – æaæ –, care, cu mici modificãri 

fonetice, poate fi recunoscut în latinã – sex, în 

francezã – six, în slavonã – æesti, în românã – æase. 

E, oare, un simplu accident fonetic? 

Arina: Domnule 6, sunteåi, de fapt, un numãr perfect! Ce e mai 

mult decât adevãrul cã Lumea a fost creatã în æase zile! 

Sorin: Æase este numãrul hexametrului biblic, iar hexagonul 

stelat reprezintã pecetea lui David sau scutul lui 

Solomon (Hexagrama a fost simbolul secret al preoåilor 

astronomi, fiind, apoi, adoptat de regii israelieni).


Cabiria: Convingerile musulmanilor se întemeiazã pe æase 

izvoare: Allah, Profetul Mahomed, Coranul, Angeologia, 

Cãråile (Tora lui Moise, Psalmii lui David, 

Evangheliile) æi Escatologia (credinåa în viaåa viitoare). 

Numãrul 1: Æi acum, graåiosul Numãr 8. Are æi el origine sanscritã, 

unde i se spunea aæto. 

Arina: Opt al nostru provine din latinescul octo. 

Sorin: Bun! Sã trecem la semnificaåii. 

Cabiria: Opt este numãrul petalelor de lotus! În muzicã, vorbim 

de octavã. 

Arina Opt e legat de Veænicie! Sfântul Augustin vorbeæte 

despre Ziua a Opta ca despre aceea care marcheazã 

Eternitatea. 

Numãrul 1: Ce vã spune Numãrul 9, pe care am plãcerea sã vi-l 

prezint acum? 

Sorin: Mie îmi evocã cele nouã muze ale Antichitãåii greceæti: 

Clio (muza istoriei), Euterpe (muza muzicii), 

Thalia (muza comediei), Melpomene (muza tragediei), 

Terpsichore (muza dansului), Erato (muza 

poeziei erotice), Polimnia (muza poeziei religioase), 

Urania (muza astronomiei), Caliope (muza poeziei 

epice, a elocinåei). Cred cã n-am omis pe nici una 

dintre cele nouã fiice ale lui Zeus. 

Cristina: Mie 9 îmi evocã cele 9 ceruri de care vorbeæte Dante 

Alighieri, în Infernul. 

Arina: Îmi amintesc cã bunicii mele îi plãcea sã spunã: 

„Peste nouã mãri æi nouã åãri æi peste nouã ape mari“ 

(Povestea lui Harap Alb), pentru a sugera o mare 

depãrtare. 

Numãrul 1: Am mai putea observa cã 9 este ultima æi cea mai 

mare dintre unitãåile exprimate printr-o singurã cifrã. 

Originea sanscritã nevan se simte în latinescul 

novem, de unde, în românã, nouã, în francezã neuf etc.


Arina: Despre ultimul membru al Clubului, Numãrul 10, ce 

putem afla? 

Numãrul 1: Domnul 10 are o poziåie privilegiatã. Încheie decada 

primelor numere æi reprezintã baza de numeraåie cel 

mai folositã. 

Arina: Deæi este cel din urmã numãr din grupul unitãåilor 

simple, spre deosebire de confraåii Domniei Voastre 

este notat prin douã cifre: 1 æi 0. 

Numãrul 1: Iatã denumirile lui zece în diferite limbi indoeuropene: 

în avestã – limba lui Zarathustra (Zoroastru) – 

se spunea desa; în greacã – deka; în latinã – decem, 

care în limba românã a devenit zece. 

Cabiria: Decem e înrudit fonetic cu digiti, degete. Omul are 

10 degete. 

Numãrul 1: În germanã, Zehn = 10 se trage din Zehe, care 

înseamnã degetele de la picioare! 

Cristina: Chiar dacã e o parantezã în discuåia noastrã, aæ adãuga 

cã 10 este numãrul categoriilor lui Aristotel: esenåa, 

cantitatea, calitatea, relaåia, locul, timpul, situaåia, 

posesia, acåiunea, proprietatea. 

Sorin: Eu sunt fascinat de rolul Numãrului 10 în Cabalã. 

Arina: Ce legãturã au misterele, chestiile oculte cu un numãr 

atât de important ca 10? Æi ce este, de fapt, Cabala? 

Cabiria: Sã luãm, de exemplu, Lexiconul Herder al întâlnirii 

iudeo-creætine, apãrut la Editura Humanitas, în anul 

2000. Aici, avem urmãtoarea definiåie: „Textual, 

Cabala înseamnã tradiåie, transmitere, prelucrare æi 

continuare. Prin ea se înåelege o miæcare cu caracter 

mistico-spiritual... a iudaismului...“ 

Cristina: Mie mi se pare mai potrivitã definiåia lui Alexandru 

Æafran, fostul æef-rabin al Cultului Mozaic din 

România æi preæedinte al Federaåiei Comunitãåilor


Evreieæti din România. Cartea sa, Înåelepciunea 

Cabalei, a fost tradusã în toatã lumea. La noi, a 

apãrut la Editura Hasefer, în anul 2000. „Cabala – 

spune Alexandru Æafran – este o tradiåie oralã elaboratã 

religios, spiritual æi intelectual de cãtre o elitã, care 

îl face pe om mai înåelept, îl ajutã sã pãtrundã în 

mister, în esenåã“. 

Sorin: De fapt, ideea de bazã a Cabalei este aceea cã Biblia, 

mai exact Vechiul Testament, reprezintã un mesaj 

codificat, care poate fi înåeles numai prin aplicarea 

unor tehnici de decriptare ce leagã cuvintele de 

numere. Prima dintre aceste tehnici poartã numele de 

Gematria. Ea presupune însumarea numerelor corespunzãtoare 

literelor care alcãtuiesc un cuvânt, dupã 

care se cautã alte cuvinte caracterizate prin aceeaæi 

sumã a literelor, în ideea cã între ele trebuie sã subziste 

o legãturã tainicã æi cã prin înlocuirea unui termen 

cu altul se obåine sensul profund al textului. 

Arina: Parcã încep sã pricep. 

Cabiria: Sorin trebuia sã precizeze cã literele alfabetului ebraic 

au corespondenåã în numere. Prima literã a acestui 

alfabet, corespunzând lui a, se numeæte alef æi este 

egalã cu 1; cea de a doua literã, bet, este egalã cu 2; 

cea de a treia, ghimel, cu 3 æ.a.m.d. Iatã numerele 

ebraice æi denumirile lor: 

1 alef 6 waw 20 kaf 70 ašn 200 reš 

2 bet 7 zain 30 lamed 80 pe 300 šin 

3 ghimel 8 het 40 mem 90 æade 400 taw 

4 dalet 9 tet 50 nun 100 kof 

5 hé 10 yod 60 samek


Arina: Aæ vrea sã-mi spuneåi de unde vine cuvântul Cabalã. 

Sorin: Etimologic, de la ebraicul qabbalah, care înseamnã 

tradiåie. Mie mi se pare fascinantã ipoteza cã are 

drept iniåialã litera kaf. Or, dupã cum se observã din 

tabelul pe care l-am prezentat, kaf este egalã cu 20, 

iar bet cu 2. Deci Cabala însumeazã pe 20 cu 2, 

obåinându-se 22. Particula la de la sfâræitul cuvântului 

Cabalã înseamnã în ebraicã putere. În consecinåã, 

înåelesul cuvântului Cabalã este puterea lui 22. 

Arina: Pânã la urmã, care este în Cabalã rolul lui 10? 

Sorin: Biblia ne spune cã Legea i-a fost revelatã lui Moise 

pe Muntele Sinai prin Cele Zece Porunci. 

Arina: Adicã prin Decalog. În greacã, deka = zece, logos = 

cuvânt. 

Cabiria: Cabala menåioneazã, de la început, cã Domnul a 

creat Lumea prin 32 de cãi ale misterioasei sale 

înåelepciuni. 

Sorin: Aceste 32 de cãi sunt compuse din cele 10 numere 

fundamentale – denumite sefiroturi – æi cele 22 de 

litere ale alfabetului ebraic. 

Arina: Sefirot înseamnã în ebraicã numãr? 

Cabiria: Ca sã înåelegi mai uæor, Arina, îåi precizez cã rãdãcina 

unui cuvânt ebraic se prezintã sub forma unui numãr 

mic de consoane, între care se insereazã vocale; 

acestea dau sensul cuvântului. Ansamblul consoanelor 

constituie scheletul consonantic, i-aæ zice 

partea cea mai rezistentã a cuvântului. Or, rãdãcina 

consonanticã sau scheletul consonantic al substantivului 

sefirot, ca æi al verbului safer, este sfr. 

Inserând vocale, cuvintele devin sefirot æi safer 

(numãr æi a numãra). De altfel, în arabã, înruditã cu 

ebraica, ambele fiind limbi semitice, scheletul 

consonantic sfr dã sifr (cifrã, zero).


Sorin: O micã precizare. Alexandru Æafran susåine cã 

sefirot vine de la verbul safer = a socoti, a numãra. 

Arina: Cum aratã cele zece sefiroturi, adicã primele zece numere? 

Sorin: Am în agenda mea desenul lor. Aceste zece sefiroturi 

reprezintã: 

3 

5 

8 

1 

9 

6 

10 

2 

4 

7 

Fig. 2. Cele zece sefiroturi 

1. Coroana 

2. Înåelepciunea 

3. Inteligenåa sau Spiritul 

4. Mila 

5. Rigoarea 

6. Frumuseåea 

7. Victoria 

8. Gloria 

9. Fundamentul 

10. Regatul 

Cabiria: Practicanåii Cabalei fac asocieri incitante între 

numãr æi cuvânt. 

Sorin: Alegând cuvinte frecvent folosite în Vechiul 

Testament, putem înåelege în ce fel procedau 

israeliåii pentru a obåine corespondenåe între nume æi 

numere. Sã luãm, de pildã, urmându-l pe orientalistul 

Oskar Fischer, strãlucit cercetãtor al mecanismului 

Gematriei (Der Ursprung des Judentums in 

Lichte alttestamentlicher Zahlensymbolik, Leipzig,


1917), numele proprii de cea mai mare importanåã 

din acest text, æi anume Iehova (Dumnezeu), Moise, 

Sinai, Tora, æi sã calculãm cãror numere le corespund: 

Numele 

proprii 

Valoarea literelor Total 

Iehova yod = 10; hé = 5; waw = 6; hé = 5 26 

Moise mem = 40; waw = 6; šin = 300; hé = 5 351 

Sinai samek = 60; yod = 10; nun = 50; yod = 10 130 

Tora taw = 400; waw = 6; reš = 200; hé = 5 611 

Descompunem sumele: 

26 2 

13 13 

1 

351 3 

117 3 

39 3 

13 13 

1 

130 2 

65 5 

13 13 

1 

611 13 

47 47 

1 

26 = 2 x 13 

351 = 27 x 13 

130 = 10 x 13 

611 = 47 x 13 

Cabiria: Observ cã numele lui Dumnezeu, al lui Moise, al 

locului unde Iehova i s-a arãtat acestuia – Muntele 

Sinai – æi Legea care i-a fost revelatã au în comun 

numãrul 13. 

Sorin: Revenind la Vechiul Testament æi oprindu-ne la grupul 

patriarhilor lui Israel, tot dupã Oskar Fischer, se obåine: 

Numele Corespondentul numeric al literelor 

Total 

litere 

Ab-Hamon alef=1; bet = 2; hé = 5; mem = 40; waw = 6; nun = 50 104 

(Abraham, 

Avram) 

Isaac yod = 10; sade = 90; het = 8; kof = 100 208 

Iacob yod = 10; ain = 70; kof = 100; bet = 2 182 

Israel yod = 10; šin = 300; reš = 200; hé = 5; alef = 1; 

lamed = 30 546 

Iosif yod = 10; waw = 6; samek = 60; pé = 80 156


Sorin: Prin descompunerea numãrului total al literelor 

obåinute: 104, 208, 182, 546, 156, apare acelaæi factor 

comun 13. Oskar Fischer susåine cã 13 este 

numãrul lui Iehova! 

104 2 

52 2 

26 2 

13 13 

1 

208 2 

104 2 

52 2 

26 2 

13 13 

1 

182 2 

91 7 

13 13 

1 

546 2 

273 3 

91 7 

13 13 

1 

156 2 

78 3 

39 3 

13 13 

1 

La Clubul Prieteniei 

104 = 2 x 13 

208 = 16 x 13 

182 = 14 x 13 

546 = 42 x 13 

156 = 12 x 13 

Înarmatã cu atâtea cunoætinåe noi, Arina se decide sã viziteze æi 

alte cluburi. Aæa ajunge la Clubul Prieteniei. În timp ce bea un suc 

de ananas, aude urmãtoarea conversaåie: 

Numãrul 1: Am aflat cã, ieri, Numãrul 28 a dat o petrecere a 

numerelor prietene. Fiindcã existã o Lege a prieteniei 

dintre numere. 

Numãrul 2: În ce constã aceastã lege? 

Numãrul 1: Douã numere sunt declarate prietene dacã, adunând 

factorii cu care se divide primul dintre ele, îl gãsim 

pe cel de al doilea æi, tot astfel, dacã adunãm factorii 

care divid pe cel de al doilea îl gãsim pe cel dintâi. 

Numãrul 2: Nostim! Când s-a observat asta? 

Numãrul 1: Încã din Vechime oamenii au sesizat aceastã proprietate 

la numerele 220 æi 284. Într-adevãr, prima pereche 

a fost descoperitã în anul 540 î.e.n. de cãtre Pitagora, 

unul dintre cei mai strãluciåi teoreticieni ai numerelor. 

Numãrul 2: Ia sã vãd dacã e adevãrat: 220 se divide cu 1, 2, 4, 5, 

10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Le adun æi avem 284. Sã 

fac aceeaæi operaåie æi pentru 284. Se divide cu 1, 2, 

4, 71, 142. Le adun æi dã exact 220.


Numãrul 1: Oamenii au fost impresionaåi de aceastã proprietate, 

încât numerele prietene au pãtruns în magie, în astrologie, 

în vrãjitorie, au fost utilizate la stabilirea 

horoscoapelor. Nu mai spun câte amestecuri de poåiuni 

s-au fãcut pentru câætigarea dragostei æi câte afaceri 

cu fabricarea talismanelor! 

Numãrul 2: Æi cum a evoluat cunoaæterea „intimitãåii“ numerelor 

prietene? 

Numãrul 1: La 1636, matematicianul francez Pierre de Fermat 

(1601-1665) a descoperit a doua pereche de numere 

prietene: 17 296 æi 18 416. În secolele urmãtoare, au 

fost identificate câteva sute. 

Numãrul 2: Deci au trecut mai bine de douã milenii pânã la 

descoperirea celei de a doua perechi! 

Elita numerelor 

În autobuzul care o duce acasã, Arina surprinde o convorbire 

între douã tinere pe care le vãzuse la Club. Îæi spuneau pe nume: 

Elly æi Lidia. 

Lidia: Ce înåelegi tu prin „elita numerelor“? 

Elly: Simplu. Mulåimea numerelor perfecte. 

Lidia: Ætiu ce înseamnã numere prietene, dar n-am auzit de 

numere perfecte. 

Elly: Uite, de exemplu, 6 este un numãr perfect, întrucât 

dacã îi adunãm factorii dãm tot peste 6 (1 + 2 + 3). 

Lidia: Existã æi alte numere perfecte? 

Elly: Sigur. Încã în Antichitate, pe lângã 6 erau cunoscute 

alte trei numere perfecte: 28, 496 æi 8128. 

Lidia: Sã mã conving cu calculatorul meu: 

28 = 1+ 

2 + 4 + 7 + 14 ; 

496 = 1+ 

2 + 4 + 8 + 16 + 31+ 

62 + 124 + 248 . 

Ai dreptate. Pentru 8 128 te cred pe cuvânt.


Elly: În Antichitate, s-a mai observat cã unitãåile simple 

cuprind un singur numãr perfect. Printre zeci, sute æi mii, 

de asemenea, se gãseæte doar câte un singur numãr perfect. 

Lidia: Exceptând Antichitatea, au mai fost identificate æi 

alte numere perfecte? 

Elly: Da, dar sunt foarte lungi. Åin minte cã al æaptea 

numãr perfect descoperit în secolul al XVI-lea este 

de ordinul bilioanelor. 

Lidia: Mi-ar plãcea sã calculez æi eu numere perfecte. 

Dã-mi formula magicã. 

Elly: Matematicianul grec Euclid (sec. III î.e.n.), cãruia îi 

datorãm prima expunere sistematicã a geometriei æi 

atâtea contribuåii în aritmeticã, a dat o foarte frumoasã 

teoremã. Åi-o spun în termenii moderni: 

Condiåia necesarã æi suficientã ca un numãr natural 

par n sã fie perfect este ca n sã fie de forma: 

n = 2 t (2 t+1 – 1) = 2 t x p, 

unde t este un numãr natural, iar p un numãr prim. 

Lidia: Existã formulã æi pentru 

numerele perfecte impare? 

Elly: Aici e aici. De la Euclid încoace, 

lumea se întreabã în zadar dacã 

existã numere perfecte impare, 

åinând cont cã nu s-a gãsit 

niciodatã vreunul æi nu s-a dovedit 

cã ar exista un astfel de 

specimen. 

Carismaticul π pe post de amfitrion 

Euclid 

Arina ajunge, în sfâræit, la un club select: Clubul Numerelor 

Mãiestre. Portarul îi refuzã accesul pe motiv cã nu este în åinutã de


searã. Dupã îndelungi parlamentãri, ea îl înduplecã spunând cã este 

o turistã venitã din depãrtãri, care nu cunoaæte criteriile de admitere 

în Club, æi cã doreæte sã stea de vorbã cu Maestrul π . 

Interiorul Clubului o impresioneazã: vitralii, lambriuri, picturi, 

mobilã stil. Într-un salon arab, îl zãreæte pe Numãrul i, traverseazã, 

apoi, un fel de galerie cu oglinzi – à la Versailles – æi ajunge în 

bibliotecã. Aici îi vede pe , care mediteazã, æi pe Numãrul C, care 

studiazã un manuscris. Cãlãtoria ei se întrerupe atunci când, într-un 

salon Louis XV, dã cu ochii de Numãrul , care discutã cu 

Numãrul e. Portarul o avertizase cã Maestrul obiænuieæte sã-æi 

petreacã serile dialogând cu tânãrul sãu prieten. La nedumerirea 

Arinei, care gãseæte cã între cei doi e o diferenåã de vârstã enormã, 

de vreo opt secole, un tânãr se oferã sã-i dea lãmuririle de rigoare. 

Amiciåia aceasta se bazeazã pe faptul cã destinele acestor douã 

numere sunt strâns împletite. Când, în 1873, s-a descoperit identitatea 

lui e – adicã transcendenåa lui – matematicienii au intuit cã vor 

putea gãsi o cale pentru a decide asupra naturii lui . Æi, într-adevãr, 

nouã ani mai târziu, matematicianul german Herman Ferdinand von 

Lindemann (1852-1939) a realizat aceastã performanåã, folosind 

ingenios o formulã a matematicianului elveåian Leonhard Euler 

(1707-1783), bazatã pe virtuåile Numãrului e. 

Arina Transcendenåa lui æi e... 

Tânãrul: Numãrul care nu poate fi rãdãcina unei ecuaåii algebrice 

de forma: a e 0 n + a e 1 n-1 + a e 2 n-2 p 

p 

p 

p 

p 

2 

+ … + a e + a = 0 cu 

n-1 n 

coeficienåi raåionali e transcendent. Cred cã aåi citit 

cartea despre numere scrisã de Florica T. Câmpan. 

Se face acolo referire la strânsa relaåie dintre æi e 

æi se aratã cã cercul – cea mai perfectã curbã – nu 

poate exista fãrã π , iar spirala logaritmicã – singura 

curbã asemenea ei înseæi – nu poate existã fãrã e.


p 

p 

p 

p 

Arina æi tânãrul se aproprie de masa celor doi prieteni. 

Arina: Bunã seara! Vã rog sã-mi îngãduiåi sã mã prezint: 

sunt Arina Stoenescu, elevã la Liceul „Spiru Haret“ 

din Bucureæti. 

: Bine ai venit la noi! 

Arina: Maestre, din lecturile mele am aflat multe despre Dv. 

æi am dorit sã vã cunosc personal. 

: Ce ai mai dori sã ætii despre mine? 

Arina: Întâi, v-aæ ruga sã-mi spuneåi ce vã amintiåi din anii 

copilãriei. 

: Nu prea multe. 

Arina: Cui i-a venit ideea cã lungimea cercului se poate 

mãsura cu ajutorul diametrului sãu? 

: Probabil, mai multora. Or fi realizat cã lungimea 

unui cerc este cam de trei ori mai mare decât diametrul 

lui. Evident, nu se folosea termenul cerc sau diametru. 

Babilonienii pretindeau cã valoarea mea este egalã 

cu 3,125, iar egiptenii cã este egalã cu 3,160. 

Arina: Toate popoarele v-au evocat. Sunteåi pomenit pe 

tãbliåele de lut ale babilonienilor, în papirusurile 

egiptene, în scrierile hinduæilor, ca æi în cele din 

sudul Mexicului, din Honduras sau din Guatemala. 

Æi în Biblie se vorbeæte despre Dv. În Cartea a Treia 

a Regilor (7:23), se spune cã la construirea casei 

regale a lui Solomon a fost turnat în aramã un vas de 

10 coåi de la o margine la cealaltã, rotund de jurîmprejur, 

înalt de cinci coåi æi gros cât îl cuprindea o 

sfoarã lungã de 30 de coåi. Ce v-a marcat viaåa? 

π : Cuadratura cercului!… Sã vã explic. Cuadratura cercului 

constã în construirea unui pãtrat având aceeaæi 

arie cu a unui cerc dat, numai cu ajutorul riglei æi al


compasului. Problema aceasta a trezit curiozitate, a 

preocupat timp îndelungat pe oamenii de ætiinåã æi pe amatori, 

a dezlãnåuit multe pasiuni. 

Arina: De care matematician vã simåiåi cel mai apropiat? 

π : Bineînåeles, de Arhimede (c. 287-212 î.e.n.). De la 

acest mare învãåat grec au rãmas, în lucrarea 

Mãsurarea cercului, urmãtoarele teoreme: 

– Aria unui cerc este egalã cu aria unui triunghi dreptunghic, 

care are drept catete raza æi lungimea cercului; 

– Raportul dintre aria cercului æi aria pãtratului cir- 

1 1 

cumscris lui are o valoare apropriatã de ; 

1 0 

3 

7 1 

– Raportul dintre lungimea cercului æi diametrul sãu 

este cuprins între 

1 10 1 

æi 3 , adicã 3 < π < 3 . 

7 71 7 


Sã reåinem cã Arhimede a lucrat cu un poligon de 96 

de laturi æi a calculat primele douã zecimale exacte 

ale mele. 

Era de aæteptat! Carismaticul π se pretinde discipolul 

vestitului Arhimede, 

care a marcat aritmetica, geometria 

æi fizica æi care a fost un 

precursor al calculului integral. 

(Apoi, cu voce tare) Goana 

dupã identificarea unui numãr 

cât mai mare de zecimale exacte 

seamãnã cu urmãririle din filmele 

poliåiste. Am impresia cã 

matematicienii æi, mai ales, 

amatorii au fost cuprinæi de 

o adevãratã nebunie mãrind 

Arhimede 

1 4


p 

necontenit numãrul laturilor poligoanelor, pentru a 

obåine un numãr cât mai mare de zecimale. 

: Dacã, în secolul al III-lea e.n., chinezul Liu Huei a 

obåinut cinci zecimale exacte cu ajutorul unui poligon 

de 3 072 de laturi, Djemšed al Kaæi, nãscut în Iran, 

dar lucrând la Observatorul din Samarkand (Uzbekistan), 

a obåinut, în secolul al XV-lea, 17 zecimale 

exacte folosind un poligon cu peste opt sute de milioane 

de laturi. Europenii, rãmaæi în urmã, realizeazã 

progrese mult mai târziu, prin belgianul Adrianus 

Romanus (1561-1615), pe adevãratul sãu nume Adriaen 

Van Roomen, cel mai celebru dintre emulii matematicianului 

francez François Viète (1540-1603), care 

ne este cunoscut pentru paæii realizaåi spre simbolizarea 

în algebrã æi pentru determinarea a nouã 

zecimale ale lui p . În 1590, el obåine 15 zecimale 

cu ajutorul unui poligon cu peste un miliard de laturi. 

p 

p 


Doar datoritã unui filolog de meserie – italianul 

Giuseppe Giusto Scaliger (1540-1609) – europenii îi 

depãæesc pe al Kaæi, identificând, mai întâi, 35 de 

zecimale pe un poligon cu 4 pentalioane de laturi. 

Cu cifrele astea astronomice mi se face rãu! 

: Împãtimiåii, contaminaåi de „molima“ cuadraturii æi 

urmãrind obåinerea unei precizii sporite, ajung la 72 

æi chiar la 100 de zecimale. Astronomul John 

Machin (1685-1715) a obåinut 100 de zecimale 

exacte. Matematicianul englez W. Jones (1675- 

1749) publicã, în 1706, calculele lui Machin æi foloseæte 

pentru prima oarã notaåia lui pentru raportul 

dintre lungimea cercului æi diametrul lui. El m-a 

botezat cu litera greacã π , de la cuvântul periphereia, 

care înseamnã circumferinåã (marginea cercului).


p 

p 

Arina: Dar notaåia, dupã câte ætim, a fost adoptatã 50 de ani 

mai târziu, când Euler a folosit-o în Mecanica sa. 

: Corect. Nu mai spun cã goana dupã zecimale s-a 

înteåit. În 1719, matematicianul francez Thomas F. 

de Lagny (1660-1734) a calculat 127 de zecimale. 

Euler, desãvâræit calculator, a reuæit în 80 de ore sã 

ajungã la aceeaæi performanåã æi sã corecteze în acelaæi 

timp o eroare a lui Lagny. În sfâræit, în 1873, William 

Shanks (1812-1882) ajunge sã calculeze 707 zecimale, 

de data aceasta cu ajutorul logaritmilor. Drept 

omagiu pentru performanåa sa, cele 707 zecimale 

figureazã pe o frizã de la Palatul Descoperirilor din 

Paris. O datã cu apariåia calculatorului electronic, performanåele 

au crescut fantastic. În 2005, dupã informaåia 

inseratã de conferenåiarul francez Benoit 

Rittaud în revista „L’Histoire“, nr. 304, din decembrie 

2005, s-a ajuns la peste o mie de miliarde de zecimale. 

Arina: Am citit cã, în toate timpurile, cuadratura cercului a 

exercitat un fel de vrajã universalã. Din China pânã 

în Anglia, din Iran pânã în Franåa, din India pânã în 

Egipt, în Antichitate, ca æi în epoca Renaæterii, pe 

timp de rãzboi sau de pace, pasionaåii cuadraturii 

cercului au lucrat fãrã rãgaz. În 1775, Academia 

Francezã a refuzat primirea memoriilor care tratau 

despre cuadratura cercului, deoarece amatorii nu mai 

pridideau sã trimitã lucrãri eronate, încredinåaåi de 

geniul lor. E adevãrat cã oamenii au ajuns sã parieze 

pe averea lor cã au descoperit soluåia? 

: Sigur cã da. Un mare fabricant din Lyon, convins cã 

a dezlegat taina lui π , a pierdut la un pariu 8 000 de 

franci, iar cavalerul de Caussans a pus rãmãæag pe 

întreaga lui avere de 300 000 de franci!


p 

p 

p 

p 

Arina: Dincolo de asta, încercãrile de a dezlega taina lui 

au ajutat, prin contribuåii colaterale, la dezvoltarea 

matematicii. 

: Fireæte. Dacã celebrul geometru grec Hipocrat din 

Chios (secolul al V-lea î.e.n.) a realizat cã nu poate 

dovedi cuadratura cercului, a arãtat, în schimb, cã existã 

aæa-numitele lunule, care au arii egale cu unele pãtrate. 

Arina: De lunule n-am auzit. 

: Lunulele sunt figuri plane mãrginite de douã arcuri 

de cerc cu concavitatea îndreptatã în acelaæi sens. 

Hipocrat din Chios a fãcut cuadratura lunulei având 

ca margine superioarã un semicerc æi ca margine 

inferioarã un arc de cerc. Arhimede a arãtat cã 

lunulele nu sunt singurele suprafeåe cuadrabile, cã 

existã æi alte cazuri, mai complicate. 

Arina: În tentativele de gãsire a cuadraturii au fost date la 

ivealã giuvaere matematice, ca în cazul matematicianului 

belgian Grégoire de Saint-Vincent (1584- 

1667). Dar marele câætig al matematicienilor a fost 

cã æi-au dat seama cã nu sunt de ajuns zeci de zecimale, 

cã ar trebui o mie sau, poate, mai multe mii, ca 

sã se lãmureascã natura lui . 

π : Matematicienii au înåeles cã eu nu semãn cu un numãr 

fracåionar, ci mai degrabã cu unul iraåional. Æi aæa 

am ajuns sã constitui un imbold al cãutãrilor, sã contribui 

la orientarea cercetãrilor matematice moderne. 

Arina: Dupã câte ætiu, chiar æi mai înainte, lucrãrile stimulate 

de cãutarea cuadraturii cercului au adus înnoiri 

în matematicã, variate încercãri ingenioase legate de 

metoda lui Arhimede, de pildã, metoda izoperimetrelor 

(adicã a poligoanelor cu acelaæi perimetru), 

folosirea produselor æi fracåiilor continue infinite.


p 

p 

p 

p 

p 

p 

p 

: 

Apariåii fermecãtoare, metodele analitice s-au dovedit 

a fi rodnice. Acum aæ întreba: a existat, la greci, o 

crizã provocatã de neînåelegerea iraåionalelor? 

A existat, dar au depãæit-o atunci când s-a ajuns la 

concluzia cã sunt mai multe feluri de numere iraåionale. 

Arina: Adicã æi , æi Numãrul de Aur. 

: Vã semnalez ceva care i-a stupefiat pe matematicieni. 

Începând cu Newton (1642-1727) æi cu Euler, 

s-a observat cã unele serii infinite de numere 

fracåionare au o sumã care se explicã prin , æi 


aceasta pe bazã de calcule în care cercul nu-æi bagã 

de loc coada. S-a pus atunci întrebarea dacã geneza 

mea e pur geometricã. Mister! În plus, Georges 

Louis Leclerc, conte de Buffon (1707-1788), naturalist 

æi scriitor francez, unul 

dintre precursorii concepåiei 

evoluåioniste, a arãtat cã 

intervine în probabilitãåi. 

M-aæ grãbi sã adaug – mai 

mult ca sã mã confirmaåi – cã, 

în preocupãrile pentru decriptarea 

tainelor Numãrului , 

s-a implicat Johann Heinrich 

Lambert (1728-1777), fizician, 

astronom, matematician æi 

Sir Isaac Newton 

filosof de origine germanã, care a demonstrat iraåionalitatea 

lui . Apoi, matematicianul german 

Ferdinand von Lindemann a stabilit riguros, în 1882, 

cã numãrul π este transcendent æi cã, deci, cuadratura 

cercului cu rigla æi compasul este imposibilã. 

El a dezvoltat metode de rezolvare a ecuaåiilor de 

orice grad, folosind funcåiile transcendente.


p 

p 

p 

p 

p 

p 

p 

: Vãd cã ætiåi multe despre viaåa mea. 

Arina: Viaåa Domniei Voastre ar putea face obiectul unui 

roman sau al unui serial TV. 

: Apropo de literaturã, aflaåi cã Aristofan (445-386 

î.e.n.) rãmâne primul care m-a imortalizat în beletristicã. 

El l-a ales ca protagonist pe Menton, pe care l-a înfãåiæat 

în Oraæul Pãsãrilor târându-æi cu greu compasul æi 

rigla sa enormã pentru a transforma cercul în pãtrat. 

Arina: Toate bune, dar nu ne-am liniætit cu interogaåiile 

privindu-l pe . Cu ajutorul calculatorului i se 

: 

determinã tot mai multe zecimale. 

Da de unde! Dacã transcendenåa lui a fost un 


rezultat care i-a încântat pe matematicieni la sfâræitul 

secolului al XIX-lea, iatã cã la sfâræitul secolului al 

XX-lea ei au început sã considere acest rezultat ca 

prea abstract, fiindcã nu spune nimic despre chestiuneacheie 

a repartizãrii zecimalelor. S-au gãsit peste o 

mie de miliarde de zecimale; dar cum apar ele, sunt 

extrase la Loto? Deci se anunåa o nouã cursã. 

Poate o sã realizez eu un astfel de scenariu. Înainte 

de a-l scrie, voi consulta site-ul lui Bores Gourevich: æi 

lista aproximaåiilor exotice ale Numãrului . 

Trebuie sã-mi procur æi revista „La Recherche“ din 

24 noiembrie 2005, care a consacrat un dosar lui . 

În prelungirea discuåiei de la Club: Numãrul e 

p 

Dupã ce îi mulåumeæte Maestrului , Arina pleacã spre casã. În 

metrou, îl întâlneæte pe colegul ei Dorel. Dupã un scurt dialog protocolar, 

ea îl roagã sã-i spunã tot ce ætie despre legãtura dintre æi e. 

π


Dorel: Pãi, sã începem, Arina: în 1873, matematicianul 

francez Charles Hermite (1822-1901) a demonstrat 

transcendenåa lui e. 

Arina: Æi cum s-a ajuns de aici la ? 

Dorel: Cinci ani mai târziu, Lindemann a avut ideea ingenioasã 

de a folosi formula stabilitã de Euler, æi 

anume: eiπ = – 1 æi de a åine seama cã ecuaåia pe 

care a gãsit-o prezintã o oarecare analogie cu ecuaåia 

pe care Hermite a scris-o pentru e, deæi mai complicatã. 

Arina: Bine, dar Numãrul e cum s-a nãscut? 

Dorel: Geneza lui e legatã de apariåia logaritmilor. Pãrintele 

„mirificilor logaritmi“ este matematicianul scoåian 

John Napier (Neper) (1550-1617). I-au fost necesari 

20 de ani pânã sã le vinã de hac. Etimologic, logaritm 

vine din grecescul logos = raport æi arithmos = 

numãr. Iar Napier a inventat logaritmul în dorinåa 

simplificãrii calculelor trigonometrice, atât de utile 

astronomilor, generalizând ideea mai veche a comparãrii 

progresiilor aritmetice cu cele geometrice. Se 

cunoaæte cã logaritmul reprezintã puterea la care trebuie 

ridicat un anumit numãr 

pozitiv, numit bazã, spre a 

obåine numãrul dat. Logaritmul 

unui numãr x în bazã a 

este y, dacã x = ay; avantajul 

apare lesne dacã baza folositã 

este 10. Ætim cã 102 =100, 

deci 2 este logaritmul lui 100 

în baza 10 , iar 10 10 π 

, adicã 

10 000 000 000, are logaritmul 

10. 

John Napier (Neper)


Arina: Æi ce are asta cu Numãrul e? 

Dorel: Aici e cheia, pentru cã baza în care a lucrat Napier a 

fost e. 

Arina: Deci îl cunoætea pe e. 

Dorel: Habar nu avea de existenåa lui. L-a dibuit pragmatic. 

A gãsit cã era cel mai convenabil, cel mai comod æi 

cel mai eficace numãr cu care se putea descurca. 

Arina: Nostim! Cam ce valoare are e? 

Dorel: Valoarea Numãrului e aratã astfel; îåi dau numai æase 

zecimale: e = 2,718281… 

Arina: Dar logaritmul lui e? 

Dorel: Isaac Newton a arãtat cã seria 

are drept logaritm pe 1. 

Arina: Îmi place! 

Dorel: Iar Euler a notat prin „l“ logaritmii lui Neper cu baza 

e æi a calculat 23 de zecimale fãrã sã constate vreo 

urmã de periodicitate. Au fost calculaåi, apoi, æi logaritmii 

în baza 10. Noi, la æcoalã, lucrãm cu logaritmi 

zecimali. Tot Euler a exprimat, cu ajutorul lui e, 

cosinusul æi sinusul æi a descoperit surprinzãtoarea 

formulã care leagã Numãrul de e, adicã eiπ 1 1 1 1 

e = 1 + + + + .... + + ... 

1! 

2! 

3! 

n! 

π 

= – 1.

SISTEME DE NUMERAÅIE 

Arina îæi pune în ordine fiæele de studiu. Începe cu notele referitoare 

la sistemele de numeraåie primitive egiptean æi aztec æi continuã 

cu vechile tipuri de numeraåie la greci æi la romani, cu sistemele 

de numeraåie alfabeticã folosite de evrei, greci æi arabi, apoi 

cu cele care se referã la sistemele de numeraåie de poziåie: sumerian, 

babilonian æi mayaæ æi, în sfâræit, cu cele referitoare la sistemele de 

numeraåie chinez æi indian. Un capitol distinct al fiæierului cuprinde 

notele despre sistemul de numeraåie la români. 

Cu æapte hieroglife egiptenii numãrau pânã la un milion 

Încã din mileniul al III-lea î.e.n., egiptenii au stabilit un sistem de 

numeraåie zecimal. Acest sistem folosea semne speciale pentru 

unitãåi, zeci, sute, mii æi mergea pânã la un milion. Nodurile de 

ordin superior erau plasate înaintea celor de ordin inferior. Deæi 

pentru zero egiptenii nu au avut un semn special, l-au mânuit 

implicit, lãsând un loc gol acolo unde trebuia sã figureze. Sistemul 

era greoi, fapt care explicã numãrul ridicat de greæeli detectate în 

calculele egiptenilor. 

Din vremuri îndepãrtate, egiptenii înregistrau unitatea printr-o liniuåã 

verticalã (un beåiæor), doi cu douã liniuåe verticale æ.a.m.d. Pentru a 

nota un numãr ca 15, erau necesare 15 liniuåe, pentru 99 erau figurate 

99 de liniuåe, iar pentru un milion ar fi trebuit 1 000 000 de liniuåe! 

Pentru a scrie numerele într-o manierã mai funcåionalã, mai economicoasã, 

egiptenii au fãcut urmãtoarele simplificãri: pentru 10 au 

folosit un cârlig ∩, pentru 100 spirala , pentru 1 000 frumoasa


floare de lotus, pentru 10 000 un deget, pentru 100 000 un mormoloc, 

iar pentru un milion un zeu cu braåele ridicate. 

Reproducem, mai jos, modul în care egiptenii au conceput figurarea 

numerelor: 

Fig. 3. Numeraåia hieroglificã 

Observãm cã, în scopul economisirii spaåiului, zecile æi unitãåile 

erau aæezate pe douã linii, deci o evoluåie, de la o scriere liniarã s-a 

ajuns la una pe douã registre. 

Sã dãm un exemplu de numãr incizat pe monumente. Bunãoarã, 

numãrul 4 357 era reprezentat prin juxtapunere, în felul urmãtor: 1 000, 

1 000, 1 000, 1 000, 100, 100, 100, 10, 10, 10, 10, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 

1, 1, adicã erau figurate 4 flori de lotus, 3 spirale, 5 cârlige æi 

7 beåiæoare: 

Fig. 4. Reprezentarea numãrului 4 357 

Fireæte cã aceastã modalitate – cum am mai spus – era destul de 

greoaie. Pentru numãrul 99 999 erau necesare 45 de semne, cât ne 

trebuie nouã astãzi pentru a nota un miliard de miliarde înmulåit cu 

un miliard de miliarde, adicã 10 414 . 

Cu vremea, egiptenii au încercat sã mai simplifice figurarea 

numerelor. Pentru numãrul 5 000 au utilizat cinci beåiæoare, iar


deasupra o floare de lotus (1 000); pentru 40 000 – patru beåe, iar 

deasupra un deget (10 000). S-a gãsit înregistrat numãrul 270 000 în 

modul urmãtor: 270 æi deasupra un mormoloc (100 000). Pentru 

numãrul 660 000 s-a recurs la douã rânduri de câte trei mormoloci 

æi douã rânduri de câte trei degete (2 x 300 000 + 2 x 30 000). 

Fig. 5. Reprezentarea 

numãrului 270 000 

Fig. 6. Reprezentarea numãrului 

660 000 

Sensul de notare a numerelor era, la egipteni, de la dreapta la 

stânga. 

Cele mai mari numere din epigrafia (ætiinåa inscripåiilor) 

egipteanã au fost descoperite într-un document din Hierakonpolis, 

oraæ foarte vechi, situat pe malul stâng al Nilului, datând din mileniul 

al III-lea î.e.n. æi se referã la bilanåul unei prãzi de rãzboi: 

a. 400 000 de bovine; b. 1 422 000 de capre; c. 120 000 de 

prizonieri. 

Desluæirea inscripåiei – ne referim la planul inferior al acesteia – 

(vezi Fig. 7, p. 70) este la îndemânã, deoarece: a. boul care are 

dedesubtul lui 4 mormoloci (câte 2 pe un rând) înseamnã 400 000 

de bovine; b. capra are la dreapta un zeu, care înseamnã un milion, 

æi dedesubt 4 mormoloci, care reprezintã numãrul 400 000, 2 

degete, adicã 20 000, iar dedesubtul zeului 2 nuferi, echivalând cu 

2 000. Însumând semnele, se obåine numãrul 1 422 000 de capre; c. 

prizonierul legat la mâini are dedesubt un mormoloc (100 000) æi 2 

degete (2 x 10 000), adicã 120 000 de prizonieri.


Fig. 7. Cel mai mare numãr vechi din epigrafia egipteanã 

(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites. 

Paris, 1975, p. 65) 

Am vãzut, din exemplele de mai înainte, în ce fel au reuæit 

egiptenii sã mânuiascã, doar cu ajutorul a æapte semne, numerele 

pânã la un milion, folosind scrierea hieroglificã (în greacã hieros = 

sfânt, gliphein = a grava). 

Scrierea hieroglificã a fost modificatã de egipteni atunci când au 

realizat avantajele unui alt suport pentru informaåii, în locul pietrei. 

Noul suport a fost papirusul, planta care creæte din belæug în Delta 

Nilului. Din hieroglifica monumentelor, o scriere discontinuã impusã 

de piatrã, a derivat scrierea cursivã, mai simplificatã, numitã hieraticã. 

A fost inventatã æi folositã în Vechiul Imperiu (2278-2160 

î.e.n.) La rândul ei, scrierea hieraticã a cunoscut un proces de simplificare. 

În secolul al VIII-lea î.e.n., a apãrut scrierea demoticã,


mult mai accesibilã æi, ca urmare, larg utilizatã de populaåie, precum 

æi în administraåie. 

Unitãåi Zeci Sute Mii 

hieroglifice 

hieratice 

demotice 

hieroglifice 

hieratice 

demotice 

hieroglifice 

hieratice 

demotice 

hieroglifice 

vechi æi noi 

Fig. 8. Scrierea primelor noduri la egipteni 

(hieroglifice, hieratice, demotice) 

(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 59) 

hieratice 

demotice


În tabloul precedent, observãm cã, de pildã, numerele 2, 3 æi 4 

din scrierea hieraticã seamãnã cu corespondentele lor din scrierea 

hieroglificã, fiind obåinute prin juxtapunere, dar numerele 5, 7 æi 9 

erau notate cu ajutorul unor simboluri originale noi; numerele 6 æi 

8, deæi figurate cu ajutorul unor simboluri originale, pãstreazã ceva 

din faptul cã sunt pare. 60 æi 90 pãstreazã ceva de la 3, iar 80 ceva 

de la 4. Iar 1 000 reprezintã stilizarea florii de lotus æ.a.m.d. 

Tot în aceastã figurã se pot observa modificãrile survenite în cele 

trei tipuri de scriere pentru unitãåi, zeci, sute æi mii. Coloana I din 

cele patru compartimente reprezintã unitãåile, cea de a II-a zecile, a 

III-a sutele æi a IV-a miile. 

Adunarea a douã numere de tip hieroglific era foarte simplã: se 

numãrau simbolurile de aceaæi naturã æi se efectuau, apoi, reducerile 

necesare. 

Pentru înmulåire, egiptenii foloseau dublarea, ca æi cum înmulåitorul 

ar fi fost scris în baza 2. Un exemplu ne poate uæura 

înåelegerea. Fie 7 x 11. Se scria pe verticalã: 1 æi 7; 2 æi 7; 4 æi 7; 

8 æi 7; 16 æi 7, în felul urmãtor: 

/ 1 7 

/ 2 14 

4 28 

/ 8 56 

16 112 

adicã 1x7 = 7; 2 x 7= 14; 4 x 7 = 28; 8 x 7 = 56; 16 x 7 = 112. 

Mai întâi, se cerceta ce numere din coloana din stânga au ca 

sumã înmulåitorul 11. Aceste numere sunt: 1, 2 æi 8. Se reåineau, în 

coloana din stânga, doar aceste numere, marcându-se printr-o liniuåã 

oblicã. Apoi se cercetau corespondenåele numerelor 1, 2 æi 8 în 

coloana din dreapta – aceste numere fiind 7, 14 æi 56. Prin însumarea 

lor, se obåinea 77. Or, 77 reprezintã rezultatul înmulåirii 7x 11.


Ætim cã împãråirea este operaåia aritmeticã inversã înmulåirii. 

Åinând seama de acest fapt, pentru a împãråi, de pildã, numãrul 168 

la 8, egiptenii aranjau operaåiile ca æi cum ar fi vrut sã facã o 

înmulåire cu 8: 

1 

1 

1 

1 

2 

3 

4 

5 

– 1 8 

2 16 

– 4 32 

8 64 

–16 128 

Cercetând în coloana din dreapta (invers faåã de înmulåire, când 

se cerceta coloana din stânga), numerele care, adunate, dau deîmpãråitul 

168, se reåineau numerele 8, 32 æi 128. În continuare, se 

notau numerele din coloana din stânga care corespundeau lui 8, 32 

æi 128 æi se marcau cu o liniuåã orizontalã. Acestea erau 1, 4 æi 16, 

care, adunate între ele, reprezintã câtul împãråirii. 

Egiptenii operau doar cu fracåia având ca numãrãtor unitatea: 

, , , ... 

... 

2 

Excepåie fãcea fracåia . 

3 

Fracåia se nota folosindu-se semnul , care înseamnã parte 

(bucatã). 

Fig. 9. Fracåii egiptene având ca numãrãtor unitatea


De la bobul de cacao la glifa aztecã 

Zona Americii Centrale, care cuprindea imperiul aztec æi popoarele 

maya, a cunoscut un sistem de numeraåie cu baza 20, în care numerele 

erau simbolizate cu ajutorul unor semne diferite pentru grupurile 

de numere 20, 20 2 æi 20 3 . Graåie acestui sistem, au fost fãcute 

calcule foarte precise asupra timpului. Specialiætii susåin cã la precolumbieni 

datarea timpului începe din 12 august 3113 î.e.n. 

Cel mai vechi sistem de numeraåie aztec, având baza 20, folosea 

patru cifre. Un mic cerculeå, corelat, probabil, cu un bob de cacao, 

reprezenta unitatea. Un drapel îl reprezenta pe 20, un conifer pe 

20 2 = 400, un sac cu tãmâie pe 20 3 = 8 000, aceasta fiind, de altfel, 

puterea cea mai mare pe care o utilizau. Numãrul 400, considerã 

cercetãtorii, ar fi fost reprezentat printr-un conifer, dar, de fapt – 

susåine G. Guitel –, era vorba de o coadã de pãr. Probabil cã, anterior, 

a avut sensul de „mult“. 

Pentru a nota numãrul 159 999 – cel mai mare numãr al aztecilor –, 

trebuiau juxtapuæi 19 saci cu tãmâie, 19 brazi, 19 drapele æi 19 cerculeåe. 

Deci era nevoie, în total, de 76 de semne! Cu vremea, au fost 

aduse o serie de simplificãri sistemului. 

1 

Dacã un conifer, cu care notau numãrul 400, pierdea din ramurile lui, 

4 

devenea numãrul 300. 

1 

Dacã acelaæi conifer pierdea din ramuri, reprezenta numãrul 200. 

2 

3 

Iar dacã pierdea era echivalentul numãrului 100. 

4 

Înregistrãrile de naturã contabilã stau mãrturie acestui sistem de notare. 

Numeraåia aztecã a evoluat în strânsã legãturã cu dezvoltarea 

calendarului. Luna numãra 20 de zile, fixate într-o ordine imuabilã, 

fiecãrei zile asociindu-i-se o glifã, adicã un simbol gravat în piatrã. 

Iatã, reprezentate, cele 20 de zile ale calendarului aztec, corespunzând 

numerelor 1-20, potrivit glifelor sãpate pe pietre funerare:


Nr. Denumirea Numele Glife Denumirea Denumirea 

în aztec în în 

românã francezã englezã 

1 Crocodil Cipactli Crocodile Weater beast 

the Earth 

2 Vânt Ehecatl Vent The Wind 

3 Casã Calli Maison A Temple 

Templu 

4 Æopârlã Quetzpalin Lézard Lizard 

5 Æarpe Coatl Serpent Snake 

6 Cap de Miquiztli Tête de mort Death 

mort 

7 Cerb Mazatl Cerf Deer 

8 Iepure Tochtli Lapin Rabbit 

9 Apã Atl Eau Water 

10 Câine Itzcuintli Chien Dog 

(Continuare în pag. 76) 

Fig. 10. Cele 20 de zile ale anului religios aztec, cu glifele corespunzãtoare 

(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 146-147)


Nr. Denumirea Numele Glife Denumirea Denumirea 

în aztec în în 

românã francezã englezã 

(Continuare din pag. 75) 

11 Maimuåã Ozomatli Singe Monkey 

12 Iarbã Malinalli Herbe Grass used 

in penance 

13 Trestie Acatl Roseau Reed used for 

arrow shafts 

14 Jaguar Oceolotl Jaguar Ocelot 

15 Vultur Quauhtli Aigle Eagle 

16 Uliu Cozcaquauhtli Vautour Vulture 

17 Miæcare Olin Mouvement Earth tremor 

18 Cuåit de Tecpatl Couteau Stone 

piatrã de pierre knife 

19 Ploaie Quiauitl Pluie Rain 

20 Floare Xochitl Fleur Flower 

Fig. 10. Cele 20 de zile ale anului religios aztec, cu glifele corespunzãtoare 

(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 146-147)


Pentru noi, care suntem obiænuiåi cu cele 7 zile ale sãptãmânii, 

legate exclusiv de Soare, Pãmânt æi planete, atâtea cât se cunoæteau 

în Antichitate, calendarul zilelor aztece este, într-adevãr, uluitor. 

Sistemul lor de numeraåie e strâns legat de calendarele utilizate. Or, 

aspectul cel mai frapant al calendarelor descoperite în Mexic æi în 

America Centralã constã în faptul cã ele opereazã cu douã unitãåi de 

timp: un an religios, conceput în mod artificial, æi un an solar, legat 

de ciclul anotimpurilor, care reprezenta anul civil. 

Plecând de la o definiåie matematicã, descoperitã, probabil, în 

mod empiric, aztecii au ales pentru anul religios ciclul de 260 de 

zile. De ce 260? Pentru cã rotirea celor 20 de zile – legate, incontestabil, 

de sistemul de numeraåie cu baza 20 – se producea dupã 

multiplicarea cu primele 13 numere întregi. De ce s-au oprit la 13? 

Probabil, din motive religioase. 260 este cel mai mic multiplu 

comun al lui 13 æi 20. Dar aztecii nu aveau cunoætinåe matematice 

æi au ales în mod empiric numãrul 260 ca duratã a anului religios. Cu 

siguranåã, suntem în faåa unei alegeri extraastronomice. 

Calendarul religios al aztecilor nu prezenta nici o utilitate în viaåa 

de zi cu zi a populaåiei, care se îndeletnicea, în principal, cu agricultura, 

dependentã de anotimpuri; de aceea, ei au adoptat un calendar 

solar civil în care anul avea 365 de zile, grupate în 18 luni a câte 20 

de zile, plus 5 zile complementare. 

De la azteci au rãmas o serie de Codice, manuscrise extrem de 

interesante æi atractive prin originalitatea æi prin frumuseåea 

reprezentãrilor. În toate aceste manuscrise apar numere, într-o 

covâræitoare diversitate. Aceluiaæi numãr i se asociau simboluri 

diferite sau acelaæi numãr putea fi notat prin juxtapunerea de cerculeåe 

în diferite poziåii. Lipsa de unitate e de-a dreptul stupefiantã. 

Într-un codice, numãrul 1, notat printr-un bob de cacao, putea 

reprezenta, dupã caz, un câine, o casã, un cuåit, o trestie sau un 

iepure. Nici mãcar felul în care erau dispuse boabele de cacao nu 

asigura totdeauna unicitatea semnificaåiei numãrului. Astfel,


numãrul 10 putea sã însemne ploaie în ipostaza A, iarbã în ipostaza 

B, trestie în ipostaza C. 

A B C 

• • • • • • • • • • • • • 

• • • 

• • • 

• • • 

• • • 

• • • 

• 

• 

Ploaie Iarbã Trestie 

Atât cuåit, cât æi casã au o reprezentare identicã, 

fie • • • • • fie • • • • • 

• • • • • • 

• 

• 

• 

• 

Sistemul de numeraåie aztec, de purã concepåie primitivã, a servit 

la efectuarea adunãrilor æi la utilizarea calendarului. Valoarea lui 

este de palier în dezvoltarea aritmeticii elementare. 

Sistemul acrofonic grecesc 

Grecia a cunoscut douã sisteme de numeraåie, foarte diferite. În 

primul sistem, cel mai vechi, denumit acrofonic, numerele erau 

notate cu cea dintâi literã a cuvântului care le desemna. Åinând


seama cã akros în greacã înseamnã vârf, înåelegem lesne de ce sistemul 

a cãpãtat numele de acrofonic. Regula avea o singurã excepåie: 

numãrul 1 era notat cu o barã. Cel de-al doilea sistem de numeraåie, 

denumit savant, este, realmente, un sistem alfabetic (sistemul grec 

savant va fi prezentat în capitolul referitor la sistemele de numeraåie 

alfabetice). 

Aceste douã sisteme au coexistat îndelung. Cel acrofonic, foarte 

rudimentar, servea la notarea numerelor cardinale. A fost utilizat în 

metrologie æi a jucat un rol important în socotelile cu monede. La 

început, numerele erau notate prin transcrierea cuvântului în 

întregime. Cele æase cifre pe care le folosea sistemul acrofonic erau: 

1, 5, 10, 100, 1 000 æi 10 000. 

p 

1 I 

5 Γ (forma veche a lui , iniåiala lui π ENTE); 

10 ∆ (iniåiala lui DEKA); 

100 H (iniåiala lui HEKATON); 

1000 X (iniåiala lui XIΩIOI); 

10000 M (iniåiala M γ PIOI) 

Numãrul 50 era notat cu , adicã în semnul pentru cinci îl 

încorporau pe 10, ca æi cum l-ar înmulåi pe 5 cu 10. Urmând acelaæi 

procedeu, numãrul 500 era notat cu (încorporând în 5 pe 100 = 

5 x 100); pentru 5 000 se utiliza semnul (5 încorporându-l pe 

1 000), iar 50 000 era notat cu (5 încorporând simbolul pentru 

10 000). 

Aceste semne apar æi pe Abacul din Salamida, descoperit în 

1846, oarecum asemãnãtor computerului.


Sã remarcãm cã grecii au construit un sistem satisfãcãtor pentru 

numãrarea banilor. Sã exemplificãm: 

5 taleri 10 taleri 100 taleri 1000 taleri 

Cum numãrau strãmoæii romani? 

Din cele mai vechi timpuri, romanii au cunoscut un sistem de 

numeraåie asemãnãtor sistemului acrofonic grecesc, pe care îl 

folosim æi în zilele noastre: Cele 7 cifre ale acestui sistem sunt: 

I V X L C D M 

1 5 10 50 100 500 1000 

Pentru a scrie numerele mari, romanilor le-a trebuit multã ingeniozitate. 

Folosindu-æi imaginaåia, ei au întreprins multiple încercãri 

pentru a gãsi soluåii. În coloana din stânga a tabelului urmãtor, 

observãm cã pentru a scrie numãrul 1 000 (10 3 ) au gãsit patru 

modalitãåi pe lângã „M“-ul pe care-l folosim æi noi, æi anume: o barã 

închisã între douã semicercuri; un fel de semn al înmulåirii aplatizat 

între douã semicercuri; semnul infinitului æi o barã verticalã surmontatã 

de una orizontalã. Pentru 10 000 (10 4 ) æi 100 000 (10 5 ) 

existau câte trei posibilitãåi. 10 000 era notat cu unul dintre semnele 

pe care romanii îl foloseau pentru 1 000, æi anume (I), pe care-l 

închideau între alte semicercuri, ceea ce însemna înzecirea numãrului. 

El arãta astfel: ((I)). 

Cea de-a doua modalitate de reprezentare pentru 10 000 era un X 

simbolizându-l pe 10, situat înaintea lui M, care înseamnã 1 000, 

deci era o multiplicare a lui 10 cu 1 000. Ultima modalitate pentru 

scrierea numãrului 10 000 era un 10 surmontat de o barã verticalã. 

Pentru 100 000, romanii foloseau fie pe 1 000, notat printr-o barã 

verticalã închisã cu trei rînduri de paranteze, adicã 10 000 ori 10, fie 

pe C = 100 urmat de un M = 1 000 (100 x 1 000), fie pe C = 100 

surmontat de o barã orizontalã.


Milionul, adicã 10 6 , se nota doar în douã feluri, unul fiind X 

încadrat; 10 7 era exprimat prin C încadrat, iar 10 8 prin M încadrat 

(10 000 000 = 1 000 x 100 000; 100 000 000 = 1 000 x 100 000); 

încadrarea semnifica amplificarea cu 100 000. 

Fig. 11. Cifre romane 

(Reprodus dupã: Al. Toth. Apariåia æi rãspândirea cifrelor în Åãrile Române. 

Bucureæti, Editura Tehnicã, 1972, p. 13) 

Coloana din dreapta tabelului de mai sus reproduce semnele 

inventate de romani pentru a reprezenta numãrul 50 æi numãrul 500 

multiplicat prin puterile lui 10. Urmãrind acest tabel, este lesne de 

înåeles cum au fost înregistrate numerele întregi pe Abacul de buzunar 

pãstrat la Cabinetul de Numismaticã al Bibliotecii Naåionale din 

Paris (vezi Fig. 12, p. 82). 

Romanii formau destul de uæor orice numãr inferior lui 500 000 000, 

cu numai nouã simboluri, æapte cifre, trãsãtura (bara orizontalã care 

surmonta numãrul) pentru 1 000 æi încadrarea (într-un dreptunghi 

fãrã bazã) pentru numerele superioare lui 100 000. Iatã, de exemplu, 

cum alcãtuiau numãrul: 123 456 789: 

sute de mii mii sute, zeci, unitãåi 

1234 56 789 

LVI DCCLXXXVIIII 

MCCXXXIV


Fig. 12. Abacul de buzunar 


Este interesant de urmãrit cum pronunåau romanii numerele 

mari. Pentru puterile succesive ale numãrului 10, ei spuneau: 

10 = decem 

10 2 = centum 

10 3 = mille 

10 4 = decem milia (10 x 1000) 

10 5 = centum milia (100 x 1000) 

10 6 = decies centena milia (10 x 100 x 1000) 

10 7 = centies centena milia (100 x 100 x 1000) 

10 8 = milies centena milia (1000 x 100 x 1000) 

10 9 = decies milies centena milia (10 x 1000 x 100 x 1000). 

Observãm aici douã praguri, unul pentru 1 000 æi altul pentru 100 000. 

Sã nu uitãm cã atestarea numerelor mari a fost târzie în toatã 

lumea. În Franåa, vocabula milion apare în anul 1359, importatã din 

Italia, unde millione însemna o mie mare, iar miliard e atestat în


1544. Cuvântul milion a fost inventat de Marco Polo (1254-1324), 

care, entuziasmat de mulåimea oamenilor æi a bogãåiilor pe care le-a 

vãzut în China, l-a folosit ca superlativ al cuvântului mille (o mie, în 

italianã). 

În Apusul Europei, la începutul Evului Mediu, a dominat 

numãrãtoarea cu cifre romane, cu fracåii romane, precum æi cu abacul, 

pe lângã numãrarea pe degete æi folosirea rãbojului. În bibliotecile 

din åara noastrã, se pãstreazã manuscrise æi cãråi vechi în care apar 

numere romane. Cel mai vechi dateazã din secolul al XI-lea æi 

aparåine fondului Bibliotecii Batthyaneum din Alba Iulia. 

Deæi numeraåia greacã acrofonicã æi numeraåia romanã prezintã 

aceeaæi concepåie, este puåin probabil cã una sã o fi influenåat pe 

alta æi cu atât mai puåin cã ar avea o origine comunã. Tot astfel, cine 

æi-ar putea imagina, bunãoarã, cã sistemul de numeraåie aztec a fost 

influenåat de sistemul de numeraåie egiptean? Fiecare dintre aceste 

douã popoare a avut aceeaæi idee! 

Situaåia este, însã, complet alta în cazul sistemelor de numeraåie 

pur alfabetice, aæa cum se va vedea în continuare.

NUMERAÅIILE ALFABETICE – 

UN IMENS PAS ÎN ISTORIE 

Maria, Valeria æi Sandra trebuie sã redacteze un studiu despre 

sistemele de numeraåie alfabeticã. Ele æi-au împãråit atribuåiile. 

Maria aduce informaåii despre matematica la evrei, Valeria despre 

matematica la greci, iar Sandra despre matematica la arabi. Dupã o 

lunã, fetele se întâlnesc la Sandra acasã, ca sã discute rezultatele 

investigaåiei lor. 

Sandra: Sã începem aæa: numeraåia ebraicã, numeraåia greacã 

savantã æi primul sistem de numeraåie arabã îæi datoreazã 

apariåia alfabetului. Din alfabetul protosinaitic, 

consonantic, în care au fost scrise cãråile lui Moise, a 

rezultat cea mai veche numeraåie alfabeticã din istorie. 

Alfabetul fenician, la rândul lui consonatic, a jucat un 

rol asemãnãtor. Dupã cum se ætie, scrierea fenicianã 

numãra 22 de consoane. Grecii le-au preluat æi au 

adãugat vocalele, desãvâræind procesul de creare a 

scrierii alfabetice propriu-zise æi intrând în istorie ca 

autorii de fapt ai alfabetului. A fost o revoluåie a culturii 

europene. Iniåial, grecii au asociat celor 24 de 

litere (consoane æi vocale) ale alfabetului lor 24 de 

numere cardinale. 

Valeria: Trebuie adãugat cã în timp ce alfabetul ebraic are 22 

de consoane, cel grec numãrã 24 de consoane æi 

vocale, iar cel arab 28 de consoane. Toate aceste trei 

sisteme de numeraåie îl au ca bazã pe 10. 

Sandra: Acum e rândul Mariei sã citeascã ce a redactat.


O asociere ingenioasã a literelor æi numerelor la evrei 

Maria: Reprezentarea numerelor la evrei a fost extrem de 

ingenioasã. Ei au început prin a asocia primele 9 

numere întregi primelor 9 litere ale alfabetului lor. O 

caracteristicã remarcabilã a limbii ebraice i-a fãcut sã 

realizeze urmãtoarea asociere: numele zecilor de la 30 

la 90 sunt pluralele numelor atribuite lui 3, 4, 5… 9. 

Numãrul 20 nu este însã asociat, în acelaæi chip ca 

celelalte noduri ale zecilor, cu numãrul întreg 2. 

Având la dispoziåie încã patru litere, acestea au fost 

atribuite primelor 4 sute. Numãrul 500 a fost 

reprezentat prin 400 + 100; 600 prin 400 + 200 

æ.a.m.d. pânã la 900 = 400 + 400 + 100. 

Apoi, evreii au renunåat la acest sistem, æi pentru 500, 

600, 700, 800 æi 900 au asociat litere care nu figurau 

în alfabetul lor uzual, deoarece acestea nu serveau 

decât ca terminale. Ei au folosit pentru 500 pe kaf 

final, pentru 600 pe mem final, pentru 700 pe nun 

final, pentru 800 pé final, iar pentru 900 pe æade final. 

Pentru a ajunge la un milion, ei au avut ideea de a 

pune deasupra fiecãrui numãr douã puncte, mãrindu-le 

în acest fel valoarea cu o mie. 

Scrierea numerelor la evrei era de la dreapta la stânga, 

începând cu unitãåile de ordinul cel mai mare. 

Bunãoarã, 1 005 se nota alef hé; nu exista ambiguitate 

la citirea numãrului (alef nu putea fi decât 1 sau 1 000; 

plasat înaintea lui hé era 1 000). Numãrul versetelor 

lui Massorah îl gãsim scris ca un numãr modern, 

dintr-o numeraåie de poziåie. Massorah înseamnã 

tradiåie æi reprezintã pe acei cãrturari evrei care, pentru 

a asigura acurateåea textului biblic, au marcat vocalele 

cu puncte. Textul biblic stabilit de ei numãrã 5 845 de


Corespondentul 

numeric 

Denumirea 

literelor 

ebraice 

Simbolul 

ebraic 

Litere 

terminale 

Corespondentul 

numeric 

Simbolul 

vechi 

Fig 13. Literele ebraice æi corespondentul lor numeric 

(Reprodus dupã: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, 

vol. I, London, The Open Court Publishing Company, 1928, p. 20-21) 

Simbolul 

nou


versete. Cunoscând corespondenåele dintre 5, 8, 4, 5 æi 

litere, putem nota acest numãr în scrierea de poziåie de 

la dreapta la stânga, adicã: hé het dalet hé = 5, 8, 4, 5. 

Valeria: Daåi-mi voie sã adaug cã, în Vechiul Israel, au convieåuit 

atât sistemul de numeraåie zecimal, cât æi cel 

sexagesimal. Primul dintre acestea era legat de socotitul 

cu ajutorul celor zece degete ale mâinilor, iar cel de-al 

doilea a fost împrumutat de la babilonieni. Urme ale 

utilizãrii sistemului sexagesimal se pot constata în 

Biblie, în reglementarea greutãåilor sau în uzul monedelor. 

Sã ne amintim cã numãrul 12 apare frecvent în 

literatura biblicã – cele 12 semiåii ale lui Israel, cele 

12 poråi ale Ierusalimului etc. 

Sandra: E rândul tãu, Valeria. 

Impactul numeraåiei greceæti 

Valeria: Grecii au început prin a simboliza primele 24 de 

numere apelând la cele 24 de litere ale alfabetului lor. 

Åinând seama cã aceste 24 de litere nu erau suficiente 

pentru a nota cele nouã unitãåi simple, cele nouã zeci 

æi cele nouã sute, ei au introdus trei semne suplimentare, 

æi anume: digamma (a æasea literã a alfabetului 

fenician, pentru 6), koppa (de origine semiticã 

pentru 90) æi sampi (de origine fenicianã, pentru 900). 

În aceste condiåii, puteau acoperi toate numerele pânã 

la 1 000, aæa cum vi le înfãåiæez în urmãtorul tabel. 

Primele opt litere ale alfabetului grec æi digamma 

corespund numerelor 1-9; urmãtoarele opt litere æi 

koppa indicã zecile (10-90); ultimele opt litere æi sampi 

indicã sutele (100-900). Miile (1 000-9 000) erau 

simbolizate cu ajutorul literelor care indicau unitãåile,


dar precedate de o liniuåã, situatã 

ceva mai jos decât litera. 

Sandra: Ætiu cã, spre deosebire de 

evrei, grecii notau în sistem 

poziåional de la stânga la 

dreapta. 

Valeria: Corect. De exemplu, numãrul 

4 837 îl notau astfel: litera 

delta pentru 4, precedatã de o 

liniuåã verticalã (care indica 

faptul cã e vorba de mii), 

urmatã de litera omega, care 

indica valoarea 800, pentru 

valoarea 30 puneau litera lambda 

æi, în sfâræit, litera dzeta 

pentru valoarea 7. 

Maria: Reiese cã pentru a nota 

numerele pânã la miriadã (10 

000), numeraåia greacã a 

folosit aceleaæi procedee ca 

æi numeraåia ebraicã. Atunci 

cum se explicã impactul ei 

incomparabil mai mare decât 

al numeraåiei ebraice? 

Valeria: Impactul numeraåiei greceæti 

se datoreazã atât condiåiilor 

geografice æi istorice, cât æi 

calitãåilor ei intrinsece. 

Unitatea imediat urmãtoare 

miilor, miriada (10 000), era 

notatã de greci în mai multe 

feluri. Se scria, de exemplu, 

Fig. 14. Denumirea 

numerelor la greci pe 

baza alfabetului (transcriere 

internaåionalã) 

Tabelul este completat de cãtre 

autoare cu termenii semitici, 

menåionaåi în paranteze drepte.


litera M æi se punea în faåa sau deasupra ei cifra care 

indica de câte ori trebuie luatã miriada. De exemplu: 

314 159 reprezenta 31 de miriade æi 4 159, deci se 

punea un M pentru miriadã æi deasupra sau în faåa ei 

lambda pentru 30 æi alfa pentru 1; în continuare, pentru 

4 000 se punea delta (patru) precedatã de o liniuåã, ro 

pentru 100; niu pentru 50 æi, în sfâræit, theta pentru 9. 

Numãrul 314 159 în scrierea grecilor, arãta astfel: 

λαM l δρνθ. Marele matematician grec Diofant (325- 

409) nu-l folosea pe M, ci despãråea miriadele cu un 

punct de unitãåile de rang inferior. În manuscrisele din 

epocile târzii ale civilizaåiei greceæti antice, miriada era 

reprezentatã prin douã puncte puse deasupra cifrelor. 

Maria: Æi pentru notarea numerelor mari cum se proceda? 

Pentru notarea numerelor mari, matematicienii greci 

au apelat la baze foarte mari. Astfel, astronomul æi 

matematicianul Apollonios din Perga (262-180 î.e.n.) 

a folosit baza 10 4 . Acest sistem de numeraåie prezintã 

valoare speculativã, dar era total lipsit de utilitate 

practicã, nefiind rãspândit în rândurile matematicienilor. 

Imaginaåia lui Arhimede a depãæit-o pe aceea a lui 

Apollonios. El a considerat miriada miriadei o nouã 

unitate, ceea ce i-a permis sã ajungã la numere chiar 

superioare numãrului firelor de nisip pe care le-ar 

conåine o sferã având raza egalã cu distanåa de la 

Pãmânt la Soare. Arhimede credea cã diametrul acestei 

sfere este inferior miriadei de miriade. El a ajuns la un 

numãr format din unitate æi opt sute de milioane de zerouri. 

Sistemul de numeraåie grec a reuæit sã se adapteze 

uæor la notaåia sexagesimalã a babilonienilor, 

sporindu-i eficienåa. Marii matematicieni greci au perfecåionat 

acest instrument puåin cam greoi æi l-au fãcut 

apt pentru calcule foarte mari.


Multe popoare care au resimåit influenåa greacã au 

creat pentru uzul lor sisteme de numeraåie alfabetice 

inspirate din sistemul de numeraåie savant al grecilor. 

Maria: Acum, Sandra. 

Numeraåia arabã priveæte spre Europa 

Sandra: Vã mãrturisesc cã n-am reuæit sã redactez un text prea 

coerent, am întâmpinat multe greutãåi, deoarece mã 

descurc greu cu alfabetul arab. Totuæi, vã rog sã mã 

ascultaåi (citeæte): Toate sistemele de numeraåie care 

se bazeazã pe alfabet respectã regula potrivit cãreia 

orice literã a alfabetului corespunde unui numãr æi 

numai unuia singur æi orice numãr corespunde unei 

litere æi numai unei singure litere. Arabii, care dispuneau 

de un alfabet alcãtuit din 28 de consoane, aveau posibilitatea 

sã noteze cu litere æi toate nodurile sutelor, 

ceea ce le-a permis sã reprezinte cu uæurinåã numere 

pânã la 1 000. Zece fiind baza sistemului de numeraåie, 

nouã se constituie în numãr fundamental, deoarece 

existã câte nouã noduri pentru unitãåi, zeci æi sute. 

Corespondenåa dintre literele alfabetului ebraic, 

respectiv ale celui grecesc, æi numere este ordonatã æi 

biunivocã. Surprinzãtor pentru noi, obiænuiåi cu acest 

tip de corespondenåã, în limba arabã corespondenåa 

biunivocã dintre literele alfabetului æi numere nu mai 

urmeazã æirul crescãtor al numerelor. Æirului crescãtor 

de 28 de litere ale alfabetului arab îi corespunde æirul 

numerelor 1, 2, 400, 500, 3, 8, 600, 4, 700, 200, 7, 60, 300, 

90, 800, 9, 900, 70, 1000, 80, 100, 20, 30, 40, 50, 5, 6, 10. 

Maria: Ce dovedesc aceste observaåii? Ai tras vreo concluzie? 

Hai sã vedem ce ne mai spune Valeria.


Valeria: Cea mai bunã concluzie e sã vã prezint tabelul 

numerelor de la 1 la 1 000 000 folosite de arabi: 

Fig.15. Nodurile de la 1 la 1 000 000 în numeraåia alfabeticã arabã 

(Reprodus dupã: Florian Cajori, Op.cit., p. 29) 

Maria: Vrei sã ne zãpãceæti de tot? 

Valeria: Doamne fereæte! Mã uit la tabelul acesta. Cum sã 

descifrãm numerele mai mari de 4 000? 

Sandra: Mai întâi, sã nu scãpãm din vedere cã arabii scriau 

numerele de la dreapta la stânga, iar noi le scriem de 

la stânga la dreapta. Pentru 3 000, noi notãm 3, apoi 

punem mia, iar arabii puneau mie trei, dar semnul 

pentru 3 000 nu corespunde cu semnul pentru 1 000 æi 

cu semnul pentru 3. 

Maria: Stai! Descopãr cã metoda åine pentru 4 000, 6 000 æi 7 000. 

Valeria: Maria are dreptate, celelalte noduri ale miilor nu 

conåin numãrul 1 000, dar, în poziåie terminalã, toate 

prezintã acelaæi semn. 

Maria: Existã vreo justificare pentru aceastã constatare?


Sandra: În araba cursivã, aceeaæi literã poate lua forma: medianã, 

iniåialã, finalã, izolatã. 

Valeria: Dar literele alfabetului nu sunt izolate? 

Sandra: Literele alfabetului permit sã se scrie nodurile unitãåilor, 

zecilor, sutelor æi numãrul 1 000. Dar, atenåie, când 

scriem 3 000, numãrul mie se gãseæte în poziåie terminalã, 

deci trebuie folositã forma finalã, pe când pentru 

3 folosim forma iniåialã a literei corespunzãtoare. 

Valeria: Cam complicat! 

Sandra: Dar 4 000, 6 000 æi 7 000 se prezintã prin simpla juxtapunere, 

deoarece 4, 6, 7 nu se leagã cu mia, astfel cã 

mia pãstreazã aparenåa de literã izolatã. 

Valeria: Æi semnul pentru milion? 

Sandra: Reprezentarea milionului se obåine prin juxtapunerea 

a douã semne pentru mie; cel din dreapta este semnul 

iniåial pentru mie, foarte mic, înghesuit, cu un punct 

diacritic, iar cel din stânga este semnul final pentru 

mie, care comportã æi el un punct diacritic. 

Maria: Cred cã åi-a fost foarte greu sã pricepi acest sistem de 

numeraåie. 

Valeria: Æi foarte greu sã-l expui succint. 

Sandra: Orice numãr scris în acest prim sistem de numeraåie 

arab trebuia sã fie considerat ca un cuvânt, iar reprezentarea 

lui sã respecte regulile scrierii cursive arabe. 

Valeria: Ce consecinåe au avut dificultãåile cu care s-a confruntat 

acest sistem de numeraåie arab? 

Sandra: Toate aceste dificultãåi au surghiunit primul sistem de 

numeraåie arab într-o întrebuinåare staticã. Ca urmare, 

specialiætii în gramatica arabã au inventat nume 

mnemotehnice pentru a facilita reåinerea succesiunii 

nodurilor unitãåilor, zecilor, sutelor. Toate complicaåiile 

care decurg din scrierea cursivã arabã i-au determinat


sã adopte sistemul sexagesimal de poziåie babilonian, 

care a permis efectuarea eficientã de calcule. 

Valeria: Cam când s-a întâmplat asta? 

Sandra: Pe la începutul secolului al IX-lea. Savanåii din Bagdad 

au adoptat atunci sistemul de numeraåie zecimal de 

poziåie, care fusese introdus nu cu mult înainte în 

India æi care reprezenta perfecåionarea aritmeticii 

zecimale bazate pe principiul valorii simbolului. 

Covâræitorul merit al arabilor este acela de a fi rãspândit 

numeraåia poziåionalã indianã, pe care o cunoæteau încã 

din secolul al VIII-lea. De însemnãtate hotãrâtoare 

pentru cunoaæterea æi adoptarea cifrelor indiene æi a 

scrierii poziåionale în Europa a fost apariåia, începând 

din secolul al XII-lea, a traducerilor în limba latinã a 

cãråilor arabe de aritmeticã æi, îndeosebi, a manualului 

de aritmeticã al matematicianului arab Muhammad 

ibn Musa al Horezmi (c. 780-850). Impactul acestei 

lucrãri, care debuteazã cu descrierea detaliatã a sistemului 

indian de numeraåie, este covâræitor. El utilizeazã 

nouã „figuri“ – simbolurile numerelor 1, 2, 3, …, 9 – 

æi un „cerc mic“ – simbolul lui zero, cu care erau 

exprimate, fãrã dificultate, numere oricât de mari. 

Valeria: Totuæi, se foloseau, în continuare, æi vechile procedee 

de numeraåie. 

Maria: Am citit cã cel care a introdus cifrele arabe pe continentul 

nostru a fost Fibonacci. 

Sandra: Exact, æi o datã cu introducerea lui în viaåa economicã, 

noul sistem de numeraåie câætigã definitiv teren 

în Europa secolului al XV-lea. Este elocvent cã, pe monede, 

cifrele arabe au apãrut încã în secolul al XV-lea 

(1424, în Elveåia), iar pe monumentele funerare în 

secolul al XIV-lea (la Pforzheim, lângã Buda, în 1371).

NUMERAÅIILE DE POZIÅIE 

Începutul a fost în Sumer 

Incontestabil cã cel mai vechi sistem de numeraåie care a reuæit 

sã devinã realmente un sistem de poziåie a fost cel al sumerienilor æi 

babilonienilor. Oamenii de ætiinåã au descoperit documente relative 

la acest sistem încã din mileniul al III-lea î.e.n. Zero nu a apãrut în 

cadrul sistemului decât târziu, æi anume în poziåie medianã (pentru 

a semnala lipsa unei cifre din interiorul unui numãr), iar zero operaåional 

nu a figurat niciodatã. Iniåiatorii au fost sumerienii, de la 

care l-au preluat babilonienii. 

Baza sistemului de numeraåie sumerian-babilonian a fost 60. Ne 

punem întrebarea de ce sumerienii æi babilonienii au ales o bazã 

mare de numeraåie. Istoricii æi matematicienii au emis mai multe 

ipoteze. Prima lua în considerare virtutea numãrului 60 de a avea 

mulåi divizori, ceea ce permite mânuirea lui comodã. Cel care a 

emis aceastã ipotezã a fost matematicianul æi astronomul grec 

Theon din Alexandria (sfâræitul secolului al IV-lea e.n.) – comentatorul 

lui Ptolemeu. 

În epoca modernã, matematicianul englez John Wallis (1616- 

1703) s-a oprit æi el la acest argument. Alåii au legat folosirea lui 60 

de calendar, de anul rotunjit sau de cerc. La începutul secolului al 

XX-lea, astrologul german Kewitsch a sugerat ipoteza puåin fantezistã 

cã 60 a fost ales ca rezultantã a contopirii concepåiei a douã popoare 

mai vechi, din care unul ar fi adus sistemul zecimal, iar celãlalt un 

sistem de numãrare bazat pe numãrul 6. Matematiciana francezã 

Geneviève Guitel a cãutat sã argumenteze cã alegerea lui 60 ca 

rezultantã a încruciæãrii lui 6 cu 10 e raåionalã, fiindcã se leagã de


3 æi de 2, respectiv de 5, ca divizori ai bazei. Numãrul 3 nu joacã în 

metrologie un rol tot atât de important ca 2, dar are un rol esenåial 

în muzicã, stând la baza obåinerii de cvinte de o mare frumuseåe. 

Deæi majoritatea popoarelor au adoptat numãrul 10 ca bazã a 

numeraåiei, urmele folosirii bazei 60 se regãsesc æi astãzi pretutindeni 

în lume! Nu socotim timpul folosind ca bazã numãrul 60? Ora 

are 60 de minute æi minutul 60 de secunde. Dacã în Ajunul 

Crãciunului, la ora 18, 10 minute æi 2 secunde, copilul îæi întreabã 

tatãl cât mai e pânã vine Moæul cu daruri, tatãl va trebui sã facã 

urmãtoarea socotealã: 24 h – 18 h 10’2’’ = (23 h + 1 h ) – 18 h 10’2’’ = 

(23 h 60’) – 18 h 10’2’’ = [23 h (59’ + 1’)] – 18 h 10’2’’ = (23 h 59’60’’) – 

18 h 10’2’’ = 5 h 49’58’’. În acelaæi mod procedeazã æi æcolarii când fac 

operaåii de adunare, scãdere, înmulåire sau împãråire a unghiurilor etc. 

Principiul juxtapunerii a stat la baza tuturor celorlalte sisteme de 

numeraåie din Antichitate æi pe care l-am moætenit æi noi, folosind 

scrierea cu caractere latine. În sistemul poziåional, valoarea unui 

simbol numeric depinde de poziåia relativã a acestuia în secvenåa 

numãrului respectiv. Aceastã notaåie poziåionalã prezintã imensul 

avantaj cã simplificã operaåiile fundamentale, fãcându-le mecanice, 

cã permite, de asemenea, ca numere foarte mari, ca æi numere foarte 

mici sã se exprime la fel de uæor. 

Un exemplu ar fi potrivit pentru a ne edifica asupra caracterului 

unui sistem poziåional. Sã vedem ce reprezintã într-un asemenea 

sistem cifra 7 din numãrul 7 777: cifra 7 desemneazã cele 7 unitãåi 

de ordinul sau rangul întâi (care ocupã prima secvenåã din numãr); 

apoi cele 70 de unitãåi de rangul al doilea; cele 700 de unitãåi de rangul 

al treilea æi, în fine, cele 7 000 de unitãåi de rangul al patrulea. 

Elevii lucreazã cu numere într-un sistem poziåional cu baza 10. 

Ei ætiu, de exemplu, ce înseamnã numãrul 382: 

382 = (3 x 100) + (8 x 10) + 2 sau (3 x 10 2 ) + (8 x 10 1 )+ (2 x 10 0 ) 

(Toatã lumea cunoaæte cã orice numãr ridicat la puterea zero este 

egal cu 1). Numãrul 382 ne spune, deci, cã avem 3 unitãåi de rangul 

al treilea, 8 unitãåi de rangul al doilea æi 2 unitãåi de rangul 1. Prin


urmare, valoarea unitãåilor de rangul 1 nu este afectatã de bazã, 

valoarea unitãåilor de rangul al doilea se înmulåeæte cu valoarea 

bazei 10, valoarea unitãåilor de rangul al treilea se înmulåeæte cu 

valoarea bazei ridicate la puterea a doua. Urmând acest principiu, 

realizãm uæor cã valoarea unitãåilor de rang n se va înmulåi cu 

valoarea bazei la puterea n – 1. 

Deoarece obiectul prezentului comentariu este legat de sistemul 

poziåional de numeraåie sumerianã, având ca bazã 60, sã încercãm 

sã urmãrim cum notau numerele sumerienii æi babilonienii. Prin 

analogie, valoarea unitãåilor de rangul întâi rãmâne neschimbatã, 

valoarea unitãåilor de rangul al doilea se înmulåeæte cu 60, iar 

valoarea unitãåilor de rangul al treilea se înmulåeæte cu 602 æ.a.m.d. 

Sã alegem la întâmplare un numãr. Fie acesta 7 523. Aplicând cele 

de mai sus, avem (7 x 603 ) + (5 x 602 ) + (2 x 601 ) + (3 x 600 ). 

Efectuãm înmulåirea. Numãrul este egal cu 1 540 123. 

Æi acum sã ne oprim puåin asupra numeraåiei orale a locuitorilor 

dintre Tigru æi Eufrat. O facem pentru cã aceasta constituie o mãrturie 

a arhitecturii numeraåiei lor scrise. Terminologia oralã ne aratã 

cã articulaåiile numeraåiei scrise sunt încorporate în limbaj. Numele 

primelor zece numere æi ale primelor noduri ale zecilor pãstreazã 

urme ale bazelor de numeraåie folosite anterior, adicã 5 æi 10. De 

altfel, aæa se întâmplã în cea mai mare parte a numeraåiilor, dar, în 

general, denumirile primelor numere sunt atât de vechi æi atât de 

deformate încât o întoarcere la originile limbajului este, adesea, 

imposibilã. Tabloul acestui sistem se prezintã astfel: 

1 geš (geš este acelaæi cuvânt pentru „mascul, bãrbat“) 

2 min (min este acelaæi cuvânt pentru „femeie“) 

3 eš (eš are sensul de pluralitate, este sufixul pluralului) 

4 limmu 

5 ia 

6 aš 

7 imin (imin este un nume compus din i[a]+ min deci 5 + 2) 

8 issu 

9 ilimmu (ilimmu este un nume compus din i[a]+ limmu = 5 + 4)


Dupã cum se poate observa, numerele 7 æi 9 sunt marcate de 5 

(7 = 5 + 2, iar 9 = 5 + 4). 

Sã continuãm prezentarea tabloului: 

10 u 

20 niš 

30 ušu (uš, în loc de eš, + u, adicã 3 x 10) 

40 ninim sau nin (ninim este contracåia lui niš + min = 20 x 2) 

50 ninnû sau nin’+ u (adicã 40 + 10) 

60 geš sau gešta 

Începând cu al doilea prag al sistemului de numeraåie cu 60, 

numeraåia vorbitã este deosebit de coerentã: 

60 geš 

120 geš + min (60 x 2) 

180 geš + eš (60 x 3) 

600 era tratat ca o nouã unitate, deæi compus din 60 x 10, æi era 

denumit geš-u; el reprezintã al treilea prag al notaåiei. 

În acelaæi spirit, plecând de la: 

600 geš + u 

1 200 geš + u + min (600 x 2) 

1 800 geš + u + eš (600 x 3) 

3 600 era denumit šar, care înseamnã cerc, ansamblu, totalitate 

æi reprezenta cel de-al patrulea palier al numerotaåiei. Folosind 

aceeaæi tehnicã avem: 

7 200 šar + min (3600 x 2) 

36 000 šar + u (3 600 x 10). 

Æi tot aæa pânã la al cincilea prag: 

216 000 = 60 3 = šar + gal, adicã marele šar. 

În ceea ce priveæte numeraåia scrisã a sumerienilor, ea a fost marcatã 

de instrumentele de scris. Cel dintâi instrument pentru notarea 

numerelor a fost tulpina de trestie, secåionatã circular, care, apãsatã


perpendicular pe tãbliåa de lut, contura o formã foarte apropiatã de 

cerc, iar prin apãsarea oblicã se obåinea forma de semicerc. Cu 2000 

de ani î.e.n., folosind tehnica realizãrii de semicercuri pe tãbliåele de 

argilã æi aliniind simbolurile pe una sau pe douã linii, sumerienii au 

notat numerele de la 1 la 9, aæa cum se vede în tabelul urmãtor: 

1 D un semicerc 

2 DD douã semicercuri aæezate la rând 

3 (a) trei semicercuri la rând 

DDD DD 

D 

D 

D D 

(b) douã semicercuri aæezate liniar 

æi al treilea sub primul 

(a) (b) (c) (c) douã semicercuri pe verticalã 

æi un al treilea între ele 

4 DDDD DD (a) patru semicercuri în linie 

DD dreaptã 

(a) (b) (b) câte douã semicercuri aæezate 

pe douã rânduri 

5 DDDDD DDD (a) cinci semicercuri în linie dreaptã 

DD (b) pe douã rânduri, pe rândul 

(a) (b) întâi trei semicercuri, pe rândul 

al doilea douã semicercuri 

6 DDDDDD DDD (a) æase semicercuri în linie 

DDD dreaptã 

(a) (b) (b) pe douã rânduri câte trei 

semicercuri 

7 DDDD pe rândul întâi patru semicercuri, 

DDD pe cel de-al doilea trei 

8 DDDD câte patru semicercuri pe douã 

DDDD rânduri 

9 DDDDD pe rândul întâi cinci semicercuri, 

DDDD pe rândul al doilea patru semicercuri 

Fig. 16. Notaåia sumerianã a numerelor 1-9


Pentru numãrul zece, sumerienii au reprodus pe tãbliåa de lut 

forma cercului. 

Cu ajutorul a douã tulpini de trestie de mãrimi diferite, secåionate 

circular, se puteau obåine patru numere: 

1 = D (un semicerc mic) 

10 = (un cerc mic) 

60 = D (un semicerc mare) 

60 2 = 3600 = (un cerc mare) 

Prin combinare, se obåinea, de exemplu: 

D 

600 = (în interiorul simbolului lui 60 se introducea simbolul 

pentru 10, care avea rol de operator, înmulåind pe 60 cu 10). 

36 000 = (în interiorul simbolului lui 3 600, un cerc mare, se 

introducea simbolul lui 10, adicã un cerc mic, æi se obåinea 3600 x 

10 = 36 000). 

Folosind pe 1, 10, 60, 600, 3 600 æi 36 000, puteau fi scrise toate 

numere inferioare lui 216 000 (adicã 60 3 ). 

Cu ajutorul acestor simboluri, locuitorii Mesopotamiei fãceau 

uæor calcule. Sã dãm un exemplu de înmulåire: 50 x 3. Vom nota de 

cinci ori semnul lui 10 æi de trei ori semnul lui unu: 

x DDD 

Ætim cã înmulåirea este o adunare repetatã. A înmulåi pe 50 cu 3 

înseamnã a aduna pe 50 cu 50 æi cu 50. Vom nota, deci, trei rânduri 

a câte cinci cerculeåe: 

Åinând seama cã lucrãm în baza 60, trebuie sã avem grupuri de 

câte æase cerculeåe. În acest scop, luãm douã cerculeåe din ultimul 

rând æi mutãm câte un cerculeå la primul æi la al doilea rând. 

Obåinem în acest fel douã rânduri de câte æase cerculeåe æi un al 

treilea rând de trei cerculeåe, adicã doi de 60 æi 30.


sau DD 

Exemplul de mai sus se referã la o înmulåire comodã, dar 

locuitorii Mesopotamiei trebuiau sã facã æi înmulåiri mai complicate. 

Ca æi noi, în secolul al XXI-lea, ei foloseau tabla înmulåirii. 

Babilonienii, ca æi sumerienii, aveau la dispoziåie, pe plãcuåe de 

argilã table de înmulåire pentru numerele lor. 

Pentru a împãråi, sumerienii asociau împãråirea cu înmulåirea, 

procedând astfel: dacã aveau de împãråit un numãr cu 2, atunci îl 

înmulåeau mai întâi cu 30; åinând seama cã 2 x 30 = 60, le rãmânea sã 

împartã numãrul la 60 (baza lor de numeraåie), iar dacã trebuiau sã 

împartã numãrul la 3, îl înmulåeau mai întâi cu 20 æ.a.m.d. 

Înlocuirea tulpinii de trestie secåionate circular cu un calam obiænuit 

a determinat un alt mod de desenare a numerelor, înainte ca sistemul 

de numeraåie sã devinã poziåional. Astfel, 1 notat printr-un soi de 

semicerc devine un triunghi, care, apoi, se subåiazã æi îæi schimbã 

poziåia din orizontalã în verticalã. Numãrul 10 ia forma , iar 60 este 

metamorfozat în acelaæi „cui“ ca 1. Suntem în prezenåa a ceea ce e 

cunoscut drept scrierea cuneiformã. 

Cãtre anul 2000 î.e.n., numerele de la 1 la 9 se prezentau în noua 

scriere ca în figura de mai jos. În afarã de numãrul 3, ne gãsim în 

faåa unei grupãri diadice, care favorizeazã economia de spaåiu; totul 

este axat pe par æi impar. 

Fig. 17. Numerele 1-9 în prima scriere cuneiformã 

Dupã cum observãm, 2 æi 3 sunt obåinute prin alãturarea 

(adunarea) linearã a cuielor. Pentru economie de spaåiu, numerele


de la 4 la 9 sunt notate pe douã rânduri: 4 = 2 + 2; 5 = 3 + 2; 6 = 3 + 3; 

7 = 4 + 3; 8 = 4 + 4; 9 = 5 + 4. 

În tabelul de mai jos, observãm preponderenåa grupãrii a câte trei cuie. 

E prima victorie a lui 3, primul preæedinte din Åara Numerelor Arinei! 

Fig. 18. Numerele 1-9 în cea de a doua scriere cuneiformã 

Tabelul urmãtor prezintã folosirea semnului special pentru 10, cu 

ajutorul cãruia sumerienii æi babilonienii scriau pe 11 (10 + 1); 12 

(10 + 2); 20 (10 + 10); pentru 60 apare un semn nou, 70 = (60 + 10) æ.a.m.d. 

Zero era marcat de babilonieni 

printr-un spaåiu gol. Procedeul 

acesta îl gãsim atestat pe 

un document din vremea suveranului 

Hammurabi sau Hammurapi 

(1728-1686 î.e.n.), cel 

care a fost adevãratul fondator 

al Regatului Vechi babilonian. 

Iatã un exemplul extras din 

acest document (Fig. 20). 

Dupã cum vedem, pe rândul 

întâi e figurat numãrul 1, urmat 

de un spaåiu liber, apoi de reprezentarea 

numãrului 25; pe rân- 

Fig. 19. Semne speciale de la 10 la 100 dul al doilea apar: 1, 5 æi 25. 

Sistemul de numeraåie de 

poziåie sexagesimal a fost folosit 

pe întreg teritoriul Mesopotamiei 

æi avea sã se impunã, în 

mileniul al III-lea î.e.n., graåie 

Fig. 20. În loc de zero, spaåiu liber 

geniului sumerian, învingãtorilor


akkadieni, care foloseau sistemul cu baza 10. Ulterior, în viaåa de zi 

cu zi, avea sã fie folosit, progresiv, sistemul de numeraåie cu baza 

10, al akkadienilor, care supravieåuise. Sistemul de numeraåie de 

poziåie sexagesimalã a continuat sã se menåinã în comunitatea 

savantã æi sã progreseze prin adoptarea lui zero median. 

Este de reåinut cã numeraåia babilonianã a supravieåuit îndelung 

datoritã grecilor æi arabilor, care au adoptat sistemul sexagesimal, 

acesta fiind mai lesne de mânuit decât sistemele lor savante de 

numeraåie. Un exemplu ne va convinge cât de comod le era grecilor 

sã transcrie tãbliåele babiloniene. Fie 36 o 45’57’’ în scriere babilonianã: 

Grecii menåionau 

numãrul de grad 

notând în limba lor 

cuvântul grecesc 

grade, dupã care 

scriau numãrul 

Fig. 21. Un numãr din scrierea babilonianã în 

transpunerea greceascã 

echivalent pentru 

36 (30 = λ æi ς = 6); 

numãrul minutelor 

45 (40 = m æi e = 5) era urmat de un accent; iar pentru secunde scriau 

57 (50 = v æi ζ =7), urmat de douã accente. Numãrul arãta astfel: 

λ ς µ ε ’ v ζ ” 

Remarcãm, de asemenea, utilizarea, de cãtre locuitorii 

Mesopotamiei, încã din timpuri foarte îndepãrtate, a numerelor 

1 1 2 5 

fracåionare: , , , . 

2 3 3 6 

Fantezia mayaæilor 

Mihaela o roagã pe Margareta sã-i sugereze câteva repere pentru 

finalizarea studiului pe care trebuie sã-l predea Arinei.


Mihaela: Am citit cu mult interes, chiar cu pasiune, despre 

sistemul de numeraåie al mayaæilor, dar mã simt sufocatã 

de informaåii æi mi-e teamã cã nu voi reuæi sã le 

prezint coerent. De aceea, apelez la tine. Ai experienåã, 

ai finalizat studiul despre numeraåia la sumerieni æi la 

babilonieni – sora mai mare a numeraåiei mayaæe. 

Margareta: Eu cred cã trebuie sã abordezi, pentru început, urmãtorul 

aspect: numeraåia mayaæilor, ca æi cea a sumerienilor 

æi babilonienilor, folosea un sistem poziåional, 

superior însã, fiindcã l-au cunoscut pe zero operator. 

Aratã-mi ce ai adunat în problema asta. 

Mihaela: Uite, aici, tabelul lui G. Silvanus Morney pentru 

primele 19 numere: 

Fig. 22. Numerele 1-19 în sistemul de notare mayaæ 

(Reprodus dupã: G. Silvanus Morney, The ancient maya,. 3rd edition, Stanford University Press, 1947, p. 278)


Margareta: Æi ce observãm? 

Mihaela: Observãm cã primele patru numere sunt reprezentate 

prin adunarea punctelor, iar numãrul 5 printr-o 

barã orizontalã; de la 6 la 9, acestei bare orizontale 

desemnând numãrul 5 i se adaugã puncte; numãrul 

10 apare ca suma a douã bare orizontale (5 + 5). 

Notarea numerelor de la 11 la 14 urmeazã un procedeu 

similar: se adunã 10 cu 1, 2, 3 æi 4, desenându-se 

douã bare, la care se adaugã puncte (11 = 10 + 1; 

12 = 10 + 2; 13 = 10 + 3 æi 14 = 10 + 4). Ajungându-se 

la 15, se multiplicã numãrul barelor: 15 = 5 x 3, deci 

se traseazã trei bare orizontale. 

Margareta: Dar în privinåa denumirii numerelor? 

Mihaela: Constatãm cã primele 12 numere au nume complet 

deosebite; începând cu numãrul 12, denumirile traduc 

modul de compunere a numerelor. În denumirea 

numãrului 12 recunoaætem pe lah, contracåia lui lahun = 

10 æi pe ca = 2. Compunerea denumirii numerelor de 

la 13 la 19 este riguros urmatã: 3 æi 10, 4 æi 10 æ.a.m.d. 

Margareta: De remarcat cã acest procedeu de formare a denumirii 

numerelor se va regãsi în limba francezã, unde 

pentru 17 se spune 10 æi 7; pentru 18 – 10 æi 8; pentru 

19 – 10 æi 9, dar æi în spaniolã, atunci când se trece 

de la 16 la 17. 

Mihaela: În limba românã, compunerea numerele de la 11 la 19 

este însã absolut regulatã (unsprezece…, nouãsprezece). 

Margareta: Aici este de adãugat cã, deæi baza sistemului de 

numeraåie al mayaæilor era 20, adicã suma degetelor 

de la mâinile æi picioarele omului – în concepåia lor 

însuæi omul –, reiese rolul pe care îl atribuiau 

numãrului 10 ca bazã auxiliarã æi numãrului 5, ca 

important divizor al lui 10. Bobul de cacao, atât de


prezent în viaåa mayaæilor, i-a inspirat, probabil, pe 

aceætia sã-l aleagã drept simbol al unitãåii, al 

numãrului 1. Sã mergem mai departe, Mihaela. 

Mihaela: M-aæ referi, apoi, la denumirile puterilor bazei, pentru 

cã e un aspect foarte semnificativ. Astfel, 20 = hun 

kal; 20 2 = 400 = hun bak, 20 3 = 8 000 = hun pic, iar 

20 4 = 160 000 = hun cabal. Multiplii bazei, adicã 

2 x 20 = 40; 3 x 20 = 60; ..., 10 x 20 = 200, erau 

botezaåi astfel: ca kal, ox kal, ..., lakun kal. 

Margareta: Observãm cã e vorba despre un sistem de numeraåie 

cu baza 20 de concepåie primitivã, care folosea 

adunarea, sistem în care 5 joacã un rol privilegiat ca 

divizor. Deci ai putea sã rezervi spaåiu prezentãrii 

sistemului mayaæ de numeraåie oralã, deoarece îl 

consideri de o coerenåã remarcabilã. 

Mihaela: De acord. Sã abordãm acum partea cea mai dificilã, 

dar æi cea mai interesantã æi mai incitantã din sistemul 

de numeraåie mayaæ – mecanismul de formare 

a numerelor de la 21 la 400. Referitor la numerele de 

la 21 la 40, sã alegem, la întâmplare, un numãr, sã 

zicem 27, care se exprimã prin uuc tu kal (unde uuc 

e 7, tu un prefix ordinal, „æi“ este subînåeles, kal e 

20). Constatãm cã 27 e format din 7 (æi) primul 20. 

Noi spunem douãzeci, apoi æapte, mayaæii enunåã 

mai întâi unitãåile simple apoi zecile. Pentru numerele 

cuprinse între 41 æi 60, sã-l alegem pe 47 (uuc tu y 

ox kal, unde uuc este 7, tu prefixul ordinal, y o ligaturã, 

iar ox kal al treilea douãzeci, adicã 60); constatãm 

cã 47 este tradus ca æapte unitãåi din al treilea 

douãzeci sau æapte al treilea douãzeci. 

Margareta: Intervenåia neaæteptatã a celui de-al treilea douãzeci 

e, într-adevãr, curioasã; sã fie vorba de un arhaism?


Mihaela: Surpriza a fost æi mai mare când am aflat din traducerea 

francezã a cãråii lui Edward B. Taylor, Civilizaåia 

primitivã, publicatã la Paris, în 1878, cã în 

Groenlanda pentru 53 se spunea de la al treilea om, 

trei pe primul picior, care s-ar putea tãlmãci ca trei 

degete de la primul picior al celui de al treilea om; la 

mayaæi, pentru 53 se spunea treisprezece din al 

treilea douãzeci, iar în unele dialecte treisprezece 

din al treilea om. Desãvâræitã analogie! 

Margareta: Vãd cã te referi la aæa-numita botezare a numãrului 

47. De ce? 

Mihaela: Aici e o problemã de viziune a mayaæilor æi groenlandezilor 

în construirea numeraåiei. Dacã noi, 

românii, considerãm cã 47 este cuprins între 40 æi 

50, baza noastrã de numeraåie fiind 10, pentru 

mayaæi – care aveau ca bazã pe 20 – numãrul 47 este 

cuprins între 40 æi 60, adicã de douã ori baza æi de 

trei ori baza. Preocupaåi sã boteze numãrul 47, 

mayaæii, conætienåi cã numãrul depãæise pe 40 (2 x 20), 

æi-au îndreptat privirea spre 60 (3 x 20). Pornind la 

atac, ei au început sã facã socoteli pe acest 60. 

Groenlandezii aveau o concepåie asemãnãtoare cu a 

mayaæilor: pentru 60 sau 3 x 20 (20 reprezentând un 

om), spuneau 3 oameni. Abordând în acest fel pe 60, 

groenlandezii au trebuit sã spunã „al treilea om“ 

referindu-se la 53, cuprins între 40 æi 60. Groenlandezii 

au numãrat pentru 5 degetele unei mâini, pentru 

10 degetele celor 2 mâini, pentru 15 degetele ambelor 

mâini æi degetele unui picior. 

Margareta: Mihaela, n-ar trebui sã lipseascã din referatul tãu modalitatea 

de descifrare a sistemului mayaæ de numeraåie. 

Mihaela: Existã în domeniul acesta destul de multã informaåie. 

Totul atestã cã descifrarea s-a fãcut prin cercetarea


gravurilor incizate pe stele funerare sau pe alte monumente 

æi prin studiul codicelor mayaæe. Au supravieåuit 

pânã la noi trei dintre aceste izvoare: Codexul Trolortesianus 

– lucrare de antropologie, descoperit în a 

doua jumãtate a secolului al XIX-lea, în Spania, æi 

aflat în prezent la Paris; Codex Pereseanus – manuscris 

pãstrat la Biblioteca Naåionalã din Paris – æi celebrul 

Codex din Dresda. Etnografului irlandez Eduard K. 

Kingsborough (1795-1837) îi datorãm imagini superbe 

ale acestor trei documente, incluse în tratatul sãu în 9 

volume, intitulat: The Antiquity of Mexico (Londra, 1830). 

Margareta: De ce e celebru Codexul din Dresda? 

Mihaela: Trebuie sã subliniez covâræitorul impact pe care l-a 

avut descoperirea lui pentru cunoaæterea sistemului 

de numeraåie mayaæ, dar æi pentru culturã, în general. 

În acest codex, numerele apar scrise într-un sistem 

poziåional, alãturi de un numãr impresionant de zerouri 

elegant desenate æi colorate totdeauna în roæu. 

Fig. 23. Codexul din Dresda


Margareta: Unde a fost descoperit? 

Mihaela: La Viena, în 1739; apoi a fost achiziåionat 

de Biblioteca Regalã din Dresda. În 1880, 

E. Forstemann a dat o ediåia ætiinåificã a Codexului. 

Descoperirea lui a fost de interes capital pentru studiul 

calendarului æi al sistemului de numeraåie mayaæ. Iar 

studiul arheologului britanic John Eric Thompson 

(1898-1975), Maya Arithmetic, publicat în Contribution 

to American Anthropology and History, VII 

(1942), nr. 36, a suscitat un viu interes. Recunoaætem 

imediat, din textul Codexului, cã este vorba 

despre o numeraåie de poziåie, datoratã grijii pentru 

înregistrarea economicoasã a numerelor. Menåionarea 

lui zero este absolut naturalã. 

Margareta: Într-adevãr, fascinante desene! Ai vorbit despre numere 

înregistrate pe suport de hârtie. Dar trebuie sã 

abordezi æi numerele înregistrate pe stele funerare, 

pe suport de piatrã. 

Mihaela: Pe stelele din cetãåile Copan æi Palenc (în sud-vestul 

Yucatanului), arheologii, istoricii, matematicienii au 

descifrat mii de numere scrise în sistem poziåional æi 

au putut urmãri evoluåia sistemului de notare mayaæ 

în decursul vremurilor, pânã la stabilirea unui sistem 

de scriere definitiv. Corespondenåa dintre numere æi 

simbolurile gravate pe piatrã diferã de cea despre 

care am vorbit pânã acum. Simbolurile folosite pentru 

a stabili corespondenåa cu diferite numere erau 

realizate prin desene incizate, adesea reprezentând 

animale sau zei. 

Margareta: La mayaæi, ca æi la azteci, este atestat cã efigia zeilor 

se putea substitui numerelor. Iartã-mã, Mihaela, dar 

poate cã ar fi momentul sã precizezi cã sistemul de


numãrare al mayaæilor reprezenta, de fapt, instrumentul 

calendarului lor. Calendarele au jucat în viaåa 

mayaæilor, ca æi în cea a aztecilor, un rol deosebit de 

important. Sã structurezi referatul åinând seama de 

asemenea repere. Trebuie sã subliniezi cã anul religios 

mayaæ, bazat pe aceeaæi concepåie ca æi la azteci, 

folosea 20 de numere divine æi introducea primele 

13 numere. Durata anului era de 260 de zile, rezultat 

al produsului dintre cele 13 luni a câte 20 de zile 

(corespunzând bazei de numeraåie a precolumbienilor). 

În acest an religios, construit dintr-un ciclu 

arbitrar de 260 de zile, format din combinarea a 20 

de semne æi 13 cifre, fiecare zi era determinatã de un 

semn æi de o cifrã. Se ajungea, în felul acesta, la o 

succesiune a zilelor de felul urmãtor: 

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 F 7 G 8 H 9 I 10 J 11 K 12 L 13 M 

1 N 2 O 3 P 4 Q 5 R 6 S 7 T 8 A 9 B 10 C 11 D 12 E 13 F 

1 G 2 H 3 I 4 J etc. 

Mihaela: Îåi mulåumesc, Margareta, pentru precizãrile tale. Æi 

eu îmi notasem cã mayaæii au inventat numeroase 

simboluri în vederea înregistrãrii timpului. 

Bunãoarã, existau la ei 13 zei ai zilelor: 1 – Caban; 

2 – Ezmab; 3 – Canuac, 4 – Ahau; 5 – Imix; 6 – Ik; 

7 – Akbal, 8 – Kan; 9 – Chicchan; 10 – Cimi; 11 – 

Manik; 12 – Lamat; 13 – Muluk. Ei erau în conexiune 

intimã cu primele 13 numere. Numãrul 13 a jucat un 

rol deosebit la precolumbieni. În America Centralã, 

o credinåã foarte rãspânditã evoca 13 Ceruri æi, prin 

urmare, 13 Zei ai Cerurilor. Aceæti zei erau plasaåi pe 

paliere succesive, doi de fiecare palier, iar al 13-lea, 

aæezat cel mai sus, domina ansamblul. Zeii aceætia 

guvernau succesiunea zilelor.


Margareta: Din cercetarea Cabalei reiese cã numãrul 13 este 

numitor comun pentru numele lui Dumnezeu, al alesului 

Lui pentru a-L face cunoscut Lumii – Moise –, 

pentru locul unde i-a fost relevatã acestuia Legea, cât 

æi pentru numele primilor patriarhi. Mã întreb dacã 

existã vreo legãturã între impactul obsedant al 

numãrului 13 la israeliåi æi la populaåiile din America 

Centralã. Pe baza teoriei puåin cam uluitoare a lordului 

Eduard K. Kingsborough æi a unor erudiåi contemporani 

lui, se poate, oare, emite ipoteza cã indigenii 

din America ar fi fost supravieåuitori ai 

triburilor lui Israel? 

Mihaela: În figurarea numãrului 13 æi a celor æase numere care 

îi urmeazã, mayaæii ne oferã o nouã surprizã. Deja 

numãrul 13 poate fi transpus în douã reprezentãri, fie 

ca un zeu cu nas lung æi cu trompã, fie ca zeul lui 3, 

care în loc de bãrbie are un cap de mort. Începând cu 

numãrul 14, aceastã îmbinare între 10 (Zeul Cimi – 

cap de mort) æi numãrul unitãåilor simple devine regulã 

generalã. Pe fiecare faåã a unui zeu apare maxilarul 

unui cap de 

mort, care simbolizeazã 

numãrul 10. 

Ingeniozitatea mayaæilor 

în transpunerea 

numerelor 

era deosebitã. Astfel, 

pentru reprezentarea 

numãrului 16 au 

gravat o maimuåã 

åinând în lãbuåele ei 

ridicate capul Zeului 

6, în timp ce 


numãrului 16 la mayaæi 

(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 413)


capul Zeului Cimi se sprijinã pe membrele ei inferioare, 

dupã cum se vede în imaginea precedentã 

(Fig. 24). În alte cazuri, ei figurau doi zei unul lângã 

altul, a cãror valoare însumatã era numãrul cãutat. 

Totul atestã o evoluåie spre abstractizare æi mãreæte 

interesul cercetãtorilor pentru aceastã scriere figurativã. 

Uneori, identificãm juxtapunerea semnului 

numeric æi al Zeului Cimi; astfel, pentru a-l reprezenta 

pe 19, numãrul 9 a fost notat cu 4 cercuri mici æi o 

barã verticalã, totul precedându-l pe Cimi, cap de mort. 

Margareta: Ai procedat foarte bine precizând cã mayaæii, ca æi aztecii, 

au folosit, pe lângã calendarul religios, un 

calendar „civil“, cunoscut sub numele de calendar al 

anului vag. Anul vag, incluzând 365 de zile, era format 

din 18 luni a câte 20 de zile + 5 zile. 

Mihaela: Determinarea anului tropic de cãtre mayaæi este 

demnã de ætiinåa modernã (Anul tropic = durata dintre 

douã treceri consecutive ale Soarelui prin punctul 

vernal, respectiv prin punctul în care ecliptica, adicã 

orbita imaginarã descrisã de Soare în miæcarea lui 

anualã aparentã pe sfera cereascã, intersecteazã planul 

Ecuatorului, la echinocåiul de primãvarã. Anul tropic 

are 365 de zile, 5 ore, 46 minute æi 46 de secunde). 

Åinând seama cã 365 împãråit la 20 dã rest 5, combinarea 

celor douã caractere face ca numai 4 dintre 

cele 20 de semne ale zilelor sã poatã marca începutul 

anului. Deoarece 365 împãråit la 13 dã restul 1, 

rezultã cã oricare dintre cele 13 cifre putea marca 

începutul anului nou, iar fiecare zi era marcatã 

printr-o cifrã mai mare cu o unitate decât cifra care 

marca ziua corespunzãtoare din anul precedent. În 

consecinåã, repetarea unui an în care zilele erau 

notate cu aceeaæi cifrã sau cu acelaæi semn al unui an 

dat avea loc numai dupã un ciclu de 52 de ani.


Margareta: Sã scrii neapãrat æi despre ingenioasa ideea a mayaæilor 

de a pune de acord cele douã tipuri de calendar, 

considerând simultan o zi determinatã de anul religios 

æi ziua corespunzãtoare a anului vag æi punând 

bazele a ceea ce savanåii numesc Calendarul rotund. 

Mihaela: Aæa cum remarcã æi Geneviève Guitel – pe care am 

amintit-o mai înainte –, „meritul mayaæilor rãmâne 

imens: au inventat o numeraåie de poziåie cu baza 20 

folosind scrierea numãrului 5 ca bazã auxiliarã, au 

inventat un simbol pentru zero, au jonglat cu numere 

foarte mari, dar calculele lor s-au limitat la adunare 

æi scãdere. Folosirea exclusivã a numeraåiei lor pentru 

mãsurarea timpului a fost pãgubitoare pentru matematicã, 

împiedicându-i sã realizeze clar importanåa 

lui zero operator æi sã inventeze operaåiile-cheie: 

înmulåirea æi împãråirea. Mayaæii nu cunoæteau 

decât numerele întregi; ideea de fracåie le era total 

strãinã, doar ideea de jumãtate – katun – le era familiarã. 

În plus, trebuie subliniat cã s-au jucat în mod 

magistral cu numerele întregi, cã au introdus divizorii 

privilegiaåi æi multipli ai numerelor fundamentale, 

rezolvând cu ajutorul tabelelor, elaborate 

inteligent, probleme de analizã nedeterminatã“. 

Dinamismul numeraåiei chineze 

Chinezii au folosit numerele încã din preistorie. Sistemul lor de 

numeraåie a fost conceput în baza 10. Limba chinezã a utilizat denumiri 

monosilabice distincte atât pentru primele zece numere, cât æi 

pentru urmãtoarele trei puteri ale numãrului 10. Cele mai vechi 

urme de numeraåie scrisã la chinezi le aflãm în textele de ghicit 

gravate pe oase (1400-1100 î.e.n.) sau pe monede.


Rolul pe care l-au jucat la romani pietricelele a fost deåinut în 

China de beåiæoare. Pentru scrierea unui numãr, chinezii aranjau 

beåiæoarele pe o tablã liniatã sau pe un caroiaj (reåea de pãtrãåele 

asemãnãtoare cu cea din caietele æcolare de aritmeticã). Analiza 

zecimalã a numãrului era datã de însuæi enunåul lui în limba chinezã, 

aæa încât se aæeza în coloana din dreapta un numãr egal cu numãrul 

de unitãåi, iar în coloana din stânga lui un numãr de bastonaæe egal 

cu numãrul zecilor æ.a.m.d. 

Aæa cum atestã o seamã de inscripåii din secolele XV-XIV î.e.n., 

chinezii foloseau un sistem zecimal cu 13 caractere numerice fundamentale, 

primele nouã numere æi primele patru puteri ale lui 10, 

ceea ce permitea reprezentarea oricãrui numãr pânã la 100 000 000. 

Deci, folosind exclusiv cuvintele care desemneazã primele nouã 

numere întregi æi numerele zece, o sutã, o mie, zece mii, chinezii au 

putut scrie în întregime orice numãr inferior lui 100 000. Transpunerea 

în cuvinte a numerelor o mai folosim æi noi atunci când 

completãm acte bancare, de teama fraudelor. A fost triumful traducerii 

unei numeraåii scrise datorate cuvântului la chinezii din Antichitate. 

Ordinea cuvintelor într-un enunå fiind un element fundamental pentru 

înåelegerea unui numãr, era uæor de înåeles cã zece doi înseamnã 12, 

pe când doi zece înseamnã 20. Pentru puteri mai mari decât 10 4 , au fost 

necesare simboluri noi. Chinezii utilizau unitãåi de ordin superior, pentru 

10 5 , 10 6 , 10 7 sau 10 8 etc., ca nu cumva sã aparã vreodatã, în expresia 

unui numãr, douã caractere numerice identice juxtapuse. 

Cea mai veche formã de numeraåie scrisã chinezã apare în textele 

de ghicit. Unitatea e reprezentatã printr-o liniuåã orizontalã, iar 

numerele 2, 3, 4 prin douã, trei, patru liniuåe orizontale juxtapuse. 

Cu numãrul 5, apare o schimbare, forma acestuia fiind a majusculei 

X închisã jos æi sus; numãrul 6 era reprezentat printr-un fel de micã 

pagodã; 7 – printr-o cruce; 8 – prin curbe care semãnau cu paranteze 

plasate spate în spate; numãrul 9 avea un caracter mai complex: 

un fel de S stilizat având deasupra un mic unghi. Numerele urmãtoare


prezentau o configuraåie mai simplã. 10 se nota ca o liniuåã verticalã, 

20, 30, 40 se înrudeau ca aspect cu 10, ilustrând de câte ori a 

fost repetat 10, cu ajutorul unei ligaturi. Semnele pentru 50, 60, 80 

foloseau simbolurile lui 5, 6, 8 surmontate de o foarte micã liniuåã 

verticalã, care desemna rolul numãrului 10. Numãrul 100 era 

reprezentat printr-un semn în întregime nou, care prin adãugarea 

unei liniuåe orizontale devenea numãrul 200, iar prin adãugarea a 

douã astfel de liniuåe devenea 300. Semnul pentru 100 surmontat de 

numãrul 5 îl reprezenta pe 500, surmontat de 6, pe 600. Semnul pentru 

1 000 pare destul de complex, seamãnã puåin cu 7 al nostru. Dacã 

acest semn este marcat de numerele 3, 4 sau 5, devine 3 000, 4 000 

sau 5 000. 

În timp ce pentru numerele 1-4 æi 10-40 mecanismul de formare 

era aditiv, pentru 5-9 se recurgea la semne independente. Sutele æi 

miile par a fi fost supuse mecanismului multiplicativ. Numerele 

acestea au fost descoperite pe mii de texte de ghicit, lesne de citit, 

fiind gravate, adesea, pe oasele omoplatului. Reproducem, mai jos, 

un tabel al numerelor înregistrate pe textele de ghicit: 

Fig. 25. Numeraåia din textele de ghicit chineze 

(Reprodus dupã: J. Needham, Science and Civilisation in China, vol III, Cambridge, 1959)


Acest tabel prezintã goluri. Constãm cã lipsesc semne pentru 

numerele 70, 90, 400, 700, 800, 900, 2 000, 8 000, 9 000. Din 

pãcate, chiar æi pentru numere mai mici 

nu au fost descoperite reprezentãri, încât 

nu se ætie în ce fel notau chinezii numerele 

16, 17, 18 æi 19. 

Dupã cum se poate observa în tabelul 

din Fig. 26, chinezii notau în textele de 

ghicit pe 56 ca sumã a lui 50 æi 6, pe 88 

ca suma lui 80 æi 8, pe 162 ca sumã a lui 

100 æi 60 æi 2 æ.a.m.d.. Numerele erau 


numerelor 56, 88 æi 162 în 

textele de ghicit chineze 

(Reprodus dupã: J. Needham, 

O p.cit., 1959). 

scrise de sus în jos, pe verticalã, în 

ordinea descrescãtoare a nodurilor, 

întâi zecile, apoi unitãåile simple (56 = 

50 + 6; 88 = 80 + 8; 162 = 100 + 60 + 2). 

Din investigaåiile istoricilor æi mate- 

maticienilor aflãm cã unul æi acelaæi numãr a fost transpus în mai 

multe modalitãåi. Potrivit lui J. Needham, iniåial numãrul 88 era 

notat cu: ) l ( )( 

În secolul I e.n., modul de scriere a numerelor se schimbã. Dacã 

în primã fazã 88 se scria pe orizontalã, în cea de-a doua era 

reprezentat pe verticalã: 

) l ( 

)( 

Dupã 12 secole, se pãstrezã verticalitatea, dar parantezele care 

figureazã numãrul se înjumãtãåesc grafic æi apare între ele o cruce: 

) l ( 

+ 

)( 

În faåa eleganåei grafiei chinezeæti a numerelor, trasate cu pensula, 

simt nevoia sã reproduc o paginã mai mult decât reprezentativã sub 

acest aspect:


Coloana întâi figureazã numerele de la 1 la 10, cea de a doua 

numerele 100, 1 000, 10 000, 100 000 000. Urmãtoarele trei coloane 

reprezintã trei exemple de transcriere, respectiv a numerelor 3 468, 

15 702 æi 860 531. 

E uæor de citit numãrul 3 468; parcurgând de sus în jos coloana 

a treia, recunoaætem semnele: 3; 1 000; 4; 100; 6; 10; 8 (3 x 1000; 4 x 100; 

6 x 10; 8). Al treilea exemplu e mai greu de citit, fiindcã absenåa 

unui simbol original pentru 105 duce la presupunerea cã 104 reprezenta 

un palier, încât numãrul se descompune în 86 x 104 Fig. 27. Exemplu de grafie chinezeascã a numerelor 

(Reprodus dupã: Ore Oystein, Number Theory and History,. New York, 

McGraw – Hill Book Company, 1948) 

+ 531.


Chinezii au reuæit sã depãæeascã pragul sistemului de numeraåie 

prezentat de Ore Oystein (10 4 ). Numeraåia oralã elucideazã modul 

în care a fost depãæit acest prag pentru numere mari, mergând pânã 

la 108 , æi anume prin folosirea cuvintelor compuse. Astfel, dupã 

cum aratã Karl Menninger, istoric german al ætiinåei, chinezii notau: 

105 106 107 108 shih wan pai wan chhien wan wan wan 

Iatã cum îl notau chinezii pe 500 000, adicã 5 x 100 000 = 5 x 105 . 

Ætim cã 5 se pronunåa wu. Deci putem scrie wu shih wan. Încã un 

exemplu: pentru 500 000 000 (5 x 108 ) se scria wu wan wan. 

Trebuie sã menåionãm cã folosirea lui zero sub forma unui cerc a 

apãrut în scrierea numeraåiei chineze de-abia în secolul al VIII-lea. 

Fiindcã π este un numãr important, care a suscitat mii de ani 

interesul matematicienilor æi al amatorilor, transpunem în vocabule 

chineze valoarea lui, adicã 3,1415927 = 3 chang, 1 chhih, 4 tshun, 

1 fên, 5 li, 9 hao, 2 miao, 7 hu. Am aflat în acest fel cã termenii: 

chhih, tshun, fên… desemneazã fracåii zecimale. 

Pentru cititorul dornic de aprofundãri, reproducem un tabel care 

ilustreazã pronunåarea veche æi cea modernã a numerelor chineze 

(vezi Fig. 28, p. 118). 

Cu ajutorul fiæelor de calcul (rod-numerals), chinezii au construit 

un sistem de numeraåie la origine figurativã, având ca suport un fel 

de eæichier, de care s-au dispensat ulterior, reuæind sã punã bazele 

unui sistem de numeraåie de poziåie. Bastonaæele de fildeæ sau de 

bambus cu care operau au oferit sistemului de numeraåie o reprezentare 

geometricã. Iatã cum erau grupate fiæele de calcul: pentru 

numãrul 5 æi pentru cele inferioare acestuia se aliniau atâtea fiæe 

câte reprezenta numãrul; pentru 6, o fiæã era surmontatã de o altã 

fiæã; în cazul numãrului 7 (2 + 5), se puneau douã fiæe verticale æi o 

fiæã orizontalã æ.a.m.d. Numerele de la 2 la 5 se obåineau deci prin 

repetarea lui 1 (liniuåã verticalã), iar numerele de la 6 la 9 se 

construiau dintr-o liniuåã orizontalã în loc de 5 æi din adãugarea de


Fig. 28. Cifrele chineze 

(Reprodus dupã: Istoria generalã a ætiinåei, Bucureæti, 1970, p. 188)


liniuåe verticale, adicã o liniuåã pentru 6 …, 4 liniuåe pentru 9, ceea 

ce putea duce la grave erori. Iatã primele nouã numere întregi în 

rod-numerals: 

Pentru evitarea confuziilor, chinezii au trecut la folosirea fiæelor 

atât în poziåie verticalã, cât æi în poziåie orizontalã. 

Zecile se notau în felul urmãtor: 10 printr-o barã orizontalã; 20, 

30, 40 æi 50 prin 2, 3, 4 sau 5 bare orizontale paralele; 60 era alcãtuit 

dintr-o barã verticalã, având valoarea 50, æi o barã orizontalã, 

având valoarea 10; 70, 80, 90 însumau pe 50 cu 20, 30 æi 40, dupã 

cum se vede mai jos: 

Zecile, sutele, miile æi miliardele erau notate de la stânga la 

dreapta, aproximativ cum se proceda pe coloanele abacului. 

Au fost descoperite, în texte foarte vechi, numerele 12, 25, 46, 69 

æi 99, în reprezentare poziåionalã, în felul urmãtor: 

12: I II (10 + 2); 25 II IIIII (20+5); 

46 IIII T (40 + 6); 69 T IIII (60 + 9); 

99 IIII IIII (90 + 9). 

De remarcat cã, în timpul dinastiei Han (206 î.e.n.-220 e.n.), 

chinezii ætiau sã efectueze pe suportul de socotit înmulåiri, împãråiri 

æi extragerea rãdãcinilor.


Indienii notau uæor numere mari 

Din anii 1500-1000 î.e.n. ai epocii vedice, nu ne-au parvenit 

texte de matematicã. Limba în care au fost scrise Vedele, o sanscritã 

arhaicã, atestã utilizarea de numere foarte mari. Ea poseda denumiri 

speciale pentru toate puterile lui 10 pânã la 10 8 . 

Sistemul de numeraåie a fost dezvoltat, de altfel, prin introducerea, 

începând din secolul al V-lea î.e.n., în sanscrita clasicã, a 

unor denumiri pentru toate puterile lui 10 pânã la 10 23 . Nu avem 

informaåii despre existenåa, în acele timpuri, a unor notaåii bazate pe 

cifre. 

Cele mai vechi urme de numeraåie scrisã sunt atestate în India 

începând de la mijlocul secolului al III-lea î.e.n. æi sunt conåinute în 

Inscripåiile lui Asoka (Asoka a domnit între 269 æi 232 î.e.n. æi a fost 

unul dintre cei mai vestiåi suverani ai Indiei; el a unificat întreaga 

Indie æi a stabilit relaåii cu statele elenistice). Inscripåiile au fost 

redactate în douã limbi: kharosti (folositã în extremul vestic al 

Indiei), în jurul anului 250 î.e.n., æi brahmi, limbã vorbitã în tot 

restul Indiei pânã la începuturile Creætinismului. Acest tip de 

numeraåie, care a dãinuit în forme similare pânã la începutul erei 

noastre, æi, în unele pãråi ale Indiei, chiar æi mai târziu, folosea simboluri 

distincte nu numai pentru fiecare unitate, ci æi pentru toåi zecii 

æi toate sutele. Astfel, numerele 3, 30, 300, 3 000 erau notate, 

fiecare, cu un simbol propriu. Cât despre scrierea kharosti, aceasta 

este o transpunere a vechii scrieri fonetice indiene cu caractere ale 

alfabetului aramaic, modificate æi îmbogãåite cu semne complementare. 

Numeraåia legatã de aceastã scriere este unica din India în 

care se scrie de la dreapta la stânga, ceea ce ne îndreptãåeæte sã credem 

cã este de origine strãinã.


Tabloul de mai jos ilustreazã modalitatea în care erau notate 

numerele în scrierea kharosti: 

Fig. 29. Numeraåia în scrierea kharosti 

(Reprodus dupã: Karl Menninger, Zahlwort und Ziffer Eine Kulturgeschichte der Zahl, 

ediåia a 2-a, vol. I, Vandenhoeck und Ruprecht, Gõttingen, 1958) 

Numerele de la 2 la 5 erau reprezentate prin repetarea numãrului 1; 

pentru numerele 6-9 se folosea semnul X, care îl simboliza pe 4 æi 

la care era adãugat numãrul sau numerele dorite. Astfel, se nota 4 + 2 

pentru 6; 4 + 3 pentru 7; 4 + 4 pentru 8; 4 + 4 + 1 pentru 9. Nodurile 

zecilor de la 30 la 90 erau scrise prin repetarea semnelor reprezentându-i 

pe 10 æi 20. Numãrul 10 avea un simbol propriu. Semnul 

pentru 20 nu era cel pentru 10 dublat, ci, probabil, o ligaturã; el 

semãna cu trei al nostru. Zecile de la 30 la 90 se obåineau, deci, prin 

repetarea acestor semne: 30 = 20 + 10; 40 = 20 + 20; 50 = 10 + 20 + 20; 

60 = 20 + 20 + 20; 70 = 10 + 20 + 20 + 20; 80 = 20 + 20 + 20 + 20; 

90 = 10 + 20 + 20 + 20 + 20. Notarea sutelor era limitatã, apãrea un 

semn nou pentru 100. 

Numerele scrise în vechea modalitate vor evolua pe parcursul 

secolelor: 

Fig. 30. Cifre indiene din secolele I æi II e.n.


Observãm astfel folosirea pentru numerele 1, 2, 3 a unor notaåii 

mai speciale, un nou semn pentru unitate funcåiona alãturi de liniuåe. 

În ceea ce priveæte grafia lui 100, ea este complet diferitã în secolul 

al II-lea al erei noastre faåã de cea din secolul al II-lea î.e.n. 

Fig. 31. Numere în scrierea brahmi 

Numeraåia legatã de scrierea brahmi a avut, ulterior, un impact 

deosebit în crearea sistemului zecimal poziåional. La origine, ea 

nota numerele 1, 2 æi 3 cu liniuåe verticale, pe 4 cu ajutorul unei 

cruci, iar pe 6, 50, 200 prin semne speciale, dupã cum se vede din 

figura de mai jos. Avem prilejul aici sã urmãrim æi modul cum se 

putea nota cu ajutorul acestor semne numãrul 256: 

Fig. 32. Numãrul 256 în notaåia brahmi 

În timp ce scrierea kharosti constituia un sistem zecimal nepoziåional, 

având semne distincte pentru 1, 4, 10, 20 æi 100, scrierea 

brahmi va prezenta semne distincte pentru primele nouã numere æi 

pentru zeci, sute æi mii; sutele æi multiplii miilor se obåineau pe baza 

principiului multiplicativ. Se distinge în numeraåia brahmi noåiunea 

de rang superior lui 10. Suntem în faåa unei treceri spre o scriere 

poziåionalã. Poziåia sau rangul este indicatã cu ajutorul unui semn.


În jurul anilor 600, a apãrut o scriere care utiliza numai primele 

nouã semne ale scrierii brahmi, numerele fiind transpuse nu dupã 

vechea metodã brahmi, ci în sistemul scrierii poziåionale. 

Fig. 33. Scriere brahmi care transpune numerele 

în sistemul notaåiei poziåionale 

Numeraåia grotelor. Descoperirile fãcute în grote atestã o mare 

diversitate de notare a numerelor. În grotele de la Nana Ghat, care 

pãstreazã inscripåionãri fãcute cu douã secole înaintea erei noastre, 

sunt atestate semne pentru numerele 1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 20, 60, 80, 

100-200, 400, 700, 1 000, 4 000, 6 000, 10 000, 20 000. Formarea 

nodurilor sutelor æi miilor atrage atenåia; cifrele pentru 100 æi 1 000 

reapar în regula de formare a celorlalte numere. În numeraåia din 

grotele de la Nasik, care conservã înregistrãri din secolul al II-lea al 

erei noastre, numerele se prezintã atât sub formã de semn, cât æi de 

cuvânt. Deæi putem constata similitudini cu numeraåia chinezã a 

textelor de ghicit, numeraåia indianã este superioarã celei din sistemul 

chinez. Sunt atestate semne pentru numerele 1-10, 20, 40, 70, 

100, 200, 500, 1 000-4 000, 8 000 æi 70 000. 

Cele mai vechi inscripåii ale numeraåiei tamul provin din secolul I 

al erei noastre æi au fost descifrate de pe vase de lut. Tamul (tamil) 

este cea mai veche limbã din familia idiomurilor dravidiene, vorbite 

în sudul Indiei æi în Sri Lanka. Numeraåia tamul are baza 10 æi opereazã 

cu nouã simboluri pentru unitãåi æi cu trei simboluri pentru 10, 100 æi 1 000. 

Aæa-numita numeraåie singalezã, folositã pânã azi în India, se 

situeazã din punctul de vedere al concepåiei între numeraåia grotelor 

æi cea tamul, dar este mai apropiatã de aceasta din urmã. Cifrele singaleze 

ale locuitorilor din Sri Lanka emigraåi din India fac parte din 

categoria semnelor contrase, contopite.


Inscripåiile indiene din primele secole ale erei noastre atestã 

notarea de semne deosebite pentru numere în diferite regiuni, unele 

fiind obåinute prin repetare, altele prin multiplicare. De exemplu, 4 000 

este notat prin semnul lui 1 000 având la dreapta semnul numãrului 4. 

Inscripåii din respectiva perioadã relevã folosirea acestui mod de 

reprezentare a numerelor pânã la 70 000, dupã cum se poate vedea 

mai jos: 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40 70 80 100 

200 500 1000 2000 3000 4000 8000 70000 

Fig. 34. O reprezentare indianã a numerelor 1-70 000 

(Reprodus dupã: Istoria generalã a ætiinåei, vol. II, p. 173) 

Mai vechi sau mai noi, toate tipurile de numeraåie utilizate în 

India l-au avut ca bazã pe 10. Aceastã bazã este superioarã bazei 5, 

prea micã, æi, de asemenea, bazelor 20 æi 60, prea mari pentru 

memoria omului. 

Am vãzut cã pânã la apariåia sistemului zecimal poziåional, în 

India au fost utilizate o mulåime de sisteme de numeraåie æi de cifre. 

Tentativele de optimizare a sistemului au fãcut ca aceastã varietate 

de sisteme sã se apropie, în diferite regiuni ale Indiei, de sistemul 

poziåional. În inscripåiile din secolul al VII-lea din 

Cambodgia æi Indonezia se folosea æi semnul 0, sub formã de 

punct sau de cerculeå. 

Scrierea zecimalã poziåionalã apãrutã în secolul al VII-lea se 

desãvâræeæte la începutul secolului al IX-lea. Zero era notat, pe 

atunci, printr-un punct. Aceastã scriere s-a propagat mai târziu în 

toatã lumea, datoritã arabilor. Nu se ætie însã exact când a fost 

inventatã de indieni, fiindcã nu a fost folositã imediat dupã apariåie, 

æi nu în întreaga Indie. S-ar putea ca ea sã nu fi fost semnalatã în


documente imediat dupã apariåie sau ca documentele în care a fost 

semnalatã sã se fi pierdut. 

Cea mai importantã atestare a sistemului de numeraåie indian 

este inscripåia de la Gwalior (o localitate situatã la aproximativ 300 

de km sud de New Delhi). Inscripåia este datatã 933, dar, în realitate, 

corespunde anului 876. Ea consemneazã, în sfâræit, apariåia numeraåiei 

scrise de poziåie æi pe zero operator, care figureazã de douã ori. 

Dupã cum susåine D.E. Smith (History of Mathematics, vol. II, 

New York. p. 70), cifrele atestate pe inscripåie sunt 1, 2, 3, 5, 7, 8, 

9, iar 0, 4 æi 6 lipsesc, aæa cum se vede mai jos: 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 

Fig. 35. Cifre atestate pe inscripåia de la Gwalior 

(Reprodus dupã: David Eugene Smith, History of Mathematic, vol. II, New York, Dover 

Publications, 1958, p. 70) 

Karl Menninger a completat æirul acestor numere cu 0, 4 æi 6, 

dupã cum aratã Geneviève Guitel. El a folosit în acest scop 

gravurile de cupru contemporane epocii. 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 

Fig. 36. Cifre prezentate de Karl Menninger 

(Reprodus dupã: Zahlwort und Ziffer Eine Kulturgeschichte der Zahl, ediåia a II-a Göttingen, 

Vandenhoeck und Ruprecht, 1958, p. 233) 

Dupã cum se observã din acest tablou, zero operator figureazã 

clar æi seamãnã cu zeroul median, care fusese atestat cu douã secole 

mai înainte în India. Primele trei numere sunt prezentate prin semne 

originale, care au pierdut orice urmã figurativã. Ne aflãm, într-adevãr, 

în faåa unui progres semnificativ legat de apariåia numeraåiei scrise


de poziåie. Sã nu uitãm cã scrierea din China vecinã, deæi de poziåie, 

a rãmas tot figurativã. 

Interesante sunt, de asemenea, douã inscripåii gravate pe un mic 

templu situat pe drumul care duce la Gwalior. În prima inscripåie, 

redactatã în sanscritã æi datatã 932, numãrul este simbolizat doar cu 

litere. Cea de a doua inscripåie, în sanscritã, dateazã din anul 933. 

Anul este marcat atât cu litere, cât æi cu cifre, care seamãnã foarte 

mult cu cele pe care le folosim în zilele noastre. Este vorba despre 

o donaåie fãcutã unei grãdini de flori æi în care sunt menåionate: o 

suprafaåã de pãmânt de 270 de hasta lungime æi 187 de hasta lãåime; 

50 reprezintã contribuåia zilnicã pe care corporaåia grãdinarilor 

urma s-o dea templului, adicã 50 de ghirlande de flori de sezon. 

Reproducem, mai jos, aceste numere: 

Fig. 37. Cele patru numere gravate pe micul templu din 

apropierea Gwaliorului 


Numeraåia indianã s-a rãspândit în timp, mai întâi în aria 

Eufratului. În anul 720, apare, în China, un text de numeraåie indianã 

de poziåie, în care figureazã æi zero operaåional. La sfâræitul 

secolului al VIII-lea, numeraåia poziåionalã indianã era cunoscutã la 

Bagdad, iar învãåaåii arabi aplicau cu succes acest sistem. 

În Europa, pãtrunderea numeraåiei indiene a început prin intermediul 

arabilor, în Peninsula Ibericã. Un rol remarcabil în rãspândirea 

ei l-a avut eruditul francez Gerbert d’Aurillac (938-1003), 

devenit Papa Silvestru al II-lea (999-1003), autorul volumului 

Regula abaco computi. 

Impactul hotãrâtor în rãspândirea cifrelor indiene æi a scrierii 

poziåionale a numerelor se datoreazã traducerilor în limba latinã a


aritmeticilor arabe, îndeosebi a aritmeticii lui al Horezmi. În secolul 

al XV-lea, algoriætii, adepåii noilor metode de calcul, obåin o victorie 

definitivã asupra abaciætilor, adepåi ai vechilor metode. 

Cel mai târziu în secolul al X-lea, varianta apuseanã a noii scrieri, 

numitã gubar (nisip, praf), ajunge în Spania maurã æi este folositã în 

calculele comerciale efectuate pe abacul acoperit cu nisip. 

Fig. 38. Varianta gubar 

Indienii s-au preocupat de folosirea numerelor æi în poezie. În 

poemele cu adresã didacticã, numerele erau prezentate cu ajutorul 

cuvintelor-simbol. În celebrul poem Sürya Siddhânta, întâlnim cuvintele 

vid pentru 0, cuplu pentru 2, foc pentru 3, ocean pentru 4, æarpe 

pentru 8. 

Remarcãm, apoi, interesanta notare a numerelor cu ajutorul silabelor, 

datoratã lui Aryabhaåa, unul dintre cei mai originali autori ai 

ætiinåei indiene (nãscut, probabil, în 476). Aryabhaåa a folosit 

pentru tabelele numerice o notaåie foarte concisã a numerelor mari, 

care atribuie silabelor valori numerice convenåionale. Dupã o analizã 

fonologicã profundã a vechilor gramatici indiene, celor 25 de 

ocluzive pronunåate împreunã cu vocala a æi clasate în guturale, 

palatale, etc. li s-au atribuit valori de la 1 la 25, iar semivocalele, 

siflantele æi aspiranta ha au primit valori de zeci, de la 30 la 100. 

Când vocalele æi diftongii înlocuiau vocala a în aceleaæi silabe, 

numãrul exprimat se înmulåea cu un factor de la 10 2 pânã la 10 16 . De 

exemplu: ga = 3, gi = 300, gu = 30 000 = 3x10 4 , gr =3x10 6 , 

gl = 3x10 8 etc. (orice deplasare în æirul vocalelor æi al diftongilor 

reprezenta o amplificare cu 10 2 ).


Numeraåia inventatã de Aryabhaåa este marcatã de influenåa 

silabelor arabe. Acestea sunt responsabile de incoerenåa notaåiei 

numerelor de la 1 la 100 æi, de asemenea, de nefericita introducere 

a lui 100 ca bazã auxiliarã, dar, datoritã vocalizãrii silabelor, Aryabhaåa 

reuæeæte sã noteze numerele foarte mari cu o extremã uæurinåã. 

Itinerarul numeraåiei la români 

Dupã cum o spune însuæi titlul de mai sus, adoptarea sistemului 

de numeraåie pe care-l folosim astãzi are antecedente diverse æi de 

veche sorginte, indicînd implicarea numãrului în viaåa socialã, în 

economie æi în culturã. La noi, ca de altfel peste tot în lume, suporturile 

iniåiale pentru înregistrarea informaåiei numerice au fost cele 

din naturã, în mod preponderent lemnul, piatra æi, mai târziu, hârtia. 

Ca urmare, strãmoæii noætri au recurs æi ei, în mod obiænuit, la aceste 

mijloace, care se constituie în atestãri palpabile ale istoriei scrisului 

pe aceste meleaguri. Au fost, mai întâi, suporturile sã le spunem 

„ancestrale“, respectiv rãbojul æi încrustãrile pe cherestea, pe pietrele 

tombale, pe clopotele de bisericã, iar într-o etapã ulterioarã o gamã 

variatã de tipuri de documente scrise având ca suport hârtia. 

Identificãm, astfel, numere având pentru început transcripåii 

diferite în abecedarele mai vechi (bucoavne) sau mai noi, ca æi în 

manualele æcolare sau în tratatele ætiinåifice, în calendare, ca æi în 

cãråile bisericeæti (ceasloave, catehisme), în documentele administrative 

de tot felul, în pravile (culegeri de legi laice æi bisericeæti), în 

registrele mai vechi (catastife) sau mai noi, dar æi în documente 

comerciale, în evidenåele de vamã, în actele privind dãrile sau daniile æ.a. 

Secole la rând, pentru înregistrarea informaåiilor locuitorii de pe 

meleagurile noastre au folosit rãbojul. Practic, rãbojul este o stinghie 

de lemn (rabdos în greacã înseamnã bãå, baston, vergea) pe care erau 

marcate cantitãåi (numãr de animale, sume de bani, mãrfuri etc.).


Dupã încrustarea cantitãåilor, vergeaua era despicatã în douã, 

fiecare parte interesatã rãmânând în posesia unei înregistrãri identice 

cu cealaltã parte. Se realizau, în acest fel, o evidenåã æi un control 

numerice corecte. Una dintre pãråi i se dãdea – sã spunem – ciobanului, 

lucrãtorului, cumpãrãtorului sau celui impozitat, cealaltã parte 

stãpânului de oi, feudalului, negustorului, perceptorului. La lichidarea 

tranzacåiei, înregistrarea se dovedea corectã dacã încrustãrile 

celor douã pãråi ale rãbojului se îmbinau perfect. De fapt, populaåia 

sãteascã a Europei a recurs pe tot parcursul Evului Mediu la aceastã 

modalitate de înregistrare numericã. Cronicarul maghiar Kézai 

Simon scria, în 1283, cã secuii, care vieåuiau tradiåional împreunã 

cu valahii, au împrumutat de la aceætia scrierea pe rãboj („Revista 

pentru istorie, arheologie æi filologie“, Bucureæti, an. I, nr. II, 1882, 

p. 207). 

Pe rãbojuri, numerele erau reprezentate, cel mai adesea, dupã 

cum urmeazã: pentru 1 – o liniuåã verticalã, pentru 2 – douã liniuåe, 

pentru 3 – trei liniuåe, pentru 4 – patru liniuåe, pentru 5 – simbolul 

V, pentru 10 – simbolul X, pentru 15 un X urmat în partea superioarã 

de un V minuscul. Numãrul 100 se nota printr-un X majusculã 

traversat la mijloc de o liniuåã orizontalã. Pârcãlabii (conducãtori 

de judeåe sau de åinuturi având sarcini administrative æi militare) 

notau cu o crestãturã latã suma de 5 lei, aceeaæi crestãturã tãiatã cu 

o linie oblicã indica suma de 10 lei, iar cu o tãieturã verticalã simplã 

se realiza semnul pentru 5 bani. 

Muncitorii din saline æi plutaæii au folosit æi un sistem propriu 

primitiv de notare a sumelor pe care urmau sã le încaseze, folosind 

crestãturile pe cherestea, procedeu care va continua pânã în secolul 

al XIX-lea. Teodor T. Burada ne-a lãsat un studiu valoros Despre 

crestãturile plutaæilor pe cherestele æi alte semne doveditoare de 

proprietãåi la români (Iaæi, 1880). Crestãturile erau fãcute cu 

toporul sau cu barda æi continuate cu fierul înroæit, pentru a se 

realiza aæa-numita „danga“.


Pe drumul spre adaptarea æi impunerea numeraåiei de poziåie cu 

cifre arabe, pe care o folosim æi astãzi, pe teritoriul åãrii noastre au 

fost în uz: sistemul de numeraåie latin, sistemul de numeraåie alfabetic 

chirilic æi sistemul de numeraåie grecesc. Cele mai vechi urme 

de numeraåie scrisã sunt de expresie latinã æi le identificãm în cartea 

epocii daco-romane sau strãromâne. O piatrã tombalã descoperitã la 

Romita (azi, jud. Sãlaj) æi pãstratã la Muzeul de Istorie din Cluj, 

atestã folosirea numeraåiei latine în epoca Daciei Romane. Dupã 

cum se ætie, vestiåi cãrturari æi teologi din veacurile IV-VII, cei mai 

mulåi din Scythia Minor (Dobrogea), cum au fost Ioan Casian 

Romanul (Ioannes Cassianus), Niceta de Remesiana, Dionysus 

Exiguus, Ioan de Tomis æ.a., s-au remarcat prin conceperea de 

scrieri care aparåin curentului de continuitate în diversitate a culturii 

de extracåie romanicã, o culturã de limbã latinã, care, vreme de 13 

veacuri – de la Vergiliu la Dante –, avea sã fie limba de culturã a 

continentului nostru. Prin urmare, înainte de a fi, aici, cultura æi 

cartea în înveliæ slavon, cel mai adesea, însã, de extracåie bizantinã, 

am avut o cãrturãrime æi o culturã de mai veche tradiåie, proprii 

epocii daco-romane sau strãromâne, care au rodit cãråi cunoscute æi 

preåuite în Europa timpului. 

Literele æi numerele latine vor fi folosite, în continuare, concomitent 

cu alte sisteme de scriere æi de numeraåie. Începând din secolul al 

XI-lea, latina devine limbã de cult în Transilvania, iar din secolul al 

XII-lea æi limbã de culturã. Apoi, în secolele XVI-XIX, va fi un 

fenomen distinct cartea în limba latinã, mai exact în latina medievalã 

(târzie), fenomen marcat de opera unor învãåaåi cum sunt Nicolaus 

Olahus, Samuil Micu, Gheorghe Æincai, Petru Maior, Dimitrie 

Cantemir. Vor fi elaborate gramatici, dicåionare, lucrãri filosofice, 

istorice, scrieri în versuri, toate purtând numeraåie latinã. Mai mult 

sau mai puåin sporadic, alfabetul æi numeraåia latinã au pãtruns în 

cancelarii, apoi, în viaåa economicã æi comercialã (acte contabile, 

registre de socoteli ale unor moæii, registre administrative, vamale,


fiscale æ.a.). Existã atestãri ale fenomenului încã din secolele XII- 

XIII. Prima inscripåie cu adresare publicã dateazã din secolul al 

XIV-lea æi figureazã pe clopotul bisericii din Leghia (jud. Cluj). 

Un fenomen de pregnanåã este asimilarea sistemului de numeraåie 

chirilic. Literele-cifre prezintã valori numerice identice cu cele 

ale semnelor greceæti corespunzãtoare. Pentru notarea miilor, baza 

cifrei era precedatã de o codiåã cu una sau mai multe liniuåe. Potrivit 

atestãrilor istorice, începând din secolul al X-lea, datarea actelor 

oficiale se fãcea cu ajutorul acestui sistem. Urme de numeraåie 

chirilicã aflãm de pildã într-o inscripåie din localitatea Mircea-Vodã 

(Dobrogea), notatã 6451, adicã 943 („Inscripåia slavã din anul 

943“, în „Studii“, an IV, nr. 3 (1953), nr. 3, p. 123-134) sau în cea 

de la biserica rupestrã de la Basarabi (Dobrogea), datatã 6451, 

adicã 942 (I. Barnea æi V. Bilciurescu, „Æantierul arheologic Basarabi, 

în: „Materiale æi cercetãri arheologice“, an. VI, 1959, p. 541-566). 

Amintim, apoi, manuscrisul slavon nr. 20 pãstrat la Biblioteca 

Academiei Române, un Apostol, care provine din secolul al XIII-lea 

æi care conåine multe numere transcrise în sistemul chirilic. Pentru 

istoria matematicii, deosebit de importante sunt, la rândul lor, calendarele 

întocmite în vederea stabilirii datei Paætelui, denumite Pascalii. 

Începând din secolul al XIV-lea, numerele reprezentate cu ajutorul 

simbolurilor chirilice se regãsesc, frecvent, pe monede, în 

inscripåii din biserici æi în cele tombale, ca æi în manualele æcolare 

dupã care au învãåat strãmoæii noætri. 

Pentru ilustrarea numeraåiei chirilice în viaåa economicã, menåionãm 

manuscrisul Catastih de cisle de åirani de toate åinuturile, de 

curtiani æi vãtaji æi neamæi æi popi (datat 20 februarie 1591), 

cuprinzând pe cei care plãteau dãri din 23 de åinuturi ale Moldovei. 

El demonstreazã atât cunoaæterea cifrelor, cât æi a operaåiei de 

adunare a numerelor. Interesantã este folosirea termenului cislã, 

care înseamnã cota-parte ce revenea persoanelor în cauzã dintr-o 

sumã plãtitã în comun. Termenul provine din slavã, unde înseamnã


numãr. Remarcãm, de asemenea, Catastih amintitor de câte æi-au 

cumpãrat casapii (mãcelarii) din åarã, cu asprii lor; æi-au pecetluit ca 

sã treacã prin schelea de la Isaccea æi prin Focæani, ca sã ætie, din 

15 mai 1591, unde avem æi o operaåie de înmulåire (Documente 

privind istoria României. Veacul XVI, vol. IV, 1952, p. 26-27). 

Fig. 39. Litere-cifre chirilice 

(Reprodus dupã: Al. Toth, Op. cit.) 

Tot secolul al XIV-lea, locuitorii de pe meleagurile noastre intrã 

în contact cu alte douã sisteme de numeraåie: cel grecesc æi cel arab. 

Primul are o influenåã din ce în ce mai pronunåatã în Åãrile Române, 

datoritã mai cu seamã contactelor diplomatice sau ale clerului cu 

lumea Bizanåului. O atestã numeroase inscripåii, printre care una din 

vremea lui Mircea cel Bãtrân, respectiv din 1407, numeroase pietre 

funerare (începând din 1480), precum æi o suitã de manuscrise 

greceæti cu caracter didactic. Cifre greceæti întâlnim æi în Transilvania,


de aceastã datã în secolul al XVI-lea. Johannes Honterus (1498- 

1549) publicã, la Braæov, lucrãri aparåinând lui Aristotel, Platon, 

Hesiod, în care numerele sunt notate în sistemul grecesc. 

Numeraåia greacã a pãtruns æi în texte cu caracter economic. În 

arhivele organismelor comerciale transilvãnene din secolul al XVI-lea 

se gãsesc corespondenåe, registre comerciale, procese-verbale æi alte 

acte care conåin informaåii notate în acest sistem de numeraåie. 

Biblioteca Academiei pãstreazã o Codicã a companiei greceæti din 

Sibiu din anii 1639-1777, 1705-1814, 1723-1786 etc. (manuscrisele 

greceæti purtând numerele 975, 977 æi 978), ca æi documente provenind de 

la visteria statului din Åara Româneascã æi Moldova, ilustrative sub 

acest raport. 

Sistemul de numeraåie de poziåie cu cifre arabe a apãrut pe meleagurile 

noastre începând din secolul al XV-lea (deæi documentele 

evocã folosirea sporadicã în Transilvania a numeraåiei arabe încã 

din secolul al XIV-lea, nu au fost identificate pânã în prezent urme 

ale fenomenului la acea epocã). O atestã o gamã largã de mãrturii: 

manuscrise, liste de preåuri, socoteli comerciale, monede, pietre 

funerare, clopote de bisericã. Cea mai veche inscripåie cu cifre arabe 

dateazã din anul 1407 (biserica din Vãleni, judeåul Cluj). 

Fireæte, procesul de pãtrundere æi de generalizare a numeraåiei de 

poziåie arabe a fost unul de duratã. Mai întâi, noul sistem apare în 

textele oficiale administrative. Descoperim numere arabe chiar æi în 

textele greceæti, precum în Socoteala pentru goætina [dare] a oilor 

din Moldova cu lista cumpãrãtorilor (manuscris grecesc aflat în 

Arhivele Naåionale ale României æi reprodus în volumul I al 

Colecåiei de documente Hurmuzaki) sau în Catastiful vãmilor 

Moldovei, din 1765. În sfâræit, în samile (dãri în bani pe care trebuiau 

sã le achite contribuabilii în comun), se întâlnesc, deseori, cifre 

scrise în sistemul de numeraåie arab. De subliniat cã toate cursurile 

de matematicã de înalt nivel åinute în secolele XVII-XVIII la 

Academiile din Iaæi æi Bucureæti au folosit cifre arabe.


Secolul al XVIII-lea atestã extinderea în toate compartimentele 

societãåii a sistemului de numeraåie arab. Astfel, prima aritmeticã, 

din anul 1777, redactatã în limbile românã æi germanã æi intitulatã 

Ducere de mânã (cãtre aritmeticã) sau socoteala pentru trabã 

pruncilor româneæti celor ne[uniåi lor] ce se învaåã la æcolele cele 

[mici], Beci (Viena), foloseæte exclusiv cifre arabe. Ea cuprinde 

numere foarte mari, care merg pânã la milioane æi biliuoane, milioanele 

fiin notate cu o virgulã în locul exponentului, iar bilionul cu 

dpouã virgule, de pildã 54 321‘ sau 644 321“ sau 54 321“. Avem 

apoi, Introducere cãtre [Aritmeticã]. Întâia parte. În Blaj, 1785, a 

lui Gheorghe Æincai, care se încheie cu un tabel comparativ al 

numerelor illuriceæti [chirilice] æi åifre hãrãpeæti [arabe], æi 

Elemente matematiceæti fireæti, Iaæi, 1798, a lui Amfilohie Hotiniul, 

care foloseæte, la rându-i, noul sistem de numeraåie. 

Pe teritoriul åãrii noastre au circulat, sporadic, æi aæa-numitele 

cifre arabe de est (variantã folositã în Turcia). Monede, inscripåii, 

texte turceæti æi sigilii reprezintã documentele moætenite din relaåiile 

Åãrilor Române cu hanatele (state conduse de hani) æi cu Imperiul 

Otoman. Am putea exemplifica folosind Condica moldoveneascã a 

lui Alexandru Ipsilanti (1786-1787), redactatã în turco-osmanã, 

apoi Ceaslovul grecesc æi arãbesc tipãrit de Antim Ivireanul, publicat 

la Bucureæti, în 1702, æi traducerea Aritmeticii lui Manuil 

Glyzonios din Hios (Biblioteca Academiei Române, ms. 1316). De 

subliniat cã Aritmetica lui Glyzonios dã un tabel al numerelor de la 

1 la 10 în slove româneæti, italieneæti æi turceæti. 

Fig. 40. Cifre arabe de est 

Este de reåinut cã, vreme îndelungatã, evoluåia numeraåiei la 

români nu a însemnat utilizarea æi dezvoltarea unui singur sistem de


înregistrare numericã. În unele perioade, au funcåionat, în paralel, 

pe tot teritoriul åãrii noastre sau în unele zone, toate cele patru sisteme 

de numeraåie prezentate aici, pânã sã se impunã numeraåia de 

poziåie arabã, în secolul al XV-lea. De pildã, numeraåia chirilicã 

apare la noi pe fondul antecedentelor de numeraåie latinã æi coexistã 

cu aceasta vreme îndelungatã. O ilustreazã æi faptul cã, pe parcursul 

secolului al XV-lea, în Transilvania cifrele arabe erau utilizate fie 

de sine stãtãtor, fie împreunã cu cifrele latine, pentru ca la sfâræitul 

aceluiaæi secol sã devinã preponderente, cu precizarea cã în actele 

de facturã economicã aveau sã predomine cifrele chirilice æi în secolul 

al XVII-lea, æi la începutul secolului urmãtor. 

De fapt, noi numãrãm la fel ca francezii æi englezii în privinåa 

unitãåilor simple 1, …, 9 æi 0. Potrivit profesorului ieæean Ilie Popa, 

care a întreprins un studiu comparativ al formãrii numerelor în 

limba românã în raport cu alte limbi (publicat în volumul Bibliografia 

matematicii româneæti, de Eliza Roman, Editura Academiei, 1972), 

numerele 11-19 se compun în limba românã prin mecanismul diferenåial. 

Modul de pronunåare a numerelor dintre 11 (unsprezece) æi 19 

(nouãsprezece), adicã unitatea spre cifrã, ne aratã cã ne aflãm în faåa 

unei combinaåii aditive diferite de combinaåia aditivã cea mai obiænuitã, 

care utilizeazã conjuncåia æi pentru a realiza adunarea. Mecanismul 

acesta se numeæte diferenåial. El se deosebeæte de cel din 

latinã æi din limbile romanice, unde aceste numere se obåin prin 

mecanismul aditiv, pe când mecanismul diferenåial se întâlneæte în 

limbile slave, germanice, în albanezã æi în lituanianã. În timp ce în 

limba românã, ca æi în celelalte idiomuri romanice, denumirile pentru 

21,...29,...,91,...99 se compun prin mecanismul aditiv de forma 

20 + 1..., 90 + 9, în limbile slave se foloseæte mecanismul aditiv de 

forma 1(20) æi 20(1) – în care se omite particula de legãturã. 

Denumirile o sutã, o mie – observã Ilie Popa – nu apar nici în 

latinã, nici în vreo limbã romanicã, dar ar putea fi identificatã aici 

o înrudire cu greaca.

NUMERE REMARCABILE 

Creaåia pitagoricã 

Pasionatã de tot ce se referã la numãr, Arina este invitatã de 

colegii ei Ætefan æi Marius la o „seratã matematicã“, în care materialul 

didactic va fi înregistrarea unei discuåii a celor doi pe tema 

numerelor pitagorice. Bineînåeles, Arina acceptã, æi întâlnirea 

debuteazã într-o ambianåã de „sobrietate ætiinåificã“. 

Pentru a destinde puåin atmosfera, Ætefan îi fredoneazã Arinei o 

melodie în care cuvintele încearcã sã se adecveze subiectului: 

De la Pitagora încoace, 

Bieåii copilaæi n-au pace. 

Dã-i cu teoreme, leme 

Æi-o mulåime de probleme! 

Pe acest fond, urmeazã ascultarea benzii. 

Marius: Ai dreptate, mi-a mâncat sufletul teorema asta a lui 

Pitagora. Æi mai pretind unii cã reprezintã prototipul 

teoremelor, cã este teorema arhetip a matematicii. 

Ætefan: Ar fi trebuit stârpitã pacostea asta din faæã, încã în 

Grecia anticã. Dacã s-ar fi pus la vot, toåi oamenii cu 

cap ar fi votat împotrivã. Grigore C. Moisil, celebrul 

matematician român æi pionier al informaticii mondiale, 

æi-a imaginat cum ar fi decurs votarea teoremei lui 

Pitagora acum vreo 2 500 de ani. În Atena æi Boeåia, 

voturile favorabile ar fi fost de 40% æi, respectiv, de


50%, iar în Samos, provincia de baætinã a lui Pitagora, 

de numai trei voturi. 

Marius: Chiar aæa? 

Ætefan: În Samos, lumea îl cunoætea pe Pitagora. Cele trei 

voturi favorabile puteau veni doar din partea lui, a 

tatãlui æi a fratelui. Fiul lui, contestatar, ar fi votat 

împotrivã. Vezi, Doamne, a fãcut æi el o teoremã. Mare 

scofalã! Apoi, cine ætie dacã e a lui. Se zvoneæte cã ar fi 

„împrumutat-o“ din Egipt. Æi, în definitiv, teorema 

asta la ce serveæte? E adevãratã? A mãsurat Pitagora 

toate triunghiurile dreptunghice? 

Marius: Dar nu s-a pus la vot, æi teorema rezistã de douã milenii 

æi jumãtate. 

Ætefan: Teorema lui Pitagora reprezintã, de fapt, cazul general 

al funiei cu 12 noduri de care se foloseau arhitecåii din 

Antichitate pentru a trage linii perpendiculare, adicã 

pentru a desena unghiuri drepte pe terenurile pe care 

urma sã fie ridicate construcåii. Ei mânuiau doar un 

caz particular al triunghiurilor dreptunghice, acela în 

care laturile triunghiului sunt egale cu 3, 4 æi 5, cãci 

32 + 42 = 52 . 

Marius: Este drept cã teorema lui Pitagora, 

care spune cã în orice triunghi 

dreptunghic suma pãtratelor 

catetelor este egalã cu pãtratul 

ipotenuzei, a fost cunoscutã 

pentru cazuri numerice particulare 

de cãtre sumerieni cu douã 

milenii înainte de Hristos. Din 

secolul al XVIII-lea î.e.n., s-a 

pãstrat o impresionantã serie de 

asemenea relaåii, consemnate pe 

Pitagora 

celebra tãbliåã babilonianã


Plimpton 322, care a servit la rezolvarea unor 

probleme de geometrie æi de algebrã. Textele vechi 

indiene æi cele de ritual, precum æi aforismele despre 

sfoara zidarului cuprindeau, de asemenea, reguli 

tehnice de construcåie bazate pe teorema lui Pitagora. 

Scrieri ale chinezilor menåioneazã, la rândul lor, utilitatea 

æi valoarea acestei teoreme. La sfâræitul secolului 

al II-lea e.n., Dya Chou Pei Suan Åing (Zhou Bei Suan 

Jing), în Tratatul matematic despre gnomon, pomeneæte 

despre un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4 æi 

5, iar Ciao Åiung Åing (Zhao Jun Jing) dã o demonstraåie 

originalã a teoremei lui Pitagora. 

Ætefan: Dacã se cunoæteau atâtea lucruri înainte de Pitagora, 

înseamnã cã el nu a avut nici un merit! A fost un plagiator! 

Marius: Nu, Ætefane! Trebuie sã recunoaætem cã Pitagora æi 

discipolii sãi – adicã cei care au demonstrat pentru 

prima oarã o teoremã – au fost geniali. Sã åinem seama 

cã o teoremã, o propoziåie sau un enunå odatã demonstrate 

au valoare eternã. Nu mai trebuie sã mãsurãm 

toate triunghiurile dreptunghice din lume pentru a ne 

convinge de adevãrul relaåiei afirmate. Demonstrarea 

teoremei lui Pitagora aratã foråa gândirii omeneæti faåã 

de experienåã, uæureazã efortul intelectual, economiseæte 

timpul, ne fereæte de erori. 

Întorcându-se acasã, Arina mediteazã. E drept cã Pitagora a asimiliat 

din cultura egipteanã æi din cea babilonianã æi cã a pus bazele 

unei confrerii secrete, dar lui îi datorãm demonstraåia matematicã. 

A exagerat adorând numãrul natural æi susåinând cã „orice lucru“, 

chiar æi „Dumnezeu“, este numãr! Ce sfâræit cumplit a avut! A murit 

mistuit de flãcãrile propriei æcoli, incendiate de fanatici politici æi 

religioæi, care ridicaserã mulåimile împotriva învãåãturii propovãduite 

de matematicianul filosof. Aceætia i-au distrus fiinåa fizicã, dar


geniul sãu matematic a dãinuit. Îi datorãm lui Pitagora æi æcolii lui 

cristalizarea unei geometrii raåionale æi demonstrative, a unei aritmetici 

teoretice având ca obiect proprietãåile generale ale 

numerelor, a unei astronomii diferite foarte puåin de o geometrie 

speculativã, în sfâræit a unei muzici care trateazã la modul abstract 

æi matematic intervalele æi acordurile. 

Numere p-adice 

Arina consultã, la bibliotecã, ultimele noutãåi editoriale despre 

numerele p-adice. Gabi, colega ei, rãsfoieæte, miratã, titlurile de pe masã. 

Arina: Aflã, dragã, cã numerele p-adice ocupã astãzi un loc 

important în universul numerelor! 

Gabi: Ce reprezintã aceastã vocabulã, despre care n-a auzit 

mai nimeni æi care sunã cam barbar? 

Arina: Numerele p-adice sunt o categorie de numere abstracte, 

greu de reprezentat, descoperite pe la începutul secolului 

trecut de cãtre matematicianul german Kurt 

Hensen (1861-1941). Mult mai tinere decât celelalte 

categorii de numere cu care elevii s-au deprins, 

numerele p-adice sunt entitãåi care au darul sã-i ajute 

pe cei ce se îndeletnicesc cu teoria numerelor sã construiascã 

instrumente de lucru foarte puternice æi chiar 

sã alimenteze speculaåiile unor fizicieni asupra naturii 

spaåiului æi timpului. 

Gabi: Ce statut au aceste numere în matematicã? 

Arina: Cu toate cã nu sunt deloc intuitive, numerele p-adice 

au dobândit un statut central în mai multe ramuri ale 

matematicii, ca, de pildã, în teoria algebricã a numerelor 

(studiul rãdãcinilor polinoamelor cu coeficienåi raåionali) 

æi în geometria algebricã (studiul soluåiilor ecuaåiilor 

polinomiale cu mai multe variabile). Æi încã ceva: din


raåiuni de comoditate, rigoare, coerenåã etc., matematicienii 

doreau sã completeze corpul numerelor 

raåionale în aæa fel încât sã includã numere care sã fie, 

asemenea numerelor iraåionale, limitele unor æiruri de 

numere raåionale. 

Gabi: Ia-o mai încet. Explicã-mi ce e cu diferitele tipuri de 

numere. 

Arina: S-o luãm cu numerele raåionale. Ele sunt de forma 

m 

± , unde m æi n sunt numere naturale (1, 2, 3…), iar n 

n este diferit de zero. Numerele raåionale pot fi 

7 

9 

5 

9 

scrise æi ca numere zecimale. Astfel, = 0,77777…, 

2 

= 0,555…., 

3 

= 0,66 … etc. 

Gabi: 

Numãrul iraåional (pozitiv sau negativ) poate fi 

reprezentat cu ajutorul unei fracåii zecimale neperiodice 

formate dintr-o infinitate de cifre care nu se 

repetã periodic; de exemplu, π = 3,14159265…. sau 

2 = 1,4142… 

Asta ætiam æi eu. 

Arina: Stai sã vezi. Distanåa dintre douã numere, cum sunt 

cele pe care le mânuim în mod curent, se exprimã cu 

ajutorul diferenåei dintre valorile absolute ale 

punctelor care au drept coordonate numerele respective. 

Dacã A este egal cu 2 æi B este egal cu 5, distanåa 

AB = 5 – 2 = 3; dacã ieri au fost –7° æi azi sunt +3°, 

distanåa de temperaturã este de 10°C. Adicã, pentru 

înåelegerea numerelor se foloseæte noåiunea de distanåã. 

Æi acum surpriza, Gabi dragã. Când e vorba de 

numere p-adice, se pot defini mai multe distanåe faåã 

de aceleaæi punct.


Gabi: Cum adicã? 

Arina: În lumea acestor numere nu mai funcåioneazã distanåa 

cu care lumea este obiænuitã, distanåa geometricã intuitivã. 

Gabi: Asta trebuie sã-mi ilustrezi. 

Arina: Pentru noåiunea de distanåã a numerelor p-adice se 

foloseæte un arbore genealogic, în care se defineæte 

distanåa dintre doi veriæori ca fiind numãrul ramurilor 

ce trebuie parcurse pentru a se ajunge de la unul la 

celãlalt, trecând printr-un strãmoæ comun. În aceste 

condiåii, este uæor de constatat cã distanåa dintre doi 

veriæori din aceeaæi generaåie este cel mult egalã cu cea 

mai mare distanåã care îi separã pe cei doi veriæori de 

un al treilea, aparåinând aceleaæi generaåii cu cei doi. 

Gabi: Totuæi, nu-mi dau seama cum se ajunge la aceste numere. 

Arina: Nu e uæor de realizat acest lucru, dar pot fi încercate 

unele analogii. 

Gabi: Analogii? 

Arina: Numerele p-adice au fost obåinute de Hensel cu ajutorul 

unor dezvoltãri oarecum asemãnãtoare celor pe 

care le facem noi pe numere obiænuite. Îåi dau un 

exemplu: sã luãm un numãr oarecare æi sã ne jucãm cu 

el. Atenåie, e un joc, nu o joacã. 

Luãm: 12 548,29 = 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 5 x 100 + 

4 x 10 + 8 + = 1 x 104 + 2 x 103 + 5 x 102 + 

4 x 10 + 8 x 100 + 2 x 10-1 + 9 x 10-2 . În acest mod, 

numerele p-adice pot arãta în felul urmãtor: a p n n + a p n-1 n-1 + 

…+ a +b p 0 1 -1 + +b p 2 -2 2 9 

+ 

10 100 

+ …, unde n este un numãr oarecare 

cuprins între 0 æi p. 

Gabi: Dã-mi o imagine mai „umanizatã“, Arina dragã. 

Arina: Uite, ne putem imagina numerele p-adice ca pe frunzele 

unui arbore ale cãrui crengi se ramificã la infinit.


Gabi: Æi la ce servesc numerele astea? 

Arina: În primul rând, de pe urma lor profitã matematicienii. 

Numerele p-adice pot fi folosite fie considerând o singurã 

distanåã, fie fãcând sã intervinã simultan toate 

distanåele care se pot defini pe numere naturale (atât 

distanåele p-adice, cât æi distanåele clasice). Combinând 

aceste douã moduri de abordare, pot fi obåinute rezultate 

care se exprimã în manierã clasicã, adicã al cãror 

enunå nu face sã intervinã numerele p-adice. Numerele 

acestea au fãcut senzaåie în matematicã atunci când æi-au 

arãtat utilitatea în demonstrarea celebrei teoreme a lui 

Fermat, cãreia nu i se gãsise rezolvarea, în ciuda a 

peste trei secole de eforturi. 

Gabi: Æi cine a fãcut isprava asta? 

Arina: Andrew Wiles. El a folosit numerele p-adice în mai 

multe pãråi ale raåionamentului sãu, cu toate cã enunåul 

teoremei se referã numai la numere întregi obiænuite. 

Ecuaåia lui Fermat face parte din categoria ecuaåiilor 

diofantice. Îåi spun imediat ce sunt aceste ecuaåii. 

Gabi: Se vorbeæte de adnotãrile lui Fermat la opera lui Diofant 

Arina: Matematicianul grec Diofant avea pasiunea de a rezolva 

în numere întregi ecuaåii al cãror prim membru erau 

polinoame cu coeficienåi întregi. 

Gabi: Dã-mi, te rog, un exemplu. 

Arina: Cele mai simple dintre aceste ecuaåii, ecuaåiile de 

gradul I, sunt de forma ax + by = c, unde a, b æi c sunt 

întregi cunoscuåi, iar x, y întregi care trebuie sã fie 

determinaåi. S-a demonstrat cã pentru ca o ecuaåie diofanticã 

sã aibã o soluåie întreagã este necesar, dar nu æi 

suficient, ca ea sã aibã o soluåie p-adicã, în anumite 

condiåii. Folosirea numerelor p-adice a fost extinsã, de 

asemenea, la funcåii.

STATUTUL DE NUMÃR SE OBÅINE GREU 

Existã numere iraåionale? 

Dupã ore, Arina æi Oana pleacã spre librãrie. Fãrã sã ætie când, 

discuåia lor alunecã pe terenul numerelor. 

Oana: Am urmãrit confruntarea diferitelor categorii de 

numere pentru obåinerea statutului de numãr. 

Arina: Æi aici e nevoie de confruntare? 

Oana: Æi încã ce nevoie. Dacã numerelor naturale li s-a 

recunoscut dintotdeauna identitatea, nu acelaæi lucru s-a 

întâmplat cu celelalte tipuri de numere. Atât Thales, 

cât æi Pitagora, atât Platon, cât æi Aristotel, toåi învãåaåii 

greci atribuiau calitatea de numãr doar numerelor naturale. 

Nici mãcar numerelor fracåionare nu le acordau 

statut de numãr. Acestea reprezentau pentru ei mãsura 

lungimii unui segment construit cu rigla æi compasul, 

cu ajutorul unui alt segment–unitate, cele douã segmente 

fiind comensurabile între ele. De aceea, li se 

spunea æi numere comensurabile. Pentru ei, numerele 

fracåionare erau doar mãrimi. Or, multe popoare din 

Vechime, precum hinduæii sau chinezii, au operat æi cu 

alte tipuri de numere, atunci când le erau necesare în 

rezolvarea unor probleme, fãrã sã se preocupe de natura 

numerelor. 

Arina: Într-adevãr, grecii nu recunoæteau statutul de numãr 

decât numerelor întregi pozitive, de fapt numerelor


naturale finite. Pentru pitagoricieni ele constituiau 

„principiul adevãrului“, capabil sã dezvãluie realitatea. 

Observând cã numerele care caracterizeazã figurile 

intrinsece armonioase, cum este, de exemplu, cubul, 

apar æi în acordurile muzicale, au construit scenariul 

armoniei universale. 

Oana: Cubul are toate laturile æi toate feåele egale, e frumos, 

dar nu-mi produce aceeaæi emoåie ca o simfonie… 

Arina: Douã sunt elementele care concurã la plãcerea de a 

face matematicã: esteticul æi ludicul. Uite cum gândeau 

pitagoricienii. Spune-mi, Oana, câte muchii, feåe 

æi vârfuri are cubul? 

Oana: 12 muchii, 6 feåe æi 8 vârfuri. 

Arina: Media armonicã a numerelor 12 æi 6 este 8. Ætii definiåia? 

Media armonicã a mai multor numere este reprezentatã 

prin numãrul al cãrui invers este egal cu media aritmeticã 

a inverselor numerelor date. Sã aplici formula 

când ajungi acasã æi o sã vezi cã 8 e media armonicã a 

lui 12 æi 6. 

Media armonicã a mãrimilor a æi b este: 

1 2ab 

= 

1 ⎛ 1 1 ⎞ a + b 

⎜ + ⎟ 

2 ⎝ a b ⎠ 

Oana: Media aritmeticã a lui a æi b este ; inversul lui a 

este ; iar inversul lui b este ; 

media aritmeticã a acestor douã numere æi 

este egalã cu suma lor împãråitã la 2 

1 1 

(cãci am de-a face cu douã numere, deci a b ). 

2 

+ 

a + b 

1 

1 

2 

a 

b 

1 1 

a b


Sã facem împãråirea: 

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 

⎜ + ⎟ : 2 = ⎜ + ⎟: 

= ⎜ + ⎟ × = ⎜ + ⎟ 

⎝ a b ⎠ ⎝ a b ⎠ 1 ⎝ a b ⎠ 2 2 ⎝ a b ⎠ 

Acum, åinând seama de definiåie, sã scriu inversul 

acestui ultim numãr, adicã 1 supra acest numãr. 

1 

Obåin: , deci ceea ce indicã definiåia mediei 

1 ⎛ 1 1 ⎞ 

⎜ + ⎟ armonice. 

2 ⎝ a b ⎠ 

Dacã numerele sunt 12 æi 6, sã facem calculele pentru 

obåinerea mediei lor armonice: 

1 1 1 1 1 1 1 8 

= = = = = 1: 

= × = 8 

1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1+ 

2 ⎞ 1 3 1 1 1 8 1 1 

⎜ + 

⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ 

2 ⎝12 

6 ⎠ 2 ⎝ 12 ⎠ 2 12 2 4 8 

Am gãsit, deci, cã media armonicã este 8. 

Arina: Impactul acestor trei numere – 12, 6 æi 8 – apare clar 

æi în muzicã. Dacã facem sã-i corespundã numãrul 6 în 

loc de 1 primei note a octavei, 8 va corespunde cvartei, 

iar 12 octavei. Fermecaåi de aceastã corespondenåã dintre 

numere æi sunete, pitagoricienii au tras concluzia cã 

armonia geometricã æi cea muzicalã sunt impuse de 

aceleaæi legi ale armoniei. Euforici, au extrapolat descoperirea 

lor la existenåa „armoniei universale“, lege care 

regizeazã cu titlu egal æi uneæte într-o sintezã omogenã 

diferite ordine ale realitãåii de o aæa simplicitate încât 

e adaptabilã æi spiritului. 

Oana: „Armonia universalã“, care se reflectã æi în armonia 

ideilor, a dominat multã vreme gândirea filosofilor. 

Dar sã revin la întrebarea ta. Æi grecii au aflat despre 

alte categorii de numere, însã pentru ei erau doar mãrimi 

sau simboluri.


Arina: Æi ce scandal a fost la apariåia numãrului iraåional. 

Oana: Criza aritmeticii greceæti a constat în incapacitatea ei 

de a explica valoarea diagonalei unui pãtrat cu latura 1. 

Arina: Oricine ætie cã dacã a æi b sunt numere obiænuite (naturale), 

fracåia a 

b 

este un numãr raåional, iar dacã nu 

existã numere întregi m, n astfel încât un numãr N sã 

poatã fi exprimat prin m , atunci se spune cã N este 

iraåional. 

n 

, , sunt numere iraåionale. Dacã vrem sã 

Oana: 

exprimãm un numãr iraåional în numeraåia zecimalã, 

cifrele de dupã virgulã se vor succeda fãrã nici o regularitate. 

Nu va apãrea aici o perioadã care sã se 

repete, ca în reprezentarea zecimalã a numerelor 

raåionale (de exemplu se reprezintã prin 1,181818..., 

unde perioada 18 se repetã la infinit). În aceste 

condiåii, dacã reprezentarea nu urmeazã nici o lege, 

cum putem defini zecimalele iraåionalelor, cum putem 

opera cu ele? 

Scandalul a pornit de la valoarea diagonalei unui pãtrat 

cu laturã 1, adicã de la . Diagonala împarte pãtratul 

în douã triunghiuri dreptunghice egale cu laturile 1. 

Or, potrivit teoremei lui Pitagora, pãtratul diagonalei 

(ipotenuzei) este egal cu suma pãtratelor celor douã 

catete, adicã a celor douã laturi, 12 +12 3 

2 

2 6 

13 

11 

= 2, iar diagonala 

este egalã cu 2 . Grecii puteau gãsi diagonala cu 

ajutorul riglei æi al compasului, dar aceastã cantitate nu 

corespundea concepåiei lor despre numãr; de aceea, au 

denumit iraåionalele alogon, adicã fãrã raåiunea de a 

exista, care nu pot fi formulate, ne-logice (arreton).


Arina: Grecii chiar se ruæinau cu aceste entitãåi lipsite de raåiunea 

de a exista; de aceea, pitagoricienii, care au 

descoperit aceastã proprietate a diagonalei, au încercat 

s-o ascundã de ochii lumii. În zadar! S-a aflat æi a ieæit 

vorba: „Cine nu ætie cã diagonala unui pãtrat este 

incomensurabilã cu latura lui nu e demn de numele de 

om“. Îmi permiåi sã-åi spun câte ceva despre matematicianul 

german Richard Dedekind (1831-1916), care a 

jucat un rol de seamã în viaåa numerelor iraåionale. 

Oana: Încã nu, deoarece trebuie sã adaug câte ceva despre 

preocupãrile grecilor pentru iraåionale. 

Arina: Te ascult. 

Oana: Potrivit lui Platon (427-348/347 î.e.n), matematicianul 

grec Theodoros din Cirene (sec. V-IV î.e.n), luând ca 

exemplu numerele 1, 2, 3..., 17, a demonstrat cã radicalii 

din 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 reprezintã 

numere iraåionale, iar radicalii din 4, 9 æi 16 

reprezintã numere raåionale, 4, 9 æi 16 fiind pãtrate 

perfecte (4 = 2 2 , 9 = 3 2 , 16 = 4 2 ). Deci, încã pe vremea 

lui Platon se fãcea distincåie între douã grupuri de 

numere, cele ai cãror radicali sunt numere raåionale æi 

cele ai cãror radicali sunt numere iraåionale. Platon a 

acordat o deosebitã atenåie acestei probleme, incitat de 

caracterul enigmatic al naturii iraåionalului matematic, 

care putea fi util în detectarea mecanismului cunoaæterii. 

Stârneæte interes dialogul lui Platon intitulat Theaitetos, 

care argumenteazã valoarea de model a cercetãrii iraåionalelor 

în vederea atingerii esenåei cunoaæterii. 

Arina: Mã surprinzi, Oana, ai început sã citeæti filosofie? 

Oana: Da, æi trebuie sã-åi mãrturisesc cã o fac cu multã 

plãcere. În acest dialog, Theaitetos, elevul lui Theodoros, 

are rolul de a expune, a explica æi a generaliza



rezultatele maestrului sãu. De altfel, unele dintre sursele 

de inspiraåie ale lui Euclid în clasificarea iraåionalelor 

le datoreazã discipolului lui Theodoros. Mai tânãrul 

contemporan al lui Platon, astronomul æi matematicianul 

grec Eudoxos din Knidos (c. 406-c. 355 î.e.n.) 

a contribuit substanåial la înåelegerea iraåionalelor. 

Æi ce a fãcut Eudoxos pentru iraåionale? 

Oana: Îåi citez definiåia datã de el raporturilor egale, 

definiåie care a permis matematicienilor sã foloseascã 

numerele iraåionale cu egalã precizie faåã de numerele 

raåionale: „Se zice cã prima dintre patru mãrimi are 

acelaæi raport cu cea de a doua, cea de a treia cu cea 

de a patra, când, luând orice alåi multipli ai primei æi 

ai celei de-a treia, multiplul primei este superior, egal 

sau inferior multiplului celei de a doua, dupã cum 

multiplul celei de a treia este superior, egal sau inferior 

multiplului celei de a patra“ (Reprodus dupã: 

E.T. Bell, Les grands mathématiciens, Paris, Payot, 

1950, p. 139). De fapt, Eudoxos a fixat punctul de plecare 

al unei teorii moderne a iraåionalelor. 

Arina: Practic, definiåia lui Dedekind – a egalitãåii a douã 

numere raåionale sau iraåionale – e identicã cu cea a lui 

Eudoxos. Dedekind s-a strãduit sã precizeze noåiunea 

de numãr iraåional. Esenåialã în teoria lui este ideea de 

tãieturã care separã toate numerele raåionale în douã 

clase, una superioarã æi alta inferioarã, în aæa fel încât 

orice numãr dintr-o clasã inferioarã este mai mic decât 

orice numãr dintr-o clasã superioarã. 2 este definit 

prin tãietura a cãrei clasã superioarã conåine toate 

numerele raåionale pozitive ale cãror pãtrate sunt mai 

mari decât 2 æi a cãrei clasã inferioarã conåine toate 

celelalte numere raåionale ale cãror pãtrate sunt mai 

mici decât 2.


Numere negative – numere fictive 

Oana: Crezi cã soarta numerelor negative a fost mai fericitã? 

Arina: Æi ele au avut de înfruntat prejudecãåile gândirii greceæti 

în privinåa statuãrii lor ca numãr. Multã vreme, 

matematicienii s-au codit sã le recunoascã drept cetãåeni 

cu drepturi depline în familia numerelor. De pildã, 

Gerolamo Cardano (1501-1576), cunoscut matematician, 

medic æi filosof italian din epoca Renaæterii, de 

numele cãruia se leagã rezolvarea ecuaåiilor algebrice 

de gradul III (care-i poartã numele), considera numerele 

negative drept numere fictive æi le-a botezat numere cu 

minus. La rândul lui, matematicianul francez François 

Viète le-a negat existenåa. 

Oana: Nu mã aæteptam ca Viète, care este unul dintre fondatorii 

algebrei moderne, cel care a introdus literele pentru 

a simboliza cantitãåile necunoscute, tocmai acest matematician 

luminat sã fie aæa de încuiat. 

Arina: Asta-i istoria! Numãrul negativ a înregistrat o victorie 

datoritã unui matematician subtil, olandezul Albert 

Girard (1595-1632). În 1629, el a publicat, la Amsterdam, 

Invenåia nouã în algebrã, arãtând cã negativul în geometrie 

înseamnã mersul înapoi, iar pozitivul, mersul 

înainte. Cu René Descartes, numerele negative æi-au 

dobândit pe deplin statutul de numere. Orice æcolar 

ætie cã pe o dreaptã orientatã poåi figura, pornind din 

origine într-un sens, numerele pozitive, iar în sens 

contrar numerele negative.


Oana: Numerele negative l-au preocupat æi pe Immanuel 

Kant (1724-1804). În 1763, filosoful german a publicat 

un Eseu asupra numerelor negative, în care arãta cã, 

dacã noi considerãm o serie de mãrimi ce descresc 

plecând de la o cantitate pozitivã oarecare, obåinem 

mãrimea negativã printr-un demers linear al spiritului 

sau, cum va spune în 1791, printr-o simplã degradare 

a luminii. Dar noi nu aveam atunci decât o reprezentare 

staticã a mãrimii negative. Or, dacã mãrimile negative 

intervin într-un calcul pentru a modifica rezultatul 

total, înseamnã cã ele reprezintã altceva decât o absenåã 

de mãrime pozitivã, înseamnã cã ele au o eficacitate de 

opoziåie, cã exercitã o acåiune pozitivã, dupã cum un 

ecran este un obstacol pozitiv în transmiterea 

luminii. 

Immanuel Kant mai subliniazã 

cã este ridicol sã se asimileze 

diferenåa dintre creditor æi debitor 

ca o simplã opoziåie logicã, 

deoarece, în realitate, este vorba 

despre conflictul a douã realitãåi 

concrete, care acåioneazã în 

sens contrar, precum o fac 

atracåia æi respingerea. În acest 

fel, Kant aratã cã aritmetica nu 

mai este ætiinåa numerelor ca 

obiecte ideale, ci ætiinåa lucru- Immanuel Kant 

rilor numãrate æi tocmai natura 

relaåiilor dintre lucrurile înseæi 

decide relaåia dintre numere.


Numãrul i – „un amfibiu între existenåã æi neant“ 

Dupã ce rãsfoiesc noutãåile din librãrie, Oana æi Arina se întorc 

acasã. Pe drum, iau în vizor peripeåiile prin care a trecut celebrul i 

pentru a se impune ca numãr. 

Arina: Când a apãrut i pe scenã? 

Oana: Am citit cã Bhaskara Acaria (c.1114-c.1178), matematician 

indian de renume, vorbeæte de −1 

. Cu toate 

cã lucra cu rãdãcina pãtratã a unui numãr negativ, el 

nu credea în existenåa acestuia, fiind convins cã „un numãr 

negativ nu poate fi niciodatã un pãtrat perfect“. 

Pentru Cardano, despre care am mai vorbit, numerele 

complexe aveau doar valoare formalã. Speriat de 

apariåia rãdãcinilor din numere negative, Cardano le-a 

botezat imposibile sau sofisticate, fiindcã nu au o existenåã 

realã, åinând seama cã pãtratele tuturor 

numerelor sunt numere pozitive. 

Arina: Cam multã patimã în jurul lui i. 

Oana: Cu timpul, patimile s-au mai domolit. Matematicienii 

care i-au urmat lui Cardano nu s-au mai lãsat torturaåi 

de numerele complexe æi le-au utilizat. 

Arina: Care anume? 

Oana: Au fost mai mulåi. De exemplu, italianul Raffaele Bombelli 

(1526-1572) priveæte rãdãcina pãtratã din –1 ca pe „un 

numãr care ascultã de regulile de operaåii ale numerelor 

adevãrate“. Bombelli a fost cel care a expus regulile 

adunãrii æi înmulåirii numerelor complexe. Lui Albert 

Girard îi datorãm introducerea simbolului −1 

æi, în general, 

radicalul oricãrui numãr negativ, − n (n = 1, 2, 3 …). 

Arina: Cine l-a denumit pe i „imaginar“? 

Oana: Descartes. Atunci când a determinat punctele de intersecåie 

ale unei parabole cu un cerc, cãrora le-a zis


imaginare. Mai târziu, matematicianul englez John 

Wallis le-a dat o interpretare vectorialã. Ei, æi acum 

intrã în scenã Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), 

un mare filosof æi un mare matematician. Visul lui de 

o viaåã a fost construirea unei „caracteristici universale“, 

un fel de algebrã logicã ce ar fi permis înlocuirea 

tuturor raåionamentelor prin calcule, æi elaborarea 

unei enciclopedii demonstrative, în care toate 

adevãrurile cunoscute sã fie grupate potrivit înlãnåuirii 

lor deductive. Leibniz este un precursor al logicii 

matematice æi al calculatorului, iar alãturi de Newton 

unul dintre creatorii calculului diferenåial æi integral. 

Definiåiile æi simbolurile introduse de Leibniz se 

utilizeazã æi azi în matematicã. 

Arina: Ce înseamnã cã Leibniz l-a privit pe i ca pe „un 

amfibiu între existenåã æi neant“? 

Oana: Ætiu aproape pe de rost ceea ce a spus Leibniz. 

Ascultã: Din gelozie pe minunata lor multiplicitate, 

natura lucrurilor, mama multiplicitãåilor veænice sau 

mai degrabã spiritul divin, n-ar admite ca totul sã fie 

subsumat unei singure specii. De aceea, el a gãsit un 

refugiu rafinat æi miraculos, acea minune a analizei, 

în monstrul lumii ideale, care este aproape ca un 

amfibiu între existenåã æi neant, numit de noi rãdãcinã 

imaginarã. 

Referitor la numãrul i, Abraham de Moivre (1667- 

1754), matematician britanic de origine francezã, a 

arãtat cã orice numãr real are n rãdãcini de ordinul 1, 

dintre care cel puåin douã sunt reale, iar restul – complexe. 

D’Alembert s-a implicat æi el în impunerea 

numerelor complexe. 

Arina: Da. Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783), matematician 

æi filosof francez, a elaborat teorema fundamentalã a


algebrei (Teorema lui d’Alembert), teoria ecuaåiilor, æi 

a dat primul exemplu de funcåie de variabilã complexã. 

Oana: O sã-åi bag o micã strâmbã. Nu 

te încrunta! În legãturã cu teorema 

fundamentalã a algebrei, îåi precizez 

cã Albert Girard a afirmat, 

înaintea lui d’Alembert, cã orice 

ecuaåie algebricã de gradul n 

admite n rãdãcini reale sau aparente, 

înåelegând prin aparente 

numerele complexe de forma 

a + b −1 

. 

Arina: Cunosc afirmaåia lui Girard; i-a 

chinuit douã secole pe matematicienii 

pânã la d’Alembert. Sã nu 

Jean Le Rond 

d’Alembert 

uitãm cã d’Alembert, în lucrarea sa Réflexions sur la 

cause générale des vents, publicatã în 1747, a fãcut un 

pas hotãrâtor pentru înåelegerea naturii lui i, afirmând 

cã orice funcåie de unul sau mai multe numere poate fi 

pusã totdeauna sub forma a + ib. 

Oana: În acest fel, a stimulat interesul lumii matematicienilor 

pentru stabilirea acestei categorii de numere æi a justificat 

legitimitatea operaåiilor cu numere complexe. 

Aici trebuie subliniat impactul matematicianului 

elveåian Leonhard Euler. Deæi nevãzãtor încã din 

1735, a lucrat pânã în ultima clipã a vieåii. Prin amploarea 

æi prin importanåa operei sale (900 de lucrãri), 

Euler rãmâne, incontestabil, cel mai fecund autor al 

secolului al XVIII-lea în domeniul ætiinåelor matematice. 

Deæi a folosit numerele imaginare sau complexe, 

el nu le-a acordat statut de numãr. În cartea sa de algebrã 

din 1770 avea sã scrie cã „Toate expresiile de forma


, nu sunt nici nimic, nici mai mari æi nici 

mai mici decât nimic, sunt imaginare æi imposibile“. 

Începând din 1777, Euler cerceteazã funcåiile de variabilã 

complexã æi înlocuieæte prin i (iniåiala cuvântului 

imaginar) simbolul folosit de Leibniz. 

Arina: Observ cã i are o istorie îndelungatã. 

Oana: Stai sã vezi. Douãzeci de ani mai târziu, în 1797, matematicianul 

danez Gaspar Wessel (1745-1818) constatã 

cã numerele complexe pot fi privite ca vectori situaåi 

în planul complex. În acest fel, a fost stabilitã identitatea 

dintre vectorul i æi vectorul obåinut prin rotirea 

vectorului unitate, în sens direct (invers decât mersul 

acelor de ceasornic), în jurul originii 0 de un unghi 

egal cu 90. Æi astfel relaåia i 2 −1 

− 2 

−1 

= – 1 a dobândit un sens 

geometric. 

Arina: Presimt cã ajungi la Gauss. 

Oana: Ai ghicit. O datã cu apariåia teoriei resturilor bipãtratice 

a lui Carl Friedrich Gauss, existenåa numerelor complexe 

nu a mai fost pusã la îndoialã. Acest gigant al matematicii 

a conceput aproape toate descoperirile sale fundamentale 

din domeniul matematicii între 14 æi 17 ani. 

La 16 ani, descoperea o altã geometrie – cea neeuclidianã, 

hiperbolicã –, iar la 17 ani se lansa în hãåiæul 

numerelor, pe care avea sã-l transforme în noua teorie a 

numerelor. Cercetãrile matematicianului german în 

domeniul aritmeticii superioare, începute în timp ce 

urma gimnaziul, l-au fãcut nemuritor. Prin capacitatea 

sa de calcul, Gauss a transformat numerele în piese de 

laborator, descoperind cu ajutorul inducåiei teoreme 

generale a cãror demonstrare cere mari eforturi. 

Arina: Adicã? 

Oana: Printre bijuteriile gândirii sale matematice, se include 

theorema aureum, la care Euler ajunsese prin inducåie


æi care este cunoscutã sub numele de legea de reciprocitate. 

Gauss a pornit de la întrebarea: câte cifre sunt în 

perioada unei fracåii periodice? Pentru a se dumiri, a 

calculat mai întâi toate fracåiile , , ,... . 

Nu a aflat rãspunsul, dar a descoperit ceva mult mai 

important, aæa-numita lege a reciprocitãåii resturilor 

pãtratice, potrivit cãreia douã numere dau acelaæi rest 

dacã sunt împãråite prin acelaæi numãr sau modul. La 

19 ani, reuæeæte sã demonstreze, acolo unde Euler æi 

Lagrange eæuaserã, cã existã reciprocitate între 

perechile de congruenåe x2 = q (mod p ) æi x2 1 

1 

3 

1 

1 

2 

1 

1000 


= p (mod 

q) atunci când p æi q sunt numere prime. De altfel, lui 

Gauss i se datoreazã ideea de congruenåã. Se ætie cã 

dacã a – b sau b – a se divid cu m (a, b, m fiind 

numere), atunci se poate scrie cã a = b (mod m) (a este 

congruent cu b modulo m). Cu trecerea anilor, Gauss a 

dat încã æase demonstraåii acestei teoreme, pe care o 

considera „o bijuterie matematicã“ æi pe care a denumit-o 

theorema aureum. Lucrarea Disquisitiones mathematicae, 

apãrutã în 1801 – capodopera „Prinåului matematicii“, 

cum este denumit Gauss – îl impune ca maestru 

al teoriei numerelor, cãreia îi deschide o nouã erã. 

La un moment dat, Gauss evocã o aæa-numitã „obscuritate 

misterioasã“. Despre ce poate fi vorba? 

Oana: Ca sã lãmurim chestiunea asta trebuie sã o iau cam de 

departe. Deocamdatã, îåi reproduc într-o traducere 

liberã pledoaria lui Gauss din 1831, pe care îmi face 

plãcere sã cred cã o åin bine minte: „Transpunerea teoriei 

resturilor bipãtratice în domeniul numerelor complexe 

ar putea sã parã unora, familiarizaåi cu natura


mãrimilor imaginare æi care au idei false despre acestea, 

nepotrivitã æi nenaturalã“. Nimic n-ar fi mai neîntemeiat. 

Din contrã, aritmetica numerelor complexe este 

capabilã de cea mai mare intuitivitate. 

Arina: Ce argumente aduce Gauss pentru a convinge asupra 

intuitivitãåii numerelor complexe? 

Oana: Gauss susåine cã, aæa cum pentru 

reprezentarea numerelor negative 

este de ajuns prelungirea 

nelimitatã a æirului numerelor 

întregi absolute (pozitive) în 

partea opusã punctului iniåial, 

tot asemenea, într-un plan, se 

poate imagina un sistem de 

puncte egal distanåate între ele, 

care împart planul în pãtrate 

egale æi servesc la reprezentarea 

numerelor complexe. 

Carl Friedrich Gauss 

Arina: Gauss vrea sã ne explice cã numerele complexe 

reprezintã o extindere în materie de numere. 

Oana: El aratã cã, iniåial, pornindu-se de la conceptul numerelor 

întregi absolute, s-au adãugat numerele fracåionare; 

apoi s-au adãugat, la cele raåionale, cele iraåionale; 

la cele pozitive, cele negative; la cele reale, cele imaginare. 

Aceastã extindere – subliniazã Gauss – s-a fãcut, 

la început cu paæi plini de ezitare. Primii algebriæti 

numeau false rãdãcinile negative ale ecuaåiilor æi ele 

erau chiar false atunci când problema la care se referã 

apãrea astfel formulatã încât specificul mãrimii cãutate 

nu admitea ceva opus. Însã pe cât de puåin criticabilã 

este admiterea numerelor fracåionare în aritmetica


generalã, deæi existã multe lucruri numãrabile în care 

numãrul fracåionar nu are sens, tot aæa de puåin se pot 

contesta numerelor negative drepturi egale cu cele 

pozitive pe motivul cã nenumãrate lucruri nu admit un 

opus. Realitatea numerelor negative e suficient de justificatã, 

pentru cã ele gãsesc un substrat adecvat în 

nenumãrate alte cazuri. În aceastã privinåã – susåine 

Gauss –, suntem de multã vreme lãmuriåi: însã 

numerele imaginare, opuse celor reale – numite impropriu 

odinioarã, pe ici, pe colo, dar æi acum, imposibile, 

apar mai mult ca un joc de semne golit de conåinut în 

sine, cãruia i se contestã total un substrat inteligibil. 

Fãrã a voi, totuæi, sã se dispreåuiascã bogatul tribut pe 

care-l plãteæte pânã la urmã acest joc de semne tezaurului 

mãrimilor reale. Dacã pânã acum acest obiect a 

fost considerat dintr-un punct de vedere fals æi s-a 

gãsit aici o obscuritate misterioasã, acest lucru trebuie 

atribuit în cea mai mare mãsurã denumirii puåin convenabile. 

Dacã +1, –1, −1 

nu s-ar fi numit unitate 

pozitivã, negativã, imaginarã (sau chiar imposibilã), ci, 

de pildã, unitate directã, inversã, lateralã, cu greu s-ar 

mai fi putut vorbi de o astfel de obscuritate. 

Numere transcendente 

Arina: Æi despre numerele transcendente ce se cunoaæte? 

Oana: Cât priveæte atestarea numerelor transcendente, aflãm 

din cartea doamnei Câmpan, Povestea numãrului , o 

p 

informaåie revelatoare despre modul în care au fost 

recunoscute primele numere transcendente, e æi π .


Matematicianul francez Joseph Liouville (1809-1882) 

a pus în evidenåã pentru prima oarã aceste numere æi a 

arãtat cã ele sunt în numãr infinit, iar matematicianul 

german Georg Cantor (1845-1918) – unul dintre creatorii 

teoriei mulåimilor – a observat cã aceastã categorie 

de numere este cu mult mai mare decât a 

numerelor algebrice. Pentru multe numere remarcabile 

nu se ætie cum trebuie demonstratã transcendenåa lor 

(de exemplu: e + π, πe , C etc.). Numãrul transcendent 

cel mai uæor de memorat este cel al lui Kurt Mahler: 

0,1234567891011121314... Ulterior, în 1934, matematicianul 

rus A.O. Gelfond (1906-1968) a prezentat 

un procedeu comod de construire a numerelor transcendente, 

demonstrând, concomitent, o propoziåie enunåatã 

încã de Euler (Teorema lui Gelfond-Schneider). 

Arina: Care anume? 

Oana: Este vorba despre cea de a 7-a problemã din celebra 

listã a lui Hilbert din 1900, æi anume: pentru orice 

numãr algebric α diferit de 0 æi 1 æi orice numãr transcendental 

β, cel puåin una dintre expresiile αβ , αβ2, αβ3este transcendentalã. Acest rezultat este valabil 

pentru orice β iraåional având în vedere teorema 

Gelfond-Schneider. Teorema aratã, de asemenea, cã 

pentru orice β real iraåional funcåia xβ nu poate asuma 

valori algebrice la mai mult decât douã valori integrale 

consecutive pentru x ≥ 2. 

Metodele de determinare a transcendenåei numerelor 

sunt extrem de tehnice: demonstraåii prin absurd, 

majorãri æi micæorãri. Gãsim astfel de metode atât în 

volumul Transcendental and Algebric Numbers, al 

lui A.O. Gelfond, apãrut la New York, în 1960, cât æi


în cel al lui A. Baker, apãrut cinci ani mai târziu, la 

Cambridge University Press, intitulat: Transcendental 

Number Theory. 

Numãrul care nu-æi dezvãluie natura 

A doua zi, Oana o viziteazã pe Arina. 

Oana: Am venit cu o surprizã. 

Arina: Una dulce? 

Oana: Åi-am adus informaåii despre un numãr care nu este 

nici raåional, nici iraåional, nici transcendent æi despre 

natura cãruia nu se ætie nimic. Un numãr care îi terorizeazã 

pe cercetãtori. Toate demonstraåiile propuse 

pentru identificarea lui s-au dovedit a fi false. 

Arina: Hai, spune o datã despre ce numãr e vorba! 

Oana: Despre Numãrul C, respectiv despre Constanta lui Euler. 

Arina: Deci o constantã paræivã. 

Oana: În 1734, matematicienii au fost surprinæi citind un articol 

a lui Euler în care se demonstra cã, deæi seria armonicã 

1 1 1 1 1 

1 + + + + .... + + … este divergentã, adicã 

1 2 3 4 n 

tinde spre infinit, totuæi diferenåa dintre suma ei 

1 1 1 1 

paråialã 1 + + + + .... + cu logaritmul natural al 

1 2 3 n 

acesteia notat ln n are o limitã finitã când n tinde spre 

infinit, æi anume numãrul botezat C, în cinstea lui Euler. 

Arina: De ce tocmai C æi nu E, de la Euler? 

Oana: C este o prescurtare de alint pentru Constanta lui Euler. 

E clar cã sumele paråiale ale seriei armonice cresc în


aceeaæi mãsurã ca æi logaritmii 

naturali corespunzãtori numerelor 

respective, ceea ce face ca 

diferenåa lor sã rãmânã constantã. 

În ciuda calculelor a zeci æi sute 

de zecimale, constanta nu-æi 

dezvãluie natura, rezistând eroic 

la atacul matematicienilor. S-au 

implicat în aceastã cursã atât 

Gauss, cât æi Shanks, ca æi alåi 

matematicieni: J.C. Adams 

Leonhard Euler 

(1819-1892), E Catalan (1814- 

1894), P.L. Cebîæev (1821-1894), Paul Appell (1855-1930), 

deci matematicieni de diferite naåiuni, germani, englezi, 

belgieni, ruæi, francezi... Totul degeaba. 

Triumful lui zero 

Arina: Oana, hai sã vorbim puåin despre celebrul zero. Când 

a fost recunoscut ca numãr? 

Oana: Târziu. O fi semn, o fi numãr? – s-au întrebat oamenii, 

multã vreme. Mai întâi, s-a optat pentru zero ca simbol 

fãrã valoare numericã intrinsecã, având doar calitãåi 

operatorii. Fãrã a-æi face o idee clarã despre zero, 

scribii egipteni lãsau un spaåiu liber acolo unde acesta 

ar fi trebuit sã figureze. 

Arina: Æi cum a fost suplinitã lipsa lui zero? 

Oana: A fost suplinitã prin procedee deosebit de ingenioase, 

aæa încât se vorbeæte despre numeroæii lui precursori. 

Îåi aminteæti, Arina, cã romanii, pentru a amplifica un 

numãr cu 1 000 îl surmontau cu o barã orizontalã, iar pentru 

a-l înmulåi cu 100 000, îl încadrau într-un dreptunghi


fãrã bazã? Iar grecii, pentru a mãri un numãr de o mie 

de ori, îl precedau cu o barã verticalã. În acelaæi scop, 

în scrierea ebraicã se obiænuia sã se punã douã puncte 

deasupra numãrului. Punctele au fost magistral folosite 

în locul lui zero de cãtre cãlugãrul bizantin Neophitos 

(sec. XII), care punea peste numãr atâtea puncte câte 

zerouri am pune noi. O barã verticalã surmontatã de un 

punct îl simboliza pe 10, de douã puncte pe 100, de trei 

puncte pe 1 000 æ.a.m.d. Astfel, 3207 se nota: 3 2 7 . 

În Antichitate, egiptenii, al cãror sistem de numeraåie 

nu avea ca cifre decât unitatea, baza 10 æi puterile 

bazei, ætiau sã înmulåeascã un numãr cu 10: era suficient 

sã avanseze cu un rând, în ierarhia puterilor 

fiecãrei cifre folosite, pentru scrierea numãrului. 

Arina: Babilonienii trebuie sã-l fi folosit pe zero cu mult timp 

în urmã. 

Oana: Dimpotrivã, nu l-au folosit decât târziu æi exclusiv în 

poziåie medianã, sub forma semnului de separare între 

cuvinte. Ei erau conætienåi cã sistemul lor abstract cu 

baza 60 le îngãduia sã treacã de la o putere a bazei la 

puterea urmãtoare, cu singura condiåie sã dilate, sã 

mãreascã semnul care simboliza unitãåile simple. 

Arina: Zero operator când a început sã fie folosit? Ætiu cã un 

operator este un simbol matematic care indicã o operaåie 

ce trebuie realizatã. 

Oana: Pentru a vorbi de zero conceput ca operator, trebuie sã 

realizezi cã adãugarea lui zero cifrei care reprezintã 

unitãåile simple multiplicã automat numãrul în 

întregime cu baza de numãrare. Mayaæii au folosit zero 

terminal æi pe zero operator. Eruditul francez Girard 

Raphael, în Le popol-Vuh (în mayaæã popo = casa 

obætei, vuh = carte). Histoire culturelle des mayas – 

& &&&


Quinché, Paris, 1954, susåine cã „Mayaæii au descoperit 

conceptul de zero æi utilizarea lui cu cel puåin 1 000 de 

ani înainte ca vreo naåiune similarã sã-l fi cunoscut æi 

folosit“. Zero era reprezentat printr-o scoicã sau printr-un 

melc (simbol al regenerãrii). În mitologia mayaæilor, 

zero corespunde momentului sacrificiului Zeului Erou 

al Porumbului, care se scufundã în râu pentru a reînvia, 

a se înãlåa la Cer æi a deveni Soare. În procesul de germinare 

a porumbului, acest moment marcheazã dezintegrarea 

seminåei în pãmânt, înainte ca viaåa sã se manifeste 

iar, dând la ivealã frageda tulpinã a porumbului. 

În gliptica (arta gravãrii) maya, zero era reprezentat 

printr-o spiralã, infinutul închis prin infinitul deschis, 

dupã cum susåine Eric J. Thompson, în Maya Hieroglyphic 

writing, University of Oklahoma, 1960. Concepåia 

mayaæilor despre zero operator nu era, însã, prea clarã. 

Arina: La alte popoare când a apãrut zero? 

Oana: La chinezi, zero a apãrut în secolul al VIII-lea. În 

scrierea poziåionalã, ei au utilizat atât pe zero median, 

cât æi pe cel operativ. La indieni, ambele tipuri de zero 

au o formã unicã, desãvâræitã: aceea pe care o folosim 

æi noi. Termenul sunya, care înseamnã gol, reprezenta 

cifra zero la indieni. Arabii l-au tradus prin aæ-æifr, 

care îl evocã pe românescul cifrã, provenit din italianã – 

cifra; în latinã – cifra; în francezã – chiffre. 

Arina: Dar în Europa? 

Oana: Zero a fost cunoscut în Europa încã din secolul al XII-lea, 

o datã cu introducerea sistemului poziåional de scriere 

a numerelor, dar va fi recunoscut ca numãr abia în 

secolul al XVII-lea. 

Arina: De ce aæa de târziu? 

Oana: Din cauza mentalitãåii! Vidul era mai greu de perceput. 

Arina: Mi-ai vorbit cândva despre introducerea cifrelor arabe 

în Occident, implicit a lui zero.


Oana: Am noutãåi în problema asta. Ieri, tocmai am citit din cartea 

lui Marc-Alain Ouaknin, Mystères des chiffres, apãrutã la 

Paris, în 2004, æi mi-a atras atenåia o idee a autorului în 

legãturã cu introducerea cifrelor arabe în Occident în 

mod indirect, prin impactul Cruciadelor, care au influenåat 

mentalitatea occidentalã sã-l accepte pe zero. 

Arina: Cum adicã? 

Oana: M.A. Ouaknin susåine cã vidul a devenit posibil de a fi 

gândit æi a fi acceptat dupã ce cruciaåii au înåeles cã 

Sfântul Mormânt era gol dupã înãlåarea lui Iisus. Iatã ce 

scria, în 1950, cunoscutul psiholog elveåian Jean Piaget 

(1896-1980) în Introduction à l’épistémologie génétique. 

Tome I: La pensée mathématique. Îåi citez din memorie: 

Numãrul zero ne dã prototipul în acelaæi timp al unei 

conætientizãri tardive æi al unei imposibile abstracåii 

plecând de la obiect. Într-adevãr, este una dintre marile 

descoperiri ale istoriei matematicii cã a fãcut din zero 

un numãr, cãci dacã zero logic („nici unul“) este, fãrã 

îndoialã, tot atât de vechi ca æi limbajul (æi poate chiar 

cã „nu“ a precedat totdeauna pe „da“), au trebuit deci 

învinse aceleaæi dificultãåi pentru a conætientiza pe 

zero aritmetic ca æi pentru numãrul negativ. Or, raåiunea 

acestor dificultãåi apare aici foarte clar; dacã conætientizarea 

se ridicã de la periferie la centru, ultima 

dintre etapele sale va consta cu siguranåã în a realiza 

cã absenåa unei operaåii este încã o operaåie. Atâta 

timp cât se cautã numãrul în obiect, æirul numerelor 

începe în consecinåã cu 1. A vedea în zero pe cel dintâi 

dintre numere înseamnã, dimpotrivã, a face abstracåie 

de obiect (zero logic fiind suficient pentru a exprima 

absenåa lui) æi a-l extrage doar din operaåii unice, 

orice operaåie aditivã compusã cu inversul ei 

ajungând atunci la aceastã operaåie fundamentalã 

care este absenåa operaåiei, adicã „operaåia identicã“ 0.

INTEROGAÅII VECHI ÆI NOI 

Numere prime 

E duminicã æi Arina acceptã, pânã la urmã, o plimbare cu 

Georgel, în parc. Dar e cam absentã æi morocãnoasã, cu toate desfãæurãrile 

verbale ale colegului. 

Georgel: Ce åi s-a întâmplat, Arina? 

Arina: Mai sunt douã luni pânã la concurs æi am atâtea lacune… 

Georgel: Pãi, vãd cã tot umbli prin biblioteci æi scoåi informaåii. 

Arina: Mã chinuie numerele prime. Sunt aæa de imprevizibile. 

Ce mai, sunt diabolice! 

Georgel: Nu te enerva, Arina. O sã-åi împrumut Elementele lui 

Euclid æi o sã gãseæti, în Cartea a VII-a, o teorie a 

numerelor prime între ele æi a numerelor prime absolute, 

iar în Cartea a IX-a câteva teoreme foarte subtile 

æi deosebit de frumoase, printre ele pe acelea care stabilesc 

existenåa unei infinitãåi de numere prime. Vom 

avea atunci prilejul sã le discutãm. Mai e, apoi, matematicianul, 

astronomul æi filosoful grec Eratostene 

(284-192 î.e.n), care a descoperit un procedeu de 

aflare a numerelor prime. Ciurul lui Eratostene este un 

procedeu elementar pentru aflarea numerelor naturale 

prime mai mici decât un numãr dat. 

Arina: În ce constã procedeul? 

Georgel: Constã în a scrie æirul numerelor naturale 1, 2, 3…, 

dupã care se eliminã mai întâi numerele pare, exceptându-l 

pe 2, care este numãr prim, apoi multiplii lui 3,


exceptând pe 3 æ.a.m.d. Dacã numãrul final al æirului 

este A, operaåia continuã pânã se ajunge la un numãr 

prim B, al cãrui pãtrat este superior lui A. Numerele 

neeliminate sunt numerele prime cãutate. Matematicienii 

se chinuiesc de peste douã milenii sã detecteze cât 

mai multe numere prime, numãrul lor fiind infinit de mare. 

Arina: Apropo de numerele prime, ce e cu numerele lui 

Fermat æi cu numerele lui Mersenne (1588-1648)? 

Georgel: Numerele lui Fermat, de forma 2 2n + 1, intervin în diviziunea 

cercului. Pierre de Fermat le-a calculat pe 

primele patru dintre ele æi a constatat cã sunt numere 

prime; atunci a susåinut cã toate numerele de acest tip 

sunt prime! Dar a greæit! Euler, care l-a calculat pe cel 

de al cincelea numãr, a constatat cã nu e prim, întrucât 

se divide cu 641! Pentru 5 < n < 16 au fost verificate 

toate numerele lui Fermat æi nu sunt prime. Dar 

matematicienii au perseverat în cãutãrile lor, ajungând 

la numere de lungime astronomicã. În 1945, un astfel 

de numãr avea aproximativ 10 582 de cifre. Æi matematicienii 

se tot întreabã dacã o fi existând un numãr 

infinit de numere prime Fermat ori nu? Fermat s-a 

înæelat, cãci multe dintre numerele sale nu sunt prime. 

Dar s-a înæelat æi în alte cazuri. 

Arina: Adicã? 

Georgel: Pãi, prin 1641, a enunåat trei teoreme greæite relative la 

numerele prime. Cea dintâi: Nici unul dintre numerele 

prime de forma 12k + 1 nu este divizorul vreunuia dintre 

numerele 3 n + 1. A doua: Nici unul dintre numerele 

prime de forma 10k + 1 nu este divizorul vreunuia dintre 

numerele 5 n + 1. A treia: Nici unul dintre numerele 

prime de forma 10k – 1 nu este divizorul vreunuia dintre 

numerele de forma 5 n + 1.


Arina: Æi numerele celebrului cãlugãr æi învãåat francez 

Marin Mersenne? 

Georgel: Numerele lui Mersenne de forma 2n – 1(n = 1, 2, 3...) 

prezintã interes deoarece cu ajutorul lor putem afla 

aæa-numitele numere pare perfecte. 

Al n-lea numãr al lui 

Mersenne se poate defini, de 

asemenea, ca suma primilor n 

termeni ai progresiei geometrice 

1, 2, 22 , 23 , 24 .... Avem M = 1; 1 

M = 3; M = 7; M = 15; M = 31, 

2 3 4 5 

cãci M = 2 1 1 – 1; M = 2 2 2 – 1 = 4 – 1; 

M = 2 3 3 – 1 = 8 – 1; M = 2 4 4 – 1 = 

16 –1;M = 2 5 5 – 1 = 32 – 1. 

Arina: Pânã acum, care e cel mai mare numãr prim depistat? 

Georgel: Recordul a fost înregistrat în anul 2004, cu numãrul 

2824036583 Marin Mersenne 

, un numãr care conåine 7 235 233 de cifre. Se 

observã cã este un numãr al lui Mersenne, æi anume al 

41-lea numãr al lui. 

Arina: Problema repartiåiei numerelor prime îi chinuie mult 

pe matematicieni. 

Georgel: Cei care s-au ocupat de aritmeticã, de la Euclid la 

Euler, s-au strãduit sã reducã, progresiv, imprevizibilitatea 

apariåiei numerelor prime. 

Arina: Æi n-au reuæit. 

Georgel: Au atacat problema din mai multe pãråi. Au cãutat sã 

determine a priori pentru oricare n care era al n-lea 

numãr prim: intervalul ce separã douã numere prime 

consecutive, cum se repartizau numerele prime în 

cadrul diferitelor progresii aritmetice de raåie k, în


sfâræit, care era numãrul numerelor prime mai mici 

decât un numãr dat. Æi aæa, de-a lungul timpului, au 

fost demonstrate o seamã de supoziåii celebre, dar au 

rãmas încã multe chestiuni neelucidate. În 1974, Jones 

P. James a dat un polinom cu 26 de nedeterminate, cu 

coeficienåi întregi a cãror mulåime a valorilor pozitive 

este exact mulåimea numerelor prime. Numerele acestea 

nu figureazã, însã, în ordine æi fiecare dintre ele apare 

de o infinitate de ori. 

Arina: Interesant! 

Georgel: Interesantã e æi afirmaåia cã pentru orice întreg n > 1 

existã cel puåin un numãr prim cuprins între n æi 2n. 

Conjecturatã de Joseph Louis François Bernard (1822- 

1900), afirmaåia a fost demonstratã în 1851 de Pafnuti 

Livovici Cebîæev (1821–1894). 

Arina: Am citit despre aæa-zisa lege asimptoticã a numerelor 

prime. Gauss æi confratele sãu francez Adrien Marie 

Le Gendre (1752-1833) au presupus acum mai bine de 

200 de ani cã dacã π reprezintã numãrul numerelor 

prime mai mari sau egale cu x, atunci 

x 

π ( x) 

≅ 

logx 

Arina: În 1896, matematicianul francez Jacques Hadamard 

(1865-1963), membru de onoare al Academiei 

Române, æi matematicianul belgian Charles-Jean 

Gustave Nicolas de la Valée Poussin (1866-1962) au 

dat o primã demonstraåie a acestei legi. Existã æi o 

demonstraåie mai recentã, datoratã unui compatriot al 

nostru, Mihnea Moroianu, pe care o dezvoltã în studiul 

Teoria numerelor prime, din volumul Analiza complexã. 

Aspecte clasice æi moderne, apãrut în 1988,


la Editura Ætiinåificã æi Enciclopedicã. În demonstraåia 

analiticã a legii asimptotice, Mihnea Moroianu 

utilizeazã proprietãåile funcåiei zeta a lui Riemann, 

definitã pentru Re z > 1 prin relaåia: () ∑ 

Georgel: Sunt o mulåime de descoperiri pe care le-au fãcut 

matematicienii æi care, cu siguranåã, te vor interesa. 

Bunãoarã, existã æiruri de numere prime care conåin 

progresii aritmetice. 

Arina: De exemplu? 

Georgel: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 

2089, progresie de zece termeni de raåie 210. În anii 

’90 ai secolului trecut, matematicienii au emis ipoteza 

unor progresii aritmetice lungi formate din numere prime. 

Arina: Æi ce e cu numerele prime gemene, de felul: p æi p + 

2, unde p este un numãr prim? 

Georgel: Întrebarea este dacã aceste numere sunt infinit de 

multe. Ipoteza care afirmã infinitatea unor astfel de 

cupluri nu a fost demonstratã. Frecventele demonstraåii 

propuse sunt repede invalidate. Totuæi, existã o 

consolare: în 1989, matematicianul budapestan Antal 

Balog a obåinut un rezultat satisfãcãtor în cazul câtorva 

æiruri, printre care (p, p + 2, p + 6), un fel de 

„bãnuialã generalizatã“. Îåi mai semnalez un fapt: în 

1885, Viggo Brun a afirmat cã seria: 

1 1 1 1 1 1 1 1 

( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + .... , 

3 5 5 7 11 13 17 19 

în care numitorii parcurg mulåimea numerelor gemene, 

este convergentã, pe când seria 

∞ 

1 

ζ z = 2 

n= 

1 n 

1 

+ 

1 

5 

1 

+ + .... 

7 

3 

este divergentã atunci când numitorii 

parcurg numerele prime.


Ipoteza lui Riemann – problema mileniului 

Georgel: Problema obsedantã a imperiului numerelor prime este 

aceea a repartiåiei lor. Dupã cum se ætie, ea dateazã din 

Antichitate. În 1859, folosind o funcåie denumitã ζ 

(zeta), matematicianul german Bernhard Riemann 

(1826-1866) a propus o repartiåie pentru numerele 

prime. De aproape un secol æi jumãtate aceastã ipotezã 

focalizeazã interesul celor mai mulåi matematicieni. 

Aceasta pare sã fie cea mai importantã teoremã a 

teoriei numerelor. Ætim cã ζ (s) = +… 

Arina: Cunosc formula lui Riemann. 

Georgel: Sã vedem ce reprezintã aceastã funcåie ζ. Profit de faptul 

cã am agenda la mine æi o sã-åi notez ceea ce îåi spun. 

Propun sã intrãm în parc æi sã stãm pe o bancã. Deci: 

fie k corpul numerelor raåionale. Pe acest corp, 

Riemann a definit funcåia: () = ∑ , unde n parcurge 

toåi întregii mai mari decât 0 din k æi unde s este o variabilã 

complexã, a cãrei parte realã este totdeauna mai 

mare decât 1. Aceastã funcåie mai admite o 

reprezentare sub formã de produs: 

∞ 

1 1 1 1 

+ + + 

s s s 

1 2 3 4 

1 

f ζ 

s 

n=1 

n 

() 

ζ s 

1 

= π 

1 

1− 

s 

p 

, 

unde p parcurge toate numerele prime din k. 

Deci, existã o legãturã strânsã care uneæte funcåia 

ζ () s de repartiåia numerelor prime p din corpul k.


În acest fel, Riemann a putut construi o funcåie F(x), 

care dã numãrul numerelor prime inferioare unui 

numãr pozitiv arbitrar. 

Arina: Æi, evident, formula lui Riemann n-a fost demonstratã. 

Georgel: Ea se bazeazã pe ipoteza foarte precisã privind amplasarea 

zerourilor acestei funcåii. Frecvent, apar pe siteurile 

Internetului ecourile unor posibile demonstraåii 

care, foarte curând, se dovedesc a fi eronate. Dar aura 

de senzaåional a problemei centrale din câmpul teoriei 

numerelor este fascinantã. Deæi n-a putut fi demonstratã, 

teorema constituie o inepuizabilã sursã de inspiraåie pentru 

cercetare. Rezultatele colaterale, neaæteptate, apar continuu, 

în ciuda permanentului eæec al demonstraåiei ei. 

Arina: Acum câteva zile, am citit despre un rezultat interesant 

de acest fel. Este vorba despre bãnuiala matematicianului 

chinez Jincrut Chen (1933-1996), cã existã o infinitate 

de numere prime, astfel ca p+2 sã fie sau prim 

sau produsul a douã numere 

prime. Teorema a fost demonstratã 

cu ajutorul funcåiei ζ de 

cãtre matematicianul rus P.I. 

Cebîæev. De altfel, funcåia ζ este 

prototipul unei familii foarte generale 

de funcåii, care intervine în 

teoria numerelor. 

Georgel: Ipoteza lui Riemann a fost testatã 

pentru valori numerice din ce în 

ce mai mari pe calculator, dar 

degeaba, tot nedemonstratã a rãmas. 

Arina: Îåi mãrturisesc, Georgele, cã eu 

Bernhard Riemann 

sunt fascinatã de personalitatea lui Riemann. A fost cel 

mai romantic dintre marii matematicieni! Pasiunea


cunoaæterii æi genialitatea l-au fãcut, în ciuda unei constituåii 

fizice fragile, sã reuæeascã performanåe revoluåionare, 

sã creeze geometria care îi poartã numele, 

folositã de Einstein în teoria relativitãåii, sã se numere 

printre fondatorii topologiei moderne, sã aducã strãlucite 

contribuåii la analiza matematicã æi la teoria numerelor. 

Marea provocare a lui Gödel 

Pentru moment, discuåia se opreæte aici. Numai pentru moment, 

fiindcã Arina îi propune, curtenitor, lui Georgel, o nouã întâlnire, 

eventual la sfâræit de sãptãmânã. Pânã atunci, va consulta noi titluri 

æi va medita pe îndelete asupra atâtor chestiuni în suspensie. 

Duminicã dupã-amiazã, cei doi prieteni reiau dialogul. 

Georgel: Bunã, Arina, te-ai mai clarificat? 

Arina: Încerc sã mã documentez cât mai amãnunåit, la bibliotecã. 

Georgel: Apropo, uitându-mã prin biblioteca mea, am gãsit un 

raport al lui David Hilbert despre teoria numerelor 

algebrice – numere care sunt rãdãcinile unui polinom 

cu coeficienåi raåionali. Matematicianul german l-a 

întocmit la cererea Societãåii de Matematicã din 

Germania, în 1897. Raportul este o prezentare magnificã 

a problemei æi o sursã de inspiraåie pentru specialiæti. 

Aflã cã Hilbert stabileæte axiomatizarea completã 

a geometriei æi susåine cã necontradicåia 

axiomelor geometriei se bazeazã pe necontradicåia 

aritmeticii, în care avea o credinåã oarbã. Era sigur cã 

formalizarea completã a matematicii „va înlãtura 

definitiv orice îndoialã asupra perfectei siguranåe a 

raåionamentului matematic“.


Arina: Hilbert a încercat sã demonstreze cã matematica ar 

putea fi fundamentatã definitiv dacã, operându-se cu 

simboluri matematice, n-ar apãrea contradicåii formale. 

Georgel: Ca de pildã 0 = 1! 

Arina: A aplicat ideea la geometria euclidianã, reducând contradicåia 

geometricã la cea a aritmeticii. 

Georgel: Evident cã a fost un eæec, fiindcã necontradicåia s-a 

arãtat cã nu poate fi demonstratã nici pentru aritmeticã. 

Arina: De fapt, matematicienii – de la greci pânã la Hilbert – 

fuseserã ferm convinæi cã: a. problemele aritmeticii au 

un rãspuns adevãrat æi unul singur, restul fiind obligatoriu 

fals; b. trebuie sã existe o cale sigurã pentru a 

descoperi aceste adevãruri; c. aceste rãspunsuri, o datã 

gãsite, trebuie sã fie compatibile între ele æi sã formeze 

un tot. Iluzii! 

Georgel: Ambiåios, Hilbert declara: „Noi vom æti! Noi trebuie 

sã ætim!“. 

Arina: Ce naiv! Genialul Kurt Gödel (1906-1978), logician æi 

matematician american de origine austriacã, a scos în 

evidenåã, prin teoremele sale de 

incompletitudine, caracterul deschis 

al cunoaæterii matematice. 

Gödel a arãtat cã, dacã se stabilesc 

regulile de inferenåã æi un 

numãr finit de axiome, existã 

aseråiuni precis formulate pentru 

care nu se poate demonstra nici 

cã sunt adevãrate, nici cã sunt 

false. Ne confruntãm cu ceea ce 

se numeæte indecidabilitate! 

Georgel: Realizãm cã nu este posibil sã 

Kurt Gödel 

dobândim toate adevãrurile despre adunare, înmulåire, 

æirul numerelor întregi deducându-le din cele câteva 

axiome pe care se bazeazã aritmetica.


Arina: Am citit despre faimoasele teoreme de incompletitudine 

enunåate acum 75 de ani, care au produs marea 

crizã a fundamentelor matematicii. Prima teoremã de 

incompletitudine a lui Gödel legatã de incompletitudinea 

sistemelor formale afirmã cã un sistem suficient 

de bogat æi corect este incomplet. Cea de a doua 

teoremã de incompletitudine, legatã de imposibilitatea 

demonstrãrii necontracåiei sistemului formal prin 

mijloacele sistemului însuæi, afirmã cã dacã T este un 

sistem suficient de bogat æi consistent, atunci formula 

care afirmã consistenåa lui T este nedemonstrabilã în T. 

Chiar æi problema opririi unui program în informaticã 

este una indecidabilã! 

Georgel: Kurt Gödel a arãtat, pe de o parte, cã oricãrei axiomatici 

i se poate ataæa o ecuaåie pentru care este imposibil sã 

se decidã dacã are sau nu soluåie în cadrul sistemului 

de axiome alese æi, pe de altã parte, cã alt sistem de 

axiome permite sã se decidã dacã o astfel de soluåie 

existã sau nu. Deci axiomaticele sunt incomplete. De 

aici, o interesantã idee a matematicianului de origine 

argentiniano-americanã Gregory Chaitin (n. 1947), pe 

care am reåinut-o din revista „La Recherche“, apãrutã 

la Paris, în decembrie 2003. Acesta sugereazã cã 

numãrul axiomelor aritmeticii ar putea creæte mult. „E 

posibil, de exemplu – scrie Chaitin –, ca vechi probleme 

nerezolvate, precum aceea de a æti dacã existã o infinitate 

de numere prime gemene (numere impare separate 

de un numãr par), sã fie numãrate printre axiome. 

În acest caz, existenåa unei infinitãåi de numere prime 

gemene este adevãratã æi nedemonstrabilã. Poate cã 

ipotezele mult mai complexe, precum aceea a lui 

Riemann, vor trebui sã fie considerate axiome“.


Arina: Sã nu fim nedrepåi cu Hilbert. Æi giganåii mai greæesc! 

Georgel: Într-adevãr, rolul lui Hilbert în orientarea cercetãrii 

matematice a fost covâræitor. La Congresul Internaåional 

de Matematicã åinut la Paris în anul 1900, el a propus 

23 de probleme cruciale în orientarea cercetãrilor 

matematice. Era încã posibil ca un singur om sã îmbrãåiæeze 

ansamblul matematicii. Evident cã nu toate 

problemele acestea au acelaæi statut. Unele pot fi calificate 

„probleme mari“, altele particulare. Astfel, problema 

a X-a, care priveæte rezolvarea ecuaåiilor în numere 

întregi, conåine, de fapt, toate chestiunile matematice a 

cãror formulare poate fi adusã la o ecuaåie algebricã, 

aæa cum a arãtat I. Matiasevici, în anul 1970. 

Arina: O sã te minunezi cã mi-am extras date în problema 

asta. Îmi amintesc enunåul lui Hilbert. Sã åi-l citesc: 

„Se ætie cã o ecuaåie diofanticã este o ecuaåie algebricã 

cu coeficienåi întregi, pentru care se cautã 

rãdãcini numai numere întregi. Dintre acestea, cea 

mai des întâlnitã este ecuaåia xn + yn = zn , despre care 

P. Fermat a afirmat cã nu are rãdãcini întregi pentru 

n ≥ 3 “. Este celebra teoremã a lui Fermat, enunåatã în 

1637, care a fost rezolvatã în 1993 de matematicianul 

englez Andrew Wiles (n. 1953). Cea de a X-a teoremã 

a lui Hilbert a fost rezolvatã mult mai rapid, doar dupã 

70 de ani. În 1970, Matiasevici a arãtat, în mod 

neaæteptat, cã nu existã un astfel de algoritm, ecuaåiile 

diofantice constituind o clasã nedecidabilã (pentru 

care nu se poate arãta nici dacã sunt adevãrate, nici 

dacã sunt false). Rezultatul acesta are consecinåe 

curioase æi profunde, multe probleme putând fi reduse 

la determinarea rezolvãrii sau nerezolvãrii unor ecuaåii 

diofantice.


Georgel: Vãd cã åi-a priit biblioteca. 

Arina: Am extras æi eu problemele privind numerele din lista 

lui Hilbert. Unele au fost rezolvate, ca, de pildã, problema 

a X-a sau problema a VII-a, care cerea stabilirea transcendenåei 

unor numere. Altele, însã, sunt în aæteptare, 

cum este cazul problemei a VIII-a, care cere sã se 

studieze distribuåia numerelor prime æi, în particular, 

sã se demonstreze ipoteza lui Riemann. 

Legenda lui Fermat 

Arina: Pierre de Fermat – botezat „Prinåul amatorilor de matematicã“ 

– a reprezentat, întradevãr, 

o legendã în istoria matematicii. 

Contribuåiile lui, fãrã 

finalitate lucrativã, reprezentau 

„distracåiile“ lui, profunda lui 

dragoste pentru matematicã. 

Opera sa a exercitat o atracåie 

irezistibilã timp de secole, pânã în 

zilele noastre, æi l-a inclus printre 

marii matematicieni ai lumii. În 

teoria numerelor, „teoremele sale 

de aritmeticã“ sunt importante, 

printre altele, deoarece sugereazã 

Pierre de Fermat 

cercetãri în aritmeticã æi, în general, în matematicã æi 

pentru cã se dovedesc universale din mai multe puncte 

de vedere. Fermat a enunåat foarte multe teoreme despre 

numerele prime, obiænuind sã le noteze pe marginea 

cãråii lui Diofant, fãrã a da demonstraåia acestora. De 

o extremã simplitate æi frumuseåe, ele au incitat 

spiritele matematicienilor, care s-au chinuit sute de 

ani sã le demonstreze.


Georgel: Acum sã-åi spun æi eu, Arina: la timpul sãu, Fermat a 

susåinut cã rãdãcinile ecuaåiei x n + y n = z n , unde n este 

un numãr natural egal sau mai mare decât 3, nu pot fi 

numere întregi. Au urmat trei secole æi jumãtate de 

încercãri zadarnice pentru a se ajunge la demonstraåia 

acestei supoziåii. 

Arina: Totuæi, în decursul vremurilor, au fost rezolvate cazuri 

particulare. Fermat a demonstrat teorema pentru n = 4, 

Leonhard Euler pentru n = 3, Adrien Marie Le Gendre 

æi germanul Gustav Lejeune Dirichlet pentru n = 5, 

inginerul francez Gabriel Lamé pentru n = 7, Ernest 

Eduard Kummer pentru toate puterile pânã la 100, 

excepåie fãcând 37, 59 æi 67, performanåã pentru care 

a primit Marele Premiu al Academiei Franceze. 

Georgel: Au fost enunåate æi rezolvate, în paralel, alte probleme 

matematice, ca, de pildã, de cãtre matematiciana francezã 

Sophie Germain (1776-1831). De numele ei se 

leagã demonstrarea imposibilitãåii rezolvãrii teoremei 

lui Fermat dacã x, y æi z nu sunt divizibili printr-un 

numãr prim impar. Tot ea i-a furnizat lui Le Gendre, 

pentru cea de a doua ediåie a Teoriei numerelor (1825), 

multe teoreme interesante. Un rezultat paralel mai 

recent se datoreazã lui G. Falting, care, în 1983, arãta 

cã ecuaåia lui Fermat nu are pentru p > 5 decât un 

numãr finit de soluåii fãrã divizori comuni. 

Arina: Æi mai recent, în iunie 1993, Andrew Wiles, cercetãtor 

britanic, care lucra la Universitatea Princeton din 

S.U.A., a anunåat demonstrarea unei ipoteze centrale a 

matematicii contemporane numite Shimura-Taniyama. 

Se ætia, încã din 1986, cã aceastã ipotezã antreneazã 

demonstrarea teoremei lui Fermat. În timp, s-au 

adunat numeroase rezultate care veneau în sprijinul lui


Wiles. El citeazã, în studiul sãu, peste 60 de lucrãri. La 

colocviul de la Cambridge din 1993, unde avea sã 

prezinte pentru prima oarã propriile sale cercetãri, 

Wiles a precizat „cele trei tipuri de obiecte ale sale: 

curbele eliptice, formele modulare æi reprezentãrile 

galoise“. Evident, evenimentul a provocat mare vâlvã. 

Lui Wiles i-au mai trebuit câåiva ani pentru ælefuirea 

teoremei. E foarte greu de urmãrit, æi eu nu am suficiente 

cunoætinåe matematice, îmi trebuie o pregãtire 

specialã ca sã înåeleg cele trei tipuri de obiecte pe care 

le-am menåionat. Deocamdatã, mã resemnez sã iau 

aceæti termeni ca pe niæte „fiinåe matematice“ importante. 

Georgel: Nici o problemã, Arina, peste câåiva ani, când o sã devii 

studentã, o sã înåelegi terminologia æi demonstraåia. 

Conjecturi nãbãdãioase 

Arina: Trebuie sã-åi mãrturisesc, Georgele, cã mã incitã aæanumita 

conjecturã a lui Goldbach. 

Georgel: Conjectura lui Goldbach! Termenul conjecturã, atât de 

frecvent folosit de matematicieni, provoacã iritare 

printre nematematicieni. „Conjectura“ seamãnã, ca sonoritate, 

cu „conjunctura“, dar e cu totul altceva. Conjectura 

reprezintã termenul îndrãgit de matematicieni 

pentru a desemna bãnuiala. Se pomenesc conjecturile 

lui Fermat, Gauss, Le Gendre, Chen æ.a. De fapt, 

bãnuielile constituie un ferment eficient al descoperirilor 

matematice. Un mare matematician contemporan, 

francezul de origine germanã Alexander Grothendieck 

(n. 1928), ale cãrui rezultate, noåiuni, metode constituie 

o etapã decisivã în dezvoltarea matematicii contemporane,


datoritã profunzimii ideilor sale, ingeniozitãåii tehnicilor 

utilizate æi nivelului ridicat de generalizare a 

abordãrilor, spunea aæa de frumos: „Simplul fapt de a 

descrie intuiåii aluzive sau simple bãnuieli are putere 

de transcendere“. Dar ce pare aæa de incitant în întrebarea 

lui Christian Goldbach (1690-1767) dacã este 

posibil sã scriem „orice numãr par ca rezultat al 

adunãrii a douã numere prime? “. 

Arina: Pãi, interesantã este cursa ameåitoare a matematicienilor 

pentru aflarea adevãrului. Cursã care o aminteæte 

pe cea desfãæuratã pentru obåinerea unui numãr cât 

mai mare de zecimale ale lui . 

Georgel: Conjectura aceasta semnalatã lui Euler de cãtre 

Goldbach, într-o scrisoare din 7 iunie 1742, i-a adus 

acestuia din urmã celebritatea. 

Arina: Æi de atunci conjectura nu a fost încã demonstratã. Nu 

e greu de gãsit cupluri de numere prime care sã constituie 

o partiåie Goldbach a unui numãr par. De exemplu 

(5, 7) æi 12 sau (11, 13) æi 24, fiindcã 12 = 5 + 7, iar 

24 = 11 + 13. Aæa au început încercãrile. În 1855, 

matematicianul francez A. Deboves a condus o cercetare 

exhaustivã pe 10 000 de numere prime. Iar 

începând din 1940, cu ajutorul calculatorului, au fost 

testate din ce în ce mai multe numere. Milionul a fost 

depãæit în anul 1964, iar miliardul în 1989. În 

octombrie 2003, Thomas Oliveiro e Silva, cu echipa 

lui de la Universitatea Alveino (Portugalia), a bãtut 

ultimul record, mergând mult mai departe, pentru 

6x1016 (6 urmat de 16 zero)!! Æi se zvonea cã se 

pregãteæte analiza a 1018 π 

numere! Apropo, despre 

ipoteza lui Ghilbrealh ai auzit?


Georgel: Am auzit câte ceva. N. Ghilbrealh a emis, în 1958, 

urmãtoarea ipotezã: Dacã scriem æirul numerelor 

prime consecutive, apoi, dedesubt, în primul rând, 

æirul diferenåelor consecutive dintre numerele prime, 

în rândul urmãtor æirul valorilor absolute ale diferenåelor 

dintre termenii consecutivi din rândul al 

doilea æ.a.m.d., atunci primul termen din fiecare rând 

va fi 1. Am la mine schema. 

Fig. 41. Conjectura lui N. Ghilbrealh 

(Reprodus dupã: W. Sierpinski, Ce ætim æi ce nu ætim despre numerele prime, 

Bucureæti, Editura Ætiinåificã, 1966, p. 31) 

Georgel: Ipoteza a fost verificatã, în 1959, pentru primele 

63 418 rânduri de cãtre R.B. Killgrove æi K.E. 

Ralston. Dar W. Serpinski susåinea cã nu existã încã o 

demonstraåie a acestei ipoteze. 

Fiinåe matematice magice 

Dupã douã zile de studiu æi clarificãri, Arina æi Georgel se revãd. 

Georgel: Cum te-ai distrat ieri, Arina?


Arina: M-am distrat cu pãtrate magice formate din numere 

prime. Ætii ce sunt pãtratele magice? 

Georgel: Uite cã nu prea. 

Arina: Un pãtrat magic este un tablou pãtrat compus din n 2 

numere naturale diferite, aæezate în n linii æi n coloane, 

iar sumele numerelor care se obåin de pe orice linie, 

coloanã sau diagonalã sunt egale între ele. 

Georgel: Fascinant! De când sunt cunoscute? 

Arina: Încã din Antichitate. Astrologii din China, Japonia, 

India æi din åãrile învecinate acestora le considerau 

binefãcãtoare. De unde moda de a le imprima pe tãbliåe 

de metal, pentru a fi purtate ca amulete. Aæa se explicã 

originea numelui lor. Ulterior, au început sã-i intereseze 

æi pe matematicieni, stârnindu-le spiritul ludic. 

Georgel: Dã-mi un exemplu de astfel de pãtrat. 

Arina: Unul „mititel“, format din nouã numere prime: 

67 1 43 

13 37 61 

31 73 7 

Georgel: Stai sã verific. 

67+1+43 =111; 13+37+61=111; 31+73+7=111 

67+13+31=111 1+37+73=111 43+61+7 =111 

67+37+ 7=111 43+37+31=111 

Da. Peste tot, aceeaæi sumã: 111. 

Arina: Sã-åi mai dau un exemplu de pãtrat magic, tot cu 9 

numere prime. Iatã-l: 

569 59 449 

239 359 479 

269 659 149


Georgel: Facem æi aici verificarea: 

569+ 59 + 449 = 1077 239+359+ 479 = 1077 269+ 659+ 149 = 1077 

569+ 239+269 = 1077 59+359+ 659 = 1077 449+ 479+ 149 = 1077 

569+ 359+149 = 1077 449+359+ 269 = 1077 

E perfect! 

Arina: Nu e greu de calculat un pãtrat magic, ci doar de construit. 

Fermat a avut o adevãratã pasiune pentru 

pãtratele magice. La moartea lui, s-au gãsit 14 caiete æi 

multe foi volante pline cu pãtrate magice. De altfel, 

într-o scrisoare cãtre Mersenne, a mãrturisit cã nu 

cunoaæte „nimic mai frumos în Aritmeticã decât aceste 

numere, pe care unii le numesc «planetarios», iar alåii 

«magicos»“. 

Georgel: Æi sunt multe pãtrate magice? 

Arina: A fost emisã ipoteza cã pentru orice numãr natural n > 3 

existã o infinitate de pãtrate magice, care sunt formate 

din n 2 numere prime diferite. Nu ætiu dacã s-o fi 

demonstrat ipoteza. Æi, ca sã-mi etalez „erudiåia“, o sã-åi 

spun câte ceva æi despre cuburile magice. 

Georgel: Æi cuburile magice se cunosc din vremurile de demult? 

Arina: Cuburile magice îi pasioneazã pe matematicieni doar 

de vreo trei secole æi ceva. Pentru prima oarã, Fermat 

abordeazã subiectul în 1640, într-o scrisoare cãtre 

Mersenne. În secolul al XVIII-lea, Leibniz se intereseazã, 

la rândul lui, de cuburile magice. Fiecare propunea 

o definiåie. 

Georgel: Æi care e definiåia acceptatã în prezent? 

Arina: Un cub magic de ordinul n reprezintã o stivuire de n 

pãtrate de ordinul n, care conåine toåi întregii de la 1 la 

n 3 , astfel încât suma numerelor oricãrei coloane, linii orizontale, 

linii verticale sau marea diagonalã este totdeauna aceeaæi. 

Atunci, însã, când diagonala pãtratelor paralele feåelor


cubului dau, de asemenea, suma magicã a liniilor, 

coloanelor, coloanelor verticale æi a marilor diagonale, 

cubul se numeæte cub magic perfect. În prezent, matematicienii 

se joacã cu aceste cuburi magice perfecte. 

Numerele prime æi criptografia 

Georgel: Eu unul m-am amuzat citind despre criptografie. 

Arina: Te preocupã descifrarea secretelor, spionajul, trecerea 

prin zid? 

Georgel: Nu râde, Arina. Azi, metoda cheilor secrete e la îndemânã. 

Procedeele moderne cele mai eficace se bazeazã pe 

criptografia matematicã. Æi, ironia soråii, pe folosirea 

numerelor întregi æi, în particular, a numerelor prime! 

Arina: Glumeæti, Georgele! 

Georgel: Absolut deloc. Aæa-numita metodã a cheilor publice 

se bazeazã, în esenåã, pe urmãtoarea problemã: fiind 

date douã numere p æi q destul de mari (de exemplu, 

având în jur de 100 de cifre fiecare), produsul lor pq 

poate fi uæor calculat cu computerul. În schimb, nu se 

cunoaæte metoda care sã permitã regãsirea lui p æi q 

pornind de la pq. Deoarece nu se cunoaæte metoda de 

aflare a numerelor prime care compun un produs de 

numere prime, se pare cã tocmai aceastã lipsã asigurã 

securizarea tranzacåiilor pe Internet. Iatã cheia! 

Numere aproape prime 

Georgel: Dar despre numerele aproape prime ai citit, Arina? 

Arina: Din pãcate, nu! 

Georgel: Un numãr aproape prim este un numãr compus pentru


care suma exponenåilor numerelor prime ce-l alcãtuiesc 

are o limitã superioarã mãrginitã. Dacã aceastã limitã 

este 1, numãrul este prim. Au fost obåinute douã teoreme: 

a. Existã o infinitate de perechi formate dintr-un 

numãr prim æi un numãr aproape prim a cãror diferenåã 

este 2; b. Orice numãr prim suficient de mare este 

suma unui numãr prim æi a unui numãr aproape prim. 

Arina: Sã revenim la numerele prime. Au fost descoperite 

multe proprietãåi ale acestora: orice numãr impar este 

suma a trei numere prime, orice numãr întreg se poate 

obåine prin adunarea unor numere prime al cãror 

numãr e mãrginit etc., etc. Dar mai sunt atâtea rãmase 

fãrã rãspuns. 

Georgel: Æi împãtimiåii cautã armoniile din spatele haosului 

numerelor prime – temelia puternicã a tuturor numerelor. 

Jincrut Chen a susåinut cã orice numãr întreg suficient 

de mare este suma unui numãr prim æi a unui numãr 

aproape prim. Rezultatul acesta este foarte învecinat 

cu Conjectura lui Goldbach, iar Iwaniec æi Richert au 

afirmat cã existã o infinitate de întregi n, astfel încât 

n 2 + 1 sã fie aproape prim. 

Arina: Oare a avut dreptate matematicianul maghiar Paul 

Erdös (1913-1996) – cunoscut pentru numeroasele lui 

idei strãlucite – când a spus, înainte de a muri: „Va trebui 

sã mai aæteptãm un milion de ani înainte de a 

înåelege numerele prime“? 

Georgel: Teoria numerelor prime este, în principal, o creaåie a 

secolului al XIX-lea. De fapt, ea debuteazã cu aplicarea 

metodelor de analizã matematicã la problemele 

din teoria numerelor. În 1737, Euler a dat o nouã demonstraåie, 

în urma lui Euclid, a infinitãåii numerelor 

prime. Era cea dintâi încercare de apropiere a aritmeticii


(studiul cantitãåilor discontinue) de analiza matematicã 

(studiul cantitãåilor continue). Prima demonstraåie a 

teoriei fundamentale a aritmeticii: Orice întreg pozitiv 

poate fi scris ca produsul a douã numere prime, a 

apãrut la începutul secolului al XIX-lea în 

Disquisitiones Mathematical, datoratã lui Gauss. 

Contribuåiile din anii 1837-1839, ale matematicianului 

german Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), în care 

se aplicã analiza matematicã la teoria numerelor, au 

marcat o adevãratã revoluåie în teoria numerelor 

prime. În sfâræit, descoperirile ulterioare, din secolele 

al XIX-lea æi al XX-lea, au impulsionat mult dezvoltarea 

teoriei numerelor prime. 

Arina: Dupã concurs, când voi avea mai mult rãgaz, va trebui 

sã mã pun la punct cu toate aceste contribuåii. Deocamdatã, 

m-am ales cu o concluzie importantã. Acum 

mi s-a fãcut foame. Hai la masã. 

Fiæierul problemelor celebre 

Georgel: Eæti o veritabilã documentaristã, Arina. Åi-ai fãcut un 

fiæier de invidiat al problemelor celebre. 

Arina: Al problemelor celebre din teoria numerelor. 

Georgel: Æi cum l-ai organizat? 

Arina: Dupã criteriul alfabetic. Am fiæe pentru Teorema lui 

Dirichlet a progresiilor aritmetice æi pentru Marea 

teoremã a lui Fermat, ca æi pentru Legea asimptoticã 

a numerelor, de Gauss æi Le Gendre. Am scos note 

despre Teorema lui Gauss a celor 3 pãtrate. Adicã un 

numãr natural m se poate scrie ca sumã a 3 pãtrate de


numere naturale dacã æi numai dacã m ≠ 4a (8n + 7), pentru 

) – teoremã care a fost demonstratã. 

Georgel: Despre Riemann, nimic? 

Arina: Despre ipoteza lui Riemann am chiar foarte mult 

material, cules în ultimul an. Am fãcut fiæe pentru 

Teorema lui H.F. Scherk (existã o alegere a semnelor 

„+“ „–“, astfel încât sã aibã loc urmãtoarele egalitãåi: 

p = 1 ± p ±p± p ± … ± p ± p 2n 1 2 3 2n-2 2n-1 

p = 1 ± p ±p± p ± … ± p ± p pentru n N 2n+1 1 2 3 2n-1 2n, * , 

unde p semnificã al n-lea numãr prim. Acest rezultat, 

n 

conjecturat de Scherk în 1830, a fost demonstrat în 

1928 de cãtre S.S. Pillar). Apoi, fiæe pentru Teorema lui 

Schnirelman (Existã un numãr natural s, astfel încât 

orice numãr natural mai mare sau egal cu 2 se scrie ca 

suma a cel mult s numere prime, nu neapãrat distincte. 

Teorema a fost demonstratã în anul 1933). În sfâræit, 

am redactat fiæe pentru Teorema lui Waring. 

Georgel: Adicã? 

Arina: Matematicianul englez Eduard Waring (1734-1798) a 

formulat, în anul 1770, urmãtoarea conjecturã: Orice 

numãr este suma a cel mult 4 numere pãtratice, a cel 

mult 9 numere cubice, a cel mult 19 numere bipãtratice 

etc. Au fost necesari 200 de ani pentru a se demonstra 

aceastã conjecturã. Descompunerea în numere la puterea 

a doua (exemplu: 7 = 22 + 12 + 12 + 12 a, n ∈N 

∈ 

= 4 + 1 + 1 + 1) 

a fost demonstratã în 1770 de cãtre matematicianul 

francez Louis Lagrange (1736-1813), iar descompunerea 

în numere la puterea a treia a fost demonstratã de matematicianul 

german Weiferich, în 1909. 

Georgel: Æi pentru puteri mai mari? 

Arina: Fapt curios, pentru puterile mai mari demonstraåiile au 

fost mai uæoare. Datoritã, bunãoarã, contribuåiilor lui


David Hilbert, precum æi ale matematicienilor englezi 

Geodfrey Harold Hardy (1877-1947) æi George 

Edenson Littlewood (1885-1977), descompunerile numerelor 

la puteri egale sau superioare lui 6 au putut fi 

demonstrate în epoca interbelicã. Cazul referitor la 

puterea lui 5 a fost dovedit de cãtre Jincrut Chen în anii 

’60. Rãmânea doar descompunerea în numere bipãtratice 

de felul 79 = 24 + 24 + 24 + 24 + 14 + 14 + 1 4 + ……. +14 = 

16 x 4 + 1 x 15 = 64 + 15, unde numerele puteau fi 

descompuse în 19 numere bipãtratice. Folosind calculatorul, 

J.J. Deshouillers æi Fr. Dress au demonstrat 

teorema în 1986, la Universitatea din Bordeaux. 

Pot, oare, numerele sã asigure onestitatea? 

Gabriel: Alo, Arina? Am un text care mi se pare deosebit de 

interesant; ceva legat de numere. Pot sã vin sã åi-l arãt? 

Arina: Sigur. Sunt curioasã sã-l vãd. 

Dupã o orã, cei doi se întâlnesc. 

Gabriel: Este vorba despre textul unei comunicãri prezentate la 

Congresul Internaåional al Matematicienilor de la Beijing, 

pe 22 august 2002, de cãtre Mary Poovey, director la 

Institute for the History of the Production of Knowledge 

de la Universitatea din New York. 

Arina: Æi care e titlul comunicãrii? 

Gabriel: E, pur æi simplu, incitant: Pot, oare, numerele sã asigure 

onestitatea? Aæteptãri nerealiste æi scandalul bilanåului 

S.U.A. 

Arina: Sunã tare! 

Gabriel: Mary Poovey subliniazã impactul noii axe de putere.


Evident, este vorba despre axa puterii financiare. 

Aceastã axã are multe dimensiuni, multe cauze æi efecte. 

Autoarea se mulåumeæte, în eseul sãu, sã discute doar 

ceea ce analiætii numesc finanåializare, cãreia îi spune 

culturã financiarã. 

Arina: Detaliazã, te rog! 

Gabriel: Mary Poovey abordeazã câteva dintre procedeele 

numerice æi matematice pe care le foloseæte cultura 

financiarã în scopul reorganizãrii relaåiei dintre 

valoare æi temporalitate. 

Arina: Valoare æi temporalitate! Marfã! 

Gabriel: Transpunând în numere æi ecuaåii concepte precum 

riscul, aceastã culturã genereazã o nouã formã a valorii, 

care produce uriaæe profituri celor ce stãpânesc regulile 

jocului æi uriaæe pierderi celor nepricepuåi. 

Arina: Care este punctul de pornire a lui Mary Poovey? 

Gabriel: O observaåie obiectivã de naturã istoricã, æi anume: 

cultura emergentã a finanåei diferã faåã de economia 

de producåie. 

Arina: În ce sens? 

Gabriel: În sensul cã finanåele genereazã profituri primare prin 

investiåie, prin miæcarea æi comeråul cu valuta, precum 

æi prin stabilirea de pariuri complexe în ceea ce priveæte 

creæterea sau scãderea preåurilor. Este evidentã deosebirea 

faåã de economia de producåie, care genereazã 

profituri prin transformarea puterii de lucru în produse, 

iar acestea au preåuri æi sunt schimbate la piaåã. 

Arina: Într-adevãr, contrastul pare viguros. Dar economia de 

producåie este puternicã în foarte multe state. 

Gabriel: Se observã, însã, schimbãri în direcåia noii situaåii. De 

pildã, în S.U.A., dupã anul 2000, profiturile financiare 

au depãæit profiturile obåinute de manufacturã. 

Arina: Pe ce instrumente pune accentul Mary Poovey?


Gabriel: Pe reprezentãri æi pe configuraåiile bilanåului. 

Arina: Eu ætiu ce pondere mare au reprezentãrile în sociologie, 

dar în finanåe? 

Gabriel: Reprezentãrile propulseazã dinamica operaåiilor financiare. 

Uneori, ele înlocuiesc schimbul, iar alteori o 

reprezentare de moment constituie ceea ce conteazã în 

schimbul însuæi. Combinaåia reprezentãrii cu schimbul 

produce tot felul de efecte materiale, fiindcã atunci 

când reprezentarea poate influenåa sau chiar poate lua 

locul schimbului, valorile mizei devin, de asemenea, 

noåionale, iar profitul creæte exponenåial sau poate 

intra în colaps la o loviturã abilã. 

Arina: Iatã-ne pe un teritoriu cu tendinåe abstracte! 

Gabriel: De aceea, poate intra în joc matematica. Ea e cea care 

va duce abstractizarea la o cotã mai ridicatã. Pentru a 

descrie schimbul cu ajutorul numerelor, trebuie sã fie 

abstractizate unele trãsãturi care pot fi cuantificate æi, 

la rândul lor, marginalizate altele care nu pot fi cuantificate. 

Acesta este momentul în care ecuaåiile rulate 

pe calculator de cãtre programe software devin mai 

importante decât schimburile, care s-ar fi putut realiza 

în alte condiåii în timp æi spaåiu. Calculele sunt cele 

care stabilesc valoarea. 

Arina: Aceastã valoare e noåionalã. Æi are calitatea cã poate fi 

oricât de mare. Poate depãæi chiar toatã valuta existentã!! 

Gabriel: Întreaga analizã pe care o face Mary Poovey se bazeazã 

pe date culese din S.U.A. Ea se referã la: comeråul zilnic, 

opåiunile stocului, marcarea bilanåului de pe piaåã, 

ajustarea rezervei de datorii pãgubitoare, derivativele 

æi caracteristicile lor adiåionale. 

Arina: Nu înåeleg nimic. 

Gabriel: Ascultã-mã cu rãbdare. O iau pe felii:


1. Comeråul zilnic – Un investitor îæi creeazã o imagine 

pur noåionalã asupra viitorului sãu, pentru a se 

îmbogãåi pe moment. În aceastã situaåie, cumpãrãtorii 

de acåiuni lucreazã printr-o companie on-line, stârnindu-i 

pe alåi investitori sã cumpere din stoc, în mod anonim 

sau prin Internet. Cum manevra lor dã roade, alåi 

investitori cumpãrã, iar preåul creæte. Atunci, primul 

începe sã vândã. Continuând vânzarea æi antrenându-i 

æi pe alåii sã vândã, preåul scade. În acel moment, el se 

decide sã cumpere. Practica aceasta este veche, dar 

ceea ce caracterizeazã contemporaneitatea este viteza 

deciziilor; orele æi chiar minutele sunt esenåiale. 

2. Opåiunile stocului – Salariaåii companiilor sunt recompensaåi 

æi stimulaåi sã facã opåiuni de stoc pentru a-æi 

suplimenta venitul. Ce înseamnã asta? Compania le 

propune sã achiziåioneze din stoc un numãr de acåiuni 

la o cotã scãzutã, adicã sub preåul pieåei. Când acåiunile 

respective capãtã o valoare mai mare, salariatul 

poate decide sã le vândã cu profit. Companiile stimuleazã 

creæterea preåului printr-o combinaåie de sugestii pertinente 

fãcute public, prin declaraåii æi rapoarte bazate 

pe analiza unor specialiæti care mânuiesc cu dexteritate 

numere æi modele matematice. 

Arina: Am auzit cã sofisticãrile astea au dus, uneori, æi la haos. 

Gabriel: Da, atunci când s-a operat necinstit. Dar, te rog, Arina, 

lasã-mã sã continui. Am ajuns la... 

Arina: ...3. Marcarea bilanåului de pe piaåã. 

Gabriel: Exact. Aici e de spus urmãtorul lucru: companiile fac 

predicåii, iar rapoartele pe care le întocmesc se bazeazã 

pe interpretãri, ipoteze æi ajustãri, pentru a aduce la un 

numitor comun predicåia cu raportul. E o practicã ce le 

permite sã obåinã profituri înainte de realizarea lor


efectivã. Pe baza acestei practici, constituie parteneriate, 

fac achiziåii, semneazã tot soiul de contracte folosind 

profiturile anticipate ca pe profituri prezente. 

Arina: Æi ce e cu: 4. Ajustarea la rezerva datoriei pãguboase? 

Gabriel: E o altã manevrã a companiilor. În aceastã nouã manevrã, 

în loc de înregistrarea viitoarelor profituri drept semne 

pentru bilanåurile de piaåã, se cautã metode de deghizare 

a cãderilor pe termen scurt ale companiilor, pe 

baza clauzelor, ceea ce permite acoperirea deficitului 

în caz cã un creditor este în dificultate, folosind o parte 

din rezerva fondului. 

Arina: Æi fain-frumuæel – am auzit eu – companiile mutã 

suma respectivã care le lipseæte din coloana rezervei în 

coloana profiturilor! 

Gabriel: Îmi permiåi sã continui? 

Arina: Daa! 

Gabriel: Punctul 5. Derivativele. De regulã, oamenii sunt 

încredinåaåi cã numerele întruchipeazã obiectivitatea, 

chiar dacã nu pricep în ce fel au fost ele generate. 

Principiile matematice folosite de companii pentru a 

aranja lucrurile în favoarea lor sunt invizibile pentru 

cei mai mulåi dintre investitori. Iar ecuaåiile matematice 

devin cele dintâi miæcãri ale valorii, deoarece, în 

momentul de faåã, piaåa ascultã de reguli matematice. 

Instrumentele care întruchipeazã aceastã credinåã sunt 

opåiunile viitoare sau derivativele. 

Arina: Te rog, focalizeazã puåin derivativele. Eu ætiu despre 

derivate de la analiza matematicã, dar despre derivative 

n-am auzit. 

Gabriel: În termenii cei mai simpli, Arina, derivativele sunt 

contracte cu datã de expirare fixã, al cãror preå este 

determinat de valoarea unor bogãåii ascunse, precum


preåul valutei sau al megawattului/orã. Posesorul unui 

astfel de contract îl poate vinde înainte de data 

expirãrii; decizia lui nu provine din investigarea pieåei, 

ci din evaluarea probabilitãåii matematice cã preåul va 

creæte sau cã va scãdea. E un fel de pariu. Totul se 

negociazã în secret, pe cale electronicã. Avântul luat 

de derivative este remarcabil. Deja în anul 2001 – 

aratã Mary Poovey – valoarea totalã a contractelor 

derivative ale afaceriætilor se apropia de 1 000 de trilioane 

de dolari, egalã cu valoarea totalã aproximativã a 

producåiei globale a manufacturilor din ultimul mileniu. 

Arina: Vrei sã mã faci praf cu valoarea asta cosmicã! Mi se 

pare cã invenåia asta nu e opera ultimelor decenii ale 

secolului trecut. Am citit undeva cã încã în secolul al 

XVII-lea japonezii o practicau. 

Gabriel: Da, dar ce importanåã are. Compari un purice cu un 

elefant? Derivativele moderne articuleazã o multitudine 

de ecuaåii matematice, calculate electronic, care 

implicã æi problema riscului. 

Arina: Operând cu numere oricât de mari, oamenii se conving 

cã puterea lor e realã, atât în speculaåii, cât æi în dominare, 

sau æi în unele, æi în altele. 

Gabriel: Ca æi alte instrumente de afaceri, derivativele æi opåiunile 

viitoare reprezintã îmbinãri ale reprezentãrii æi 

schimbului, atât în ceea ce priveæte timpul, cât æi riscul 

implicit. În acest fel, se creeazã în afaceri un mediu 

ambiant pur noåional, care existã doar din punct de 

vedere electronic. În ciuda acestei situaåii, afacerile 

electronice produc efecte foarte palpabile. Când toate 

instrumentele financiare sunt folosite concomitent, aæa 

cum se practicã în instituåiile sofisticate din punct de 

vedere financiar, ele conving atât asupra obiectivitãåii, 

cât æi asupra veridicitãåii numerelor æi a încrederii cã 

piaåa funcåioneazã dupã legile matematice.


Arina: O clipã! Lãmureæte-mã, te rog, asupra corelaåiei dintre 

axa financiarã æi aceastã nouã culturã. 

Gabriel: Se restructureazã relaåia dintre temporalitate æi valoare, 

se redefinesc noåiunea de muncã, relaåiile dintre instituåii, 

ponderea responsabilitãåii. Marea putere de organizare 

cu care a fost înzestrat numãrul cu multe milenii 

în urmã nu se dezice nici azi, fiindcã, în prezent, ca æi 

oricând altãdatã, numãrul e asociat cu bogãåia æi cu puterea. 

Arina: Dar ce pãrere ai despre valoarea lui moralã? 

Gabriel: Sã citez ceea ce a spus la sfâræitul secolului al V-lea 

î.e.n. Philoceus din Farent: „Numãrul, ca æi armonia, 

nu admite falsitatea, aceasta le este lor cu totul strãinã 

…, adevãrul este înnãscut æi specific naturii numãrului“. 

Arina: O fi aæa numãrul, dar eu mã uit la oameni!

ARINA ESTE FERICITÃ! 

Arina a câætigat concursul æi va pleca, luna viitoare, în åara lui 

Carroll Lewis æi a lui Isaac Newton. 

Au fost æase luni de efort, de frãmântãri æi, fireæte, de satisfacåii. 

A citit atâtea lucrãri fascinante, a disecat atâtea probleme aparent 

insolubile, æi-a pus nenumãrate întrebãri æi a înåeles multe despre 

matematicieni æi despre mentalitatea lor. 

Acum aæteaptã cu nerãbdare sã ajungã la British Museum ca sã 

vadã æi alte comori ale matematicii. Viseazã sã gãseascã mai multe 

informaåii inedite despre matematicianul britanic Alan Mathison 

Turing (1912-1954), magician al descifrãrii codurilor æi creator al 

inteligenåei artificiale. 

E convinsã cã acest concurs i-a marcat în mod fericit destinul, cã 

va face studii aprofundate de matematicã superioarã, care-i vor permite 

sã abordeze unele dintre cele mai nepãtrunse taine ale acestei ætiinåe 

date omului pentru a întreprinde, a se minuna æi a atinge sublimul.

A 

INDEX DE TERMENI 

Abac (< fr. abaque; < lat. abacus) – dispozitiv pentru calcule aritmetice, 

format dintr-un cadru prevãzut cu vergele orizontale, fiecare 

vergea având zece bile culisante. 

Absurd – sinonim, în matematicã, pentru contradictoriu, fals din 

punct de vedere logic. Demonstraåia unei propoziåii P prin reducere 

la absurd, admiåând ca adevãratã propoziåia contrarã (non-P), constã 

în obåinerea unui rezultat care neagã una dintre ipoteze. În concluzie, 

propoziåia non-P nu este adevãratã, iar propoziåia P este 

adevãratã. 

Vezi æi: Terå exclus. 

Algoritm (< fr. algorithme, dupã numele matematicianului arab 

al-Kharezmi) – æir finit de reguli care rezolvã o clasã de probleme 

guvernate de aceleaæi prescripåii æi deosebindu-se între ele numai 

prin datele iniåiale. În sensul curent al acestui termen, o formulã este 

un algoritm (de exemplu, formula soluåiilor ecuaåiei de gradul doi). 

Analizã matematicã – parte a matematicii care cuprinde teoria 

funcåiilor relativã la structuri æi la calcule legate de noåiunile de 

limitã æi continuitate. 

Vezi æi: Calcul infinitezimal. 

B 

Bazã de numeraåie a unui sistem – numãrul de simboluri 

folosite într-un sistem de numeraåie: 2, 8, 10, 16, 20, 60 etc.


C 

Calcul diferenåial – parte a matematicii care trateazã proprietãåile 

locale ale funcåiilor, comportarea lor la variaåii infinit mici 

ale variabilelor. 

Vezi æi: Ecuaåie cu derivate paråiale; Ecuaåie diferenåialã. 

Calcul infinitezimal – parte a matematicii care cuprinde, în 

principal, calculul diferenåial æi calculul integral, bazatã pe studiul 

infinitelor mici æi al limitelor. 

Vezi æi: Calcul diferenåial; Calcul integral. 

Calcul integral – ansamblul metodelor æi algoritmilor de calcul al 

primitivelor, al integralelor æi de rezolvare a ecuaåiilor diferenåiale. 

Ciur – algoritm prin care se obåine lista unor numere având o 

proprietate precisã (Ciurul lui Eratostene, pentru numere prime). 

Completitudine – proprietate generalã a unui sistem axiomatic 

potrivit cãreia din axiomele respectivului sistem pot fi deduse, cu 

ajutorul regulilor de deducåie, toate teoremele sistemului. În sens 

strict, completitudinea presupune existenåa în cadrul sistemului 

axiomatic a unui procedeu formal de respingere din sistem a 

oricãrei expresii care nu este axiomã sau teoremã a sa. 

Congruenåã – relaåia dintre douã numere întregi, a æi b, care dau 

acelaæi rest la împãråirea cu acelaæi numãr întreg dat n, numit modul: 

a ≡ b(n) Exemplu: 22 ≡ 4(3). 

Conjecturã – ipotezã privind exactitatea sau inexactitatea unui 

enunå cãruia i se ignorã demonstraåia. 

Consistenåã – calitate a unui sistem axiomatic de a nu conåine o 

formulã oarecare în acelaæi timp cu negaåia ei. 

Vezi æi: Contradictoriu; Completitudine. 

Contradictoriu – teorie matematicã ale cãrei axiome permit sã 

se demonstreze o teoremã, precum æi negaåia ei. 

Convergent – un æir sau o serie care tinde spre o limitã finitã 

când variabila tinde spre infinit.


E 

Ecuaåie algebricã – ecuaåie de forma P(x)=0, unde P desemneazã 

un polinom. 

Ecuaåie cu derivate paråiale – ecuaåie în care necunoscuta este 

o funcåie de mai multe variabile care intervine prin derivatele ei 

paråiale de ordin oarecare. 

Ecuaåie diferenåialã – ecuaåie de tipul F(x, y, y’,... yn ) = 0, în 

care necunoscuta y este o funcåie diferenåialã. 

Ecuaåie diofanticã – ecuaåie de forma P(x, y, z, ...) = 0, unde P este 

un polinom cu coeficienåi în Z sau Q, cãruia i se cautã soluåii în Z sau Q. 

Ecuaåie trigonometricã – ecuaåie în care necunoscutele figureazã 

prin funcåii trigonometrice (sin x, cos x, tg x etc.). 

Expresii inconsistente – „negaåii“ ale expresiilor valide; sunt 

excluse din alcãtuirea unui sistem axiomatic. 

F 

Formalism – sistem de reguli æi propoziåii matematice potrivit 

cãruia toate formele permise ale raåionamentului matematic dintr-un 

domeniu specific, care includ æi apeleazã la raåionamente asupra 

mulåimilor infinite, trebuie sã poatã fi descrise univoc. 

Vezi æi: Sistem formal. 

Funcåie – corespondenåa dintre elementele unei mulåimi X æi 

elementele unei mulåimi Y. Dacã se noteazã legea de corespondenåã 

prin f, iar prin x un element din X, elementul din Y, care 

corespunde prin aceastã lege lui x, se noteazã f(x); f(x) reprezintã 

valoarea funcåiei pentru elementul x, care se numeæte variabilã independentã.


G 

Geometrie algebricã – ramurã a geometriei care se ocupã de 

varietãåi definite prin ecuaåii algebrice; studiazã curbe algebrice, 

suprafeåe algebrice, transferuri algebrice æ.a. 

Vezi æi: Varietate. 

Geometria lui Riemann – geometrie fundamentatã pe un sistem 

de axiome în care postulatul paralelelor lui Euclid este înlocuit printro 

axiomã care cere ca printr-un punct exterior la o dreaptã sã nu se 

poatã duce nici o paralelã la aceastã dreaptã. Un model de geometrie 

a lui Riemann îl constituie geometria suprafeåei sferei pe care 

cercurile mari sunt considerate drepte. 

I 

Inducåie matematicã – procedeu de demonstrare a propoziåiilor 

generale în matematicã printr-un raåionament generalizator în 

maniera ætiinåelor experimentale, care a dus, adesea, la concluzii 

greæite. Raåionamentul prin recurenåã, denumit în mod impropriu 

inductiv, este însã valabil, fiind, de fapt, o deducåie. 

Infinit mare – funcåia numericã de valoare realã, notatã f(x), 

definitã în vecinãtatea valorii x a variabilei independente, astfel cã 

0 

atunci când aceasta tinde spre x valoarea absolutã a lui f(x) tinde 

0 

spre infinit. 

Infinit mic – funcåia numericã de variabilã realã, notatã f(x), 

definitã în vecinãtatea lui x , astfel cã dacã x tinde spre x , f(x) tinde 

0 0 

spre zero. 

Integralã definitã a unei funcåii f(x) definitã pe intervalul [a, b] 

– limita sumei elementelor infinitezimale f(x )dx cuprinse între 

n 

curba reprezentativã a funcåiei, abscisã æi ordonatele punctelor a æi


b de pe abscisã. Numãrul obåinut la limitã este aria mãrginitã de 

mãrimile geometrice menåionate. 

Integralã nedefinitã (primitivã) – funcåia integralã g(x) a 

funcåiei f(x) în care limita superioarã de integrare, b, este înlocuitã 

x 

cu variabila independentã x: g ( 

x) 

= f ( t) 

d( 

t) 

L 

Limitã a unui æir – numãrul a (finit sau infinit) care are proprietatea 

cã în afara oricãrei vecinãtãåi a lui se aflã cel mult un numãr 

finit de termeni ai æirului a n. 

Logaritmul unui numãr dat – puterea la care trebuie sã fie ridicat 

un numãr pozitiv numit bazã pentru a se obåine numãrul dat. 

Lunulã (< fr. lunule) – figurã geometricã formatã din douã arce 

de cerc, de diametre diferite, care au aceleaæi extremitãåi æi a cãror 

convexitate este situatã de aceeaæi parte a centrelor respective. 

M 

∫ ⋅ 

Medie armonicã – reciproca mediei aritmetice a reciprocelor 

mãrimilor pozitive considerate. 

Medie axiomaticã – metodã ætiinåificã de expunere care, 

pornind de la propoziåii prime (axiome), deduce din acestea, pe bazã 

de reguli formulate explicit, noi propoziåii, numite teoreme. Se 

numeæte formalã atunci când termenii nedefiniåi sunt încã neinterpretaåi, 

trecerea de la axiome la teoreme realizându-se prin simpla 

aplicare a procedeelor de calcul. 

Medie geometricã – este egalã cu rãdãcina de ordinul n din produsul 

celor n mãrimi pozitive considerate. 

a


Mulåime – totalitatea obiectelor numite elemente, datã fie prin 

indicarea acestora, fie prin enunåarea unei caracteristici comune lor. 

Poate fi: 

finitã – conåine un numãr finit de elemente; 

infinitã – conåine un numãr infinit de elemente; 

numãrabilã – elementele ei pot fi puse în corespondenåã biunivocã 

cu elementele mulåimii numerelor naturale (1, 2, 3...); 

vidã – nu conåine nici un element. 

N 

Numãrabil – Mulåime echivalentã cu o parte a mulåimii 

numerelor naturale N. 

Numãr algebric – rãdãcinã a unei ecuaåii algebrice care are 

drept coeficienåi numere raåionale. 

Numãr cardinal – numãr din æirul numerelor naturale 1, 2, ... 

care precizeazã din câte unitãåi este compus numãrul, poziåia lui în 

æir, numãrul lui de ordine (numãrul ordinal). 1+ 5 

Numãr de Aur (Divina Proporåie) – numãr egal cu 2 , aproximativ 

1,618, corespunzând unei proporåii cu deosebire estetice. 

Numãr perfect – numãrul egal cu suma factorilor în care se 

descompune. 

Numãr prim – numãr natural diferit de 0 care admite ca divizori 

numai pe 1 æi pe sine însuæi. 

Numãr transcendent – numãr iraåional care nu este rãdãcina 

nici unei ecuaåii algebrice cu coeficienåi raåionali. 

Numeraåie – sistem de reguli pentru exprimarea vorbitã æi scrisã 

a numerelor întregi. 

Numere inverse (reciproce) – douã numere al cãror produs este 

egal cu unitatea (de exemplu: x æi 1/x).


Numere pitagorice – trei numere naturale, prime între ele, care 

satisfac teorema lui Pitagora (a2 + b2 = c2 ). Triunghiul construit din 

laturi proporåionale cu numere pitagorice este dreptunghic. 

Numere prime gemene – cuplu (p, q) de numere prime, astfel 

cã q = p + 2. Nu se ætie, în prezent, dacã mulåimea lor este finitã (a 

opta problemã a lui Hilbert). Se cunoaæte, însã (teorema lui V. Brum) 

cã seria ∑1/ p 

, în care p descrie mulåimea numerelor prime 

gemene, este convergentã. 

P 

Perioadã – cel mai mic numãr T > 0, cu proprietatea f(x + T) = f(x). 

Dacã existã un T cu aceastã proprietate, funcåia f(x) se numeæte 

periodicã de perioadã T. De exemplu: sin x este periodicã de 

perioadã 2π, fiindcã sin (x + 2π) = sin x. 

a b 

Proporåie – douã rapoarte egale = 

c d formeazã o propoziåie. 

Într-o proporåie, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: 

bc = ad. 

S 

Secåiune de Aur – mod de împãråire a unui segment de dreaptã 

AB printr-un punct M, astfel încât AM 2 = AB . MB. Denumirea anterioarã 

a acestei proporåii a fost medie æi extremã raåie. 

Serie – æir infinit de elemente legate între ele prin semnul plus, 

u + u + ... + u + ... Elementele u , u , ... u ,... se numesc termenii 

1 2 n 1 2 n 

seriei, care pot fi numere reale sau complexe, funcåii, vectori, 

matrice etc. S = u + u + ... + u se numeæte suma paråialã a seriei. 

n 1 2 n


Seria pentru care æirul sumelor paråiale 

Sn 

n=1 

este convergent se 

numeæte o serie convergentã. Limita æirului sumelor paråiale este 

suma seriei. Seria pentru care æirul numerelor paråiale nu are limitã 

sau limita este ± ∞ (de exemplu, seria armonicã 2 n ) 

este o serie divergentã. 

Serie alternatã – serie în care doi termeni consecutivi oarecare 

sunt de semne contrarii. 

Seria de funcåii – serie ai cãrei termeni u sunt funcåii f (x) de- 

n n 

finite pe un domeniu A. 

Serie trigonometricã – serie de funcåii de forma: 

a0 

+ ∑( a cosnx 

+ b sin nx) 

∞ 

Sistem formal – sistem de semne æi expresii construite în conformitate 

cu anumite reguli de formare æi de derivare, în care se face 

abstracåie de orice interpretare a semnelor (dimensiunea semanticã) 

æi de raporturile acestora cu subiecåii ce le folosesc (dimensiunea 

pragmaticã). 

Sistem sexagesimal – sistem de numeraåie cu baza 60. Se 

foloseæte, de exemplu, pentru mãsurarea unghiurilor æi arcelor. 

T 

2 n= 

1 

n 

n 

{} ∞ 

1 1 

1 + + ........ + + ...... 

Terå exclus – principiu fundamental al gândirii, care impune distincåia 

netã între adevãr æi fals. Strâns legate de legea teråului exclus 

sunt legea dublei negaåii – deoarece a nega unul dintre termenii disjuncåiei 

(termenul afectat de negaåie) înseamnã a reveni la celãlalt 

termen – æi demonstraåia prin absurd, deoarece æi aceasta presupune 

cã, prin negarea falsului, revenim în mod necesar la adevãr.


Topologie – ramurã a matematicii care studiazã proprietãåile 

mulåimilor de puncte ce sunt invariante faåã de transformãrile biunivoce 

æi bicontinue (topologice). Dacã mulåimea de puncte A este 

imaginea mulåimii B printr-o aplicaåie topologicã, spunem cã A æi B 

sunt mulåimi topologice echivalente sau homeomorfe. De exemplu, 

cercul, elipsa, pãtratul pot fi deformate una într-alta în mod continuu. 

V 

Variabilã – simbol indicând un element oarecare din domeniul 

de definiåie al unei funcåii. Când studiem o funcåie f(x ,... x ), 

1 n 

spunem cã x sunt variabile ale funcåiei f. 

i 

Varietate – generalizarea în mai multe domenii ale matematicii 

a noåiunilor de curbe, suprafeåe sau volume.

BIBLIOGRAFIE SELECTIVÃ 

ANDREI, NICULAE. Dicåionar etimologic de termeni ætiinåifici. 

Bucureæti, Editura Ætiinåificã æi Enciclopedicã, 1987. 

ARNOLDEZ, R.; MASSIGNON, L.; JUSKEVICI, A.P. Aritmetica 

la arabi. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, Bucureæti, Editura 

Ætiinåificã, 1970, p. 476-482. 

BABELON, JEAN. Mayas d’hier et d’aujourd’hui, Paris, 1967. 

BARROIS, A.G. Manuel d’archéologie biblique, vol. II, Paris, 

Picard, 1953. p. 316-339. 

BINDEL, E. Les éléments spirituels des nombres, Paris, Payot, 

1960. 

BURADA, TEODOR T. Despre crestãturile plutaæilor pe cherestele 

æi alte semne doveditoare de proprietãåi la români, Iaæi, 1880. 

CAJORI, FLORIANA. History of mathematical notations, vol. 

I-II, Chicago, London, The Open Court Publishing Company, 1928. 

CÂMPAN, FLORICA T. Din istoria câtorva numere de seamã, 

Bucureæti, Editura Albatros, 1973. 

CÂMPAN, FLORICA T. Povestea numãrului π 

, ediåia a II-a, 


CÂMPAN, FLORICA T. Poveæti despre numerele mãiestre, 


CHAMBORCHE, FRANÇOIS–XAVIER. Vie et mystique des 

nombres, Paris, 1976. 

CHEVALIER, JEAN; GEENBRANT, ALAIN. Dicåionar de 

simboluri, vol. I-III, Bucureæti, Editura Artemis, 1995. 

DINU, MIHAI. Comunicarea. Repere fundamentale, Bucureæti, 

Editura Ætiinåificã, 1997.


ELIADE, MIRCEA. Istoria credinåelor æi ideilor religioase, 

ediåia a II-a, vol. I-III, Bucureæti, Editura Ætiinåificã, 1991. 

FILLIOZAT, J. Matematica [indianã]. În: Istoria generalã a 

ætiinåei, vol. I, p. 170-175 

GHYKA, MATHILA. G. Le nombre d’or, vol. I-II, Paris, 

Gallimard, 1931. 

GHYKA, MATHILA G. Philosophie et mystique des nombres, 

Paris, 1952. 

GUITEL, GENEVIÈVE. Histoire comparée des numérations 

écrites, Paris, Payot, 1975. 

IDEL, MOSHE. Cabala. Noi perspective, Bucureæti, Editura 

Nemira, 2000. 

LABAT, R; BRUENS, E.M. Aritmetica [în Mesopotania]. În: 

Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 108-144. 

LAUTMAN, ALBERT. La répartition des nombres premiers et 

la mesure de la croissance à infini. În: Essai sur l’unité des mathématiques, 

Paris, Union Générale d’Éditions, p. 221-225. 

LOI, MAURICE. Le nombre d’or. În: Mathématiques et art, 

Paris, Hermann, 1995, p. 11-14. 

MARCUS, SOLOMON. Three. In: Semiotics around the world 

Synthesis in Diversity Proceedings of the Fifth Congress of the 

International Association for Semiotic Studies, Berkley, Berlin, 

New York, Marton de Gruyer, 1994, p. 773-776. 

MICHEL, P.H; MUGLER, CH. Aritmetica æi geometria [la 

greci]. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 230-236. 

MOISIL, GRIGORE C. Teorema lui Pitagora. În: Grigore C. 

Moisil. Un profesor ca oricare altul, Bucureæti, Editura Tehnicã, 

1998, p. 61-63. 

NEVEUX, MARGUERITE. Le nombre d’or chez Seurat? În: 

Mathématiques et art, Paris, Hermann, 1995, p. 187-196.


OYSTEIN, ORE. Number Theory and History, New York, Mc. 

Graw – Hill Book Company, 1948. 

POPA, ILIE. Începuturile matematicii româneæti, În: Eliza 

Roman. Bibliografia matematicii româneæti. Bucureæti, Editura 

Academiei, 1972, p. XLI-LXII. 

ROMAN, ELIZA. Bãtrânul numãr, veænic tânãr. În: 

„Contemporanul“, 27 august 1997, p. 1, 11. 

ROMAN, ELIZA. Buclucuri matematice. În: „Contemporanul“, 

10 aprilie 1996, p.1, 11. 

ROMAN, ELIZA. Din istoricul manualului românesc de 

matematicã în secolele 17-19. În: „Gazeta matematicã“. Bucureæti, 

I (1980), p. 169-173; II (1981), p. 30-39. 

ROMAN, ELIZA. Impactul unui numãr. În: „Contemporanul“, 

8 octombrie 2001, p. 15. 

ROMAN, ELIZA. Numãrul între mitologie æi realitãåile contemporane. 

În: „Contemporanul“, 1 ianuarie 1983, p. 4. 

ROMAN, ELIZA. Æi giganåii greæesc. În: „Contemporanul“, 

21 noiembrie 1996, p. 1, 11. 

SMITH, DAVID EUGENE. History of Matematics, vol. I-II, 

New York, Dover Publications, 1958. 

STRESNER, PEAN, G. Numeraåia æi astronomia la 

precolumbieni. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 432-441. 

ÆAFRAN, ALEXANDRU. Înåelepciunea Cabalei. Bucureæti, 

Editura Hasefer, 2000. 

TOTH, ALEXANDRU. Apariåia æi rãspândirea cifrelor în 

Åãrile Române. Bucureæti, Editura Tehnicã, 1972. 

VERCOUTLER. J. Aritmetica egipteanã. În: Istoria generalã a 

ætiinåei,.vol. I, Bucureæti, 1970, p. 30-43 

VIROLLERAUD, CH.; SCAHEFFER Cl. FA. Matematica 

ebraicã veche. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 144-153.

„Locul numãrului în civilizaåie îmi trezeæte o idee: 

n-ar trebui, oare, sã punem puterea calculatorie a 

omului la un loc cu puterea de energie instalatã, în 

definirea capacitãåii unei societãåi de a fi parte din 

civilizaåia globalã? Arina mã corecteazã: pe lângã cã 

ideea îi desemneazã un rol nou, ea e atrasã de numãr 

pentru aura sa de mister ce trebuie lãmuritã. S-a 

inventat, oare, un joc mai fascinant æi mai captivant 

care sã dea emoåii egale cu ale poeziilor sau melodiilor 

celor mai extaziante? Ca æi ele, jocul numerelor are 

ceva miraculos, pasionant, irezistibil. Îi mulåumesc 

cu cãldurã ei, autoarei æi editorului pentru cãlãtoria 

inspiratã“. 

Acad. MIRCEA MALIÅA 

ISBN 978-973-8238-23-7

Arina în Åara Numerelor

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?